La Funcin Swebrec para Prediccin de los Finos Producto de

Tronaduras

C. Gonzlez, N. Morocho, L. Serrano

RESUMEN: La funcin Kuz-Ram ha sido tradicionalmente utilizada para predecir la fragmentacin de

roca producto de tronaduras. Este modelo de fragmentacin ha servido y ha dado un aporte valioso al

proceso mine-to-mill, sin embargo su limitacin principal ha sido la de predecir los finos que aparecen

en la tronadura y pueden tener significado importante dentro del proceso de trituracin posterior. La

funcin Swebrec se encarga de realizar la prediccin de los finos de tronadura con un alto grado de

precisin y detalle, convirtindola en una funcin que permite agregar valor a la cadena mine-to-mill.

PALABRAS CLAVES: tronadura, fragmentacin, Rosin-Ramler, Kuznetsov, Kuz-Ram, Swebrec, KCO.

1. INTRODUCCIN

Histricamente la produccin de mineral se ha trabajado en dos etapas distintas, los procesos

para extraer el mineral del suelo y los procesos destinados a convertir dicho mineral en un

producto comerciable. Esto constituye uno de los mayores errores en la minera, ya que al

tomar en cuenta ambos procesos por separado, las entidades aparentan operar de manera

eficiente, pero al considerar la operacin como un todo, usualmente se encuentran

funcionando muy por debajo de la mxima eficiencia. Por ejemplo, una voladura que genere

una mayor fragmentacin de la roca traer consigo aumentos de rendimiento en las etapas

de carga y transporte, disminucin de mantenimiento de todos los equipos en general, menor

necesidad de fragmentacin secundaria, aumentos de produccin y disminucin de

consumos de energa en planta.

La etapa de tronadura, dentro del proceso minero, corresponde al primer proceso de

conminucin, es decir, reduccin de tamao del material confinado en el macizo rocoso.

Corresponde a la etapa ms eficiente del proceso de conminucin, tanto del punto de vista

tcnico y econmico, dado que el explosivo provee la energa ms econmica para

fragmentar roca. El principal objetivo de esta etapa del proceso productivo es fragmentar la

roca de tal manera que quede en un tamao adecuado para ser cargada y transportada hacia

los botaderos o chancado primario, en donde continua el proceso de conminucin. Por lo

tanto, las decisiones tomadas durante esta etapa impactan de manera directa a la economa

del resto del proceso minero, por lo cual es de vital importancia implementar ciertas medidas

que permitan obtener un producto de calidad para las siguientes etapas del proceso

productivo.

Los principales avances en la tronadura son la habilidad de predecir los resultados y el

desarrollo de curvas matemticas para describir la granulometra del material tronado. Estas

curvas o modelos matemticos, nos permiten cuantificar, al menos desde el punto de vista

de la fragmentacin deseada, los beneficios econmicos en tronar con mayor la potencia y

precisin respecto a los potenciales beneficios de la reduccin en el consumo de energa

elctrica por tonelada de mineral producida y tonelaje tratado o procesado por da.

Actualmente en la industria minera, el modelo de Kuz-Ram es la herramienta de prediccin

de tamaos de la tronadura con mayor uso. Este modelo, en su formulacin, es el resultado

de la combinacin de los modelos de Kuznetsov, la ecuacin de Rosin Rammler y los ndices

de tronabilidad y uniformidad de Cunningham. La funcin de Kuznetsov usa como variables

de entrada distintos parmetros de diseo utilizados en tronadura, por otro lado la funcin

Rosin-Rammler es utilizada en los procesos de conminucin como una manera de determinar

la distribucin de tamao obtenida y siendo una buena representacin de la realidad para

granulometra fina. La combinacin de las ecuaciones de Kuznetsov y de Rosin-Rammler da

como resultado el llamado modelo de la fragmentacin del Kuz-Ram

Sin embargo, en los ltimos aos, se ha desarrollado una nueva funcin de distribucin de

tamao denominada funcin Swebrec. Esta funcin, posee la habilidad de predecir los

resultados (con una magnitud del tamao que va desde 0,5 mm hasta 500 mm) y describir

con igual exactitud la granulometra de material de las tronaduras, el chancado y molienda.

Esta funcin ha proporcionado excelentes ajustes para cientos de grupos de datos, llegando

a coeficientes de correlacin r2=0,995 o mejores. Cabe destacar que la implementacin de

esta funcin no excluye al modelo de Kuz-Ram, sino que se combina con l, proporcionando

una serie de ventajas, llegando a solucionar falencias existentes en el modelo de Kuz-Ram.

Combinando la funcin Swebrec con el modelo Kuz-Ram, los investigadores pueden disponer

de una potente herramienta para estudiar la fragmentacin rocosa. Esto se debe

principalmente a que la funcin Swebrec aumenta la capacidad de prediccin del modelo Kuz-

Ram, sobre todo dentro de los lmites ms precisos. La herramienta se puede aplicar en la

prediccin de cualquier desviacin de la fragmentacin causada por la curva caracterstica

de la rotura natural de la masa rocosa.

Con avances en las reas de modelamiento de la granulometra, viene tambin la oportunidad

de optimizar y lograr beneficios grandes en productividad tanto en las operaciones mina,

como en los procesos aguas abajo en el tratamiento de los minerales a partir del chancador

primario.

2. MODELO DE KUZ-RAM

El modelo Kuz-Ram presentado en esta seccin es el realizado por Cunningham (1983) y se

ha usado extensivamente alrededor del mundo. Se basa en una relacin simple entre los

parmetros de tronadura y el tamao medio de fragmentacin. Este modelo gan

considerable credibilidad en el mundo despus que se encontr que concordaba muy

estrechamente con modelos de fragmentacin basados en la teora de crecimiento de grietas.

2.1.- Ecuacin de Rosin Rammler

La curva de Rosin Rammler ha sido generalmente reconocida, tanto en minera como en

procesamiento de minerales por entregar una buena descripcin de la distribucin de los

tamaos de rocas tronadas y trituradas. La curva de funcin acumulada bajo tamao (material

retenido en un tamiz de abertura X, y Xc) se define en la Ecuacin 1 como:

() = 1 (

)

(1)

En la ecuacin:

X = Abertura del tamiz [cm]

Xc = Tamao caracterstico [cm]

n = ndice de uniformidad (Cunningham, 1987)

La ecuacin de Rosin-Rammler se puede hacer lineal para facilidad de la estimacin de ajuste

y de parmetros como en la Ecuacin 2:

( (1

())) = () () (2)

2.2.- Ecuacin de Kuznetsov

Esta ecuacin proporciona una estimacin del tamao medio de la partcula de roca despus

de la tronadura:

50 = (

)0.8

1

6 (115

)

0.633

(3)

En la Ecuacin 3:

X50 = Tamao medio de los fragmentos [cm]

A= Factor de la roca

Vo = Volumen de roca quebrada por pozo (Burden x Espaciamiento x Altura de Banco) [m3]

Qe = Masa explosivo cargado en el pozo [Kg]

Sanfo = Potencia relativa en peso al ANFO (ANFO = 100; TNT = 115)

2.3.- Ecuacin de Kuz-Ram

La ecuacin de Rosin- Rammler se debe adaptar a la de Kuznetsov que entrega el tamao

medio, lo cual se expresa en la siguiente Ecuacin 4:

=50

(2)1

=50

(0.693)1

(4)

2.4.- ndice de Tronabilidad o Factor Roca

Tal vez el parmetro ms importante en el modelo Kuz-Ram es el factor de roca. Los ltimos

desarrollos en la aplicacin del modelo usan una ligera modificacin al ndice de Tronabilidad

de Lilly (1986) para calcular el Factor de Roca (Cunningham. 1987). Este ndice describe la

competencia de la roca asociado al proceso de tronadura. Sus rangos tpicos van de 8 a 12

para calidades de roca de baja, buena y mejor tipo de competencia. Es interesante notar que

la tabla que Cunningham us para calcular el factor de roca es muy similar al ndice de

Tronabilidad usado por Lilly (1986) con la importante diferencia de que Cunningham le dio

mayor importancia a la dureza de la roca. Cunningham (1987) indica que en su experiencia

el lmite ms bajo para el Factor de Roca, incluso en tipos de roca muy dbiles, es A = 8 y el

lmite superior es A = 12. La Ecuacin 5 es:

= 0.06 ( + + + ) (5)

Los parmetros y valores correspondientes para el clculo de A vienen dados en la Tabla 1.

Tabla 1. Parmetros y rangos para clculo de A

Parmetro Descripcin Rango

A Factor de Roca 8-12

RMD Descripcin de la Masa Rocosa

Pulverulento/Quebradizo 10

Diaclasado verticalmente JF

Masiva 50

JF JPS+JPA

JPS Espaciamiento de fracturas verticales

< 0.1 m 10

Desde 0.1 m a sobre tamao 20

Sobre tamao a tamao de diseo de perforacin asumido 50

JPA ngulo del plano de fractura

Buza hacia fuera de la cara 20

Rumbo perpendicular a la cara 30

Buza hacia dentro de la cara 50

RDI ndice de densidad de la roca 25*D 50

D Densidad de la roca [t/m3]

HF Factor de Dureza

Para E50 [GPa] UCS/5

E Mdulo de Young [GPa]

UCS Resistencia a la compresin uniaxial [Mpa]

2.5.- ndice de Uniformidad (Cunningham, 1987)

La principal contribucin de Cunningham al modelo Kuz-Ram fue el proponer un mtodo para

estimar n en la ecuacin de Rosin-Rammler, basado en la geometra del hoyo relacionado

con los parmetros geomtricos de la tronadura. Para el uso de slo un explosivo se aplica

la Ecuacin 6:

= (2.2 14

) (

1+

2)

0.5

(1

) (

) (6)

En cambio, para el uso de dos explosivos se aplica la Ecuacin 7:

= (2.2 14

) (

1+

2)

0.5

(1

) (

) (( (

)) + 0.1)

0.1

(7)

En las ecuaciones 6 y 7:

B = burden (m)

S = espaciamiento (m)

D = dimetro del taladro (mm)

W = desviacin estndar de la precisin de perforacin (m)

L = longitud total de la carga (m)

H = altura del banco (m)

BCL = longitud de carga de fondo (m)

CCL = longitud de la carga de columna (m)

ABS = valor absoluto

3. FUNCIN SWEBREC

La funcin fue desarrollada por el investigador Finn Ouchterlony en el Centro sueco de

Investigacin de Tronadura ubicado en la Universidad de Tecnologa de Lule, la cual se

ubica en Estocolmo, Suecia. Su desarrollo es motivado por la intencin de predecir con mayor

precisin los tamaos finos generados en la fragmentacin. Los resultados de distribucin de

tamaos de fragmentos son muy buenos, y en especial en las fracciones retenidas de tamao

finas de muestras tamizadas (magnitud del tamao que va desde 0,5 mm hasta 500 mm),

proporcionado excelentes ajustes para cientos de grupos de datos, llegando a coeficientes

de correlacin r2=0.9970.001. Las Ecuaciones 7 y 8 que se muestran a continuacin

describen la funcin Swebrec.

() =1

1+((

)

(

50))

; 50 0 < < (7)

() = ((

)

(

50)) ; () = 0 (50) = 1 (8)

El parmetro b es llamado por Ouchterlony como parmetro de ondulacin de la curva, el

cual reemplaza el ndice de uniformidad n.

La particularidad de utilizar el parmetro b posiblemente viene de la necesidad de utilizar un

parmetro que considera directamente el tamao x50 como un factor para describir cmo se

tritura el material durante la tronadura, similar a la trituracin en planta. El parmetro n

asume bsicamente que la geometra del banco es la que definir un comportamiento

relativamente uniforme de la trituracin de la roca durante la tronadura, por lo que el resultado

en la funcin Kuz-Ram produce una figura lineal. Al usar el parmetro b se est asumiendo

correctamente que la distribucin del tamao de partculas no ser lineal, algo que es ms

apegado a lo que se observa en la realidad, y que por lo tanto se puede esperar que el

resultado sea una curva como la que se produce utilizando la funcin Swebrec.

4. MODELO KUZNETSOV-CUNNINGHAM-OUCHTERLONY (KCO)

El modelo KCO es la funcin Kuz-Ram utilizando la funcin Swebrec reemplazando la original

funcin de Rosin-Rammler. El modelo se basa en las siguientes ecuaciones:

() =1

1+((

)

(

50))

(9)

50 =

() 16 (

115

)

1930

0.8 (10)

() = 1 () =((2))

1

(1+1

)

; (11)

= 2 (2) (

50) (12)

= ( , )

=

=

La funcin () 1 desplaza la distribucin de tamao de los fragmentos a valores menores

de X50 o para predecir ms finos. Este factor de desplazamiento g(n) puede ser incorporado

tambin al modelo KCO, ya que la experiencia dicta que es una ventaja en la prediccin de

finos.

En la seccin 7 de Anexos se presentan los resultados de una simulacin realizada con la

funcin Swebrec para corroborar que la funcin da los resultados que se buscan.

5. CONCLUSIONES

En la ecuacin de Rosin-Rammler lineal, si el logaritmo natural doble del inverso de la

proporcin de material retenido en un tamiz de tamao X se grafica contra el logaritmo

natural del tamao, la curva resultante debe ser lineal, con una pendiente igual al ndice de

uniformidad n y con una interseccin igual a ().Grficamente se puede ver que el

aumento del valor del tamao crtico Xc, hace a la distribucin de tamao ms gruesa, pero

la curva permanece esencialmente paralela, por lo tanto, variando los valores de Xc,

simplemente se hace a la distribucin de material ms gruesa o ms fina. En general, al

aumentar la energa del explosivo (o factor de carga) y reducir el espaciamiento, se debe

esperar mover la curva de distribucin de tamao para producir una pila ms fina a travs del

rango completo de tamao. Por otro lado, al aumentar el ndice de uniformidad n, se tiene

el efecto de cambiar la pendiente de la curva. El disminuir la pendiente significa que el material

se hace ms grueso en el extremo superior y ms fino en el inferior de la curva de distribucin

de tamao. El cambiar n cambia por lo tanto el ancho de la distribucin de tamao, o la

uniformidad en el tamao de la partcula producido por la tronadura. Por lo tanto, al producir

concentraciones focalizadas de energa del explosivo, ms que una distribucin uniforme de

energa (o sea, cambiar de un hoyo de pequeo dimetro con una columna larga de explosivo

a un hoyo de gran dimetro con una columna corta de explosivo) se puede esperar que baje

el valor de n ya que la regin de roca prxima a la columna corta de carga se quebrar ms

fina, mientras que el material adyacente a la columna larga del taco recibir poco

quebrantamiento.

La ecuacin de Kuznetsov establece que el tamao medio de partcula de una tronadura

depende de las propiedades de la roca y del explosivo. El trmino (V0/Q) representa el inverso

del factor de carga equivalente. La ecuacin, por lo tanto, indica que el tamao medio de la

partcula disminuye casi linealmente con el aumento del factor de carga. La ecuacin tambin

sugiere una dbil dependencia del peso del explosivo por hoyo. Esto sugiere que la ecuacin

diferencia entre dimetros de hoyos grandes y pequeos. Dimetros de hoyos pequeos

producirn una pila de material ms fino en virtud de la distribucin mejorada de energa.

La ecuacin de Kuznetsov proporciona una estimacin del tamao medio, o sea, el tamao

del tamiz por el cual pasa el 50% de la roca. Puesto que la ecuacin de Rosin Rammler se

puede definir completamente por un punto de la curva y la pendiente de la lnea, todo lo que

se necesita despus de la determinacin del tamao medio, es una estimacin de n en la

ecuacin de Rosin Rammler y se puede calcular una distribucin completa de tamao de la

pila.

La aplicacin del modelo ha sido extensa, aplicado tanto a datos publicados como a

experimentales, y en general, se ha concluido que predice muy bien los tamaos gruesos

pero es menos exacto para las fracciones ms finas (Cunningham subraya que la exactitud

es ms importante para la fraccin gruesa (sobre tamao) que para la fraccin fina)

La experiencia indica que la ecuacin de Cunningham para calcular el Factor de Roca

sobreestima considerablemente el trmino. Para preservar las tendencias para estimar el

trmino, se recomienda que la ecuacin se altere simplemente cambiando el valor de la

constante 0.06 a 0.04. Este cambio reduce el valor estimado del factor de roca en un tercio,

produciendo, a su vez, una mejor estimacin de la fragmentacin que parece describir mejor

el funcionamiento de la tronadura en operaciones de tronaduras en banco.

La nueva funcin Swebrec reemplaza a la funcin de Rosin-Rammler en el modelo de Kuz-

Ram, transformndolo al modelo de KCO. La funcin Swebrec posee tres parmetros y da

buenos ajustes para distintos grupos datos de fragmentacin con correlaciones de 2 = 0.995

o mejor, dentro de un rango de fragmentacin de los 2 a 3 ordenes magnitud.

Como la funcin Swebrec fue construida con tendencia a predecir finos, el uso del factor g(n)

se hace ms necesaria en el modelo en la ecuacin de X50

La expresin para Xmax es tentativa y puede ser reemplazada si existe una mejor descripcin

de la tronadura en un macizo rocoso fracturado.

A pesar de estas incertidumbres, el modelo KCO vence dos grandes desventajas del modelo

Kuz-Ram, la pobre capacidad de prediccin de tamaos en el rango de los finos y el lmite

superior infinito para tamaos de bloques.

Viendo el siguiente grfico, se aprecia que la funcin Swebrec predice de manera ms precisa

las fracciones finas de la distribucin granulomtrica.

Figura 1. Extensin del modelo Kuz Ram con la funcin Swebrec

6. REFERENCIAS

Ochterlony F. THE SWEBREC FUNCTION, BLAST FRAGMENTATION, THE KUZ-RAM AND CZM/TCM

MODELS, THE NBC AND CRUSHER BREAKAGE, IT ALL TIES TOGETHER, publicacin entregada en clases

acadmicas de Tronadura de la Universidad de Chile: 1 -31

7. ANEXOS

A continuacin se presentan los resultados de la aplicacin de la funcin Swebrec a un set

de datos, con el fin de corroborar que la funcin arroja los resultados que se esperan.

Tabla 2. Parmetros de entrada

Sigla Parmetro Valor Unidad

Q Explosivo por Tiro 9.24 [kg]

q Carga Especfica 0.55 [kg/m3]

sANFO Potencia en peso relativa del explosivo usado 62.2 [%]

B Burden 1.8 [m]

S Espaciamiento 2.2 [m]

d Dimetro del Hoyo 0.051 [m]

Lb Largo de la Carga 3.9 [m]

Lc Largo de la Columna Explosiva 0 [m]

Llot Largo de la Carga Total 3.9 [m]

H Altura de Banco 5.2 [m]

SD Desviacin estndar de la exactitud de perforacin 0.25 [m]

B_IS Tamao de Bloque In-situ 3 [m]

g(n) Factor de Ajuste 0.66

Factor de Ajuste (DATO) 1.00

Densidad Densidad de la Roca 2700 [kg/m3]

E Mdulo de Young 60 [GPa]

sigma_c Factor Dureza 3 [MPa]

JPS Factor Espaciamiento 50

JPA Factor de Plano de Fractura 20

RMD Rock Mass Description 70

HF Hardness Factor 0.60

Tabla 3. Clculo de parmetro n

B[m] 1.8

d[m] 0.051

SD[m] 0.25

S[m] 2.2

Lb[m] 3.9

Lc[m] 0

Ltot[m] 3.9

H[m] 5.2

n 1.17

n(DATO) 1

Tabla 4. Clculo de parmetro A

JPS 50

JPA 20

RMD 70

RDI 17.5

HF 0.60

A 9.486

A(DATO) 1

Tabla 5. Clculo de parmetro b

xmax[cm] 2

x50[cm] 44.84

n 1.17

b 2.43

b(DATO) 1

Tabla 6. Clculo de parmetro Xmx

B_IS 3

S 2.2

B 1.8

xmax[m] 1.8

xmax(DATO)[m] 1

Tabla 7. Clculo de parmetro X50

g(n) 1.00

A 13

Q 9.24

sANFO 62.2

q 0.55

x50[cm] 44.84

x50(DATO)[cm] 1

Tabla 8. Parmetros adicionales

RMD

polvo 10

masivo 50

JF (fractura) 70

JF

JPS Sj

RDI 17.5

densidad [kg/m3] 2700

HF E50 0.6

E [GPa] 60

c [MPa] 3

El grfico resultante para la aplicacin de los parmetros es el que se muestra a continuacin

para los siguientes datos de entrada:

Tabla 9. Datos de entrada

xmax[cm] 180

x50[cm] 44.84

b 2.43

n 1.17

Xc 61.30

Figura 2.- Comparacin del modelo de prediccin Kuz-Ram con el modelo Swebrec

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000P(x

) %

x [mm]

Comparacin de Distribucin Granulomtrica - Funcin Swebrec (Modelo KCO) vs Funcin Rosin-Rammler (Modelo Kuz-Ram)

KCO

KUZ-RAM