ÁLGEBRA LINEAL

APLICADA

Matrices Circulantes

Integrantes:

FIORDELISI, Lucas

GATTÁS, Samir

MATTANÓ, Juan Cruz

ULLMANN, Gustavo

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Introducción teórica

Las matrices circulantes son un tipo especial de matriz. Una matriz de este tipo se

genera a partir de un vector de dimensión n:

La matriz circulante C(a)nxn asociada es:

Este tipo de matrices tienen ciertas características:

las diagonales y sus paralelas se forman con el mismo número;

la suma de cada fila y columna da el mismo resultado, igual a la suma del vector

generador de la matriz.

Cuentan además, con propiedades interesantes como:

la suma entre matrices circulantes da como resultado otra matriz circulante;

el producto entre matrices circulantes da como resultado una matriz circulante;

el producto entre un escalar y una matriz circulante da como resultado una

matriz circulante;

la inversa de una matriz circulante es otra matriz circulante;

la transpuesta de una matriz circulante es una matriz circulante.

Como se cumple el axioma de la suma y producto escalar entre matrices circulantes,

decimos que el conjunto de matrices circulantes de orden n forman un subespacio de las

matrices cuadradas de orden nxn.

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Valores y vectores propios

Raíces de la unidad

Para el cálculo de los valores y vectores propios de las matrices circulantes, recordamos

como se realiza el cálculo de las raíces de la unidad. La raíz n de 1 admite n resultados

diferentes.

La unidad se la considera como el complejo z=1+0i donde ρ=1 y θ=0. La raíz será

entonces:

√𝑧𝑛 = (√𝑝𝑛 ,𝜃 + 2𝜋𝑘

𝑛) = √𝑝𝑛 (𝑐𝑜𝑠

𝜃 + 2𝜋𝑘

𝑛+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛

𝜃 + 2𝜋𝑘

𝑛) , 𝑘 = 0,1,2,… . , 𝑛 − 1

Cada raíz está a 2𝜋

𝑛 radianes de la raíz anterior.

Valores propios

Si suponemos una matriz A

El polinomio característico de esta será:

Si calculamos las raíces del polinomio obtenemos sus autovalores:

𝜆1 = 6

𝜆2 = −3

2− 𝑖

√3

2

𝜆3 = −3

2+ 𝑖

√3

2

Podemos ver que el primer autovalor es la suma de las componentes del vector

generador.

Si aplicamos las raíces de la unidad podemos ver que se llega a algo más general:

3

𝜆1 = 1(1)0 + 2(1)1 + 3(1)2 = 1 + 2 + 3 = 6

𝜆2 = 1(−1

2+ 𝑖

√3

2 )

0

+ 2(−1

2+ 𝑖

√3

2)

1

+ 3(−1

2+ 𝑖

√3

2)

2

= −3

2− 𝑖

√3

2

𝜆2 = 1(−1

2− 𝑖

√3

2 )

0

+ 2(−1

2− 𝑖

√3

2)

1

+ 3(−1

2− 𝑖

√3

2)

2

= −3

2+ 𝑖

√3

2

Observamos que cada polinomio se descompuso en un polinomio donde los coeficientes

son las componentes del vector generador de la matriz circulante evaluadas en cada raíz

de la unidad. Es decir, los autovalores de una matriz circulante C generador por un

vector:

𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … . , 𝑐𝑛)

Se pueden expresar como:

𝜆𝑘 = 𝑐1 + 𝑐2𝜔𝑘 + 𝑐3𝜔𝑘2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝜔𝑘

𝑛−1, 𝑘 = 1,2,3,… , 𝑛

Vectores propios

Los espacios de los vectores propios podemos obtenerlos de la ecuación:

(𝐴 − 𝜆𝑘𝐼)𝑣𝑘 = 0

Al observar los autovectores notamos que ellos están formados por la raíz de la unidad

correspondiente a la dimensión de la matriz elevada a distintas potencias. De manera

general:

𝑣𝑘 = (1,𝜔𝑘 , 𝜔𝑘2 , … , 𝜔𝑘

𝑛−1)𝑇 , 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛

Notamos entonces que el cálculo de valores y vectores propios de matrices circulantes

es sencillo. Solo debemos plantear polinomios con las componentes del vector como

coeficientes, evaluando el polinomio en cada raíz de la unidad para obtener cada

autovalor. El autovector asociado a cada autovector es el mismo polinomio pero con

coeficientes igualados a 1 y con cada suma como componente del autovector.

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MATRIZ DE FOURIER

Introducción

La serie de Fourier es de dimensión infinita. Reconstruir la función f(x) se puede lograr

a partir de la serie infinita de senos y cosenos multiplicados por los coeficientes de

Fourier.

En la realidad se realiza la transformada discreta de Fourier (DFT), que es lo explicado

recién sólo que discretizando f(x) en un número finito de puntos. Se utiliza la

denominada matriz F de Fourier. Las matrices 𝐹−1 𝑦 𝐹 deben ser rápidas, o sea 𝐹−1

debe ser sencilla y las multiplicaciones por F y F(-1) deben ser rápidas. La inversa de F

de orden n es muy fácil: 𝐹−1 =1

𝑛∗ �̅�

El único problema de la matriz de Fourier es que sus elementos son complejos, los 𝜔𝑘

mencionados. El procedimiento denominado la transformada rápida de Fourier permite

calcular en un número reducido de multiplicaciones la transformada del vector deseado.

La matriz de Fourier es de la forma:

Se observa que la primer fila y columna están completas de unos, el resto de los

componentes son las raíces unidad elevadas a la potencia j*k.

se observa que es una matriz ortogonal (se puede convertir en ortonormal dividiendo

por √𝑛) y que a su vez también es una matriz de vandermonde).

( ) ( ). i tf t f t e

1

( ) ( ) .2

if t f t e d

21

0

iknN N

k n

n

c y e

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La expresión usada para los elementos de la matriz de Fourier es la notación compleja

de la forma exponencial para la raíz k de 1, elevado a la j:

( √1𝑛

)𝑗= (√1

𝑛,0 + 2𝜋𝑘

𝑛)

𝑗

= √1𝑛

𝑒𝑥𝑝 (0 + 2𝜋𝑘

𝑛)

𝑗

= exp (𝑖2𝜋𝑗𝑘

𝑛 )

Relación con las matrices circulantes

Se puede apreciar que las columnas son los vectores propios de una matriz circulante de

orden n, entonces todas las matrices circulantes son diagonalizadas por F y sus

autovalores son los elementos de la diagonal de la matriz diagonalizada:

1 0 1 2

2 1 0 1

1 2 1 0

0 1 2 1

A

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

i iF

i i

4 0 0 0

0 2 0 01* *

0 0 0 0

0 0 0 2

iF A F

n

i

Convolución: es una de las operaciones matemáticas avanzadas más importantes. Para

el caso de la consolación entre dos vectores el resultado es otro vector de la siguiente

forma:

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Este vector de convolución se puede expresar como el producto de una matriz por un

vector, y la matriz asociada al vector y es una matriz circulante, en este caso está dada

por la primera columna.

𝑦 ∗ 𝑧 =

[

𝑦0 𝑦𝑁−1 𝑦𝑁−2 … 𝑦2 𝑦1

𝑦1 𝑦0 𝑦𝑁−1 … 𝑦3 𝑦2

𝑦2 𝑦1 𝑦0 … 𝑦4 𝑦3

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑦𝑁−2 𝑦𝑁−3 𝑦𝑁−4 … 𝑦0 𝑦𝑁−1

𝑦𝑁−1 𝑦𝑁−2 𝑦𝑁−3 … 𝑦1 𝑦0 ]

[

𝑧0

𝑧1𝑧2

⋮𝑧𝑁−2

𝑧𝑁−1]

𝑦 ∗ 𝑧 = 𝐶𝑦,𝑧 = (1

𝑁𝐹. 𝐷𝑦. �̅�) . 𝑧 =

1

𝑁𝐹.𝐷𝑦𝜑

Donde 𝜑 = �̅�. 𝑧, por lo tanto 𝜑 es la Transformada Discreta de Fourier de z:

𝜑 = 𝐷𝐹𝑇(𝑧)

En la diagonal Dy está la Transformada discreta de Fourier de y, entonces la diagonal de

Dy= DFT(y). Por otra parte el producto Dy. 𝜑 es la multiplicación elemento a elemento

del vector de la diagonal de Dy por el vector z. Por último, este producto está

multiplicado por F, por lo cual se tiene una transformada inversa de Fourier, y la

convolución queda como sigue:

𝑦 ∗ 𝑧 = 𝐼𝐷𝐹𝑇(𝐷𝐹𝑇(𝑦) ∗ 𝐷𝐹𝑇(𝑧))

Aplicación: la convolución puede usarse para multiplicar polinomios. P(x) es un

polinomio de grado m y Q(x) es un polinomio de grado n, entonces su producto

P(x)Q(x) se puede hallar de la siguiente manera: si escribimos dos vectores cp y cq que

contiene los coeficientes P y Q en potencias decrecientes de x y se rellenan con ceros

hasta que sean de dimensión m+n+1, entonces la convolución de estos vectores es el

vector de los coeficientes de P(x)Q(x) en potencias decrecientes de x.