Leyes, reservas y tamaos de mina

I) Los mtodos tradicionales de estimacin de recursos

Estimacin global Estimacin local

1) La media aritmticaEl mtodo de la media aritmtica se basa en lo siguiente: Para estimar la ley media de un conjunto S se promedian las leyes de los datos que estn dentro de S. Ejemplo: Consideremos el caso de un cuadrado con 7 muestras interiores:

Comentarios acerca del mtodo: Todos los datos tienen el mismo peso 1/N Muy simple. Fcil de calcular Produce malos resultados cuando hay agrupaciones de datos. En el ejemplo de la figura anterior existe una agrupacin de datos en la zona de alta ley: El valor 1.57 aparece como demasiado alto. No funciona bien en estimaciones locales porque quedan bloques sin informacin, tal como muestra la figura I.4:

2) Mtodo de los polgonosUsos: en depsitos con poca variaciones de Ley y potencia. El mtodo no delimita el depsito.Metodologa: se construyen los polgonos, dejando en su centro un sondeo. Se forman prismas poligonales.

Comentarios: Complicado, requiere comps, regla, planmetro. El peso del dato Zi es Si / S. Funciona mejor con agrupaciones de datos que la media aritmtica. Difcil de implementar en tres dimensiones. En general no es adecuado en estimaciones locales porque asigna la misma ley a todos los bloques que estn dentro de un mismo polgono. Produce problemas con datos anmalos.

3) Mtodos de inverso a la distanciaEl mtodo del inverso de la distancia se basa en lo siguiente: Asignar mayor peso a las muestras cercanas y menor peso a las muestras alejadas a S. Esto se consigue al ponderar las leyes por , ( = 1, 2, . . . ;di= distancia entre la muestra i y el centro de gravedad de S).Si = 1 se tiene el inverso de la distancia (ID). Si = 2 se tiene el inverso del cuadrado de la distancia (ID2).

Luego se procede con las siguientes M2, M3, M4, M5, M6, M7.

Luego sumatoria del producto del ponderador por las leyes respectivas.Comentarios: Simple, fcil de calcular. Se adapta mejor en estimaciones locales que globales. No funciona bien con agrupaciones de datos. Atribuye demasiado peso a las muestras cercanas al centro de gravedad. En particular no est definido si di = 0 (muestra en el centroide de S) No toma en cuenta la forma ni el tamao de S (en el ejemplo S' tiene la misma ley que S porque su centroide coincide con el de S).

4) Crtica general de los mtodos tradicionales de estimacin de leyes De la presentacin anterior podemos hacer los comentarios siguientes sobre mtodos estudiados: Son empricos. Demasiado geomtricos. No consideran la estructura del fenmeno mineralizado. (continuidad de las leyes)

La posible presencia de anisotropas, es decir direcciones en las cuales la variacin de leyes es privilegiada (ver la figura I.10).

Figura I: Anisotropas de las leyes de cobre en una planta del depsito RT. dimensiones en metros. Valores interpolados.

Ejemplo: En el caso de la figura I.11, las leyes z1 = 1.25 y z2 = 1.75 son simtricas con respecto al bloque (se observan cuatro isoleyes):

Los polgonos y el inverso de la distancia asignan la misma ley al bloque S:

Sin embargo, la ley media de S es inferior a 1.5%!Sea Zs la ley verdadera desconocida de S. Sera interesante poder escribir una ecuacin del tipo:

La magnitud del error nos cuantificara la calidad de la estimacin y nos indicara la necesidad eventual de hacer ms sondajes. En general estos mtodos presentan un fenmeno conocido como sesgo condicional, el cual se traduce en la prctica por una sobre-estimacin de las leyes altas y una sub-estimacin de las leyes bajas. El sesgo condicional se puede comprobar en una mina a cielo abierto, al comparar las leyes estimadas de los bloques (modelo de largo plazo) con el promedio de los pozos de voladura de los bloques (informacin de corto plazo). En algunas minas este proceso de comparacin se llama reconciliacin de leyes.

II) Mtodos geoestadsticosKrigeado : se utiliza para estimar el valor de una variable regionalizada a partir de factores de ponderacin. Este valor se caracteriza por ser el mejor estimador lineal e insesgado de la variable.Mejora los factores de ponderacin se determinan de tal forma que la varianza de estimacin sea mnima.Lineal: es una combinacin lineal de la informacin.Insesgado: en promedio el error es nulo, no hay sesgo en los errores. Existen dos tipos de Krigeados: Puntual BloquesSecuencia para un estudio geoestadstico:

A) Krigeado puntualLos factores de ponderacin, para obtener el valor de la variable, se calculan a partir de un sistema de ecuaciones, en donde las incgnitas para resolver el sistema se obtienen a partir del variograma modelizado.

Ejemplo: Un conjunto de 4 muestras de un yacimiento de cinc, cuyas leyes son: X1 8,2% - X2 ,9,6%- X3 ,13,15%- X4 ,6,3%. El variograma a considerar se ajusta a un modelo esfrico con alcance 250 m; C0 17 y C 66. Calcular utilizando el krigeado el valor de X0.

K1 Y1.1 + K2 Y1.2 + K3 Y1.3 + K4Y1.4 + = Y0.1

K1 Y2.1 + K2 Y2.2 + K3 Y2.3 + K4Y24 + = Y0.2

K1 Y31 + K2 Y3.2 + K3 Y3.3 + K4Y3.4 + = Y0.3

K1 Y4.1 + K2 Y4.2 + K3 Y4.3 + K4Y4.4 + = Y0.4

K1 + K2 + K3 + K4 = 1

Calculando los Yi-j del Modelo Esfrico con la ecuacin:

Y(H9) = C0 + C [ 1,5(h/a) 0,5(h/a)3 ] para h < a

Y(H9) = C0 + C para h > a

De esta forma se obtienen los valores Yi-j y sustituyndolos en las ecuaciones de krigeado, se obtendra un sistema de 5 ecuaciones con 5 incgnitas.K1 = 0,393 ; K2 = 0,022 ; K3 = 0,329 ; K4 = 0,256

Por lo tanto el valor de la variable Ley de Zinc para el punto X0 ser:

Z (X0) = 0,393 x8,2 + 0,022 x 9,6 + 0,329 x 13,1 + 0,256 x 6,4 = 9,38 %

B) Krigeado de bloquesEl valor obtenido se lo asigna a un Bloque, no a un punto.

Tener en cuenta que el valor medio de una Funcin Aleatoria, en un bloque, es el valor medio de todas las variables aleatorias, dentro del bloque. Funcin Aleatoria: admite la incertidumbre, por lo tanto van a ser un conjunto de variables, que tienen una localizacin espacial y cuya dependencia se rigen por algn mecanismo probabilstico.

Para determinar el valor del bloque es necesario discretizar el rea en un conjunto de puntos de 2x2; 3x3; 4x4, obtenindose a continuacin la media entre los diferentes valores.

Este hecho lleva a resolver decenas o centenares de miles de ecuaciones, lo que sera imposible sin el uso de la informtica

A considerar:Los valores que se obtienen con el krigeado, llevan los correspondientes valores de la varianza de estimacin, lo que permite hacer un estudio de la bondad de estimacin.Estos valores pueden ser interpolados y confeccionar un mapa de isovarianzas.

Annels (1991), propone establecer diferentes tipos de reservas en base a los valores de varianza del krigeado.

VarianzaCategora

0-0,0075Reservas probables

0,0075-0,0135Reservas posibles

>0,0135-Reservas inferidas

Clasificacin de recursos y reservas de Mc Kelvey: