PROBLEMAS DESARROLLADOS

1. Utilizar una conveniente transformación lineal para calcular la integral doble:

donde “s” es la región paralelográmica con vértices :(

Solución:

2. Considerar la aplicación definida por las ecuaciones:.

a) Calcular el jacobiano .b) Un triangulo T en el plano uv tiene vértices (0;0) ; (2;0) ; (0;2).

Representar, mediante un dibujo, la imagen S en el plano xy.c) Calcular el área de S mediante una integral doble extendida a S y también

mediante otra integral doble extendida a T.

d) Calcular

Solución:

a)

b)

c)

3. Considerar la aplicación lineal definida por las ecuaciones a) Calcular el jacobiano.b) Sea T la región rectangular en el plano uv con

vértices (1;1),(2;1),(2;3) y (1;3). Representar, mediante un dibujo, la Imagen S en el plano XY.

c) Calcular la Integral doble haciendo el mismo cambio de

variable, donde

Solución:a)Hallamos el jacobiano:x = u2 – v2 ; v = 2uv

J(u,v) =

= 4(u2 + v2)

b)

u2 – v2 ; v = 2uv

Según la grafica repartimos los intervalos1:u = 1, v [1 ,3]x = 1 – v2

y = 2v→ x = 1 – y2/4 ; y [2 , 6]2:v = 3; u [1 , 2] x = u2 – 9y = 6u→ x = y2/36 – 9 ; y [6 , 12]3:u = 2 ; v [1 , 3]x = 4 – v2

y = 4v→ x = 4 – y2/164:v = 1 ; u [1 , 2]x = u2 – 1y = 2u→ x = y2/4 – 1 ; y [2 , 4]

4. Calcular la Integral Doble: sobre el disco

circular .Determinar los valores de p para los que I(p;r) tienen límite cuando .

Solución:

…….(.x)

Entonces: (x)

Por lo tanto por condición del problema la respuesta es: p<1

6. Sea T la transformación definida por la regla de correspondencia:(x,y,z)=T(u,v,w)=(u2+v; u-v; w) y sea E el tetraedro con vértices (0;0;0) , (0;0;1) (0;1;0) , (1;0;0). Encontrar el volumen de T(E).

Solución:

(x,y,z)=T(u,v,w)=(u2+v; u-v; w) entoncesT(0,0,0)=(0,0,0)T(0,0,1)=(0,0,1)T(0,1,0)=(1,-1,0)T(1,0,0)=(1,1,0)

9. Usar la integración en coordenadas esféricas para encontrar el volumen de la región acotada por la superficie esférica superiormente y por el

cono inferiormente.

Solución:

De la ecuación 1 y 2 se tiene: Es un cilindro.

Pasando ha coordenadas esféricas.

10. Encontrar el centroide de la región acotada por la superficie esférica superiormente y por el cono inferiormente.

Solución:

11. Sea R la región perteneciente al primer cuadrante limitada por las lemniscatas:

, use la transformación T del plano UV al plano R mediante las fórmulas:

.

Solución:

Veamos la transformación:Despejamos u y v :

u1/2 = ; v1/2 = ;

I: r2 = 3cos(2 ) ; 2 [37o , 45o]

u1/2 = 3 ; v1/2 = 3ctg( 2 )→ u = 9 ; v = 9.ctg2( 2 ) /v [9 , 16]

II: r2 = 4sen(2 ) ; 2 [37o , 45o]

u1/2 = 4tan( 2 ) ; v1/2 = 4→ v = 16 ; u = 16.tan2( 2 ) /u [9 , 16]

III: r2 = 4cos(2 ) ; 2 [45o , 53o] u1/2 = 4 ; v1/2 = 4ctg( 2 )→ u = 16 ; v = 16.ctg2( 2 ) /v [9 , 16]

IV: r2 = 3sen(2 ) ; 2 [37o , 45o] u1/2 = 3tan( 2 ) ; v1/2 = 3→ v = 9 ; u = 9.tan2( 2 ) /u [9 , 16]

S = {(u , v) / }

12. Encuentre el centroide de un cono circular solido homogeneo y demuestre Que se encuentra sobre su eje atres cuartas partes de la distancia de su vértice a la base.Solución:

Comparando los dos resultados:

14. Sea R una bola homogénea de masa m y radio a. Sea P un punto que dista H del centro de la bola (H>a).Calcular el potencial -∫∫∫ δ/ddV donde δ es la densidad y d la distancia desde un punto Q en R al punto P.

Solución:

Reemplazando en la formula de potencial obtenemos:

15. Una máquina de riego agrícola distribuye agua en un círculo de radio 100 pies. Colocando aleatoriamente unos cuantos botes en este circulo, se determinó que la máquina arroja pies de altura de agua a una distancia de r pies de la máquina en una hora. ¿Qué cantidad de agua proporciona a una región circular tal que:a. esté a 100 pies de la máquina.b. esté a 50 pies de la máquina.

Solución:

Se trata de calcular el volumen debajo de la superficie cuyo dominio es el plano XY hasta un radio r. para ello nos conviene utilizar coordenadas esféricas,

Para los casos solicitados:

a)

b)

17. Sea R la porción de una bola de radio “a” que es desprendida por un taladro cilíndrico de diámetro””a” cuyo borde pasa por el centro de la esfera. (a)Representar R (b) Observar que R consiste en 4 piezas congruentes. Hallar el volumen de una de ellas usando coordenadas cilíndricas y luego hallar el volumen de R.

Solución:

En coordenadas cilindricasPara el volumen1 para el volumen 2

Luego tenemos

Evaluando las integrales tenemos que

18. En la teoría de propagación epidémica se supone que la que la probabilidad de que un individuo contagioso infecte a un individuo a D millas de distancia es solo función de D. Considérese una población distribuida uniformemente sobre una ciudad circular de radio una milla. Supóngase que la probabilidad mencionada es proporcional a . Dado un punto fijo Q sea . Sea R la región que ocupa la ciudad.(a)¿Por qué el riesgo de enfermar para una persona que reside en Q es proporcional a

. (b)Calcular la integral cuando Q es el centro de la ciudad y cuando

Q esta en la frontera de la ciudad. (c)En vista de (b), ¿cual es el lugar mas seguro?

Solución:

19. sea una distribución uniforme de masa sobre el plano y una masa puntual se dirige hacia el plano. La fuerza de atracción gravitatoria del plano sobre la masa puntual

se dirige hacia el plano y tiene un modulo dado por . (La integral es

impropia ya que se extiende a todo el plano, .calcular la integral sobre un circulo de

radio s centrado en el origen y luego hacer tender ese al infinito) el polo del sistema de coordenadas polares en el plano se toma como el punto proyección de la masa puntual. (a) probar que la integral es igual a 2 (b) de acuerdo con a la fuerza de atracción del plano sobre la masa puntual no depende la distancia entre ellos. ¿Tiene esto sentido?

Solución:

Según el grafico:

=

Donde :dFR = 2dF1 …….(1)No contamos la componente horizontal pues siempre se anulará por la fuerza de la partícula opuesta en el plano xy.Sabemos que la fuerza tiene como módulo el producto de masas por una constante entre el cuadrado de la distancia: dF1 = mdM k ; De (1) →dFR = 2 m dM k a2 + r2 a2 + r2

→ dFR = m dM k

dM/dA = = cte → dM = dAPero: dA = rdrd → dM = rdrd ……… (3)Integramos dFR reemplazando de la ecuación (3):

FR = ; Donde es la región mostrada en la figura,

región circular de radio s.Según la ecuación dada vemos que 2amk = 1; por lo tanto la fuerza total será:

FR =

Según la figura vemos que:r = a tan( ) ; x = a tan( )cos( ) ; y = a tan( )sen( )

J( , )=

Finalmente integramos todo respecto a la región remplazando con el Jacobiano:

FR = ; Donde es el máximo ángulo

que llega , y este será = arc tan(s/a).Sabiendo esto hallamos la integral:

FR = = =

Si tomamos el límite s→ :

Lo cual lo hace independiente de la distancia, esto es porque si se acerca al origen las componentes verticales de la fuerza se hacen mayores y al infinito estas componentes se hacen 0, si se aleja la partícula del origen, las componentes verticales disminuyen y sus fuerzas al infinito disminuyen pero mas lento que la vez anterior, lo cual por esto se equilibra de tal manera que la suma infinitesimal de la fuerza siga siendo 2 .

20. la rapidez de un fluido a una distancia r del eje de una tubería de radio r.

V(r)= ,siendo a,n, constantes y donde r. es el radio de las tubería .sea

R una seccion de la tubería perpendicular a su eje .Hallar el valor medio sobre R de : a) la rapidez del fluido .

b) el cuadrado de la rapidez del fluido.

Solución:

a)

Valor medio de la rapidez

integrando por partes:

b)

Valor medio al cuadrado de la rapidez

22. Encuentre el centroide de la región del primer octante interior a los dos cilindros x2+y2=1 y y2+z2=1.

Solución:

0≤y≤10≤x≤√1-y2

0≤z≤√1-y2

Para obtener las coordenadas del centro de masa necesitamos hallar los momentos de inercia con respecto a los tres planos coordenados,de la forma de la grafica concluimos que las coordenadas en x y z son iguales.

( )= (3 /16,1/4, 3 /16)

23. Encuentre el volumen del sólido limitado por el cono elíptico y

z=1.

Solución:

Veamos la grafica y con ello la zona de integración:

En este problema utilizaremos coordenadas cilíndricas, con ello

y la superficie del cono que denotada por

,

asimismo la intersección de ambas superficies se da cuando:

Con ello el volumen de dicho sólido que da expresado por la integral:

25. Conviértase la siguiente integral

(a) a coordenadas rectangulares.(b) a coordenadas esféricas.

Solución:

Sea la integral

Los limites de integración son

Luego en rectangulares seria:

Luego en esféricas seria:

26. Dibujar el dominio de integración de la integral

y escríbase luego como una integral iterada equivalente en el orden:(a) , (b) , (c) , (d) , (e)

Solución:

27. Un cuenco sólido de densidad uniforme δ esta acotado inferiormente por la superficie , superiormente por el plano y en los extremos por los planos x=1 y x=-1, calcúlese el centro de masa y los momentos de inercia respecto a los tres ejes.

Solución:

Por dato dm/dV = = cteSegún el grafico y los datos que nos dan acotamos y hallamos la integral de la masa y momento:

→

Vemos que el sólido es simétrico respecto al eje x y al eje y, el centro de masa estará solo en el eje z.

28. Un hoyo cuadrado de lado 2b es seccionado simétricamente de una esfera de radio a (a>1.41*b) .Determínese el volumen del material eliminado.

Solución:

30. En una esfera se hace un hoyo cuyo eje es un diámetro de la esfera. El volumen

del sólido esta dado por la integral

a) Examinando la integral dada, determínese el radio del hoyo y el de la esfera.b) Calcúlese el valor numérico de la integral.

Solución:

De los límites de integración obtenemos las siguientes informaciones:

→ r=1 y R=2

31. El contrapeso de un volante tiene la forma de un pequeño segmento cortado de circulo de radio a por una cuerda a una distancia b del centro (b<a). Hállese el área del contrapeso y su momento polar de inercia respecto al centro del círculo.

Solución:

según el grafico, no nos conviene utilizar coordenadas polares, por ello utilizaremos coordenadas cartesianas:

Para el área:

Ahora calcularemos el Momento de Inercia polar:

33. Calcúlese el área encerrada por la lemniscata : Hállese además el momento de inerencia de la región limitada por la lemniscata respecto al eje “y”.

Solución:

De la ecuación:

=A=

34. Calculese la integral

Sugerencia: escríbase el integrando como una integral doble.Escribiendo como una integral doble.

Solución:

Aplicando el teorema de Fubini:

35. Calcular la medida del Hipersólido limitado por una hipersuperficie esférica en Rn de radio R cuya ecuación es: .

Solución:

Para hallar ese volumen tomaremos coordenadas esféricas en n-dimensiónLa ecuación será: Haremos la transformación xi = Ryi para que la esfera sea unitaria:

J(x1 , …,xn) = = Rn

Es mas fácil hallara la última integral mediante esféricas en Rn:

Donde la nueva región será R’ = {(r , )/ }Cuyo jacobiano seráJ (yi) = (con r = 1)

El volumen será:

Obtenemos así la ecuación de la esfera unitaria en Rn ( ):

Demostraremos que:

En la primera integral hacemos el cambio sen2x = t,

:

→

Sabiendo esto hacemos el siguiente Algoritmo:

36. Calcular la medida del Hipersólido limitado por un hipercono en , la ecuación

el cono en R3 es: .

Solución:En este ejercicio generalizaremos los cálculos al espacio Consideraremos el “Cono circular recto ”

y

De modo que la ecuación se ve en estas

nuevas coordenadas se ve como:

O bien:

El plano se ve como

Y el volumen procurado que denotaremos por , es: =

=

=

La primera de estas integrales se calcula fácilmente escribiendo el integrando como .

Su valor es : . Por otra parte obsérvese que el producto las

demás integrales toma la forma de una ecuación del ejercicio precedente

=. . .

=

38. Se pueden definir unas coordenadas esféricas generalizadas mediante la transformación siguiente

donde a,b,c,m y n son constantes positivas. Hallar el jacobiano.

Solución:

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

PROBLEMAS DESARROLLADOS II

MATEMÁTICA III

por

GOMEZ CHONG Paul dremynHUARCAYA VASQUEZ César

MALLQUI CAPCHA DennisMARTINEZ SEDANO Manuel

VASQUEZ MORALES Hans Edinson GRANDEZ Henry Edison

20050213B

MA133

Febrero 2007

Lima Perú