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EDWIN PANDIA VILLANUEVA INGENIERIA CIVIL - UNA PUNO

TRABAJO DE DINÁMICA

12.11. De repente se aplica una fuerza F de 5 kN sobre una masa A. ¿Cuál es la velocidad de A después de que ésta haya recorrido 0.10 m?. La masa B es un bloque triangular de espesor uniforme.

Solución: Realizamos el D.C.L del bloque B:

Luego, aplicamos momento en el punto C:+ ΣMC = 0

8 MB g – x NB = 0 8 MB g – x NB = 0

8 (100) (9.81) – x NB = 07848 – x NB = 0

7848 = x NB

NB = 7848x

Ahora, realizamos el D.C.L del bloque A:


En el eje y:

ΣFy = 0NA – NB = 0

NA = NB

NA = 7848x

En el eje x:ΣFx = m a

F – fr = MA aA

F – μd NA = MA aA

5000 – (0.30) (7848x

) = 20 aA

aA = 250 – 117.72x

Pero sabemos que:

aA = dvdtdxdx

= v dvdx

Entonces, igualando tenemos:

v dvdx

= 250 – 117.72x

v dv = (250 – 117.72x

)dx

Integrando y evaluando:

∫0

v

v dv = ∫6

6.10

(250– 117.72x

)dx

v2

2 = ¿ - ¿

Por lo tanto, la velocidad del bloque A cuando se encuentre a 0.10 m. de su punto de partida será:

v2

2 = 1312.13 – 1289.07

v2

2 = 23.06

v2 = 23.06 (2)

v2 = 46.12

v = √46.12 v = 6.79 m/s Rpta.


12.13. Los bloques A y B están inicialmente estacionarios. ¿Qué distancia recorrerá A sobre B si A recorre 0.20 m respecto al terreno?

Solución: Nos piden hallar xA/B cuando xA = 0.20 m, según la siguiente gráfica:

Para ello, realizamos el D.C.L

En el eje y:Σ Fy = 0

NA – MA g cos 10° = 0NA – (20) (9.81) (cos 10°) = 0

NA – 193.22 = 0NA = 193.22 N

En el eje x:Σ Fx = m a

F + MA g sen 10° - 0.4 NA = MA aA

500 + (20) (9.81) sen 10° - 0.4 (193.22) = (20) aA

500 + 34.07 – 77.29 = (20) aA


456.78 = (20) aA

aA = 22.84 m/s2

Pero sabemos que:

aA = d(v¿¿ A)dt

¿

vA = d(x¿¿A )dt

¿

Por consiguiente:

d (v¿¿A )¿ = aA dt vA = aA t

d (x¿¿ A)¿ = vA dt = aA tdt x A = aA t2

2 ...

(1) De la ecuación (1), despejamos “t”:

t = √ 2 x AaA ... (2)

Por otro lado, realizamos el D.C.L del bloque B:

En el eje y:Σ Fy = 0

NB – NA – MB g cos 10° = 0NB – 193.22 – (30) (9.81) cos 10° = 0

NB – 483.05 = 0NB = 483.05 N


0.4 NA + MB g sen 10° - 0.1 NB = MB aB

(0.4) (193.22) + (30) (9.81) sen 10° - (0.1) (483.05) = (30) aB

80.09 = (30) aB

aB = 2.67 m/s2 Pero sabemos que:

aB = d(v¿¿ B)dt

¿

vB = d(x¿¿B)dt

¿

Por consiguiente:

d (v¿¿B)¿ = aB dt vB = aB t


d (x¿¿B)¿ = vB dt = aB tdt xB = aB t2

2 ...

(3) Reemplazamos la ecuación (2) en (3):

xB = aB √ 2 xAaA2

2

= aB

2 x Aa A2

= aB (xAaA

)

xB = aB (xAaA

)

Sustituyendo valores:

xB = (2.67) (0.2022.84

)

xB = 0.023 m

Aplicamos movimiento relativo para hallar x A /B:

x A /B = x A - xB Por lo tanto:

x A /B = x A - xB = 0.20 – 0.023

x A /B = 0.177 m Rpta.

12.16. Se aplica una fuerza de 10 kN sobre un cuerpo B cuya masa es de 15 kg. El cuerpo A tiene una masa de 20 kg. ¿Cuál es la velocidad de B después de recorrer 3m? Tomar μA = 0.28. El centro de masas del cuerpo A esta en su centro geométrico.

Solución: Ubicamos los ejes coordenados x e y:


Luego, realizamos el D.C.L del bloque A:

Aplicamos momento en el punto C:+ ΣMC = 0

1.70 (μA NA) + x NA – 3 (MA g) = 01.70 (0.28 NA) + x NA – 3 (20) (9.81) = 01.70 (0.28 NA) + x NA – 3 (20) (9.81) = 0

0.476 NA + x NA – 588.6 = 0(0.476 + x) NA = 588.6

NA = 588.6

(0.476+ x)

Por otro lado, realizamos el D.C.L del bloque B:


10 000 - μA NA = MB aB

10 000 – 0.28 (588.6

(0.476+ x)) = 15 aB

aB = 666.67 – 10.99

(0.476+ x)

Pero sabemos que:

aB = dvdtdxdx

= v dvdx

Entonces, igualando tenemos:

v dvdx

= 666.67 – 10.99

(0.476+ x)

v dv = [666.67 – 10.99

(0.476+ x)¿dx

Integrando y evaluando:

∫0

vB

v dv = ∫3

6

[666.67– 10.99(0.476+ x)

]dx


vB2

2 = ¿ - ¿

Por lo tanto, la velocidad del bloque B cuando se encuentre a 3 m. de su punto de partida será:

vB2

2 = 3979.49 – 1986.32

vB2

2 = 1993.17

vB2 = 3986.34

vB = 63.14 m/s Rpta.

12.38. Una cuña de madera cuya densidad es de 600 kg/m3 se introduce dentro del agua mediante una fuerza de 650 N. La cuña tiene 0.60 m de ancho. a. ¿Cuál es la profundidad d? b. Después de quitar la fuerza de 650N. ¿Cuál será la velocidad de la cuña después de recorrer 0.15m suponiendo que ésta no gira al elevarse?

Solución: a) Realizamos el D.C.L de la cuña:

Donde:

W : Peso de la cuña


ρ : Densidad de la cuña (ρ = 600 kg/m3)g : Gravedad ( g = 9.81 m/s2)V : Volumen total de la cuña

Fb : Fuerza de flotación o empuje del agua

En el eje y: Σ Fy = 0 ; (El sistema se

encuentra en equilibrio)650 + W – Fb = 0

Fb = 650 + W Fb = 650 + ρ g V ... (1)

Seguidamente, hallamos el volumen total de la cuña:V = (0.9) (0.60) (0.45) (cot 30 °) / 2

V = 0.21 m3

Luego, reemplazamos valores en la ecuación (1):Fb = 650 + (600) (9.81) (0.21)

Fb = 650 + 1236.06 ; W = 1236.06 N

Fb = 1886.06 N Por otro lado, la fuerza de flotación también es igual a la siguiente ecuación:

Fb = ρagua g Vs ... (2) Donde: ρagua : Densidad de agua (ρagua = 1 000 kg/m3) g : Gravedad ( g = 9.81 m/s2) Vs : Volumen de la parte sumergida en agua de la cuña Entonces, sustituimos valores en la ecuación (2):

Fb = 1886.06 = (1000) (9.81) Vs

1886.06 = 9810 Vs

Vs = 0.192 m3 ... (3) Pero el volumen sumergido según el gráfico planteado en el problema es igual a:

Vs = 2 (0.60) d2 tan30 ° / 2Vs = (0.60) d2 tan30 °

Vs = (0.346) d2 ... (4) Finalmente, igualando las ecuaciones (3) y (4) obtenemos:

Vs = (0.346) d2 = 0.192 d2 = 0.555

d = 0.745 Rpta. b) Realizamos el D.C.L de la cuña pero con ausencia de la fuerza de 650 N:


En el eje y, se cumplirá la segunda ley de Newton:W – Fb = m a

W – ρagua g Vs = (ρV) a ; m = ρV Donde: W : Peso de la cuña

ρagua : Densidad de agua (ρagua = 1 000 kg/m3) g : Gravedad ( g = 9.81 m/s2) Vs : Volumen de la parte sumergida en agua de la cuña

m : Masa de la cuña a : Aceleración de la cuña ρ : Densidad de la cuña (ρ = 600 kg/m3)

V : Volumen total de la cuña Sustituyendo valores en la ecuación anterior:

W – ρagua g Vs = (ρV) a

1236.06 – (1000) (9.81) Vs = (600) (0.21) a

126 a = 1236.06 – 9810 Vs

a = 9.81 –77.86 Vs ... (5) A continuación, hallamos el volumen sumergido de la cuña en función de “y”, según la gráfica:

Vs = 2 (0.60) y2 tan30 ° / 2

Vs = √35

y2 ... (6)

Luego, reemplazamos la ecuación (6) en (5):

a = 9.81 –77.86 (√35

y2)

a = 9.81 – 26.97 y2

Pero sabemos que:

a = dvdtdydy

= v dvdy

Entonces, igualando ecuaciones:

v dvdy

= 9.81 – 26.97 y2

v dv = [9.81 – 26.97 y2]dy Integrando y evaluando:

∫0

v

v dv= ∫d

d−0.15

[9.81 –26.97 y2]dy ; d =

0.745 m.

v2

2 = ∫

0.745

0.595

[9.81 – 26.97 y2]dy


v2

2 = [9.81(0.595)– 26.97

(0.595)3

3

] - [9.81(0.745)– 26.97(0.745)3

3

]

Por lo tanto, la velocidad de la cuña cuando haya recorrido 0.15 m. a partir de su punto de partida, será:

v2

2 = 3.943 - 3.591

v2

2 = 0.352

v2 = 0.704 v = 0.839 m/s Rpta.

12.30. El bloque B de 500 N de peso descansa sobre el bloque A, el cual pesa 300 N. El coeficiente de rozamiento dinámico entre las superficies de contacto es de 0.4. En la pared C hay unos anillos cuyos rozamientos se puede despreciar ¿Cuál será la aceleración del cuerpo A cuando se aplica una fuerza F de 5 kN?

Solución: Ubicamos los ejes coordenados x e y:


Realizamos el D.C.L del bloque B:

En el eje y, se cumplirá la segunda ley de Newton:Σ Fy = m a

NB cos20 ° - WB - µ NB sen 20° = mB aB

NB cos20 ° - WB - µ NB sen 20° = W B

9.81 aB

NB cos20 ° - 500 – (0.4) NB sen 20° = 5009.81

aB

[cos20 ° - (0.4) sen 20°] NB - 500 = 5009.81

aB

NB = 5009.81

aB+500

[cos20 °−(0.4)sen 20° ]

NB = 63.48 aB+ 622.75 … (1)

También realizamos el D.C.L del bloque A:

En el eje x, se cumplirá la segunda ley de Newton:

Σ Fx = m a

F - µ NB cos20 ° - NB sen 20° = mA a A = W A

9.81 a A

5000 – (0.4) NB cos20 ° - NB sen 20° = 3009.81

a A

5000 – [(0.4) cos20 ° + sen 20°] NB = 3009.81

a A


[(0.4) cos20 ° + sen 20°] NB = 5000 – 3009.81

a A

NB = 5000 –

3009.81

aA

[(0.4)cos 20°+sen20 ° ]

NB = 6964.79 – 42.60 a A … (2) Igualando las ecuaciones (1) y (2):

NB = 63.48 aB+ 622.75 = 6964.79 – 42.60 a Aa A = 148.87 – 1.49 aB …(3)

Para conocer la aceleración del bloque A debemos conocer antes la aceleración del bloque B, para elloanalizamos la siguiente grafica cuando el bloque A se desplaza cierta distancia y por consiguiente el bloque B:

Del grafico se concluye:

yx

= tan 20°

y = x tan 20° …(4) Realizando una primera y luego una segunda derivada de la ecuación (4) con respecto al tiempo, obtenemos:

a y = ax tan 20°

aB = a A tan 20° … (5) Reemplazamos la ecuación (5) en (3) y obtenemos la aceleración de A:

a A = 148.87 – 1.49 aBa A = 148.87 – 1.49 (a A tan 20°)

a A = 96.67 m/s2 Rpta.

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