Una función logarítmica es aquella que se expresa como:

argumento

f(x) = logax base

Base a > 0 a 1

Argumento x > 0

●Dominio R+ ●Codominio R●Funcion creciente en R+

●Dominio R+●Codominio R●Funcion decreciente en R+

• Dominio es restringido:loga b = c → A y B > 0

Es decir: * conjunto x (R)* positivos (x > 0)

• Imagen corresponde a cualquier elemento del conjunto de los números reales (R).

1) Las funciones logarítmicas son inversas a las funciones exponenciales, dado que:

loga x = b ⇔ a =b x

2) En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.

Por ejemplo:

# log3 1 = 0 ⇔ 3 =O 1# log2 1 = 0 ⇔ 2 =O 1

3)La función es inyectiva: Si a cada elemento del conjunto X (dominio) le corresponde un solo elemento(distinto) del conjunto Y (imagen).

Una funcion es inyectiva cuando se cumple alguna de estas afirmaciones: •Si (a,b) son elementos de X tales que f(a) =

f(b)

necesariamente se cumple a=b .•Si (a,b) son elementosdiferentes de X, necesariamente se cumple f(a) f(b).

EJEMPLOS:• f(x) = 4x - 1 es inyectiva: ya que los originales son

iguales.f(x1) = f(x2) ⇒ 4x1 - 1 = 4x2 - 1 ⇒

4x1 = 4x2 ⇒ x1 = x2

• g(x) = x2 no es inyectiva: Ya que una rectahorizontal corta a su gráfica en más de un punto.Ej: y = 4 ésta cortala función en los puntos:x = 2 , x = -2 g(2) = 4 , g(-2) = 4. Por lo tanto 2 y - 2, tienen la misma imagen.

4) El eje Y es asíntota.

DEFINICIÓN: Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.CLASIFICACION:

•Asíntotas verticales (paralelas al eje Y) : La recta “x = a” es la asíntota vertical.

• Asíntotas horizontales (paralelas al eje X): La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

• Asíntotas oblicuas (inclinadas): La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

5) Las funciones logarítmicas:Son crecientes:a>1

Son decrecientes: a<1

Loga1=0Logaa=1

Loga(b.c)=Logab+LogacLoga(b/c)=Logab-Logac

Logabᵑ=nLogabLogaᵑ√b=Loga b

n

Por ejemplo: una función dada por

F(x)= log 2 (x+2)

1.Se determina el dominio y el rango de f.2.Se encuentra la asíntota vertical de la grafica de f.3.Encontrar la X y la intercepta Y de la grafica de f si

los hay.4.Se dibuja la grafica de f.

F(x)= log 2 (x+2)

Dominio : x+2 > 0x > -2

Intervalo : (-∞, + ∞)

La asíntota vertical se obtiene mediante la solución de x+2 = 0 x = -2

Cuando x tiende a -2 de la derecha (x > -2), f(x) decrece sin limites

Para encontrar la intersección de x tenemos que resolver la ecuación f(x) = 0

log 2 (x+2)=0lo que nos da

x=(-1,0)

Necesitamos mas puntos, por lo que reemplazamos valores de X en la función

F(x)=log 2 (x+2)x y

-3/2 -1

2 2

Dominio x > -2Rango (-∞, + ∞)x e intercepta y x=(-1,0)Asíntota vertical x = -2Puntos (-3/2,-1)

(2,2)

En los gráficos inferiores se puede ver como cambia la gráfica al variar “a”.

En las gráficas de la derecha sepuede ver como al multiplicar por una constante y= k. Loga x cambia la rapidez con que la función crece o decrece (k<0).

Al sumar (o restar) una constante “b” la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) “b” unidades, cambiando el punto de corte con el eje de abscisas.

•Ejemplo 1: La geología requiere ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/B) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y B es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).•Ejemplo 2: Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.•Ejemplo 3: En la física, para el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

wikipedia.com / wikimate.com / facultad.bayamon.inter.edu / huitoto.udea.edu.com / entre otras.