INSTITUTO SUPERIOR DEL PROFESORADO DE SALTA Nº 6005MATERIA: HISTORIA DE LA MATEMÁTICAALUMNAS: CLAUDIA ALVARADO - MARCELA RÍOSPROFESOR: ISMAEL CASTAÑARESTEMA: MATEMÁTICA CHINA

LAS MATEMÁTICAS EN CHINA

PRESENTACIÓN HISTÓRICA

 La primera dinastía fue los Xía y posteriormente los Shang que ostentaron el poder durante el periodo comprendido entre el 2100 a.C. y el 1040 a.C. De estas primeras dinastías proceden los ritos oraculares con huesos de los cuales parece provenir la escritura China. Es también un periodo de grandes obras públicas y se comienza la edad de los metales. La primera dinastía que unío gran parte del territorio que hoy conocemos como China fue los Zhou , de carácter feudal , que reinaron primero bajo el mandato occidental (1.040 a.C. - 771 a.C.) y luego bajo el mandato oriental (722 a.C. - 221 a.C.). De los primeros podemos destacar la unificación del estado Chino, como comentábamos anteriormente, así como la difusión de la cultura China por todo el territorio. De los segundos podemos decir que fue un periodo de desunión y conflictos en el terreno político y de creación de multitud de corrientes filosóficas, entre ellas la que marcaría toda la sociedad moderna China, el confucionismo. Bajo su dominio aparecen los dos grandes pensadores chinos: Lao Tse, que funda un sistema filosófico y religioso llamado taoísmo, y Confucio, creador de un sistema moral que llegó a ser la religión del estado. En el año 265 a.C. llega al poder la familia Qín. Su emperador más importante es Tcheng, quien acaba con el feudalismo, manda quemar los libros de Confucio y termina la Gran Muralla. Con el asesinato del hijo de Tcheng acaba la dinastía Qín y toma el poder la dinastía Han, que se mantiene unos cuatrocientos años, y durante la cual entra el budismo en China. Los estudiosos se dedicaron a transcribir textos literarios y a buscar manuscritos que se hubieran salvado de la destrucción. De entonces procede la obra de “Nueve capítulos sobre las artes matemáticas”, que

es para la matemática china tan relevante como los elementos en la matemática occidental, y, lo que es quizás más importante, el invento del papel. Revoluciones campesinas y luchas religiosas debilitan la dinastía, que es derrocada en el año 220 a.C. y comienza un periodo de ruptura. La dinastía Sui reunifica el país en el siglo VI y realiza grandes obras hidráulicas, pero es de corta duración. Es sustituida por la dinastía Tang, durante la cual China se abre a influencias extranjeras y conoce una época de esplendor cultural. En el siglo X se inicia la dinastía Sung, la más larga de la historia China, y durante la cual culminaMuchos desarrollos iniciados anteriormente. 

SISTEMA DE NUMERACIÓN

CHINA FUE EL PRIMER PAIS EN USAR EL SISTEMA DECIMAL

 China usa el sistema decimal desde que empezó a tener escritura. Tanto en las inscripciones sobre caparazones de tortuga o huesos de animales de la dinastía Shang (unos 1766-1045 a. C) como en las inscripciones de bronce de la dinastía Zhou del Oeste, su usaban indistintamente caracteres simples para representar el sistema decimal: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, cien, mil, diez mil y expresar las cifras menores de cien mil, lo que es fundamentalmente idéntico al sistema decimal de nuestra época. Esto muestra que China fue el primer país en usar el sistema decimal.

Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura

        

零= 0

Usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. 

LOS REGISTROS MÁS ANTIGUOS DEL USO DEL “0”

Al igual que en otros países, China, en un principio, usó el método de dejar un espacio en blanco para expresar el “0”.

Características

Sistema Es un sistema aditivo y multiplicativo

Base 10

Cero No necesita cero

Ventajas Puede complicar un poco el cálculo pero ya se podía empezar a calcular como lo hacemos. Sin embargo utilizaban ábacos y, de hecho, todavía los usan actualmente.

No es necesario aprender muchos símbolos

Inconvenientes Los números pueden quedar muy largos lo que puede dificultar la lectura

No se amplía automáticamente. Es necesario inventar nuevos signos

Pero hasta alrededor del año 1240 durante la dinastía Song del Sur, el matemático Li Ye de Hebei, en el norte, y el matemático Qin Jiushao de Zhejiang, en el sur, usaron casi simultáneamente “0” en sus obras, pese a la enorme distancia geográfica que los separaba. Desde entonces, se inició el uso del “0” para reemplazar el espacio en blanco.

NUMERACIÓN CHINA DE BARRAS

En el tema de numerales a base de barras o varillas los dígitos del 1 al 9 se representaban por medio de unas varas dispuestas horizontalmente y los nueve primeros múltiplos de 10 utilizando esos símbolos alternando las posiciones de derecha a izquierda. Se pueden representar números tan grandes como se desee. En ocasiones las varillas o palos horizontales aparecen intercambiadas.La época exacta en la que aparecieron los numerales a base de varillas no se ha podido determinar, pero es seguro que ya se usaban varios siglos antes de nuestra era, mucho antes de que se adoptara el sistema de notación posicional en la India.

Símbolos

Cifra 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Lugar impar

Lugar par

China - 200 a.C.

2 5 6 9 11

58 63 229

377 899

981 3 453

6 845  8 703

9 520

NÚMEROS ROJOS 赤字

Los números rojos  赤字 (En chino y japonés); son todas expresiones con el color rojo en común y

que se refieren todas ellas a un mismo concepto: el déficit presupuestario.

Es curioso, ¿Por qué es común a casi todas las culturas del mundo asociar el color rojo a números

negativos y el negro a positivos? ¿Por qué rojo y no otro color?

En el libro llamado “Los nueve capítulos del arte matemático”, fue el primer libro de la historia

en el que se hacía una explicación consistente del uso de números negativos.

Se explicaba un sistema para operar con números negativos en el que la representación de

los números positivos se hacía usando tinta de color rojo y la de los negativos usando tinta de color

negro, al revés de los estándares actuales.

Número negativos en negro y números positivos en rojo.

¿Por qué el negro paso a ser positivo y el rojo a negativo?

Aunque en algunos contextos, al menos en Japón, se sigue usando el rojo para indicar algo positivo

como por ejemplo en las gráficas de candlesticks de las bolsas japonesas donde las barras rojas indican

que la sesión terminó con ganancias (En el resto de sistemas bursátiles) es al revés..

En Asia ya manejaban números negativos desde hace 2000 años, en cambio en occidente recién

llego con Descartes, con sus coordenadas cartesianas en el S.XVII.

OPERACIONES ARITMÉTICAS CON LAS VARILLAS DE CONTAR

Las cuatro operaciones aritméticas básicas se usaron en China desde épocas muy tempranas,

aunque es de suponer que se inventaran primero la suma y la resta.

SUMA:

Ejemplo: 456+789

Para sumar se representan los números con las varillas en filas y se va sumando de izquierda a

derecha, en este caso se empieza por las centenas, añadir 7 a 4, luego se suman las decenas y

después las unidades, recolocando el resultado en cada paso.

RESTA:

ejemplo: 1245-789

La resta es similar a la suma, se colocan los dos números y se empieza restando de izquierda a

derecha, en este caso comenzamos restando 7 de las centenas, (2 - 7 no se puede restar,

entonces convertimos una unidad de mil en diez centenas y sustraemos 12-7) y luego hacemos lo

mismo con las decenas y las unidades, recolocando el resultado en cada paso.

La multiplicación y la división están asociadas a la “Rima de los nueve nueves”, que todos los

chinos conocen: Un uno es uno, un dos es dos, un tres es tres,. . . , un nueve es nueve. Dos dos

son cuatro, dos tres son seis,. . . ”

Como vemos, son las tablas de multiplicar, aunque parece ser que en el pasado esta rima era un

poco diferente, se cree que fue adoptada a lo largo de toda China no mucho después de la época

de Primavera y Otoño o de los Estados combatientes y empezaba con “nueve nueves son ochenta

y uno” y acababa con “dos dos son cuatro”. Y por empezar así, se le dio el nombre de “Rima de los

nueve nueves”. Se han encontrado tiras de bambú de la época de la dinastía Hán en la que

aparece la rima de esta manera, es en el siglo XIII ´o XIV d.C., durante la dinastía Sóng, cuando el

orden de la rima se invierte y queda como hoy en día, empezando por la tabla del uno y acabando

por la del nueve.

MULTIPLICACIÓN:

Ejemplo: 234 · 4567

Tenemos los dos números colocados como en el diagrama (1). La fila superior es el multiplicador, la inferior es el multiplicando. Para multiplicar se pone un número encima del otro, de tal manera que la cifra de mayor valor del número superior coincida con la de menor valor del inferior, dejando una fila en blanco en medio de los dos, que será en la que obtengamos el producto. Seguidamente se multiplica la cifra de mayor valor del número de arriba, el 2, por cada uno de los dígitos de la fila

de abajo, 4, 5 y 6, de izquierda a derecha, sumando el resultado en la fila del medio después de cada multiplicación. Obtenemos 912, como podemos observar en el diagrama (2). Se quita el 2 del multiplicador, para indicar que ya ha sido usado para multiplicar. A continuación movemos el número inferior un espacio hacia la derecha, situando su cifra de menor valor, debajo de la segunda cifra de mayor valor del número superior, el 3, como se aprecia en el dibujo (3), y multiplicamos el segundo dígito de mayor valor del número superior por cada uno de los dígitos de la fila inferior, sumando los resultados en la fila del medio, obtenemos 10488. Se quita el 3 del multiplicador, y se vuelve a rodar el multiplicando, como vemos en (4). Usamos el último dígito de lafila superior, 4, para multiplicarlo por cada uno de las cifras de la fila inferior, sumando los resultados en el medio, obteniendo 106704, que es el producto que buscábamos y quitamos el 4, como aparece en (5).El método utilizado para dividir es el mismo que el de la multiplicación, pero a la inversa.

EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN LOS ANTIGUOS TEXTOS DE ANTES DE LA DINASTÍA QÍN (221 - 206 A.C.)

EL LIBRO DE LAS ARTES, EL LIBRO DEL MAESTRO MÓ Y OTROS

El Libro de las artes fue escrito por letrados del estado feudal Qín en la época de los Estados Combatientes (475 - 221 a.C.). Trata básicamente sobre técnicas de fabricación de objetos, como coches de caballos, embarcaciones y arcos y flechas. Además describe pautas y dimensionespara su elaboración. Por tanto contiene algunos datos sobre fracciones, ángulos, y unidades demedida.Las unidades para medir ángulos que se encuentran en este libro son:jû = 900

xuan = 450 (= 1/2 jû)zhú = 670 30´ (= 1 1/2 xuan)ke = 1010 15´ (= 1 1/2 zhú)qingzhé = 1510 52´ 30´´ (= 1 1/2 ke)

Aunque también se medían ángulos usando arcos de circunferencia. Por ejemplo, nos encontramos el siguiente pasaje, que describe cómo se hacían los arcos para los nobles de la dinastía Zhou:Hacer arcos para el emperador.Nueve arcos juntos forman una circunferencia.Hacer arcos para los señores feudales.Siete arcos juntos forman una circunferencia.Arcos para los oficiales del emperador.Cinco arcos juntos forman una circunferencia.Arcos para los letrados.Tres arcos juntos forman una circunferencia.

EL LIBRO DEL MAESTRO MÓ

Es otra obra escrita antes de la dinastía Qín, se cree que fue escrita por los discípulos del maestro Mó y es conocida también como Cuatro capítulos de Mózî. Contiene una colección de apartados con conceptos y definiciones, y muchos de ellos tratan de matemáticas, lógica y física.Este tratado contiene conceptos de geometría:Igual: Misma altura.En línea recta: Tres puntos alineados.Misma longitud: Emparejar de forma exacta.Centro: Punto a la misma longitud.Circunferencia: Un centro con la misma longitud.También contiene la noción de punto, línea, superficie, sólido y las nociones de suma y resta.Muchos libros de texto matemáticos usados actualmente en China, usan frecuentemente el ejemplo de “tomar la mitad diariamente” para explicar la noción de límite.

LA FORMACIÓN DE SISTEMAS MATEMÁTICOS EN LA ANTIGUA CHINA. DINASTÍA HÁN (206 A.C. - 220 D.C.)En este periodo destacan dos libros importantes:

EL CLÁSICO DE LA ARITMÉTICA DEL GNOMON Y LAS SENDAS CIRCULARES DEL CIELO

El primer libro de matemáticas chino conocido es el Chou Pei Suang Ching (500 a. C.) o Libro de la aritmética clásica del gnomon y de los caminos circulares de los cielos. En él se demuestra el Teorema de Gou gû (o Pitágoras) y se dan reglas sencillas de fracciones y operaciones aritméticas. Es un escrito sobre astronomía y contiene algunos conceptos de matemáticas. Esta obra es consecuencia de una acumulación gradual de resultados científicos de los periodos de las dinastías Zhou y Qín, y se cree que fue escrito alrededor del final del siglo II a.C. Este libro ha sido comentado por matemáticos posteriores, y los contenidos matemáticos que destacan son cálculos sobre agrimensura y cuerpos celestes utilizando el teorema Gougû (Pitágoras) y cálculos con fracciones.Durante la época Hán se estudió mucho la astronomía, y a finales de esta dinastía ya había tres escuelas que se dedicaban al estudio del cielo: la escuela Zhoubí, la Xuan Yé y la Hún Tian.Esta ´ultima estaba representada por el escritor, astrónomo, matemático y geógrafo Zhan Héng.

EL TEOREMA GOUGÛ

.El teorema Gougû es el conocido en occidente como teorema de Pitágoras. Este teorema se usaba mucho para medir distancias, ello se hacía teniendo en cuenta la longitud de un palo vertical y la sombra que arrojaba, por lo que se considera a uno de los catetos del triángulo rectángulo, llamado Gû, como dicho palo, y el otro cateto sería su sombra, que recibe el nombre de Gou. A la hipotenusa se le puso el nombre de Xián. Esto podemos apreciarlo en la figura. El triángulo rectángulo recibe el nombre de “forma Gougû”.En este libro, aparece una de las primeras demostraciones de este teorema, realizada mediante diagramas, que se ilustra en las siguientes figuras:

La traducción del texto dice lo siguiente:Cortemos un rectángulo (por la diagonal), de manera que la anchura sea 3(unidades) y la longitud 4 (unidades). La diagonal entre los (dos) extremos tendría entonces una longitud de 5. Ahora, tras dibujar un cuadrado sobre esta diagonal, circunscribirlo con semirrectángulos como el que ha sido dejado en el exterior, de modo que se forme una figura plana (cuadrada). Así, los (cuatro) semirrectángulos exteriores, de anchura 3, longitud 4 y diagonal 5, forman en conjunto dos rectángulos (de 24 de área); luego (cuando esto se resta de la figura plana cuadrada de área49), el resto tiene 25 de área. Este proceso se llama “apilamiento de rectángulos”.En términos de la figura b), el cuadrado mayor ABCD tiene un lado de 3+4 = 7 y, consecuentemente, un área de 49. Si a partir de este cuadrado grande se eliminan cuatro triángulos (AHE, BEF, CFG y DGH), que en conjunto forman dos rectángulos, cada uno de ellos de área 3 · 4 = 12, nos queda el cuadrado más pequeño HEFG. Implícitamente tenemos:(3 + 4)2 − 2 · (3 · 4) = 32+ 42= 52

Esta demostración es un caso particular, la ampliación de esta prueba a un caso más general se dio posteriormente.El teorema Gougû se consideraba muy importante en la época en la que se escribió el libro, ya que en él se menciona que el emperador no podría gobernar sin el conocimiento de este teorema. Además aparecen muchos ejemplos de su aplicación, como por ejemplo, calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo:Gou, Gû, cada uno multiplicado por sí mismo y sumados, y entonces tomando la raíz cuadrada obtenemos la hipotenusa.

Es decir: También hay ejemplos en los que se miden alturas, profundidades y distancias, estas mediciones en la superficie de la Tierra eran

bastante exactas, aunque cuando se aplicaban a la astronomía daban lugar a resultados erróneos.Con ayuda del gnomon, que es la vara vertical de un reloj de sol, se medían alturas como vemos en la siguiente figura:

El segmento CD es el gnomon, y conocidas las distancias AD, CD y AB, y por semejanza de triángulos y el teorema Gougû, se averiguaba la altura del árbol.

FRACCIONES

El clásico de la aritmética del gnomon y las sendas circulares del cielo contiene algunos cálculos con fracciones relativamente complicados, y aunque no hay duda de que estos cálculos fueran hechos con varillas de contar, no hay explicaciones en el libro de los sistemas utilizados para realizarlos.Todas estas manipulaciones con fracciones eran absolutamente necesarias para el cómputo del calendario y la astronomía, por eso aparecen en el libro dichos cálculos, que tenían un nivel bastante avanzado.En la computación del calendario, calculaban que un año tiene una duración de 356 1/4 días (vemos que usaban números mixtos), esto lo sacaban de consideraban que el Sol se rueda en su posición un grado cada día, observado desde la Tierra. Sacaron la cuenta de que deberíanañadir 7 meses lunares adicionales al cabo de 19 años, por lo que cada año debería tener en promedio, 12 7/19 meses lunares y por eso el número de días en cada mes lunar debería ser:

En la última sección del libro, aparece un método para dividir las fracciones anteriores.Ahora se conoce que en cada mes hay 29 499/490 días, por consiguiente la Luna se mueve en promedio cada día 13 7/19 grados. Por ello, buscar la posición de la Luna después de 12 meses lunares requiere más cálculos complicados, de hecho, es equivalente a calcular el resto de la siguiente división:

El resto es: 354 6612/17860En el libro se calculan el ángulo recorrido por la Luna en un año bisiesto (un año de 13 meses solares) y en un año promedio de 12 7/19 meses lunares.

“LOS NUEVE CAPITULOS” Casi tan antiguo como el Chou Pei es el 九章算術 (Chui-chang suan-shu o también conocido como los nueve capítulos del arte matemático) (250 a.C). El libro más importante de la matemática china antigua, quizá la obra que ejerció mayor influencia sobre los matemáticos chinos de entre todas las obras de matemática china. Esta obra anónima es la compilación del saber matemático chino del momento y puede ser considerada como los Elementos de Euclides de la matemática china. Este libro incluye 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía, ingeniería, impuestos, calculo, resolución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos, cómo extraer raíces, la resolución de sistemas de ecuaciones (con un método similar al que nosotros llamamos de Horner), cálculo de áreas y volúmenes, problemas geométricos, proporcionalidad y reglas de tres. Además, los chinos estudiaron los cuadrados mágicos, calcularon muy buenas aproximaciones de

π, conocían el triángulo de Pascal desde épocas tan remotas como el 1100 d. C., resolvieron ecuaciones de segundo grado y cúbicas, estudiaron las progresiones aritméticas, la trigonometría, y enunciaron un bonito teorema sobre divisibilidad y restos que aún hoy se estudia como el “Teorema chino del resto”. Mientras que los griegos de la misma época escribían tratados explosivos sistemáticos, ordenados de manera lógica, los chinos se dedicaban a repetir la vieja costumbre de los babilonios y egipcios de coleccionar conjuntos de problemas concretos.  También en este libro aparece el uso de la ‘falsa posición’ por la invención de este procedimiento lo mismo que el origen de la matemática china en general, parece haber sido independiente de toda influencia occidental.

 En las obras matemáticas chinas sorprende la mezcla de resultados exactos e inexactos, primitivos y sofisticados. Se dan reglas concretas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios. Hay algunos problemas que están resueltos por reglas de tres, y en otros se encuentran raíces cuadradas e incluso cúbicas.

Los capítulos en los que se divide el texto son los siguientes:

Capítulo I “Medición del terreno”.Su tema central es el cálculo de áreas, y además contiene una detallada discusión sobre el cálculo con fracciones.Capítulo II “Alpiste y arroz”.Trata de porcentajes y proporciones relacionados con estos cereales.Capítulo III “Distribuciones proporcionales”.Se ocupa de la distribución de la propiedad y del dinero según unas normas prescritas, que conducen, en algunos casos, a realizar progresiones aritméticas y geométricas, y muchas de las veces, se requiere la regla de tres.Capítulo IV “¿Qué anchura?”Dada el área del cuadrado o el volumen del cubo, encontrar el lado. En esta sección se explican los métodos para realizar raíces cuadradas y cúbicas.Capítulo V “Un texto de consulta para ingenieros”.Cálculo de volúmenes de figuras sólidas.Capítulo VI “Justos impuestos”.Se calcula la manera más justa de cobrar los impuestos, teniendo en cuenta el tamaño de la población de un lugar y su distancia a la capital.Capítulo VII “Exceso y defecto”. Problemas con dos incógnitas.Capítulo VIII “Método de las tablas”.Resolución de problemas que conducen a Sistemas de ecuaciones lineales y explicación de los conceptos de número positivo y negativo. Capítulo IX “Gougû”.Se introduce el método para resolver ecuaciones cuadráticas y aparecen aplicaciones del teorema Gougû. Diversos problemas sobre triángulos rectángulosVemos que los contenidos de Nueve capítulos sobre el arte matemático están ligados a la vida real y reflejan la sabiduría colectiva y las habilidades de la gente en la antigua China.Este tratado ha sido utilizado como libro de texto durante dinastías posteriores y muchos matemáticos empezaron sus investigaciones haciendo comentarios sobre él. Circuló también porJapón y Corea y tuvo una gran influencia en la matemática que se desarrolló en estos países.Finalmente, la comunidad científica internacional se ha dado cuenta de este importante trabajo.

A continuación proponemos algunos problemas que aparecen en el Chui-chang suan-shu:

Varias personas compran juntas un determinado artículo. Si cada persona pagara 8 monedas sobrarían 3 monedas; y si cada una pagase 7 monedas, faltarían 4. ¿Cuántas personas son y cuál es el precio del artículo? Un bambú de 10 pies de altura se rompe de tal manera que su extremo superior se apoya en el suelo a una distancia de 3 pies de la base. ¿A qué altura se produjo la rotura?

LOGROS EN ARITMÉTICA.

El trato sistemático de operaciones aritméticas con fracciones, varios tipos de problemas de proporciones, problemas del tipo “exceso y defecto” y otros problemas difíciles son los logros obtenidos en aritmética con este libro.

OPERACIONES CON FRACCIONES

Para operar con fracciones se usaron varillas de contar y la representación de ´estas tiene su origen en el método de la división. Los procedimientos que aparecen en el libro son bastante similares a los que se usan en el presente, en el capítulo “Medición del terreno” aparece la simplificación de fracciones, buscar denominadores comunes, comparar dos fracciones con distinto denominador y la suma, resta multiplicación y división de fracciones.En la simplificación fracciones, se utilizaba el método de la sustracción sucesiva para encontrar el máximo común denominador. Si consideramos una fracción reducible de la forma m/n, la regla es la siguiente:Si los dos números (m y n) pueden dividirse por la mitad, entonces divídanse. Si no, colóquese el denominador debajo del numerador y réstese del número mayor del número menor. Continúese este proceso hasta que se obtenga el divisor común, “teng”. Simplifíquese la fracción original dividiendo ambos números por el “teng”.Para la adición y la sustracción de fracciones es preciso que tengan el mismo denominador.En el capítulo “Medición del terreno” se usa como denominador común el producto de todos los denominadores, sin embargo, en “¿Qué anchura?” se utiliza el mínimo común múltiplo.Para multiplicar fracciones se utilizaba el mismo método que el actual: numerador por numerador y denominador por denominador.

Tenía un dominio de fracciones ordinarias, hallaban el mínimo común denominador, realizaban algunas analogías:

NUMERADOR = EL HIJO

DENOMINADOR = LA MADRE

Basado principalmente en el principio del Yin y Yang (opuestos entre sí ) especialmente entre los sexos lo que facilitaría el uso de la analogía para el manejo de las reglas de las fracciones.

LOGROS EN GEOMETRÍA

No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.En el libro se muestra que conocían las áreas y volúmenes de las figuras geométricas más comunes como:Rectángulo A = ab, donde a y b son los lados del rectángulo.Triángulo A = ½ b h, donde b es la base del triángulo y h su altura.Círculo A = P/2 D/2, donde D es el diámetro del círculo y P su perímetro.Prisma rectangular V = a b c, donde a es el alto del prisma, b el ancho y c el largo.Pirámide V = 1/3 a2 h, donde a es el lado de la base de la pirámide y h su altura.Cilindro V = 1/12 P2 h, donde P es el perímetro de la base del cilindro y h su altura.Cono V = 1/36 P2 h, donde P es el perímetro de la base del cono y h su altura.Esfera V = 9/16 D3, donde D es el diámetro de la esfera.

LOGROS EN ÁLGEBRA

Los principales avances en el área del álgebra que aparecen en Nueve capítulos sobre el arte matemático son el método de resolución de sistemas de ecuaciones, la introducción de los números negativos, los métodos para resolver ecuaciones, los algoritmos para obtener raíces cuadradas y cúbicas y el método para resolver ciertas clases de ecuaciones cuadráticas.En el capítulo VIII, titulado “Método de las tablas”, se resuelven sistemas de ecuaciones, y el sistema utilizado no es otro que el conocido método de Gauss para resolver sistemas de varias ecuaciones con varias incógnitas.En este mismo capítulo se introducen los números positivos y negativos. El método que usaban para sumarlos y restarlos es el mismo que el actual, pero la división y multiplicación con números negativos no la descubrieron hasta el siglo XIII.El principio fundamental en que se basan los algoritmos para realizar la extracción de raíces cuadradas y cúbicas que aparecen en los Nueve capítulos es justamente el mismo que usamos actualmente. Y por eso el método para sacar raíces cuadradas es casi el mismo que el moderno.De dicho algoritmo se derivó un método para resolver ecuaciones de segundo grado.

DINASTIAS SUÍ Y TÁNG (589 - 907)

Es un periodo de cambios en astronomía y en la computación del calendario.Continuamente, se mejora el calendario, pues los eclipses solares y lunares, requieren saber con exactitud las posiciones del Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos.

Se crean Los diez manuales matemáticos, en los cuales se recoge toda la información de la época, en forma de problemas y métodos para resolverlos. Fueron creados para ser utilizados por la Academia Imperial y para los exámenes de los soldados. Entre ellos destacan: NueveCapítulos sobre el arte matemático, Clásico de la aritmética del gnomon y las sendas circulares del cielo, Manual matemático de la isla del mar, Manual matemático del maestro Sun, etc.Otros libros importantes son Cinco clásicos de aritmética, Memorias de algunas tradiciones del arte matemático y Manual matemático de las cinco secciones del gobierno. Estos tres libros fueron escritos por Zhen Luan, que vivio en la dinastía Norte y Sur. Era astrónomo dedicado a la construcción calendárica. Su calendario Tian He fue adoptado oficialmente.Su primer libro, Manual matemático de las cinco secciones del gobierno trata sobre aritmética aplicada. Estaba dividido en cinco bloques: finanzas, haciendas, armada, aduanas, almacenes.En lo Cinco clásicos de aritmética se discuten, como su nombre indica, clásicos del periodoHan. No aparece nada relevante en este libro, simplemente se recopilan problemas de aritmética, pero no se crea un nuevo método.

En Memorias de algunas tradiciones del arte matemático, destaca por la complejidad del mismo. Se introducen frases budistas, taotistas y místicas en su desarrollo. Se exponen otros métodos de trabajar con números mediante palillos, pero la idea es impracticable. Se introducen por primera vez diagramas de filas y columnas, que actualmente se conocen como cuadrados mágicos. Estos diagramas, se caracterizan por la suma constante de una fila, una columna o una diagonal. El cuadrado mágico de orden tres es llamado Luó-shû, y la suma constante es 15, de esto se siguen las siguientes fórmulas:

El siguiente libro es el Manual matemático de Xiáhóu Yáng sigue usando las varillas de contar. En tres capítulos se pueden encontrar ochenta y tres problemas relacionados con situaciones de la vida diaria. Se recogen las leyes del periodo Táng, en forma de problemas que enunciaban la legislación de propiedades particulares.

El Manual matemático de Zhang Qiujián está dividido en varios volúmenes, de los que sólo se conserva el primero con noventa y dos problemas. En el prefacio de este libro se recomendaba para personas que no tuvieran miedo de trabajar con multiplicaciones y divisiones, pero que tuvieran dificultades para encontrar denominadores comunes.Destacan los problemas con fracciones y la dificultad de las multiplicaciones y divisiones para encontrar un denominador común. También, se trabaja con sucesiones, series y resolución de sistemas de dos ecuaciones con tres incógnitas.Por último, encontramos el libro Continuación de las matemáticas antiguas, compuesto por veintidos problemas, escrito por Wáng Xiáo tong, astrónomo y matemático. Problemas de construcción de plataformas y diques de diferentes alturas, reparación de almacenes. Es el primero en usar el “método del corolario de raíces cúbicas”. Se preocupa por la resolución de ecuaciones de tercer grado.

MATEMÁTICAS DURANTE EL PERIODO DE ESPLENDOR CHINO.

DINASTÍAS SÓNG Y YUÁN (960 - 1368)

Durante las dinastías anteriores, las matemáticas se desarrollaron a partir de un sistema que tenía como base los Diez libros de matemáticas clásicos. En este periodo, las matemáticas se desarrollaron más. La técnica de impresión fue muy desarrollada. A partir de esto, el gobierno mandó a copiar los libros que se encontraban en la administración, donde se guardaban todos los trabajos de las dinastías anteriores. Se mandó a copiar libros como los Nueve capítulos sobre el arte matemático y otros que fueron utilizados como libros de texto en escuelas y universidades.En este momento, dinastía Sóng, China estaba dividida en dos zonas: la zona norte y la zona sur. En la zona norte había una estabilidad en las matemáticas que se desarrollaba en la academia imperial, pero había momentos en los que las matemáticas no se desarrollaban, pues se consideraban extravagantes y se pensaba que no contribuían al avance del país. Sin embargo, en esta zona, las matemáticas se estabilizaron con el paso de los años. Por otro lado, en la zona sur, la situación fue distinta. Las matemáticas al inicio de la dinastía Sóng estaban estabilizadas pero llegó un momento que no se continuaron y nunca más se volvieron a estabilizar. Los matemáticos más importantes de este momento fueron Qín Jîshao y Yáng Hu i en la zona sur y Zhu Shîjié y Lî Zhí en la zona norte, que reflejaron en sus trabajos todo el esplendor matemático del momento. Actualmente, los trabajos de Yáng Hui se conservan incompletos. También destacaron otros matemáticos en la zona norte durante la dinastía Sóng, es decir, antes de la invasión de los Mongoles, como son Shên Kuó, Zhu Ji y Jìa Xián, que hicieron contribuciones al campo de astronomía, series y solución de ecuaciones.

Los tratados más destacados de cada uno de éstos matemáticos son los siguientes: Shên Kú: Ensayos sobre un conjunto de sueños.Qín Ji˘shao: Tratado matemático en nueve secciones.Lî Zhí: Espejo marino de las medidas circulares.Yáng Hui: Análisis detallado de los métodos matemáticos de los nueve capítulos. Métodos de cálculo para el uso diario. Métodos de cálculo.Zhu Shîjié: Introducción a los estudios matemáticos. Espejo precioso de los cuatro elementos.

Las matemáticas chinas en este periodo Sóng y Yuán constituyen un periodo de gran esplendor matemático, que se desarrolló durante el periodo medieval en Europa. Los campos que se trataron en este momento fueron muy diversos: métodos de extracción de raíces, operaciones con polinomios, series, análisis indeterminado, cuadrados mágicos y trigonometría esférica; destacando más los tres primeros. Además contribuyeron a avances tecnológicos y avances en laafabricación de calendarios.

MÉTODOS DE EXTRACCIÓN DE RAÍCES

La configuración del conteo con varillas del método que aparece en los Nueve capítulos sobre el arte matemático se explica a continuación:Se daban cinco filas de arriba abajo:La primera fila shang, daba el resultado.La segunda fila shí, daba el número dado.La tercera fila fáng (el cuadrado) daba el coeficiente de x2

La cuarta fila lián (el lado) daba el término cúbico, coeficiente de x3

La quinta fila, yú (la esquina).El procedimiento era el siguiente:Colocaban la primera aproximación de la raíz. Si, por ejemplo, resolvían un problema de tipoX3= N x = (a+b+c). Se tomaba la primera aproximación de x en este caso a. Después de colocar a en la fila del resultado, se desarrollaba aparte el binomio (a+b)3= a3+3ª2b+3ab2+b3 y se colocaban los coeficientes de a en las filas correspondientes. A partir de esto, colocaban la segunda aproximación de la raíz (a + b) en la fila resultado y desarrollaban aparte el binomio((a + b) + c)3= (a + b)3+ 3(a + b)2c + 3(a + b)c2+ c3 y colocaban los coeficientes de (a + b) en las filas correspondientes, y así, hasta llegar al tercer lugar de la aproximación de la raíz c.

Los matemáticos de este periodo se dedicaron a buscar métodos para la extracción de raíces de ecuaciones de grados arbitrarios. Jiân Xián introdujo un método para extraer raíces cuadradas y cúbicas que más tarde se generalizó para encontrar raíces de grados arbitrarios.Veamos el procedimiento para el problema del ejemplo anterior, x3= N x = (a+b+c).Después de conseguir el primer lugar de la raíz, el método de Jián Xián dice lo siguiente:Usando el resultado, a, multiplicando por la varilla de la “esquina”, se consigue el “término lineal” a. Multiplicando el “término lineal” por la raíz, a, se consigue el “término cuadrado” a2 multiplicando de nuevo, a, por el “término cuadrado” a2, y restando esto al “número dado”, se obtiene el nuevo

“número dado” N –a3. Después de esto, tomar de nuevo la raíz multiplicada por la “esquina” y sumarla al “término cúbico” anterior, a3, dando, 2a; multiplicar esto por el “término lineal” o el “resultado”, a y añadirlo al coeficiente de x2, esto es, 2a2+ a2= 3ª2. De nuevo, multiplicar por la fila “esquina” y añadir al coeficiente de x, dando 2a + a = 3a. Para encontrar la segunda aproximación de la raíz (a+b) se sigue el mismo procedimiento hasta que se encuentra N − (a + b + c)3 y esta es la raíz cúbica (a + b + c)3

.

Este método es el que actualmente se conoce como el “MÉTODO DE HORNER” veamos esto:Resolveremos el problema (a + b + c)3= N por el “método de Horner” actual. Esto es resolver x3− N= 0

:

Observar que los restos obtenidos coinciden con las columnas de las distintas aproximaciones de x del método de “extracción de raíces por sucesivas multiplicaciones”El método de Horner fue publicado por Horner en Europa en 1819 y por Ruffini en 1804,sin embargo, Jiân Xián introdujo el método de extracción de raíces cuadradas y cúbicas por sucesivas multiplicaciones a mediados del siglo XI, lo que equivale a unos 800 años antes de loque se desarrolló en Europa.Jiân Xián buscó un método para encontrar los coeficientes binomiales, pues los necesitaba para el método de extraer raíces de alto grado. Además del método de encontrar los coeficientes binomiales desarrolló un diagrama para éstos. Este diagrama aparece en Análisis detallado de los métodos matemáticos en los nueve capítulos de Yáng Hui. Se llamaba “La fuente del método de extracción de raíces” y fue desarrollado por Jiân Xi`án hasta orden seis en el siglo XI. La configuración de los números es la siguiente:

El número de la fila (n + 1) es el que indica el grado del binomio (a + b)n. El diagrama se desarrolla a partir del método de extracción de raíces por sucesivas multiplicaciones. Para llegar a los coeficientes del binomio (a + b)6 Jiân Xián usó el método de extracción de raíces por sucesivas multiplicaciones.

Por otro lado, en el trabajo de Zhu Shîjié, Espejo precioso de los cuatro elementos, aparece un diagrama similar desarrollado hasta orden ocho y al lado de cada fila aparecen unos caracteresque designan ésta. Zhu Shîjié continúa indicando la estrecha relación que existe entre la construcción del triángulo y la resolución de ecuaciones numéricas de orden superior.Este diagrama es lo que se conoce en Europa como el triángulo de Pascal, (1623-1662). Porotro lado, el matemático árabe Al-Kashi en 1427 dio una tabla de coeficientes binomiales y en 1527, Apianus matemático alemán, también hizo su aportación al triángulo, pero en China, Jîan Xián desarrolló un “diagrama de la fuente de extracción de raíces” unos 400 años antes que Al-Kashi y unos 500 años antes que la primera aparición del método en Europa, dada por Apianus.Después del desarrollo de este diagrama, la resolución de ecuaciones de altos grados se desarrolló en el siglo XIII, en el cual, el álgebra era la cima del conocimiento matemático chino.Además de resolver ecuaciones con coeficientes negativos, se resolvían ecuaciones con coeficientes en los términos de altos grados. El método que se usaba es el mismo que el “método de extracción de raíces por multiplicaciones sucesivas”, pero en vez de añadiendo (sumar), lo quese hace es restar.

TRABAJOS CON ECUACIONES POLINÓMICAS

En el campo de las ecuaciones se consideran dos pasos: el primero es encontrar la ecuación y el segundo es resolver esa ecuación. Para el segundo paso se tiene el “método de extracción de raíces por sucesivas multiplicaciones” que se vio anteriormente. Para el primer paso, encontrar la ecuación, se usaba la “técnica del elemento celestial”, y la “técnica de las cuatro incógnitas” que surgió a partir de la anterior. El procedimiento de esta técnica es similar al que se utiliza actualmente en los libros de álgebra. Además los matemáticos chinos de este periodo sumaban, restaban, multiplicaban y dividían polinomios. Todos los polinomios los expresaban de forma racional, esto es, de la forma ax2+ bx + c. Si tenían un polinomio de forma irracional, eliminaban los cuadrados, o bien, multiplicaban en cruz.El origen de esta técnica se sitúa a principios del siglo XIII, finales del XII y se atribuye al desarrollo social. Por lo que se cree que la técnica se dio de forma local, según el desarrollo cultural y comercial de cada zona.

INVESTIGACIONES EN SERIES FINITAS

Las investigaciones en series de igual diferencia en este periodo fueron llevadas a cabo por Shên Kuó, Yáng Hui y Zhu Shîjié principalmente. De estas investigaciones se obtuvieron resultados excepcionales en las series de igual diferencia de altos órdenes.El orden de una serie es el número de veces que se deben realizar las diferencias entre los términos de la serie hasta que las diferencias sean un mismo término. Por ejemplo, si se tienela serie de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, . . . hacemos las diferencias y tenemos que:

La investigación de las series de diferencias finitas de alto orden, llegó a relacionar los problemas de series finitas de igual diferencia con los problemas de interpolación. Los problemas de interpolación estaban relacionados con los movimientos del sol, la luna y los cinco planetas quese conocían y eran utilizados en la fabricación de calendarios. Por tanto, las investigaciones en series de igual diferencia fueron utilizadas en los calendarios. De la observación del movimientodel sol y de la luna, los astrónomos chinos como Guo Shôujíng, realizaron Calendarios de trabajosy días en el cual, de las tablas de valores obtenidas, se sacaron dos series de igual diferencia, una de orden cuatro “diferencias acumuladas” y otra de orden tres “promedio de las diferencias acumuladas” que se construía dividiendo las diferencias acumuladas por el número de días del periodo considerado. La generalización de esto, dio lugar a los polinomios de interpolación de altos grados.En el Espejo precioso de los cuatro elementos de Zhu Shîjié, se encuentran los mejores resultados en el campo de las series. En el área del cálculo de las diferencias finitas Zhu Shîjié introdujo la fórmula exacta de las diferencias finitas hasta orden cuatro que aparece en Europa por los trabajos de Newton unos400 años más tarde.

INVESTIGACIONES EN OTRAS ÁREAS

ANÁLISIS INDETERMINADO

Otra área de investigación en este periodo fue el análisis indeterminado. El análisis indeterminado consiste en solucionar problemas de congruencias lineales que en notación modernaes N ≡ r(mod m).

TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

Durante las dinastías anteriores Suí y Táng se introdujeron en China conocimientos sobre trigonometría esférica desde la India, pero estos no fueron de interés para los matemáticos yastrónomos chinos de estos periodos.Aunque en los Nueve capítulos sobre el arte matemático se menciona una breve relación sobre el arco, la sagita y la cuerda, no es hasta el siglo XI cuando realmente se introduce una fórmula que relaciona el arco, la sagita y la cuerda. Esta fórmula fue dada por Shên Kuó y se llamó “técnica de interceptar círculos” que fue usada por los astrónomos de la época para calcular “la inclinación hasta el ecuador”, esto es, la longitud y “los grados acumulados a lo largo del ecuador”, es decir, la latitud. De todos estos cálculos apareció el campo de la trigonometría esférica.Sin embargo, estos conocimientos no se siguieron desarrollando, pues con la “técnica de interceptar círculos” los cálculos que se realizaban eran inexactos, ya que consideraban π = 3.Hasta el siglo XVII en Europa que usaron como base los conocimientos chinos de trigonometríaesférica de este periodo.

OTROS ASPECTOS RELEVANTES

EL ABACO

La aparición del ábaco fue el mayor evento en la historia de las matemáticas chinas. El aparato de fácil transporte y simple manejo es todavía muy utilizado por toda China. En el tiempo de esta invención, el ábaco pasó por Corea, Japón y otros países asiáticos, donde es utilizado hoy en día. Los cálculos con ábaco no fueron la invención de una persona sino el producto de una era. Fue a través de la necesidad y demandas de la población en su vida diaria que el ábaco gradualmente se desarrolló y fue finalmente completado. 

El ábaco, una herramienta de cálculo única, inventada por el pueblo chino en la antigüedad, ha desaparecido en muchas áreas de China, debido a la expansión del uso de las calculadoras y computadoras en la actualidad. Pero a lo largo de la historia, hasta hace solo 20 años, el ábaco fue durante mucho tiempo un importante instrumento de cálculo en cada hogar, sin mencionar ya a los contadores y corredores.

El ábaco es un marco de madera rectangular, que normalmente tiene en su interior al menos siete varillas verticales y una barra horizontal. En cada varilla hay dos cuentas redondas en la parte superior (cada una de las cuales equivale a cinco). Cada barra representa un dígito diferente. Después de ajustar los dígitos, el operador puede mover las cuentas hacia arriba o hacia abajo en relación con la barra y hacer los cálculos. Debido a ello, los cálculos con este instrumento de cómputo son llamados también cálculos de cuentas. Para usar bien el ábaco, uno debe recitar una fórmula concisa, en la que cada suma, resta, multiplicación o división puede ser simplificada al acto de mover las cuentas.

En el pasado, además de la habilidad de escribir caracteres elegantes con el pincel, otra destreza que se exigía a los hombres de negocio fue la de emplear el ábaco con maestría. Siempre que se hacía un cálculo, había un ábaco. Los primeros registros históricos escritos sobre el ábaco chino datan del siglo II a.n.e. (durante la Dinastía Han). De aquí se desprende que las cuentas han sido golpeadas a lo largo de dos mil años.

EL PRIMER LIBRO CHINO SOBRE CALCULO CON ABACO

 En la dinastía Ming debemos destacar a Chéng Dâwéî y su libro Tratado sistemático sobre aritmética. Dicho libro es un texto práctico matemático que usa como cálculo principal el ábaco, el más avanzado instrumento de cálculo en aquella época. En el libro se explican sistemáticamente los métodos de cálculo con ábaco y trae, además, ilustraciones de éste.El libro consta de diecisiete capítulos y contiene quinientos noventa y cinco problemasMás tarde, el ábaco fue introducido sucesivamente a Corea, Japón y otros países y jugó un importante rol en el desarrollo de la técnica de cálculo en el mundo.

EL ÁBACO CHINO MÁS MODERNO

El 20 de marzo de 1980, durante el Segundo Congreso de la Sociedad China de Ciencia y Tecnología, se exhibió un nuevo tipo de instrumento calculador, el ábaco electrónico que integra las ventajas del ábaco de la China antigua con las de las computadoras modernas, pues cuando hace suma y resta, cumple el papel de ábaco y, en las multiplicaciones y divisiones, recurre ingeniosamente a las ventajas propias de las computadoras. Así, el nuevo instrumento de cálculo es una típica integración de lo chino con lo extranjero.El ábaco electrónico fue inventado por la Sociedad de Abacos de China y su aparición llamó la atención en el ámbito internacional.

CUADRADOS MÁGICOS; EL ARTE DE LA SIMETRÍAS

Se llama cuadrado mágico a un casillero cuadrado en el que están inscritos números que se han

elegido con la condición de que sumados por filas, por columnas o por diagonales siempre se

obtenga la misma cantidad. A dicha cantidad la llamamos constante del cuadrado.

En el 2000 a.C, el Emperador Yu trataba de aplacar al Dios río Lo (el Río Amarillo), que había

desbordado sus aguas provocando catástrofes por toda la zona. Para detener la furia de las aguas,

el Emperador realizó una serie de ofrendas y sacrificios ante la mirada desesperada de sus

súbditos, que veían anegadas todas sus posesiones.

Del río surgió de pronto la Tortuga Divina, que con parsimonia se acercó a las ofrendas del

Emperador, las examinó, dio media vuelta y se fue. El mensaje del dios Lo quedaba claro. No era

suficiente. Las gentes y los sabios se empezaron a preguntar qué número de sacrificios haría falta

para calmar al dios. El emperador permaneció reflexivo un rato, dándole vueltas a los extraños

dibujos que había visto sobre el caparazón de la tortuga:

Dibujos en el caparazón de la Tortuga Divina

Traducción a números de los dibujos

No tardó mucho en darse cuenta de que aquellos puntos unidos por líneas representaban números,

por lo que el caparazón de la tortuga podía representarse en una cuadrícula de 3×3 con los

números del 1 al 9 tal como los había visto colocados en la espalda del animal. Ahora bien, ¿Cómo

habría de colocarse el cuadrado para entender su mensaje?. Sólo entonces se dio cuenta el

Emperador de que lo colocase como lo colocase, la suma de los números de cada fila y de cada

columna era siempre la misma: 15. De este modo, el dios Lo le había querido decir que el número

de sacrificios necesario era 15. Ni uno más ni uno menos. Y gracias a la sabiduría del Emperador

Yu las aguas del dios río Lo volvieron a su cauce.

Lo Shu

El mismo cuadrado al revés

Así nació el primer cuadrado mágico de la historia, según la leyenda. Y en honor a ella, este

cuadrado mágico (el más antiguo de todos los que existen) pasó a conocerse como Lo Shu: El libro

del río Lo. Libro, porque para los antiguos chinos el cuadrado no se limitaba a expresar el número

15, sino que contenía en sí mismo la relación de armonía de los Elementos.

En las cuatro esquinas están los números pares ( Yin ), y los números impares (Yang) forman una

cruz central. El número 5, que está en el centro, simboliza la Tierra, y los cinco elementos del

universo oriental ( Agua, fuego, madera, metal y Tierra ) se representan por las parejas

adyacentes: los metales (4 y 9), el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6) y la madera (3 y 8).

Lo Shu era la representación misma de la Armonía Universal para los Chinos. Como el Ying y el

Yang, representa un equilibrio dinámico de fuerzas opuestas.

CONSTRUYENDO CUADRADOS MÁGICOS

Hay varias formas de construir cuadrados mágicos, las sencillas consisten en seguir ciertas ordenaciones que generan patrones regulares. No existe un método general para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, siendo necesario distinguir entre los de orden impar, los de orden múltiplo de 4 y el resto de orden par (4 × m + 2). Cuadrado mágico de orden impar. El de orden 1 solo tiene una casilla a rellenar con un único número. Para resolverlo basta poner el número 1, o cualquier otro en la casilla. El siguiente es el de orden 3, con nueve casillas, a rellenar con los números del 1 al 9. Los números del 1 al 9 suman 45, y como tengo tres filas independientes cada una de ellas debe sumar 15, es decir su constante es el número 15. El cinco debe ir en la casilla central, en las esquinas deben ir los números pares, y en las casillas centrales de los laterales se deben poner los números impares. Viendo las sumas de impares que dan 15, el uno debe ir frente al nueve, y el tres debe ir frente al siete. La solución es la del cuadrado mágico Lo Shu. Se ha construido con los primeros nueve números naturales, pero conocida la ordenación relativa de los números, se puede tomar nueve números consecutivos y situarlos con la misma ordenación, ¿Y si tomamos números saltando de dos en dos y los ordenamos igual? ¿Y si saltamos de tres en tres?

EL TANGRAM Y LA MATEMÁTICA

Tangram 七巧板 (juego de los siete elementos o tabla de la sabiduría)Es un juego chino muy antiguo. Consiste en formar figuras con la totalidad de piezas dadas. Este que ves aquí está formado por siete piezas o Tans que juntas forman un cuadrado.

1 cuadrado 5 triángulos (rectángulos isósceles):- 2 triángulos "grandes" (los catetos miden el doble de la medida del lado del cuadrado).- 1 triángulo "mediano" (la hipotenusa mide el doble de la medida del lado del cuadrado).- 2 triángulos "pequeños"(los catetos son congruentes a los lados del cuadrado).1 paralelogramo

Es un juego muy antiguo, consistente en formar siluetas de figuras utilizando las 7 piezas (Tans), sin superponerlas. Es un juego planimétrico porque todas las figuras deben estar contenidas en un mismo plano.

En la actualidad el tangram es un gran estímulo para la creatividad y se lo puede aprovechar en la enseñanza de la matemática para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

Además EL TANGRAM se constituye en un material didáctico ideal para desarrollar habilidades mentales, mejorar la ubicación espacial, conceptualizar sobre las fracciones y las operaciones entre ellas, comprender y operalizar la notación algebraica, deducir relaciones, fórmulas para área y perímetro de figuras planas ... y un sin número de conceptos que abarcan desde el nivel preescolar, hasta la básica y media e incluso la educación superior.

Hay diferentes tipos de tangram.

Existen multidud de juegos basados en los mismos principios pero con distintas piezas. A casi todos estos rompecabezas se les conoce con el nombre de tangram.

PALÍNDROMOS

Los palíndromos son escrituras simétricas, palabras o frases que se leen igual hacia delante y hacia atrás, pueden tener como unidad una letra como por ejemplo la palabra radar o una silaba como tapa y pata. Para ellos, el palíndromo no pasa de ser un juego, una mera curiosidad o un experimento sin sentido, como las palabras bifrontes, los anagramas o los paragramas. Un palíndromo no es otra cosa que una frase u oración o, incluso una breve historia, que posee la muy notable cualidad gráfica, en la escritura, de que puede leerse, diciendo lo mismo, también de derecha a izquierda, es decir, al revés de cómo en principio se escribió; ahora bien, en la lectura inversa no se mantienen idénticos los cuerpos de las palabras o las separaciones entre ellas. No importa, porque lo verdaderamente importante en el palíndromo, como en la lengua (donde las palabras no las decimos separadas, con la excepción de los políticos, que son muy listos, ellos) es el sonido. Un ejemplo clásico de palíndromo puede leerse la misma frase de derecha a izquierda:

DABALE ARROZ A LA ZORRA EL ABAD

Los palíndromos son antiguo. Muchos fueron escritos en la Grecia clásica. Además, ya en las ruinas de Pompeya, allá por el año 79 d.C., se encontró el famoso palíndromo en latín que además configura un cuadrado mágico. Los cuadrados mágicos son otra maravilla que se relaciona también con el palíndromo.

SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS

S A T O RA R E P OT E N E TO P E R AR O T A S

El palíndromo vincula lengua y matemáticas. Esta vinculación, nos muestra el eje de simetría en torno al cual se articula el palíndromo.

El español es uno de los idiomas que más facilidad tiene para la construcción de palíndromos, porque la pronunciación es igual que la escritura y por la separación de las palabras en silabas.También existen palíndromos falsos que al leer la palabra hacia atrás tiene otro significado, ejemplo arroz y zorra, amor y roma.Ayuda mucho al vocabulario practicar la búsqueda de palíndromos, al igual que a la ortografía y a la pronunciación.Aquí les dejo unos ejemplos de palabras y frases que se pueden construir como palíndromos, es todo cuestión de imaginación y motivación para aprender nuevas palabras y enriquecer el vocabulario.Palabras:Ala Ese Arenera Seres Reconocer Ama RaparFrases:_La ruta nos aporto otro paso natural_Anita lava la tina_Ella te dará detalle_Ojo rojo_Yo de todo te doy_Amo la pacifica paloma

INTERCAMBIO DE CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS

En el periodo Sóng y Yuáng el intercambio de conocimientos matemáticos entre China y el resto del mundo fue mucho mejor que en los periodos anteriores. Con el avance de los de Mongoles se desarrollaron avances en el intercambio entre China y los países islámicos durante el siglo XIII. En el periodo Yuáng se creó un observatorio islámico en la capital. A raíz de esto, muchos textos islámicos fueron introducidos en China de los cuales muchos se han perdido pues no hubo traducción de ellos. Todos estos textos astronómicos islámicos se recogieron en el Colección de los recopilatorios oficiales del periodo Yuáng en la sección de libros islámicos. Al mismo tiempo se pasaron los numerales arábigos y métodos de cálculo.

LA PRIMERA ENTRADA DE LAS MATEMÁTICAS OCCIDENTALES.

DINASTÍA MÍNG (1368 - 1644)

En ese tiempo, China estaba preocupada por fortalecer el país económica y militarmente, por ello, mostró intenso interés en la ciencia y tecnología del occidente.

Los primeros trabajos occidentales traducidos a chino fueron Elementos de geometría de Euclídes y la más pura Expresión de aritmética práctica de Clavius.

Xú Guang qî (1562 - 1633), tenía conocimientos en astronomía y agricultura. Fue la principal figura en la reforma del calendario en el fin de la dinastía Míng. Juntos, él y Matteo Ricci tradujeron los Elementos de geometría o Elementos de Euclídes compuesto de trece libros. En 1607 completaron la traducción de los seis primeros libros. No terminaron de traducirlos para ver si era provechoso para la gente. La traducción terminó en 1857 por Alexander Wylie y Lî Shânlán. Fue el primer trabajo traducido del latín en China y se caracteriza por una deducción lógica.

Lî Zhizâo (1565 - 1630) fue recomendado por Xú Guanqî para participar en el trabajo de corregir el calendario en el fin de la dinastía Míng. La expresión de aritmética práctica conocida en China como Tratado sobre aritmética europea fue traducida por él y Matteo Ricci. Dicho libro está compuesto por once capítulos. Los cuáles introducen los conocimientos aritméticos occidentales, además de métodos de cálculo usando papel y pluma. Otra cosa a destacar es que para calcular fracciones el denominador es puesto sobre la parte superior con el numerador en la parte inferior.

Como podemos observar, la entrada de las matemáticas occidentales en China era básicamente orientada a corregir el calendario.

El calendario chino denominado Dá Tông tenía muchos errores así que la corrección del calendario llegó a ser una importante tarea en el fin de la dinastía Míng. Además estaba el calendario Islámico, para la gente islámica, que también tenía errores.

Matteo Ricci supo las limitaciones de sus conocimientos, así que él envió varias cartas a misioneros que supieran de ese tema. Los cuáles no tardaron en llegar. Después de varias propuestas fallidas el gobierno Míng decretó que el método occidental debería ser adoptado y por

tanto, cambiar el calendario. Poco después el ejército Manchú penetró en China y la dinastía Míng dejó de existir. Al segundo año del comienzo de la dinastía Qíng el gobierno decreta la adopción del nuevo calendario basado en el calendario occidental, el cuál fue llamado Calendario Shîxián.

Hay un montón de matemáticas incluidas en varios libros de calendarios. Lo más importante es trigonometría plana y esférica y las tablas que son requeridas para tales matemáticas. Además de Huesos de Napier, divisores Galileanos y varios cálculos ingeniosos.

LOS MÉTODOS DE TRIGONOMETRÍA PLANA Y ESFÉRICA

Las longitudes de segmentos eran usadas para definir el significado de funciones trigonométricas. Por ejemplo en el capítulo siete de la Completa teoría de observación: Cada arco y cada ángulo tiene ocho tipos de líneas:

seno (zheng xîan)

tangente (zheng que xîan)

secante (zheng ge xîan)

versine (1 − cos x) (zheng shi)

coseno (yú xîan)

cotangente (yú qie xîan)

cosecante (yú ge xîan)

coversine (1 − sen x) (yú shi)

Los caracteres chinos significan ‘cortando’ en varios sentidos.

.

Aquí AD es el seno, CH es la tangente, BH la secante, AC el versine, DE el coseno, GF la cotangente, BG la cosecante y EF el coversine.

Además habían varias fórmulas de trigonometría plana. En ese tiempo en Europa tampoco había notación para funciones trigonométricas, por lo tanto, las fórmulas eran escritas en palabras. Usando notación moderna esas fórmulas eran equivalentes a:

Por otro lado, llegaron a China una multitud de fórmulas de trigonometría esférica. Los trabajos de Smogulecki y Xue Féng zuó trajeron métodos para calcular los lados y ángulos de triángulos usando logaritmos, así ellos introdujeron funciones trigonométricas logarítmicas.

LOGARITMOS

Los logaritmos fueron inventados por el matemático escocés John Napier (1550 - 1617). En ese tiempo no eran llamados ‘logaritmos’ sino ‘números correspondientes’ (Bî lí shú) o ‘números poderosos’ (jiá shú).Los logaritmos fueron originalmente traídos para cálculos astronómicos. Los cálculos escritos en varios libros por Smogulecki y Xue Féng zuó estaban hechos usando logaritmos.Ellos introdujeron métodos generales para varios tipos de cálculos trigonométricos logarítmicos.Por ejemplo, la regla del seno:

fue cambiada a: log b = log a + log senB − log senA

Por otra parte fueron introducidos varios aparatos de cálculo como son: ‘Divisores Proporcionales’ también conocidos como ‘Divisores Galileanos’.La mayoría de ellos están hechos de bronce o marfil, y algunos de ellos estaban hechos en China. Tienen forma de compás. Hay dos tipos, con ocho puntos o patas poco afiladas. En sus dos patas son inscritas varias graduaciones.

LOS ‘DIVISORES PROPORCIONALES’

Fueron construidos usando el principio de comparación de los lados correspondientes de triángulos similares y ellos pueden ser usados para varios tipos de cálculos como: multiplicaciones, divisiones, encontrando el término medio de una proporción, extrayendo raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc. Para extraer raíces cuadradas o cúbicas requiere usar otro tipo de graduaciones, por ello habían cuatro o cinco filas diferentes de tipos de graduación a lo largo de las dos patas.

Un ejemplo de ello es el siguiente:

Para multiplicar 7 por 13 hacemos lo que sigue:Localizamos la graduación 10 en una pata. Abre los divisores así como construyas la distancia entre la graduación 10 en las dos patas sea 13. Luego localiza la graduación 70 en las patas y mide la longitud de la base y de esta manera consigues la respuesta, 7 × 13 = 91.Otro tipo de cálculo ingenioso traído a China durante el fin de la dinastía Míng y el comienzo de la dinastía Qíng fue el ‘varillas de contar occidental’ (Xi yáng chou suán). Este tipo de cálculos ingeniosos era también conocido como ‘huesos de Napier’.

‘HUESOS DE NAPIER’.

Son equivalentes a un tipo de tablas de multiplicación separables. Usando esto, multiplicaciones y divisiones pueden ser cambiadas a sumas y restas.

Para multiplicar 85714 por 1260 se hace lo siguiente

:

Tomas los huesos 8, 5, 7, 1, 4 y alinéalos. Luego tomas las filas 1, 2 y 6.Esto es similar al método ‘calculando sobre el suelo’ (lo que es diferente es que nosotros no tenemos que dibujar ningún cuadrado). Lo siguiente es sumar los resultados obtenidos.

Otros aparatos a destacar son las ‘reglas occidentales’ y la ‘maquina de calculo’ o ‘maquina de Pascal’. De las reglas occidentales habıan varios tipos: la ‘regla del logaritmo’, la ‘regla del seno’ y la ‘regla de la tangente’. De acuerdo a la informacion que se tiene, las ‘maquinas de calculo’ llegadas fueron del tipo que invento Pascal en 1642 y son el distante antepasado del reciente, no electronico, calculador de mano.

Despues de las matematicas occidentales que habıan llegado a China en el fin de la dinastıa Mıng, varios trabajos matematicos escritos por Mei Wending aparecieron sobre el comienzo de la dinastıa Qıng. Estos trabajos indican que despues del estado inicial de la primera introduccion de las matematicas occidentales, los matematicos de China en ese tiempo eran capaces de encajar los

varios tipos de metodos de introduccion y digerir los conocimientos matematicos pasados en China. De estos conocimientos ellos emprendieron mas investigaciones. Mei Wending no solamente sistematizo tratados, edito y describio las matematicas llegadas. El desarrollo todos estos temas. Un ejemplo de ello es el calculo de los volumenes de solidos regulares con doce superficies. El es el primer ejemplo de matematico Chino que asimila las matematicas occidentales, por lo tanto, es una figura clave, pues recibe de sus precursores y abre el camino a sus sucesores.

Por otro lado debemos destacar al emperador Kang Xı. Fue el segundo emperador de la dinastıa Qıng, el cual mostró intenso interés en las ciencias matematicas y dedicó a ello una considerable cantidad de tiempo. Ademas pidió a expertos en la materia que le dieran clase. La compilación de la Coleccion básica principios de matemáticas era otro evento supervisado por él.

Este libro fue impreso en el primer año del reinado Yong Zhing (1723), pero por ese tiempo el emperador Kang Xı estaba muerto. La Coleccion básica principios de matemáticas tomó los conocimientos de las matemáticas occidentales que habían sido nuevamente introducidas en China y trato eso en un orden y secuencia logica. Los libros cubrían todos los conocimientos matemáticos en ese momento y por tanto podıan ser considerados como una enciclopedia, representando el nivel de matemáticas. Este libro permaneció como un texto obligatorio para aprender matemáticas por un largo período. Además era un importante libro de referencias para buscar información matemática.

La Colección básica Principios de matemáticas esta dividida en dos volumenes:

Los contenidos del primer volumen, dividido en cinco capítulos, son establecer los objetivos y comprender el sistema. Los cuarenta capítulos del segundo volumen estan divididos en partes específicas y para aplicaciones; además hay cuatro tipos de tablas contenidas en ocho capítulos.

MATEMATICAS DURANTE EL PERIODO FEUDAL DE “PUERTA CERRADA”.

DINASTIA QING (1796 - 1911)

Estudio y comentario de las obras antiguas.

En este período se realizaron numerosas ediciones de libros antiguos que estaban perdidos. Se produjo una busqueda de los manuales clásicos para su comentario y reedición o para incluirlos en obras de mayor tamaño como enciclopedias o colecciones. Este esfuerzo desperto un espıritu, entre la comunidad matemática china, de estudio de las obras clásicas antiguas. Este espíritu puede denotar una falta de originalidad o estancamiento, y de hecho en este período se produce un estancamiento.

Entre las colecciones de libros se realizaron durante este período podemos destacar estas cuatro:

• Coleccion de libros antiguos y modernos (Enciclopedia de mas de diez mil capıtulos).• Librería completa de las cuatro ramas de la literatura (Enciclopedia con mas de treinta y seis

mil volúmenes).• Diez libros de matematicas clásicas.• Edición de los trabajos de Qın Juishao y Li Zhı (matematicos del periodo Song y Yuan).

Una obra muy importante que se recuperó fue el libro Diez manuales matemáticos. Este, en particular, fue estudiado y comentado por Li Huang y Gu Guanguang lo que permitió su comprensión por los matemáticos de la época.

Otras obras que ocuparon el interés de los matemáticos fueron los escritos del período Song y Yuán como:

• Tratado matemático en nueve secciones.• Los libros escritos por Yang Huı recogidos en la Gran enciclopedia del período del

reino de Yang Le.• Espejo marino de la medición del círculo y Nuevos pasos en computación recogidos

en la Biblioteca Completa de Li Zhı.

INVESTIGACIONES Y DESARROLLOS PROPIOS

Aunque durante este período las matemáticas chinas sufrieron un estancamiento y no gozaron del esplendor de antaño, se realizaron avances muy importante en diversos campos como: el estudio de la trigonometría, teoría de ecuaciones, suma de series, teoría de números y la “Técnica de los conos circulares”. Muchos de estos descubrimientos ya se habıan realizado en occidente varios siglos antes.

Esto no le resta mérito, pues una particularidad de la cultura china ha sido su aislamiento del resto del mundo, por lo que podemos asegurar que estos matemáticos descubrieron de forma independiente sus resultado. En estos estudios habıan varios pasos al límite y cálculos complejos, por lo que podemos asegurar que estos avances apuntaban hacia el desarrollo independiente del cálculo diferencial e integral de no ser por su introducción por parte de los matemáticos occidentales en el siguiente período.

INVESTIGACIONES EN OTRAS AREAS

Dentro de este apartado intentaremos destacar y resumir diversos logros que alcanzaron los matemáticos chinos en otras ramas.

TEORÍA DE NUMEROS.

• Desarrollo de la “Técnica de encontrar uno por gran extensión” por Zhang Duren.

• Definición china de los números primos y la descomposición en números primos

por Huang Zongxian.

• La demostración del “Pequeño teorema de Fermat” y otros resultados básicos por

Li Shanlan.

• Estudios de la elipse y el cálculo de su perímetro.• Teorema binomial por Dı Xu.

• Desarrollo de la “Técnica de los conos circulares” por Li Shanlan y con ella obtener los siguientes resultados:

• Cálculo del area del cırculo.

• Cálculo del logaritmo natural.

Desarrollo de la tangente.

SEGUNDA ENTRADA DE LA MATEMÁTICA OCCIDENTAL. SIGLO XX

CAMBIO DE MENTALIDAD

Durante este período, la gran presión exterior que sufre China por parte de occidente la obliga a una apertura “forzosa” y posteriormente a un cambio de mentalidad. Se produce una apertura hacia occidente, con el objetivo de aprender su ciencia para poder competir con ellos y modernizar la sociedad china.

Para ello comienza la traducción de libros de ciencia, entre ellos de matemáticas. Se traducen libros de geometría analítica, cálculo diferencial e integral, teoría de probabilidad, etc. Aparte de las traducciones también se produce un cambio en la mentalidad popular china, se abole el uso del ábaco y se introduce la notación occidental moderna de cálculo, tanto la simbología como los algoritmos.

NUEVO MÉTODO DE ENSEÑANZA Y LOS NUEVOS TEXTOS MATEMÁTICOS

Para llevar a cabo el objetivo de estudiar la ciencia occidental los chinos crean diversos centros de estudio. En un principio dichos centros tenían como misión el estudio de las lenguas extranjeras, pero pronto aparecen departamentos de matemáticas y otras ciencias. El primer centro fue el “Foreing Lenguages Institute” al que posteriormente se le unirían varios más.

El periodo académico en el instituto era de ocho años. A partir del cuarto comenzaba la enseñanza matemática. En 1898 se produce una reforma educativa que divide la enseñanza en etapas. El sistema fue ligeramente modificado durante la revolución.

La cantidad de libros de texto publicada durante esta época es considerable. Las causas de estos es el “vacío” que existía pues no había textos susceptibles de ser usados como material didáctico.

Los primeros libros obtuvieron fuertes ventas y fueron muchas veces reimpresos aunque no por su calidad sino por el “vacío” anteriormente citado. Una característica importante de estos libros de texto es el uso de la notación occidental tanto numérica como simbólica (con algunas excepciones) que fue convenientemente adaptada a la escritura china (de derecha a izquierda, de arriba a abajo).

CIENTÍFICOS CHINOS RESUELVEN UNOS DE LOS GRANDES ENIGMAS DE LAS MATEMÁTICAS

Dos matemáticos chinos, Zhu Xiping y Cao Huaidong, resolvieron la Conjetura de Poincaré, un problema matemático enunciado en 1904 y que durante más de un siglo ha sido uno de los grandes enigmas de las ciencias exactas.

El trabajo de los dos matemáticos fue publicado en la edición de junio del Asian Journal of Mathematics, revista estadounidense que informa sobre el desarrollo de esta ciencia en Asia, donde chinos e indios están considerados entre los mejores matemáticos del mundo.La resolución del problema, podría considerarse como uno de los mayores hallazgos de la ciencia china, aunque todavía queda que la comunidad matemática internacional reconozca el trabajo como válido y lo someta a años de prueba.En 2002, el científico ruso Grigori Perelman anunció que había encontrado la solución al enigma, aunque nunca ha publicado los resultados completos de sus investigaciones (sí se publicaron dos documentos preliminares en 2002 y 2003).Perelman se ha mostrado siempre reacio a participar en actos públicos y mostrar en ellos la solución al problema, por lo que los dos científicos chinos han continuado sus pasos y aseguran haber completado la solución, ayudados también por las investigaciones del matemático estadounidense Richard Hamilton. Zhu es profesor de matemáticas en la Universidad de Zhongshan, en la provincia de Cantón (sur de China), mientras que Cao trabaja en La Universidad Lehigh de Pensilvania (Estados Unidos). Ante la posible polémica sobre si la solución real del enigma pertenece a Perelman o los científicos chinos, la estatal Academia China de Ciencias afirmó que el ruso 'estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma'. Zhu y Cao trabajaron en la solución de la conjetura durante dos años, declaró el segundo de ellos en declaraciones a la agencia Xinhua. 

MÁS DE UN SIGLO DE ENIGMA

La conjetura fue enunciada por el matemático francés Henri Poincaré en 1904, uno de los iniciadores de la rama de las matemáticas llamada topología geométrica, que establece y mide las superficies del universo.El enunciado de Poincaré, difícil de comprender para los no iniciados, intenta demostrar que la esfera tridimensional es el único espacio limitado de tres dimensiones sin orificios.Ni siquiera el propio Poincaré pudo demostrar este enunciado, por lo que, durante más de 100 años, ha sido "conjetura" y no ha podido alcanzar el nivel de "teorema", cosa que podría suceder si la comunidad matemática reconoce el trabajo de sus colegas chinos.La demostración de la Conjetura podría ayudar a comprender la forma del cosmos o a catalogar todas las formas tridimensionales del Universo.

MATEMÁTICOS IMPORTANTES

 LIU HUI     El matemático Liù Hui (vivió en la dinastía Qìn) escribe dos libros, por los que será reconocido como uno de los matemáticos más ingeniosos de la época. El primer libro es un comentario de los Nueve capítulos sobre el arte matemático, en el que pretende hacer explicaciones de los textos, añadiendo nuevos métodos y verificando los cálculos.Su descubrimiento más destacado es el Método de la división del cırculo, pues crea un nuevo método para calcular π, mediante la razón de la circunferencia de un cırculo a su diámetro. Los científicos chinos, se habían preocupado por encontrar π, pero ninguno había hallado un método para calcularlo. Además se conceptualiza π, no solo como la razón de la circunferencia de un cırculo, sino como un objeto matemático. Solían tomar π=3, aun sabiendo que este valor no era el correcto, pues no sabían cómo encontrar una buena aproximación. Las razones por las que π ha despertado tanto interés matemático a lo largo de la historia son las siguientes: mayor exactitud en los cálculos requeridos en astronomía por la construcción del calendario, poder utilizar π para resolver el problema de la cuadratura del cırculo13 y averiguar el del valor del propio π.Hui usa polígonos inscritos para aproximar el cırculo y encontrar π. El método de la división del cırculo aparece en un problema de los Nueve capítulos sobre el arte matemático.Se inscribe un hexágono, y un polígono con el doble de lados que el anterior, en este caso el dodecágono, luego conociendo el perímetro de estas dos figuras se aplica el teorema de Pitágoras dos veces, y así se encuentra una aproximación de π, se continua partiendo de un dodecágono y el siguiente polígono con el doble de lados (polígono de 24 lados), se repite el proceso hasta encontrar una buena aproximación de π. Verificando los cálculos de Nueve capítulos sobre el arte matemático, calculo la longitud de un polígono regular de 96 lados y el área del polígono de 192 lados y halla π = 3, 141024, pero afirmaba que este resultado se podía seguir aproximando. Para ello, había que incrementar el número de lados hasta un número infinito entonces el lımite del área del polígono regular es el área del cırculo14.Finalmente, Hui llego a encontrar π = 3, 1416, una buena aproximación de π, y la mejor hasta entonces. En el proceso del cálculo se introduce la noción de lımite, desarrollando la teoría y práctica sobre aproximación en los cálculos. También es utilizado para calcular el área de figuras irregulares.

ZU CHONGZHI

Otro matemático destacado de este periodo es Zu Chongzhi, junto a su hijo Zu Geng. Vivieron en la dinastía Norte y Sur. Desde varias generaciones, la familia de Chongzhi se había dedicado a la astronomía y a la computación del calendario. Por lo que, se interesa por las matemáticas y hace un estudio del conocimiento matemático anterior. Destaca por mejorar los métodos utilizados anteriormente y

por corregir errores de los matemáticos anteriores, como por ejemplo Liu Hui, Liu Xin, Zhang Heng y Wang Fan.Hizo grandes contribuciones al campo de la ciencia y la tecnología. Se interesa por la ingeniería y astronomía. Descubre graves errores en el calendario de Hè Chèngtiàn, que era el usado en aquel entonces. Por lo que construye, con tan solo 33 años, un nuevo tipo de calendario llamado “Calendario Dà Ming”, que provoco objeciones entre personas muy influyentes por lo cual no fue aceptado. En defensa de su trabajo, emprende un debate público con Dài Fuaxing, quien acusa a Zu Chongzhi de blasfemo y trabajar en contra de los clásicos. Sin embargo, Zu Chongzhi afirma que el Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos no eran espíritus ni fantasmas y que conociendo la forma se puede trabajar sin números. Finalmente, su calendario fue instaurado a los diez años de su muerte.Para la construcción del calendario, calculo el volumen de la esfera como actualmente conocemos V = 4/3 π r3. De esta forma, corrigió el error que aparecía en los Nueve capítulos sobre el arte matemático, el nuevo método fue desarrollado por su hijo.Su mayor descubrimiento fue aproximar π a siete cifras decimales, usando la razón de la circunferencia, a su diámetro, situándolo en este intervalo

YI XING (683-727)

Fue un matemático dotado y se le dio la tarea con otros para crear un nuevo calendario. Para ello, se estableció por primera vez a tomar nuevas medidas de las estrellas y los planetas. En 727, el año de su muerte, Yi Xing Da Yan publicó el calendario (大 衍 历 Dà Yǎn Li), que fue un libro que explica los cálculos para el calendario, así como el propio calendario.Hubo siete secciones o capítulos que tratan con el calendario y las observaciones de los que lo apoyan. Al formular el calendario, Yi Xing utilizó su nueva medición de las estrellas en el 28 xiu o constelaciones. También utilizó los datos recolectados en la longitud de la sombra del Sol en el solsticio de verano a lo largo del meridiano. Él utilizó el método de interpolación cuadrática (不等 间距 二次 内 插 法) para hacer las correcciones a las observaciones con el fin de implementar el dingqi para predecir eclipses. Entre los hallazgos reportados en el Yan Da y otros lugares fueron las observaciones de los movimientos asimétricos del sol y la luna, el cálculo de la velocidad del movimiento del sol a lo largo del camino de la eclíptica, y la primera estimación de la longitud de un movimientos asimétricos del sol y la luna, el cálculo de la velocidad del movimiento del sol a lo largo del camino de la eclíptica, y la primera estimación de la longitud de un grado sobre el meridiano.

LI ZHI (1192-1279)

Llamado también Li Yeh, fue el siguiente de los grandes matemáticos del siglo XIII. Se conocen dos escritos matemáticos de Li que tienen gran significación para la valoración de la matemática china de la época temprana. En 1248 escribió Espejo marino de las medidas del círculo (Ce yuan hai jing) contiene el tian yuan o 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste', un método para trabajar con ecuaciones polinómicas y en

1259 Nuevos pasos del cálculo (Yi gu yan duan). No existe una traducción completa de estas obras a un idioma europeo, de modo que los juicios deben limitarse solo a comentarios.Algunas de las fórmulas que se mencionan en este texto son muy relevantes y pueden usarse para el cálculo del diámetro de un círculo inscrito en un triángulo o un triángulo inscrito en un círculo, el diámetro de un círculo cuyo centro es un vértice o el diámetro de un círculo tangente a dos lados de un triángulo rectángulo con su centro en el otro lado.Sin embargo, Li Ye no explica ninguna de estas cosas en el texto, sino que simplemente las utiliza, lo que posiblemente se debe a que son desarrollos anteriores y que da por conocidos.

QIN JIUSHAO (1202-1261)

El siguiente gran avance matemático fue el de Qin Jiushao (1202 - 1261) que escribió el famoso tratado Shushu Jiuzhang (Tratado matemático en nueve secciones) que apareció en 1247. Fue el primero de los grandes matemáticos chinos del siglo XIII. Durante este período las matemáticas alcanzaran nuevas cimas. El tratado contiene un gran trabajo del teorema chino de los restos, método análogo al descubierto por Ruffini en el siglo XIX, proporciona una ecuación cuyos coeficientes son variables, solución de ecuaciones de hasta grado diez y, entre otros resultados, la fórmula de Herón para el área del triángulo.

El Tratado de matemáticas consta de nueve capítulos. Cada capítulo de este libro consta de dos secciones, y cada sección contiene nueve problemas.El tratado cubre una amplia gama de temas; aunque la mayor parte está dedicada a temas puramente matemáticos, como el análisis indeterminado, y a la solución de ecuaciones lineales, se ocupa también de muchas aplicaciones de las matemáticas, como la astronomía, el calendario, la geodesia, la arquitectura y el comercio, y es la obra más antigua en que aparece el cero.Puesto que también hace comentarios prácticos sobre las matemáticas, el libro de Qin proporciona una valiosa información sobre las condiciones sociales y económicas en China durante el siglo XIII. Qin desarrolló su talento en muchas otras áreas además de las matemáticas, como en la música, tiro con arco, esgrima, poesía y arquitectura.

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YANG HUI (1238-1298)

Escribió Análisis detallado de las reglas matemáticas en nueve capítulos y sus reclasificaciones y Método conteo de Yang Hui. Describió la multiplicación y división, las ecuaciones cuadráticas, el cálculo de áreas de distintas figuras y proporcionó un gran cantidad de cuadrados y círculos mágicos

El triángulo de Yang Hui es un arreglo triangular especial de números usados en muchas áreas de las matemáticas. En Asia, fue llamado así por el famoso matemático chino del siglo 13 Yang Hui, uno de los primeros en describir sus propiedades; en Europa es a menudo llamado así en honor del matemático francés del siglo 17 Blaise

Pascal. 

 

GUO SHOUJING  -Guo Shoujing (1231-1316), aunque no incluido habitualmente entre los grandes matemáticos del siglo XIII, hizo también importantes contribuciones. Creó el Shou shi li (Calendario de días y trabajos), trabajó en trigonometría esférica y resolvió ecuaciones empleando el método numérico de Ruffini-Horner. También desarrolló una fórmula de interpolación cúbica para tabular la diferencia acumulada como en el método de interpolación de Newton. 

ZHU SHIJIE

El último de los matemáticos de esta era dorada fue Zhu Shijie (alrededor del 1260 - alrededor del 1320), escribió el Suanxue qimeng (Introducción a los estudios matemáticos) publicado en 1299, y el Siyuan yujian (Reflexiones verdaderas de los cuatro desconocidos) publicado en 1303. Usó una extensión del 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste' para manejar polinomios con hasta cuatro incógnitas. También produjo muchos resultados en las sumas de series. Esto representa el punto

más álgido en las matemáticas de la antigua China.

SU BUQING

Escribió más de diez monografías, tales como Geometría Diferencial Afines. Se especializó en el estudio y fundó una escuela de geometría diferencial. se dedica a la investigación, la enseñanza y la educación en la geometría diferencial y geometría computacional . En sus primeros años, que suponen una excelente contribución a la geometría diferencial afín y la geometría diferencial proyectiva . Obtuvo logros extraordinarios en la geometría diferencial del espacio en general, se conjugan la teoría de redes en el espacio superior dimensional y el diseño asistido por computadora.

HUA LUOGENG

Fue el fundador y pionero en muchos campos de investigación nuevos de China las matemáticas. Escribió más de 200 tesis y monografías, muchas de las cuales se han convertido en documentos de valor clásico inmortal. Además de la investigación matemática pura, Hua también hizo un gran trabajo en el campo de las aplicaciones de las matemáticas. Él hizo las matemáticas sirven a la economía nacional y se convirtió en el primer científico chino que combina estrechamente los estudios de

matemáticas y teoría de la producción de prácticas, y obtuvo enormes resultados económicos en muchos campos.

WU WENJUN

Wu nació en Shanghai ,China, el 12 de mayo 1919, donde más tarde se graduaría de la Universidad Chiao Tung (actualmenteUniversidad de Xi'an Jiaotong y Shanghai Jiao Tong

University ) en 1940.La investigación de Wu incluye los siguientes campos: la topología algebraica , geometría algebraica , teoría de juegos , historia de las matemáticas , demostración de teoremas automatizado . Sus contribuciones más importantes son la topología algebraica .  En el campo de la demostración de teoremas automatizado , es conocido por el método de Wu .También es activo en el campo de la historia de las matemáticas chinas, fue el editor en jefe de la serie de diez volúmenes Premio de Matemáticas de China, que abarca desde la antigüedad hasta finales de la dinastía Qin .

CHEN JINGRUN (1933 - 1996)

Matemático chino, más conocido por su teorema `` en la representación de un gran número entero par como la suma de un primo y el producto de un máximo de dos números primos''(teorema de Chen). En relación con este teorema, los primos Chen llevan su nombre. Chen también trabajó en la conjetura de dos primos, la conjetura de Goldbach, la conjetura de Legendre y el problema de Waring.

En 1999, China emitió un sello postal de 80 yuanes, con una silueta de Chen y la desigualdad

En el ámbito de la teoría analítica de los números, tiene una posición de liderazgo internacional entre los matemáticos.