trabajos de metodos numericos
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ejercicios de metodos numericos metodos numericos aplicado a ingieneria y ramas afinesTRANSCRIPT
TRABAJO N1
1. CALCULAR
a) Con 6 decimales.
b) Utilizando la regla del trapecio: h = 1/2
c) Resolviendo con la regla de Simpson: h 0, h = 1/4
d) Encontrar la relacin entre X n + 1, X n al aplicar el mtodo de Newton a la ecuacin f(x) = 0 Qu frmula se obtienen al hacer f(x) = x2 - c?
SOLUCIN
a) Con 6 decimales.
Redondeando a 6 decimales:
a) b) Utilizando la regla del trapecio: h = 1/2
Regla del trapecio:
Aplicamos la regla del trapecio:
Reemplazando:
Redondeando a 6 decimales:
c) Resolviendo con la regla de Simpson: h 0, h = 1/4
Regla del Simpson:
Aplicamos la regla del Simpson:
Reemplazando:
Redondeando a 6 decimales:
TRABAJO N21. CALCULAR
Obtenga una aproximacin a las races complejas de la siguiente ecuacin algebraica con dos cifras decimales exactos, aplicando el mtodo de LIN (mtodos de los factores cuadrticos), con una tolerancia de 0,01 en los valores de p y q.
SOLUCIN
a) Sea la ecuacin P(x) = 0, donde P(x) tiene la forma:
Se obtiene un factor cuadrtico de la forma:
Con lo cual la ecuacin anterior resulta:
Donde: Rx + S es el residuo
Multiplicando la ecuacin anterior:
Tomamos como valores: p* = - 0.5 y q* = 0.67
Tomamos como valores: p* = - 0.53 y q* = 0.79
Tomamos como valores: p* = - 0.53 y q* = 0.81
a) b) c) Reemplazando los valores en:
Resulta:
Como el residuo es muy pequeo se puede despreciar:
Resolviendo mediante la frmula de segundo grado:
TRABAJO N3
1. CALCULAR
En estudios sobre polimerizacin inducida por radiacin, se us una fuente de rayos gamma para obtener dosis medidas de radiacin. No obstante, la dosificacin vara con la posicin en el aparato, donde se registraron las siguientes cifras:
POSICIN AL
PUNTO BASE00.51.01.52.03.03.54.0
(pulgadas)
DOSIFICACIN
(105 rads/h)1.902.392.732.983.203.202.982.74
Por alguna razn, no se inform la lectura en 2.5 pulg, pero se requiere el valor de la radiacin ah. Ajuste polinomios de interpolacin de varios grados a los datos para obtener la informacin faltante. Cul considera que es la mejor estimacin para el nivel de dosificacin a 2.5 pulgadas? SOLUCIN
a) Lo ordenamos en una funcin tabular y mediante el mtodo de Neville calcularemos el valor de f(x) correspondiente para x = 2.5 pulg.
ixf (x)
001.90 = Q0.0
10.52.39 = Q1.0
21.02.71 = Q2.0
31.52.98 = Q3.0
42.03.20 = Q4.0
53.03.20 = Q5.0
63.52.98 = Q6.0
74.02.74 = Q7.0
b) Ahora utilizando el algoritmo:
Hacemos: i = 1, j = 1
Hacemos: i = 2, j = 1
Hacemos: i = 3, j = 1
Hacemos: i = 4, j = 1
Hacemos: i = 5, j = 1
Hacemos: i = 6, j = 1
Hacemos: i = 7, j = 1
Hacemos: i = 2, j = 2
Hacemos: i = 3, j = 2
Hacemos: i = 4, j = 2
Hacemos: i = 5, j = 2
Hacemos: i = 6, j = 2
Hacemos: i = 7, j = 2
Hacemos: i = 3, j = 3
Hacemos: i = 4, j = 3
Hacemos: i = 5, j = 3
Hacemos: i = 6, j = 3
Hacemos: i = 7, j = 3
Hacemos: i = 4, j = 4
Hacemos: i = 5, j = 4
Hacemos: i = 6, j = 4
Hacemos: i = 7, j = 4
Hacemos: i = 5, j = 5
Hacemos: i = 6, j = 5
Hacemos: i = 7, j = 5
Hacemos: i = 6, j = 6
Hacemos: i = 7, j = 6
Hacemos: i = 7, j = 7
TRABAJO N4
1. CALCULAR
En un experimento se obtuvo 7 puntos como informacin en donde se da los valores:
T-1-0,96-0,86-0,790,220,50,936
Y-1-0,1510,8940,9860,8960,985-0,306
a) Trace los puntos y luego interpole con la curva suave.
b) Trace el polinomio de 6 grado que interpole esos puntos.
SOLUCIN
a) Trace los puntos y luego interpole con la curva suave.
b) Trace el polinomio de 6 grado que interpole esos puntos.
POR DIFERENCIA DIVIDIDAS
Primera diferencia
Segunda diferencia
_ _
_ _ _
_ _ _
TERCERA DIFERENCIA
CUARTA DIFERENCIA
QUINTA DIFERENCIA
SEXTA DIFERENCIA
CALCULANDO EL POLINOMIO DE SEXTO GRADO
Redondeando a 3 decimales
P(X) = -1.01x6 + 13.48x5 1.039x4 18.062x3 + 1.807x2 + 5.193x 0.146
TRABAJO N5
1. CALCULAR
En la tabla siguiente, X es la distancia en metros que recorre una bala a lo largo de un can en t segundos. Encuentre la velocidad de la bala en t = 2 segundos y en t = 1.2 segundos:
X012345
t00.03590.04930.05960.07000.0786
SOLUCIN
a) Ajustando a un polinomio lineal de la forma:
Para lo cual:
Expresando con la forma matricial para un polinomio lineal:
Reemplazando:
Resolviendo la matriz:
El polinomio lineal que se ajusta a los datos:
Redondeando:
b) Calculando para t = 2 segundos.
c) Calculando para t = 1.2 segundos.
TRABAJO N6
1. CALCULAR
En la siguiente tabla se presentan los alargamientos de un resorte correspondientes a fuerzas de diferentes magnitudes que la deforman:
Fuerza (kg-f) X02367
Longitud del resorte (m) Y0.1200.1530.1700.2250.260
Determine por mnimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado que represente la funcin dada.
SOLUCIN
a) Hallar por mnimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado.
Ajustando al modelo:
Se aplica la siguiente ecuacin:
Para lo cual:
Reemplazando en la ecuacin:
La ecuacin de regresin de ajuste queda como:
TRABAJO N7
1. CALCULAR
En la tabla siguiente se muestran los pesos X1 con aproximacin de libras, alturas X2 con aproximacin de pulgadas y edades X3 con aproximacin de aos de 12 muchachos:
Peso(x1)6471536755 587757 56 517668
Peso(x2)575949625150554852426157
Peso(x3)81061187109106129
a) Halle la ecuacin de regresin de mnimos cuadrados de X1 sobre X2 y X3.
b) Determine los valores estimados de X1 de los valores de X2 y X3.
c) Estimar el peso de un muchacho de 9 aos y 54 pulgadas de alto.
SOLUCIN
a) Halle la ecuacin de regresin de mnimos cuadrados de X1 sobre X2 y X3.
Se realiza un cambio de variable.
X1 = Y
X2 = X1
X3 = X2
Ajustando al modelo:
Se aplica la siguiente ecuacin:
Para lo cual:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 157 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57 8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 157 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57 8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 157 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57 8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9
Reemplazando en la ecuacin:
La ecuacin de regresin de ajuste queda como:
b) Determine los valores estimados de X1 de los valores de X2 y X3.
1. Si: X2 = 57 y X3 = 8 X1 = 64.41464032
2. Si: X2 = 59 y X3 = 10 X1 = 69.13652482
3. Si: X2 = 49 y X3 = 6 X1 = 54.56509625
4. Si: X2 = 62 y X3 = 11 X1 = 73.20668693
5. Si: X2 = 51 y X3 = 8 X1 = 59.28698075
6. Si: X2 = 50 y X3 = 7 X1 = 56.92603850
7. Si: X2 = 55 y X3 = 10 X1 = 65.71808511
8. Si: X2 = 48 y X3 = 9 X1 = 58.22948328
9. Si: X2 = 52 y X3 = 10 X1 = 63.15425532
10. Si: X2 = 42 y X3 = 6 X1 = 48.58282675
11. Si: X2 = 61 y X3 = 12 X1 = 73.85840932
12. Si: X2 = 57 y X3 = 9 X1 = 65.92097264
c) Estimar el peso de un muchacho de 9 aos y 54 pulgadas de alto.
Utilizando la ecuacin de regresin:
Si: X2 = 54 y X3 = 9 X1 = 63.35714286
TRABAJO N8
1. CALCULAR
Un investigador reporta los datos tabulares que se indica a continuacin para explicar la tasa de crecimiento de un tipo de bacteria como funcin de concentracin de oxgeno dado en mg/L. estos datos se pueden modelar mediante:
Una transformacin para hacer lineal esta ecuacin, luego calcule C = 2 mg/L.
C6471536755
K5759496251
SOLUCIN
a) Ajustar a una ecuacin lineal.
Se tiene:
b) Clculo de a y b por mnimos cuadrados.
Haciendo cambio de variable:
Ajustando al modelo:
Se aplica la siguiente ecuacin:
Para lo cual:
Reemplazando en la ecuacin:
La ecuacin de regresin de ajuste queda como:
c) Calculando K.
Reemplazando en la ecuacin:
Dato:
El valor de K es:
TRABAJO N9
1. CALCULAR
En una tubera circular de 20 cm de dimetro se midi la velocidad del aire con un tubo de Pilot, y se encontr la siguiente informacin:
V (cm/s)600550450312240
r (cm)03578
Donde r es la distancia en cm medido a partir del centro del tubo.
a) Obtenga la curva v = f (r) que aproxime a estos datos experimentales mediante una curva adecuada de regresin, para lo cual obtenga el ndice de correlacin.
b) Calcule la velocidad en el punto r = 7.5 cm.
SOLUCIN
a) Obtenga la curva v = f (r) que aproxime a estos datos experimentales mediante una curva adecuada de regresin, para lo cual obtenga el ndice de correlacin.
A partir de los datos obtenemos los siguientes resultados:
Calculando el ndice de correlacin (r)
b) Calcule la velocidad en el punto r = 7.5 cm.
Ajustando al modelo:
Se aplica la siguiente ecuacin:
Para lo cual:
Reemplazando en la ecuacin:
La ecuacin de regresin de ajuste queda como:
Calculando para r = 7.5 cm.
TRABAJO N10
1. CALCULAR
Evaluar la integral siguiente:
a) Frmula analtica.
b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio.
c) Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio.
d) Con la aplicacin de la regla de Simpson.
SOLUCIN
a) Frmula analtica.
b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio.
Regla del trapecio:
Aplicamos la regla del trapecio:
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
00919
1/2616
Ki f (Xi)15
Reemplazando:
c) Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio: k = 3
Considerando un trapecio
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
00919
1/2616
Ki f (Xi)15
Considerando dos trapecios
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
00919
1/48.1213216.2426
2/2616
Ki f (Xi)31.2426
Considerando cuatro trapecios
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
00919
1/88.7716217.5432
2/48.1213216.2426
3/87.1481214.2962
4/2616
Ki f (Xi)63.082
Considerando ocho trapecios
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
00919
1/168.9424217.8848
2/88.7716217.5432
3/168.4944216.9888
4/48.1213216.2426
5/167.6667215.3334
6/87.1481214.2962
7/166.5853213.1706
8/2616
Ki f (Xi)126.4596
Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuacin:
Luego se construye la siguiente tabla:
KAproximacionestrapezoidalesPrimeraExtrapolacinSegundaExtrapolacinTerceraExtrapolacin
0
1
2
3
d) Con la aplicacin de la regla de Simpson.
Regla del Simpson:
Aplicamos la regla del Simpson:
iXif(Xi)KiKi f(Xi)
00919
1/48.1213432.4852
2/2616
Ki f(Xi)47.4852
Reemplazando:
TRABAJO N11
1. CALCULAR
Evaluar la integral siguiente:
a) Frmula analtica.
b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio.
c) Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio.
d) Con la aplicacin de la regla de Simpson.
SOLUCIN
a) Frmula analtica.
b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio.
Regla del trapecio:
Aplicamos la regla del trapecio:
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
0- 299199
1- 23071- 2307
Ki f (Xi)- 2208
Reemplazando:
c) Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio: k = 3
Considerando un trapecio
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
0- 299199
1- 23071- 2307
Ki f (Xi)- 2208
Considerando dos trapecios
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
0-299199
11-62-12
2-23071-2307
Ki f (Xi)-2220
Considerando cuatro trapecios
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
0-299199
1-0.52.062524.125
2-62-12
32.5-259.31252-518.625
4-23071-2307
Ki f (Xi)-2734.5
Considerando ocho trapecios
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
0-299199
1-1.2516.1660232.3320
2-0.52.062524.125
30.685521.371
4-62-12
5-55.01372-110.0274
6-259.31252-518.625
7-864.74472-1729.4894
8-23071-2307
Ki f (Xi)-4540.3138
Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuacin:
Luego se construye la siguiente tabla:
KAproximacionestrapezoidalesPrimeraExtrapolacinSegundaExtrapolacinTerceraExtrapolacin
0
1
2
3
d) Con la aplicacin de la regla de Simpson.
Regla del Simpson:
Aplicamos la regla del Simpson:
iXif(Xi)KiKi f (Xi)
0-299199
1-0.52.062548.25
2-62-12
32.5-259.31254-1037.25
4-23071-2307
Ki f (Xi)-3249
Reemplazando: