La mecnica del chasis del tractor

Angelica Gracia, Juan Garca, Mario Lesmes

Departamento de Ingeniera Civil y Agrcola, Fuentes de potencia en la agricultura.

Universidad nacional de Colombia.

Bogot D. C., Colombia

Estabilidad longitudinal

Figura 11-1. Diagrama de cuerpo libre del chasis y las ruedas motrices de un tractor de traccin trasera.

Existen muchas situaciones en las cuales un tractor est en peligro de volcamiento hacia atrs. Las

ecuaciones asociadas con el diagrama de cuerpo libre de la figura 11-1 son particularmente tiles

para el anlisis de estas situaciones. En tales situaciones en las que las llantas delanteras han dejado

el suelo, las fuerzas Rf y TFf sern cero. Con el uso del principio de DAlembert, el chasis del

tractor puede ser considerado como si estuviera en equilibrio esttico, permitiendo momentos para

ser sumados en cualquier punto. El principio de DAlembert es aplicado por la adicin de dos

fuerzas ficticias, llamadas frecuentemente fuerzas inerciales, actuando en el centro de gravedad del

chasis: mcxc en la direccin x y mczc en la direccin z. Adems un momento ficticio Iyyc en el

sentido de las manecillas del reloj es aplicado al chasis. Ahora, cuando se asume que el tractor se

encuentra en estado de equilibrio esttico, los momentos deben ser sumados al eje trasero, as

eliminan la presencia de reacciones por fuerzas internas Vr y Hr de la ecuacin resultante. Usando la

ecuacin 8 y 9 para expresar xc y zc en trminos de xwr, zwr, r y 2, la ecuacin del momento

resultante de ser escrita como:

( +12 )

= 1 cos(1 + + ) cos 3 cos(0 )

+ sin 3 sin(0 ) +1 cos(1 + ) +1 sin(1 + )

(30)

La ecuacin 30 indica la componente paralela, Pcos, de la fuerza de la barra de tiro que ejerce un

momento que tiende a resistir la rotacin positiva del chasis mientras que un momento de vuelco es

ejercido por la componente perpendicular, Psin. Una situacin que a llevado a muchos vuelcos

hacia atrs es la aplicacin de la fuerza de la barra de tiro P en un punto cercano o arriba del eje

trasero. En tal situacin, el ngulo de inclinacin de la fuerza de la barra de tiro con la superficie

del suelo puede ser tambin bastante grande. Como un resultado, el momento en el brazo

3cos(0 ) dela componente paralela puede ser pequea o incluso negativa, mientras la componente perpendicular sin se incrementa. Como indica la ecuacin 30, tal situacin hace el

desarrollo de una aceleracin angular positiva ms probable, y as las probabilidades para un volcamiento hacia atrs se incrementan.

Figura 11-2. Cinemtica asociada con el movimiento plano del chasis y de las ruedas motrices. La lnea discontinua

muestra la posicin del chasis y de las ruedas motrices despus de un desplazamiento angular .

Incluso con suficiente traccin y potencia disponible para desarrollar una fuerza en la barra de tiro

en exceso de la fuerza en la barra de tiro requerida para que las llantas delanteras pierdan el

contacto con el suelo, el tractor podra no estar en riesgo de volcamiento hacia atrs si la fuerza a la

barra de tiro esta correctamente enganchada al tractor. La ecuacin 30 y la figura 11-2 indica el

momento en el brazo, 3 cos(0 ), de la componente paralela de la fuerza en la barra de tiro, cos, tiende a incrementar cuando el tractor gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a travs de un ngulo positivo . Simultneamente, el momento en el brazo, 3 sin(0 ), de la componente enganchada, la rotacin del chasis del tractor puede tender a estabilizar el tractor,

proporcionando asi una explicacin para situaciones en las cuales el tractor puede estar en equilibrio

con las llantas delanteras del tractor sobre el suelo.

Otra situacin en la cual un volcamiento hacia atrs puede ocurrir cuando un implemento es

encadenado a las ruedas motrices traseras en un esfuerzo para liberar al tractor que ha quedado

inmovilizado en suelo blando. Si el implemento previene que las llantas traseras se giren cuando el

embrague del tractor es liberado un torque T en el eje trasero, puede ser desarrollado para volcar el

tractor.

La ecuacin 30 indica que el momento en el brazo, 1 cos(1 + + ), del peso del chasis disminuye cuando el ngulo de rotacin aumenta. Adems, este momento en el brazo tambin disminuye por la operacin en una pendiente y esta influenciada por el peso del chasis en el centro

de gravedad. As la estabilidad longitudinal del tractor puede ser incrementada por la adicin de

peso al chasis del tractor de tal manera que se mueva hacia adelante y debajo del centro de

gravedad. Tal accin hara que probablemente halla tambin un efecto favorable de incrementar el

momento de inercia del chasis.

Cuando la fuerza a la barra de tiro P no es aplicada, el tractor se vuelve estticamente inestable

cuando el ngulo (1 + + ) alcanza 90. Como fuera, en un sentido dinmico, el tractor puede convertirse en inestable en un ngulo considerablemente pequeo. En este ngulo, la velocidad

angular puede ser suficiente para permitir que el tractor se vuelva estticamente inestable incluso cuando el torque en el eje trasero T, y la fuerza en la barra de tirro P pueden ser reducidas a cero. En

tal situacin cuando , , y son asumidas como cero, la ecuacin 30 resulta:

( +12 ) = 1 cos(1 + + ) (31)

La ecuacin 31 puede ser integrada usando las identidades = y = (1 + + ).asi,

multiplicando la ecuacin 31 por :

( +12 ) = 1 cos(1 + + )

( +12 ) = 1 cos(1 + + )(1 + + ) (32)

Ambos lados de la ecuacin 32 deben ser integrados ahora, una vez se escojan lmites apropiados.

Asumiendo que para un ngulo de rotacin dado se desea encontrar la velocidad angular , lo

suficiente para que el chasis sea vuelva estticamente inestable. Entonces los lmites apropiados son

1 + + = 1 + + , cuando = y 1 + + =2 cuando = 0 (el tractor se

vuelve estticamente inestable justo cuando la velocidad angular se vuelve cero).

Integrando la ecuacin 32 con los lmites anteriores resulta en:

( +12 )

2

2 = 1(1 sin[1 + + ]) (33)

La ecuacin 33 puede ser usada para estimar la velocidad angular requerida para la rotacin del chasis del tractor al punto de inestabilidad esttica empezando desde el ngulo de rotacin dado. La ecuacin 33 tambin puede ser derivada por el teorema de trabajo-energa de la mecnica.

El tractor como sistema vibratorio de dos grados de libertad

El movimiento al conducir tractores ha sido histricamente asociado con su rebote (translacin

vertical) y los movimientos de tono. Una visin importante hacia estos movimientos pueden ser

obtenidos de la linealizacion de las ecuaciones 11 y 12. Si se sume que el tractor esta viajando hacia

adelante a una velocidad constante ( = = 0) al nivel del suelo ( = 0), sin carga en la barra de tiro ( = 0) y ue las fuerza R y pasan por los centros de las llantas traseras y delanteras

respectivamente ( = = 0). Note que en la ecuacin 12 el momento en el brazo de las fuerzas

, y TF, son iguales entre ellas. Adicionalmente de la ecuacin 10, = 0. Bajo

estas condiciones, las ecuaciones 11 y 12 se vuelven:

= (34)

= 2 cos(2 ) 1 cos(1 + ) (35)

Los neumticos, que representan el nico elemento de suspensin adems de la suspensin

convencional de los asientos de los tractores, pueden ser idealizados como combinaciones paralelas

de un resorte lineal y un amortiguador como se muestra en la figura 11-7. El resorte y la tasa de

amortiguacin son la suma de las correspondientes tasas para cada neumtico individual. Por

ejemplo, K , es la suma de las tasas de resorte delos neumticos traseros.

Figura 11-7. Representacin del tractor como un sistema de resorte amortiguador de masa con dos grados de libertad.

representan las historias de tiempo de los desplazamientos del suelo provocados por los

neumticos traseros y delanteros, respectivamente, pueden tomarse normalmente como

funciones de la marcha hacia adelante del tractor. Como sea, con el constante uso de la marcha

hacia adelante del tractor, pueden ser convertidas en funciones del tiempo.

Note que los cambios en la definicin de causada por la translacin vertical del sistema

coordenado inercial mostrado en la figura 11-7no tienen efecto en las ecuaciones de movimiento.

Cuando el tractor se encuentra en equilibrio esttico ( = = 0), las fuerzas y toman

valores y , respectivamente, donde:

= 2 cos 2 /(1 cos 1 + 2 cos 2) (36)

= 1 cos 1 /(1 cos 1 + 2 cos 2) (37)

Para los desplazamientos mostrados en la figura 11-7.

= + [ + 1 sin(1 + ) 1 sin1 ] + [ + 1 cos(1 + )] (38)

= +[ + 2 sin(2 ) 2 sin2 ] + [ 2 cos(2 ) ]

(39)

Despus de sustituir las ecuaciones 38 y 39 en las ecuaciones 34 y 35, utilizando las ecuaciones de

equilibrio esttico ( = 0 y 2 cos 2 1 cos 1 = 0), usando las

identidades trigonomtricas para el seno y coseno de la suma de dos ngulos diferentes, y

asumiendo que desde es considerado pequeo, sin 0, cos 1, y que los trminos de

segundo orden tales como pueden ser descuidadas, las ecuaciones 34 y 35 pueden ser linealizadas, flexiblemente:

+ 1 +2 + 3 + 4 = (1 + + + )/ (40)

+ 5 + 6 + 7 + 8

= [( + )(1 cos 1) ( +)(2 cos 2)] /

(41)

Donde:

1 = ( + )/

2 = (1 cos 1 2 cos 2)/

3 = ( +)/

4 = (1 cos 1 2 cos2)/

5 = (1 cos 1 2 cos 2)/

6 = ([2 cos 2]2+ [1 cos 1]

2)/

7 = (1 cos 1 2 cos 2) /

8 = ([2 cos 2]2 + [1 cos1]

2 [ ][2 sin2] [

][1 sin1])/

Las ecuaciones 40 y 41 definen la respuesta del sistema linealizado por la excitacin del terreno. Si

la excitacin del terreno es aleatoria en la naturaleza, un anlisis de frecuencia de las historias de

tiempo de la respuesta del sistema mostrara usualmente picos prominentes en las frecuencias

naturales del sistema, desde que la amortiguacin provista por los neumticos es usualmente

relativamente pequea. Las frecuencias naturales del sistema son importantes en el diseo de la

suspensin del asiento, desde que la frecuencia natural de la suspensin del asiento debe ser algo

menor que la frecuencia de entrada mayor en la silla si la suspensin es para atenuar la entrada. Para

la vibracin libre ( = = 0), las frecuencias naturales deben ser determinadas ajustando los

rangos de amortiguacin y a cero. Las ecuaciones 40 y 41 entonces se vuelven:

+ 3 + 4 = 0 (42)

+ 7 + 8 = 0 (43)

Asumiendo que una solucin peridica existe para las ecuaciones 42 y 43 de la forma:

= sin (44)

= sin (45)

Sustituyendo las ecuaciones 44 y 45 en las ecuaciones 42 y 43 y simplificando:

(3 2) + 4 = 0 (46)

7 + (8 2) = 0 (47)

Las ecuaciones 46 y 47 no tienen una solucin trivial solo si se determinan los coeficientes de la

matriz formada por estas ecuaciones es cero. As:

(3 2)(8

2) 47 = 0

O

4 (3 + 8)2 + (38 47) = 0

Usando la formula cuadrtica para resolver 2:

2 =(3 + 8) (3 +8)2 4(38 47)

2

Los dos valores de 2 dados en la ecuacin 48 conducen a las dos frecuencias naturales del sistema.

Cada frecuencia natural es asociada con el modo correspondiente de vibracin definido por el radio obtenido de la ecuacin 46 y 47.

=

42 3

=2 8

7

El modo de vibracin puede ser ilustrado asumiendo un valor arbitrario para la amplitud . La

amplitud Z puede entonces ser calculado por la ecuacin 49. Las dos amplitudes pueden entonces

ser combinadas con una escala de dibujo del tractor para indicar el modo de vibracin como se

muestra en la figura 11-8. En la figura 11-8, el modo de vibracin podra ser representado por lo

que se podra describir como una fotografa doblemente expuesta. La lnea solida dibujada en el

tractor representa un extremo de la posicin del modo de vibracin (sin = 1), y la lnea discontinua ilustra el otro extremo (sin = 1).

Figura 11-8. Mtodo de ilustracin de modo forma

Por supuesto, la amplitud del movimiento indica por el modo de la forma del dibujo tal como en la

figura 11-8 que no hay relacin con la amplitud del movimiento que podra resultar si ese modo

fuera excitado experimentalmente o en el campo. Como sea, el modo de la forma del dibujo provee

una vista importante al tipo de movimiento asociado con cada una de las frecuencias naturales del

sistema.

Manejo en estado transitorio y estable.

La figura 11-9 ilustra un modelo simplificado que puede ser usado para describir el manejo

transitorio. Las ruedas en el frente y los ejes traseros han sido reemplazados por una solo rueda

equivalente en cada eje teniendo fuerzas laterales con propiedades equivalentes al total de las ruedas

en el eje.

El modelo tiene dos grados de libertad, la velocidad lateral transicional v, del centro de gravedad y

la orientacin de la velocidad angular r, del tractor con respecto a su centro de gravedad. La

velocidad hacia adelante u, del centro de gravedad se asume constante, mientras que el ngulo de

direccin , de las ruedas frontales se asume como una funcin del tiempo.

Figura 11-9. Diagrama de cuerpo libre para el modelo de manejo transitorio ilustrando los ngulos de deslizamiento

traseros y delanteros.

Se puede considerar que una llanta neumtica desarrolla una fuerza neumtica en cualquier

direccin en la cual la llanta va dirigida difiere de la direccin del plano de la llanta misma. Esta

diferencia en las direcciones, llamado ngulo de deslizamiento de la llanta, es expresada en

trminos de la velocidad de la rueda en el sistema de coordenadas del vehculo. La figura 11-9

ilustra los ngulos de deslizamiento de las ruedas del frente, , y las traseras, . De esa figura:

= tan1(

+

)

= tan1(

)

La fuerza lateral desarrollada por la llanta a una fuerza vertical dada toma la forma mostrada en la

figura 11-10. La fuerza lateral varia linealmente con el ngulo de deslizamiento para ngulos de

deslizamiento pequeos y alcanza un valor mximo asintticamente. La pendiente de la curva en el

origen est en trminos de la rigidez correspondiente . As para pequeos ngulos de deslizamiento, = ; por ejemplo, un ngulo de deslizamiento positivo produce una fuerza lateral negativa. Si la relacin de la fuerza lateral contra el ngulo de deslizamiento no est

dimensionalizada por la divisin de la fuerza lateral por la fuerza normal en la rueda, el radio

resultante, , es termino del coeficiente correspondiente.

Figura 11-10. Relacin funcional fuerza-deslizamiento lateral

La ecuacin de movimiento para el tractor mostrada en la figura 11.9 se puede expresar mas

fcilmente en trminos del sistema coordenado del vehiculo. En dicho sistema, la aceleracin lateral

del centro de gravedad es + . Entonces:

( + ) = + (50)

Dejando que sea el momento de inercia del tractor en el eje vertical (o eje z) a travs de su centro de gravedad,

= () (51)

En situaciones de transporte, los ngulos de giro y desplazamiento sern pequeos, asi que las

ecuaciones anteriores pueden ser linealizadas:

( + ) = (+

) (

)(52)

= (+

) + (

) (53)

Ntese que y representan la rigidez total de las curvas en los ejes delantero y trasero,

respectivamente.

Las ecuaciones 52 y 53 pueden ser integradas una vez para encontrar la velocidad lateral v, y la

velocidad de guiada r, resultante de un rango de tiempo dado del angulo de direccin de la rueda

delantera . Para encontrar la trayectoria del centro de gravedad del tractor en el sistema fijo

espacial X,Y, uno primero debe transformar la velocidad del centro de gravedad del sistema del

vehculo fijo. Ya que el sistema (x,y) del vehculo hace un ngulo con el sistema (X,Y),

=

= +

Integrando las velocidades , y asumiendo r = se puede determinar la localizacin del centro

de gravedad en el sistema de espacio fijo y el ngulo de guiada del tractor como funciones del

tiempo.

Ahora pasemos a realizar el anlisis de una situacin de inflexin en estado estacionario. En la

figura 11-11, el tractor mostrado est viajando en un terreno plano a velocidad de avance constante

u, de manera que el centro de gravedad del tractor est travesando un circulo de radio R. aunque

tanto el ngulo de deslizamiento delantero y trasero son negativos (resultando en fuerzas laterales

positivas), los valores absolutos de los ngulos sern usados en el anlisis geomtrico.

Para la figura 11-11, L/R = +

O tambin se tiene que:

=

+

Pero para la situacin de estado estacionario, = = 0 y = /. Entonces, con pequeo, las

ecuaciones 50 y 51 se convierten en:

( + ) =

2

= + (54)

= 0 = (55)

Para la ecuacin 55, = (

).Sustituyendo en al ecuacin 54 tenemos que:

2

= = (1 +

) =

Entonces:

=

2

=

2

Pero = es una porcin del peso del tractor, , estticamente soportado por el eje

delantero de manera que = (

) (

2

). Similarmente, = (

) (

2

), donde es la porcin de

peso soportada por el eje trasero. Entonces:

= ()(

2

) =

= ()(

2

) =

Figura 11-11. Tractor haciendo un giro en estado-estacionario de radio R a velocidad constante u hacia adelante.

=1

()(

2

)

=1

()(

2

)

Entonces:

=

+

2

(

)(56)

Figura 11-12. a) Diagrama de cuerpo libre de un tractor a punto de volcar lateralmente como resultado de realizar un giro

de estado estacionario. b) plano que contiene el movimiento de vuelco del tractor. c) Vista en planta del tractor

La ecuacin 56 es la ecuacin fundamental que describe el comportamiento de manipulacin de un

vehculo en estado estacionario. El valor L/R se denomina el ngulo de direccin de Ackerman, el

cual es el ngulo de direccin de la rueda delantera requerido para que el vehculo se pueda mover

en un giro de radio R a baja velocidad.

Para velocidades ms altas, el trmino (

) llamado el coeficiente de subviraje, determina el

comportamiento direccional del vehculo. Si dicho trmino es cero, el ngulo de direccin necesario

para generar un giro de radio R es independiente de la velocidad de avance u. dicho vehiculo se

denomina como vehiculo de direccin neutral. Si el coeficiente de subviraje es positivo, el angulo

de direccin de la llanta debe aumentar a medida que se incrementa la velocidad. Esta condicin es

denominada como subviraje y es lo que se desea en la mayora de vehculos de carretera.

Finalmente, si el coeficiente de subviraje es negativo, el angulo de direccin de la rueda debe

decrecer a medida que la velocidad u aumenta. Dicha condicin se conoce como sobreviraje.

Estabilidad lateral en estado estacionario o de equilibrio:

La configuracin geomtrica de los tractores de tres ruedas, combinadas con su habilidad, ayudado

por frenos individuales en las ruedas de manejo, para hacer giros bruscos a velocidades

moderadamente altas, puede resultar en una situacin de potencial volcamiento lateral. La figura

11-12 ilustra un tractor de tres ruedas realizando un giro en estado estacionario, como el analizado

en la seccin anterior.

Asumiendo que las fuerzas laterales de los neumticos son suficientes para generar una aceleracin

asumida, el principio de dAlembert puede ser aplicado si se asume la presencia de una fuerza

2

la cual esta actuando en el centro de gravedad y en direccin opuesta a la aceleracin lateral del

centro de gravedad. El tractor ahora puede ser considerado como estar en un sistema en equilibrio.

Asumiendo que la velocidad de avance u del tractor se incrementa de manera gradual asi como el

centro de gravedad atraviesa el crculo de radio R. Las fuerzas laterales de los neumticos, la

requerida para sostener dicho movimiento tambin aumentaran y crearan un momento alrededor del

centro de gravedad tendiendo a levantar las llantas delanteras y traseras de la parte derecha del

suelo.

Asumiendo que los neumticos derechos delanteros y traseros pierdan contacto con el suelo cuando

la velocidad de avance u, es alcanzada. El tractor se encuentra a punto de volcar sobre un eje que

conecta principalmente los puntos de contacto con el suelo de los neumticos izquierdos traseros y

delanteros. Una relacin analtica para u, puede ser determinada por sumatoria de momentos con

respecto al eje mencionado anteriormente, dicha sumatoria de momentos sobre ese eje produce lo

siguiente:

2

cos = 0

Entonces:

=

cos(57)

Donde g es el valor de aceleracin de la gravedad, es el ngulo generado entre la fuerza asumida

2 y el plano inclinado, que esta dado por tan1 1/. La ecuacin 57 indica que decrece

como se disminuye el radio de la vuelta del brazo de momento A del peso del tractor o como la

altura del centro de gravedad se incrementa k.

Para utilizar la ecuacin 57, se debe determinar una relacin para A por medio de la geometra el

tractor. Tomando el sistema coordenado xyz y asocindolo con un sistema de vectores unitarios i, j

y k como se muestra en la figura 11-12 teniendo su origen en el punto en la superficie del suelo

directamente debajo del centro de la rueda trasera izquierda. Relativo a este sistema coordenado, el

eje inclinado esta definido por el vector unitario 1.

1 = (

) + (

1) (58)

Donde L y 1 localiza el punto directamente debajo del centro de la llanta delantera izquierda donde

las correspondientes fuerzas neumticas se asume que actan y = 2 +12.

El plano que contiene el movimiento del centro de gravedad a medida que gira alrededor del eje de

inflexin interseca el eje de inflexin en el punto D. el vector que va desde el origen del sistema xyz

hasta el punto D es denominado E1. Dado el vector = + localizando el centro

de gravedad del tractor ( = 1 cos 1 , = + sin ), se puede deducir que E puede ser

encontrada hallando la componente de en la direccin l. esto se puede lograr realizando el

producto escalar de los vectores l y .

= =+

(59)

El vector desde el punto D hasta el centro de gravedad de tractor puede ser hallado utilizando la relacin = .

= (

) + (

)

El valor de A es simplemente la componente de en direccin a la superficie del suelo y perpendicular al eje inclinado. Por lo cual

= (

)+ (

)2(60)

La adicin de una carga en el frente a un tractor de tres ruedas puede reducir considerablemente la

estabilidad lateral del mismo en situacin de giro. Si la carga es transportada en el cesto de la

cargadora con el cucharon levantado, el centro de gravedad del tractor combinado probablemente se

levante (incrementando ) y avanzando (disminuyendo A) en comparacin con la localizacin del

centro de gravedad del solo tractor. Por lo cual, el valor de para el cargador que est equipado al tractor puede ser considerablemente menor que el valor mismo para el tractor solo.

Un tractor con un tren delantero pivotante se puede inclinar hacia un lado de cualquiera de los dos

ejes. El movimiento inicial de vuelco se puede suponer que es alrededor de un eje que conecta el

punto en la superficie del suelo directamente debajo del centro de la rueda trasera en el suelo para el

pivote del eje delantero. Todo el tractor, excepto el tren delantero, puede girar alrededor de este eje

hasta que la parte de vuelco de los tractores se detiene en el tren delantero. En este punto, todo el

tractor puede continuar hasta la punta sobre un segundo eje de inflexin. Este eje se supone que

conecta los puntos de contacto con el suelo de los neumticos delanteros y traseros que permanecen

en contacto con el suelo durante el movimiento de vuelco.

ANALISIS ESTATICO TRIDIMENSIONAL

Los anlisis presentados hasta el momento se han limitado a determinados casos bidimensionales de

movimientos tridimensionales ms generales. En esta seccin se ofrece una introduccin al anlisis

tridimensional a travs de la fuerza esttica y anlisis de movimiento en estado estacionario de

tractor de tres ruedas, tanto para la rueda trasera manejada como la rueda delantera conducida,

mostradas en la figura 11-13.

Se asume que el tractor se encuentra en movimiento con velocidad lateral y longitudinal constante

() y con un ngulo de partida con respecto al sistema espacial coordenado XYZ. Notese que = 0 corresponde a la operacin por la pendiente , y con =90 corresponde a la operacin en una pendiente deslizante.

Figura 11-13 Diagrama de cuerpo libre de un tractor tipo triciclo

Para simplificar el anlisis de fuerzas, la localizacin del centro de gravedad y la barra de tiro se

asumen que estn en el plano vertical que contiene la lnea central longitudinal del tractor. Adems,

se supone que las fuerzas normales en los neumticos actan en de los centros de las respectivas

ruedas, y el ngulo de direccin de la rueda delantera se supone pequeo, por lo que la

resistencia a la rodadura y la fuerza lateral que acta sobre la rueda delantera se puede suponer que

actan en las direcciones fijas x y y del vehculo.

El enfoque clsico para solucionar las fuerzas que actan sobre el tractor es iniciando una sumatoria

de fuerzas en las direcciones x, y y z del vehculo.

= 0 = + sin cos cos (61)

= 0 = sin sin (62)

= 0 = cos + sin (63)

Ahora, realizando sumatoria de momentos alrededor de los ejes x-x, y-y y el eje z-z, los cuales estn

mostrados en la figura 11-13 se tiene que:

= 0 = sin sin +

2

2(64)

= 0 = cos + sin cos + sin + cos(65)

= 0 = + sin sin +()

2

()

2(66)

Ahora se tienen seis ecuaciones con 11 fuerzas desconocidas que actan sobre el tractor. Por lo

tanto, para llegar a una solucin es requerido plantear cinco relaciones entre fuerzas. Tres de estas

cinco relaciones vienen de la relacin de la seccin Traccion-prediccion del anlisis dimensional en

el captulo 10 de las fuerzas de arrastre que actan en una llanta.

=1,2

+ 0,004 = , , (67) (68) (69)

Ahora asumamos que el tractor se encuentra equipado con un diferencial que entrega el mismo

torque para cada llanta trasera. Con el uso de la mecnica de traccin de las ecuaciones de

rendimiento seccin de traccin en el captulo 10, esta restriccin es equivalente a suponer que las

fuerzas brutas de traccin en las ruedas traseras son iguales.

= (70)

La relacin final proviene que las ruedas traseras operan con el mismo ngulo de deslizamiento, el

coeficiente de curvatura (la relacin entre la fuerza lateral y la fuerza normal) es la misma para ambas ruedas traseras, por lo tanto:

=(71)

Con las 11 ecuaciones relacionando las 11 fuerzas desconocidas, ahora se puede encontrar una

nica solucin. En una situacin mas general, las correspondientes ecuaciones pueden ser no

lineales y requieren simultneamente una solucin iterativa, utilizando algn mtodo numrico. De

todas maneras, bajo los asumidos hechos previamente, es posible solucionar el conjunto de

ecuaciones de manera analtica.

Para la ecuacin 65

= ( cos sin cos sin cos)/

La relacion es anloga a la ecuacin 17

Para las ecuaciones 63 y 64:

+ = cos + sin (72)

= (2

) sin cos(73)

Sumando las ecuaciones 72 y 73 y posteriormente restando La ecuacin 73 de la 72, tenemos que:

= cos + sin

2+ sin sin

= cos + sin

2 sin sin

Tenga en cuenta el descenso (derecho para positivo) de la rueda lleva una fuerza normal mayor

que la de cuesta arriba (izquierda) de la rueda.

Con , determinados, las ecuaciones 67, 68 y 69 permiten que , puedan

ser calculados. Entonces para las ecuaciones 61 y 70,

+ = 2 = 2 = sin cos + + + + cos(74)

Para la ecuacin 66

=( sin sin

()

2+

()

2)

(75)

Para las ecuaciones 62 y 71

+ = sin sin

= (

)

= sin sin

1+

(76)

Con las fuerzas determinadas, ahora se procede a encontrar los componentes de las velocidades y . El torque requerido en el motor es

=( + )

Para encontrar la relacin torque-velocidad del motor, la velocidad de motor requerida puede ser determinada. La correspondiente velocidad promedio de la llanta trasera , es entonces:

==

+2

(77)

Donde esta ltima relacin expresa la restriccin impuesta por el diferencial de velocidad en las

ruedas.

El deslizamiento requerido de cada rueda trasera para desarrollar la fuerza de traccin bruta

requerida se puede determinar mediante una generalizacin de la ecuacin 25

= [ln (1

)]

0,3

= [ln (1

)]

0,3

Generalizando la ecuacin 26 y aplicando a ambas ruedas traseras, tenemos que:

= (1 ) = (1 )

Utilizando la ecuacin 77

=1 (1 )

= 2

Solucionando para

=2

1 +1 (1 )

Entonces

= (1 )

Determinando el coeficiente de curvatura requerido =

=

y conociendo la relacion para

como funcin del angulo de deslizamiento, el angulo de deslizamiento para las llantas traseras

puede ser determinado. Desde la ecuacin = tan1 (

), v puede ser determinado para

completar el anlisis de velocidades.

Una rueda motriz o frenada, operando cerca de su lmite de traccin, se ve limitada por la cantidad

de fuerza lateral que se puede desarrollar. A menudo se utiliza un mtodo para expresar dicha

limitacin, el cual se denomina concepto elipse de friccin, que se ilustra en la figura 11-14.

Supongamos que la rueda est operando en el punto A en su coeficiente de traccin, frente a

relacin de deslizamiento (figura 11-14a). Este punto de funcionamiento corresponde a los puntos B

y C en la elipse de la figura 11-14b. A su vez, el coeficiente de curvas, es limitado, como se muestra

por las flechas de la figura 11-14c. Por lo tanto, la rueda puede operar en cualquier punto dentro de

la elipse (figura 11-14d). Cuando en la misma elipse, la rueda est usando toda la capacidad de

generacin de fuerza disponible de la superficie sobre la que est operando. Si el anlisis indica

fuerza de operacin en un punto fuera de la elipse, la rueda se ha excedido la capacidad de la

superficie para generar las fuerzas necesarias y una spinout (u=0), rueda bloqueada ( = 0), o existir condicin de deslizamiento.

Figura 11-14. El concepto elipse friccin. a) Relacin de traccin coeficiente-deslizamiento, b) la elipse friccin, c)

relacin ngulo curvas coeficiente de deslizamiento, y d) las fuerzas de traccin y laterales en la rueda

Volviendo al anlisis y suponiendo que la capacidad de fuerza lateral de los neumticos traseros no

se ha sobrepasado, el coeficiente de curvas requerido de la rueda delantera es = /.

Invirtiendo la relacin de ngulo del coeficiente de curva de deslizamiento para la rueda delantera

da el ngulo de deslizamiento requerido . Desde = tan1 (

) , el ngulo de direccin

de la rueda delantera se puede determinar, lo cual completa el anlisis.

Figura 11-15. Determinacin de la ubicacin longitudinal del centro de gravedad utilizando el mtodo del peso.

La presencia de la velocidad v lateral indica que el tractor se mueve hacia adelante a lo largo de una

direccin que no es paralela a su propio eje longitudinal. Esta situacin es ms evidente cuando un

tractor trabaja en una pendiente lateral sustancial tal como se ilustra en la figura 11-13. En tal

situacin, el tractor puede operar en un ngulo de partida de tal manera que el eje trasero est

funcionando ms abajo en la pendiente que el eje delantero con las ruedas delantera dirigida por la

pendiente slo con el fin de desarrollar las fuerzas laterales para ser capaz de mover paralelo a la

pendiente. Si el tractor tambin est operando bajo una carga de traccin, el concepto elipse friccin

explica por qu puede ser difcil mantener un rumbo deseado. En tal caso, las ruedas traseras

pueden no ser capaces de desarrollar las fuerzas laterales requeridos para mantener el tractor en el

curso deseado, lo que resulta en el eje trasero del tractor se desliza por la pendiente.

Determinacin del centro de gravedad

En los anlisis anteriores, se supone que la ubicacin del centro de gravedad del tractor debe ser

conocido. Como la mayora de los tractores estn compuestos de muchas partes comparativamente

de forma irregular, es difcil encontrar analticamente el centro de gravedad de un tractor todava en

la etapa de diseo. Sin embargo, existen varios mtodos para determinar experimentalmente la

posicin del centro de gravedad de un tractor montado. Los lugares determinados

experimentalmente son entonces a menudo usados en la estimacin de la posicin del centro de

gravedad en un nuevo diseo del tractor.

Slo el mtodo del peso para hallar el centro de gravedad se discutir en esta seccin. Varios otros

mtodos se discuten en las lecturas sugeridas al final del captulo.

Dado el peso tractor Wt y distancia entre ejes, = 1 cos1 +2 cos 2 la ubicacin longitudinal, = = 1 cos1 del centro de gravedad se puede encontrar colocando el eje

delantero del tractor en una escala como en Figura 14.12 para determinar la fuerza Rf. Entonces,

=

(78)

Figura 11-16. Determinacin de la ubicacin vertical del centro de gravedad usando el mtodo del peso.

Como comprobacin, el Rr de reaccin puede ser encontrado y la distancia L l determinado.

Como la mayora de los tractores son aproximadamente simtricos con respecto al plano vertical

perpendicular a los ejes y que pasa a medio camino entre las ruedas, la ubicacin lateral del centro

de gravedad ser normalmente bastante cerca de este plano. Teniendo en cuenta el ajuste de la

banda de rodadura de la rueda, la ubicacin lateral se puede encontrar mediante el pesaje uno de los

lados del tractor. Pesar el otro lado puede servir como una validacin.

Las mediciones necesarias para encontrar la ubicacin longitudinal y lateral del centro de gravedad

son sencillos. Sin embargo, la determinacin de la altura, = 1 sin 1, es considerablemente ms difcil. Una vez ms el mtodo de peso puede ser utilizado ya sea con la elevacin del eje delantero

o trasero. Figura 11.16 ilustra la geometra involucrada en la siguiente derivacin.

Sumando momentos con respecto al eje trasero,

=

(78)

Pero de la geometra de la figura 11-16,

= cos sin

Entonces

Pero

Sustituyendo la ecuacin 80 en la ecuacin 79, dividiendo por cos , y resolviendo para h,

=

tan

(81)

El ngulo es la nica cantidad en la Ecuacin 81 que no se puede medir directamente. Entretanto

= 1 + 2, donde:

1 =

,

2 =

Para eliminar la necesidad de medicin de para su uso en el clculo de 1

= 2 + 2 ( )^2

Dos supuestos realizados implcitamente en el anlisis anterior debe sealarse: (1) los neumticos se

suponen rgidos y (2) los cambios de lquidos que ocurre en el combustible, en el refrigerante, y los

compartimentos de aceite cuando el tractor est inclinado son ignorados. Para la medicin precisa

de h, las ruedas delanteras deben ser elevados por una cantidad suficiente para obtener una

diferencia significativa entre las reacciones de Rf y R'f.

El informe del ensayo Nebraska para un tractor contiene la posicin del centro de gravedad del

tractor sin lastrar, con depsito de combustible lleno y reparado para la operacin

Determinacin del momento de inercia.

En los anlisis anteriores, se supuso que los momentos de inercia del chasis, ruedas traseras, y el

tractor completa a ser conocida alrededor de ejes transversales que pasan por el centro de gravedad

de cada uno de estos cuerpos. Como fue el caso para la posicin del centro de gravedad, las partes

muchos y, a menudo de forma irregular que componen un tractor hacen que sea difcil calcular

analticamente los momentos de inercia de un tractor sobre el longitudinal, transversal, o ejes

verticales que pasan a travs de su centro de gravedad.

Figura 11-16. Determinacin cabeceo del momento de de inercia utilizando el mtodo del pndulo.

Los momentos de inercia en torno a la direccin transversal (cabeceo) y longitudinal (rodillo) Los

ejes pasa por el centro de gravedad del tractor se puede medir usando la configuracin en la figura

11.16. El tractor ms el cabestro de apoyo forman un pndulo compuesto que oscilar con un

periodo T dada por:

(82)

I0= Momento de inercia del tractor, ms honda alrededor del pivote O

W= peso del tractor ms honda

R0=la distancia entre el pivote O y el centro de gravedad del tractor, ms honda

Las mediciones de la distancia Ro y el perodo de oscilacin permiten el clculo de Io.

A menudo, el peso y el momento de inercia de la sling se pueden despreciar con respecto a las

cantidades correspondientes para el tractor. Si es as, el momento de inercia del tractor alrededor de

su centro de gravedad, It, se puede calcular usando el teorema de eje paralelo:

(83)

Para la medicin precisa de It, la distancia Ro debe hacerse tan pequea como sea prctico.

El momento polar de inercia se puede medir usando un pndulo trifilar o cuadrifilar. Para una

medicin de este tipo, el tractor est soportado ya sea directamente o en una plataforma por tres o

cuatro cables verticales. Al conocer la longitud de los cables y midiendo el periodo de pequeas

oscilaciones del tractor sobre el vertical, el momento de guiada de inercia se puede calcular.

Mediante la medicin de los momentos de inercia con el tractor inclinada en vez de nivel, es posible

calcular los productos de inercia. En muchos casos, el tractor ser casi simtrica con respecto al

plano xz. En tal caso, el nico producto no nulo de inercia ser la asociada a los ejes X y Z.

Identificacin ecuaciones diferenciales

Las primeras 4 ecuaciones muestran las ecuaciones diferenciales de movimiento que rigen los tres

grados de libertad que las ruedas traseras poseen para movimiento plano general. Mientras que las

posteriores 3 son las del chasis (11.5-11.7), esta restriccin que las ruedas traseras estn unidas al

chasis implica que los correspondientes seis grados de libertad no son independientes

La ecuacin 7 es:

Una ecuacin diferencial de segundo orden

Es Homognea.

Es Lineal.

Para solucionar una ecuacin diferencial de segundo orden lineal homognea.

Se tiene la ecuacin general:

Si probamos con la solucin de la forma entonces la ecuacin /1) se transforma en:

Como nunca es cero cuando x tiene valor real, la nica forma en que la funcin exponencial

satisface la ecuacin diferencial es eligiendo una m tal que sea una raz de la ecuacin cuadrtica:

Esta ecuacin se llama ecuacin auxiliar o ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial.

Pueden haber tres casos: las soluciones de la ecuacin ecuacin auxiliar que corresponden a races

reales distintas, races reales e iguales y races complejas conjugadas.

Caso 1. Raices reales distintas Si la ecuacin (2) tiene dos races reales distintas, m1 y m2,

llegando a dos soluciones . Estas funciones son linealmente independientes, y

forman un conjunto fundamental. Entonces la solucin general de la ecuacin en ese intervalo es:

Caso 2. Races reales e iguales. Cuando m1=m2 necesariamente solo hay una solucin

exponencial. Segn la formula cuadrtica m1=-b/2a porque la nica forma de que m1=m2 es que

2 4 = 0 asi una segunda solucin seria

Caso 3 Races complejas conjugadas.

Sin embargo en la prctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales

complejas. Se puede usar la frmula de Euler.

Las soluciones que forman un conjunto fundamental en todos los reales por lo tanto la solucin

general es:

Mientras que la ecuacin 12 representa al lado derecho de la ecuacin la suma de momentos con

respecto al centro de gravedad del tractor, junto con la ecuacin 11 gobiernan la traslacin vertical y

la rotacin del tractor

La ecuacin 12 es:

Una ecuacin diferencial de segundo orden

No es Homognea.

Es Lineal.

Para solucionar una ecuacin diferencial de segundo orden lineal no homognea, puesto que tiene

una funcin que depende del tiempo como , hay varias formas de solucionar una ecuacin

diferencial de estas, uno de los mtodos es de coeficientes indeterminados pero tambin esta el

mtodo de la superposicion:

Se propone una solucin de la forma:

Con coeficientes indeterminados Aj, y hacemos corresponder las potencias de t en en

. Este procedimiento implica resolver m+1 ecuaciones lineales con m+1 incognitas A0, A1, A2,

Am, con la posibilidad de que tengan solucin, debemos mantener todas las potencias de la solucin

de prueba, aunque no estn presentes en la no homogeneidad f(t)

Ms en general para una ecuacin de la forma:

Que es la forma de la ecuacin diferencial 12 del texto, el mtodo de coeficientes indeterminados

sugiere intentar:

Y resolver en trminos de las incgnitas A y B

Bibliografa Naggle, S. (2005). Ecuaciones diferenciales y valores en la frontera. Ciudad de Mexico: Pearson.

Zill, D. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado. Mexico: Thomson

internacional.