trabajo fin de master
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Programción didáctica de 4º de la ESO de Matemáticas Opción BTRANSCRIPT
PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS
TRABAJO FIN DE MASTER
Maria Teresa Prieto Hernández
Máster Universitario en Formación del Profesorado de Enseñanza Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas
TFM: 2011-2012 ÍNDICE
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INDICE
1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 4
1.2. Contextualización. .................................................................................... 6
1.1. Justificación de la programación. ............................................................. 5
2. OBJETIVOS
2.1. Objetivos generales de la etapa ............................................................... 9
2.2. Objetivos generales del área o matéria. ................................................... 9
3. COMPETENCIAS BÁSICAS. ...................................................................... 12
3.1. Relación entre las competencias básicas y los objetivos del área o
matéria. ...................................................................................................... 12
4. CONTENIDOS. ESTRUCTURA Y CLASIFICACIÓN.
4.1 Contenidos Generales. ........................................................................... 14
4.2. Contenidos Transversales. .................................................................... 17
5. UNIDADES DIDÁCTICAS. ORGANICACIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE LAS
UNIDADES ................................................................................................... 20
6. METODOLOGÍA. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
6.1. Metodología general del área o materia. ................................................ 36
6.2. Actividades y estrategias de enseñanza y aprendizaje. ......................... 37
7. EVALUACIÓN .............................................................................................. 39
7.1. Criterios de evaluación. .......................................................................... 39
7.2. Instrumentos de evaluación. .................................................................. 40
7.3. Tipos de evaluación. .............................................................................. 42
7.4. Cirterios de calificación. ......................................................................... 42
7.5. Actividades de refuerzo y ampliación. .................................................... 42
7.6. Evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje. .............................. 43
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8. MEDIDAS DE ATENCIÓN AL ALUMNADO CON NECESIDADES
ESPECÍFICAS DE APOYO EDUCATIVO O CON NECESIDADES DE
COMPENSACIÓN EDUCATIVA. .................................................................. 44
9. FOMENTO DE LA LECTURA. ..................................................................... 47
10. UTILIZACIÓN DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA
COMUNICACIÓN. ........................................................................................ 48
11. RECURSOS DIDÁCTICOS Y ORGANIZATIVOS
11.1. Bibliografía. .......................................................................................... 49
11.2. Material específico en el aula, taller o laboratorio. ............................... 49
12. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES. .............. 50
TFM: 2011-2012 INTRODUCCIÓN
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1. INTRODUCCIÓN
Para realizar la siguiente programación debemos describir los aspectos
generales de nuestro centro de estudios. Esto es muy importante ya que
debemos tener presente el contexto en el cual se mueven nuestros
alumnos.
Esta programación está destinada a los alumnos del I.E.S. Carrús del cuarto
curso de la E.S.O. de la Opción B. El Centro está situado en Elche, dentro
de la zona urbana del municipio, concretamente en la Avenida de la
Libertad. A este instituto están adscritos tres centros de primaria.
Al tratarse de un centro urbano podemos decir que está bien comunicado,
junto a esto añadir que la variedad de familias que acceden al centro es
muy amplia ya que. En los últimos años el número de familias extranjeras
ha ido creciendo, debido a los fenómenos migratorios, por ello podemos
encontrar nacionalidades de todo tipo en cualquiera de las clases.
Hay que destacar que en nuestra clase los alumnos que antes formaban
clases de primaria ahora la forman en secundaria, es decir, las clases no
presentan a penas variaciones en cuanto al alumnado lo que facilita las
cosas como grupo y evita muchos problemas de convivencia, así durante
los primeros años de instituto los alumnos pueden acomodarse al centro sin
notar un cambio radical en sus vidas.
En cuanto a los equipamientos de los que dispone el centro debemos
destacar los siguientes:
• Aulas de clase con pizarras digitales y proyectores.
• Laboratorios de ciencias.
• Aula de dibujo.
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• Aulas de informática.
• PCPI
• Módulos de FP
• Gimnasio.
• Cantina
• Pistas de Futbol y Baloncesto en el patio.
1.1. Justificación de la programación.
La programación es un soporte de la acción docente que estructura el
desarrollo de un área, dándole base y siendo también flexible y
adaptable a los avatares no previstos que surjan a lo largo del curso. Si
algo de esto ocurriese se haría constar en la programación o en la
memoria de fin de curso.
Para desarrollar la programación debemos tener en cuenta la
autonomía de nuestro centro, la cual esta regulada en los artículos 121
a 125 de la LOE, para ello no perderemos de vista el Proyecto
Educativo de Centro (PEC) y la Programación General Anual (PGA).
En esta programación observaremos el conjunto de decisiones
adoptadas por el grupo de profesorado del departamento de
matemáticas para la asignatura de matemáticas de cuarto de la E.S.O.
En general decir que la intención educativa básica de esta
programación es la de desarrollar las capacidades necesarias para que
el alumnado pueda desenvolverse en el futuro como ciudadanos con
plenos derechos y deberes, con un juicio crítico que le permita adoptar
actitudes y comportamientos basados en valores racional y libremente
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asumidos. De esta manera se destaca la importancia de las
matemáticas en la vida cotidiana siendo nuestro deber formar
individuos totalmente capaces de enfrentarse a los problemas de la
sociedad.
1.2. Contextualización.
Para desarrollar esta programación debemos decir que nos encontramos
en un Instituto urbano. Como hemos comentado anteriormente la
variedad de las familias que acceden es bastante grande, por lo que
podemos encontrar una gran variedad de alumnos, ya que cada uno
proviene de ambientes familiares diferentes. Esto influye en el perfil del
alumnado, es decir, la variedad de alumnos es muy amplia por lo que
podemos encontrar alumnos desde los más aplicados que buscan
continuar sus estudios hasta los que están deseando acabar el
graduado para comenzar su labor profesional.
Centrándonos en el grupo para el cual esta destinada esta programación
debemos decir que se trata de un grupo bastante consolidado ya que
estan juntos desde la infancia. En él no observamos grandes problemas
de convivencia, por lo que no será necesario tomar ninguna medida
especial a este respecto.
En cuanto a los intereses y motivaciones de los alumnos decir que como
norma general todos quieren sacar buenas notas y pasar de curso. Al
encontrarnos a las puertas del graduado observamos una mayor
motivación por su parte incluso en alumnos que anteriormente no
mostraban interés. Esto quiere decir que las expectativas del grupo son
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buenas, ya sea para continuar con sus estudios como para comenzar a
formarse profesionalmente en los PCPI.
Para alcanzar el nivel educativo de cuarto curso de la E.S.O. y estar en
condiciones de obtener el graduado deben llegar a este curso con los
siguientes conocimientos base:
• Distinguir los diferentes tipos de números y saber operar
directamente con ellos.
• Saber operar con fluidez expresiones algebraicas sencillas.
• Resolver sistemas de ecuaciones por el método que consideren
más adecuado.
• Entender el concepto de función y la representación gráfica de
rectas.
• Conocer las distintas figuras planas, los cuerpos sencillos así
como las fórmulas de sus áreas y volúmenes.
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2. OBJETIVOS.
La educación secundaria obligatoria contribuirá a desarrollar en los alumnos
las capacidades que les permitan:
1. Conocer, asumir responsablemente sus deberes y ejercer sus
derechos.
2. Adquirir, desarrollar y consolidar hábitos de disciplina.
3. Fomentar actitudes que favorezcan la convivencia en los ámbitos
escolar, familiar y social.
4. Valorar y respetar, como un principio esencial de nuestra
Constitución, la igualdad de derechos y oportunidades.
5. Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la
personalidad.
6. Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de
información para adquirir nuevos conocimientos.
7. Concebir los conocimientos científicos como un saber integrado que
se estructura en diferentes disciplinas.
8. Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo.
9. Comprender y expresar con corrección textos y mensajes complejos,
oralmente y escritos, en valenciano y castellano.
10. Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras.
11. Conocer los aspectos fundamentales de la cultura, la geografía y la
historia de la Comunidad Valenciana, de España y del Mundo.
12. Conocer y aceptar el funcionamiento del cuerpo humano y respetar
las diferencias.
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13. Analizar los mecanismos y valores que rigen el funcionamiento de
las sociedades.
14. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud,
el consumo responsable, el cuidado de los seres vivos y el medio
ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora.
15. Analizar y valorar, de forma crítica, los medios de comunicación
estricta y audiovisual.
2.1. Objetivos generales de la etapa
En nuestro caso los objetivos de etapa que pretendemos motivar son
los siguientes:
1. Conocer, asumir responsablemente sus deberes y ejercer sus
derechos.
2. Adquirir, desarrollar y consolidar hábitos de disciplina.
3. Fomentar actitudes que favorezcan la convivencia en los ámbitos
escolar, familiar y social.
4. Valorar y respetar, como un principio esencial de nuestra
Constitución, la igualdad de derechos y oportunidades.
6. Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la
personalidad.
8. Concebir los conocimientos científicos como un saber integrado
que se estructura en diferentes disciplinas.
9. Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo.
11. Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras.
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2.2. Objetivos generales del área o materia.
Las matemáticas tienen como objetivo principal el desarrollo de las
siguientes capacidades:
1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al
lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y
razonamiento matemático con el fin de comunicarse de manera
clara, concisa y precisa.
2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas
matemáticas.
3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas
en términos matemáticos.
4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificable y que
permitan interpretarla mejor según la situación planteada.
5. Identificar, analizar y valorar los elementos matemáticos
presentes en los medios de comunicación.
6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la
vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas
entre ellas, adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza
que generan.
7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos.
8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de
acuerdo con modos propios de la actividad matemática.
9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones
concretas y la identificación y resolución de problemas.
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10. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y
mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos.
11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes
que se van adquiriendo desde las distintas materias de modo que
pueden emplearse de forma creativa, analítica y crítica.
12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura.
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3. COMPETENCIAS BÁSICAS.
3.1. Relación entre las competencias básicas y los objetivos del área o
materia.
Matemática: A través de todo el currículo, puesto que la capacidad para
utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de
interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del
propio objeto de aprendizaje.
Conocimiento e interacción con el mundo físico: Mediante la
discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas,
especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad
para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio. La
modelización constituye otro referente en la misma dirección.
Tratamiento de la información y la competencia digital: Con la
incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico en
la automatización de algoritmos y en la resolución de problemas, así
como la utilización de los leguajes gráfico y estadístico ayuda a
interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación.
Comunicación lingüística: Al ser un área de expresión que utiliza
continuamente la expresión oral y escrita en la formulación y expresión
de las ideas.
Cultural y artística: Porque el conocimiento matemático es expresión
universal de la cultura, siendo, en particular, la geometría parte integral
de la expresión artística al ofrecer medios para escribir y comprender el
mundo y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado.
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Autonomía e iniciativa personal: Es fomentada mediante los procesos
de resolución de problemas porque se utilizan para planificar y
estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre
controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones.
Aprender a aprender: Con el uso de técnicas heurísticas que
constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de
razonamiento y consolidan la adquisición de destrezas como la
autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la
habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo.
Social y ciudadana: Parte de la consideración del uso de las
matemáticas para describir fenómenos sociales. A través del análisis
funcional y de la estadística, aportan criterios científicos para predecir y
tomar decisiones.
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4. CONTENIDOS. ESTRUCTURA Y CLASIFICACIÓN
4.1. Contenidos Generales.
La siguiente tabla es una relación de los contenidos de cuatro de la E.S.O.
de la Opción B dividida en los 6 bloques que diferencia el Real Decreto de
Currículo. En la tabla podemos observar los contenidos que son de
profundización del curos anterior en verde y los que son nuevos en azul.
Todo está comparado con el curso anterior para poder observar mejor estas
relaciones.
BLOQUE 1: CONTENIDOS COMUNES 3º ESO 4º ESO
PROCEDIMENTALES
Estrategias en la resolución de problemas.
Expresión verbal de los procedimientos.
Utilización de herramientas tecnológicas.
ACTITUDINALES
Confianza en las propias capacidades
Perseverancia y flexibilidad para buscar soluciones
Interpretación de mensajes. BLOQUE 2: NÚMEROS
3º ESO 4º ESO
CONCEPTUALES
Jerarquía de operaciones. Números racionales. Números irracionales Iniciación al número real. Potencias de exponente fraccionario.
Cálculo de porcentajes. Interés compuesto.
BLOQUE 3: ÁLGEBRA 3º ESO 4º ESO
PROCEDIMENTALES Traducción de expresiones del leguaje cotidiano al algebraico y viceversa.
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PROCEDIMENTALES
Obtención de valores numéricos en fórmulas.
Utilización de las ecuaciones para la resolución de
problemas.
Resolución de ecuaciones de primer grado y sistemas.
Resolución de ecuaciones de segundo grado.
Resolución de otros tipos de ecuaciones.
Inecuaciones y sistemas de inecuaciones.
CONCEPTUALES
Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos.
Raíces de un polinomio. Factorización de polinomios.
Regla de Ruffini. Uso de la descomposición factorial.
BLOQUE 4: GEOMETRÍA 3º ESO 4º ESO
PROCEDIMENTALES
Resolución de problemas Uso de la calculadora para la obtención de ángulos y razones trigonométricas.
CONTEPTUALES
Teorema de Tales. Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras.
Estudio de formas, configuraciones y relaciones geométricas,
Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Relaciones métricas en los triángulos.
Iniciación a la geometría analítica plana.
BLOQUE 5: FUNCIONES Y GRÁFICAS 3º ESO 4º ESO
PROCEDIMENTALES Interpretación y lectura de gráficas relacionadas con el mundo físico.
CONCEPTUALES Aportaciones del estudio gráfico al análisis de una
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situación. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.
CONCEPTUALES
Uso de las tics para el análisis y reconocimiento de propiedades de las funciones.
Estudio y representación gráfica de las funciones polinómicas de primer o segundo grado
Funciones definidas a trozos. La tasa de variación mediana. Análisis de resultados.
BLOQUE 6: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 3º ESO 4º ESO
CONTEPTUALES
Cálculo e interpretación de la media aritmética, la mediana, la moda,…
Estadística descriptiva unidimensional. Variables discretas y continuas.
Interpretación conjunta de la media y la desviación típica.
Experimentos aleatorios. Sucesos y espacio muestral.
Estadística descriptiva unidimensional.
Probabilidad condicionada. Técnicas de recuento. Introducción a la combinatoria.
Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol.
PROCEDIMENTALES
Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación.
Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.
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En la siguiente tabla observamos la relación de unidades didácticas que
impartiremos por evaluación, se ha decidido dividirlas en bloques de cinco
unidades, siendo esto variable en función el transcurso del curso.
Evaluación Unidades didácticas
1ª Evaluación
1. Números reales. 2. Logaritmos. 3. Ecuaciones exponenciales. 4. Inecuaciones. 5. Triángulos en el plano.
2ª Evaluación
6. Relaciones Trigonométricas. (8/12 al 7. Vectores en el plano. 8. Ecuaciones de la recta y la circunferencia. 9. Sucesiones. Límites de sucesiones. 10. Funciones
3ª Evaluación
11. Iniciación a la derivada. 12. Combinatoria. 13. Cálculo de probabilidades. 14. Estadística unidimensional. 15. Estadística bidimensional.
La temporalidad de las sesiones esta especificada en cada una de las
unidades didácticas que se especifican en el punto siguiente.
4.2. Contenidos Transversales.
Las Matemáticas, además de su carácter instrumental, tienen sobre
todo un carácter formativo. Pueden y deben entenderse como auxiliares
de otras disciplinas para facilitar su comprensión y comunicación; sin
embargo, el currículo de Secundaria señala que deben contribuir a la
formación de los alumnos y alumnas como ciudadanos consumidores,
sensible al medio ambiente, preocupados por mantener buena salud
física y mental, educados para la paz, la igualdad de oportunidades
entre los dos sexos, etc. Como es bien sabido, se trata de temas que no
constituyen por sí solos materias específicas ni deben ser tratados
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como algo “aparte” del programa de cada materia, sino que deben
abordarse desde cada una de las disciplinas del currículo ordinario,
según posibilidades.
Sin ánimo de ser exhaustivos, se pueden señalar algunas ideas sobre
cómo pueden tratarse los temas transversales desde las Matemáticas
de este curso, insistiendo una vez más en que no se trata de dar algo
más, sino de que siendo sensibles a los mencionados temas, se aborde
la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas teniéndolos muy
presentes.
Educación moral y cívica: Actuar en situaciones cotidianas de acuerdo
con modos propios de la actividad matemática, como la exploración
sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad
para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de
soluciones. Reconocer y valorar el trabajo en equipo como la manera
más eficaz para realizar determinadas actividades (toma de datos,
estudios estadísticos,…)
Educación para la paz: Reconocer la realidad como diversa y
susceptible de ser interpretada desde puntos de vista contrapuestos y
complementarios. Identificar los elementos matemáticos presentes en
argumentaciones sociales, políticas y económicas, analizando
críticamente las funciones que desempeñan.
Educación del consumidor y usuario: Utilizar las formas del
pensamiento lógico para organizar informaciones diversas relativas a la
vida cotidiana. Interpretar y analizar críticamente los elementos
matemáticos presentes en las noticias y la vida cotidiana.
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La coeducación: Fomentar el reconocimiento de la capacidad de cada
uno de los compañeros para desempeñar tareas comunes en
actividades matemáticas, así como el respeto y la valoración de las
soluciones ajenas. Propiciar el trabajo colaborativo en la resolución de
actividades matemáticas.
Educación para la salud y educación sexual: consolidar actitudes de
naturalidad en el tratamiento y resolución de problemas que traten
temas relacionados con la sexualidad. Desarrollo de hábitos de higiene,
limpieza y orden en el aula.
Educación vial: Interpretar representaciones planas de espacios y
obtener información sobre posiciones y orientaciones. Utilizar con
soltura las escalas numéricas.
Educación ambiental: Desarrollo de habilidades matemáticas que
permitan relacionarse con el medio sin contribuir a su deterioro, así
como hábitos individuales de protección del medio.
Uso de las tecnologías de la información y de la comunicación: Sentir
interés y curiosidad por la ciencia y los avances tecnológicos que
contribuyen a facilitar el trabajo matemático. Familiarizarse con el
ordenador, la calculadora y las tecnologías de la información y la
comunicación como medios de relación con el entorno. Valorar los
avances de la técnica como bien para la sociedad.
Uso del tiempo de ocio: Desarrollo de estadísticas relativas al tiempo
dedicado a cada actividad: deporte, estudio,… que permitan desarrollar
un sentido crítico en el empleo de su tiempo.
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5. UNIDADES DIDÁCTICAS. ORGANICACIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE LAS
UNIDADES
AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 1 NÚMEROS REALES
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 4
1.- INTRODUCCION Estudio de los números reales bajo dos aspectos; los radicales y los logaritmos.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Entender los conceptos de potencias de exponente fraccionario y entero; conocer sus propiedades y operar con ellos, tanto de manera exacta como utilizando aproximaciones con números decimales.
Saber expresar números en notación científica.
Saber pasar un radical a potencia de exponente fraccionario.
Realizar operaciones básicas (producto y cociente con igualdad de índices, potencias de una raíz y raíz de una raíz.)
Hallar la expresión decimal de los números racionales. Utilizar y representar los números reales. Interpretar y operar con potencias de exponente entero. Interpretar y operar con potencias de exponente fraccionario. Pasar los números de notación ordinal a científica y viceversa. Pasar un radical a potencia de exponente fraccionario y viceversa.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Potencias de exponente racional. Los números reales. Notificación científica. Radicales.
Expresión decimal de los números racionales Operar con radicales.
Curiosidad por la necesidad de utilizar otros números. Interés por el manejo de la calculadora.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Resolver de manera precisa y exacta, utilizando radicales, problemas cercanos a nosotros.
X X
Utilizar calculadora para operar y obtener expresiones decimales cuando queramos trabajar con números decimales y una gran precisión.
X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 2 LOGARITMOS
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 12
1.- INTRODUCCION En este tema vamos a estudiar los números reales bajo el concepto de logaritmo. Nuestro interés se centrará en el correcto manejo de los logaritmos y sus operaciones. También nos extenderemos a conocer las distintas variantes de operaciones con logaritmos, como son las ecuaciones logarítmicas y la resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Definición de logaritmo.
Propiedades
Cambio de base.
Expresiones algebraicas y logarítmicas.
Ecuaciones logarítmicas.
Sistemas de ecuaciones logarítmicas.
Saber desarrollar correctamente la definición de logaritmo a partir de su definición. Conocimiento y uso de las propiedades (9). Aplicar el cambio de base en aquellos casos de logaritmos que así lo precisen, cumpliéndose una determinada característica. Resolver ecuaciones logarítmicas, de menor a mayor dificultad. Resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas aplicando correctamente las propiedades de los logaritmos para llegar a la expresión LgA= LgB A=B.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Definición de Logaritmo. Propiedades de los logaritmos.
Aplicar el cambio de base. Pasar de algebraica a logarítmica y viceversa. Resolver ecuaciones logarítmicas. Resolver sistemas de ecuaciones
Interés por la búsqueda de estrategias para resolver problemas. Interés por el uso de la calculadora.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Seleccionar la información relevante de un problema, así como la técnica más apropiada para su resolución.
X X X
Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y problemas relacionados con los logaritmos, sus ecuaciones y sus sistemas.
X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO
MATEMÁTICAS 3 ECUACIONES EXPONENCIALES
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 6
1.- INTRODUCCION En este tema los alumnos deberán madurar y consolidar las técnicas de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, para una correcta resolución de las ecuaciones y sistemas exponenciales vistas en este tema.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Definición de Ecuación Exponencial.
Tipos de ecuación exponencial.
Sistema de ecuaciones exponenciales.
Saber plantear una ecuación exponencial a partir de la definición. Saber poner dichas exponenciales en la base de la potencia necesaria. Saber realizar el cambio de variable en aquellas exponenciales que lo necesiten. Realizar el sistema de exponenciales realizando el cambio de variable, resolviendo la ecuación resultante ya sea de primer o segundo grado.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Definición de ecuación exponencial. Cambio de variable. Saber aplicar esta variante cuando sea preciso. Sistemas de ecuaciones
Resolver ecuaciones exponenciales de los tres tipos. Resolución algebraica y gráfica de un sistema de ecuaciones.
Valoración positiva de la precisión, simplicidad y utilidad de las ecuaciones y sistemas para resolver situaciones de la vida cotidiana.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Seleccionar la información relevante de un problema, así como la técnica más apropiada para su resolución
X X
Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y problemas relacionados con las ecuaciones y sistemas
X X X
Reconocer , con espíritu constructivo, los errores cometidos al plantear o resolver problemas de ecuaciones o sistemas
X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 4 INECUACIONES
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 15
1.- INTRODUCCION Todos los conceptos son nuevos para ellos; sin embargo, las técnicas utilizadas son prácticamente conocidas. El concepto de desigualdad, así como el de intervalo, se amplía al principio de la unidad para refrescar términos. Los procedimientos para resolver inecuaciones son muy similares a los estudiados para resolver ecuaciones. Hay que aprovechar estos conocimientos, como son eliminar denominadores, paréntesis, el método de factorización y la resolución gráfica de sistemas, para explicar la resolución de las inecuaciones y de los sistemas de inecuaciones. Sin embargo, también se debe insistir en la diferencia existente entre ambos métodos, como puede ser a la hora de multiplicar o dividir por un número negativo.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Resolver las inecuaciones, los conceptos relacionados (primer miembro, segundo miembro, conjunto de soluciones, ecuaciones equivalentes…) y resolver sistemas de inecuaciones.
Traducir enunciados de situaciones cotidianas que puedan resolverse con inecuaciones o sistemas de inecuaciones, y buscar su solución.
Reconocer y resolver inecuaciones y sistemas con una incógnita. Aplicar el método de factorización de polinomios para resolver inecuaciones de grado superior a dos y racionales. Importancia del cuadro de signos. Plantear y resolver problemas mediante el planteamiento y la resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PRODECIMENTALES APTITUDINALES
Desigualdades. Cuestiones de orden. Definición de Inecuación. Inecuaciones de Primer y Segundo Grado. Inecuaciones de grado “n” Sistemas.
Identificar las desigualdades numéricas. Calcular inecuaciones equivalentes. Resolver inecuaciones. Resolver gráficamente sistemas.
Utilización adecuada del vocabulario y del lenguaje. Interés y cuidado por resolver inecuaciones. Hábito por comprobar las soluciones de un problema.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Analizar contextos de la vida cotidiana que puedan ser expresados mediante inecuaciones o sistemas de inecuaciones.
X X X
Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y problemas relacionados con las ecuaciones y sistemas
X X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 5 TRIANGULOS EN EL PLANO
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 4
1.- INTRODUCCION La semejanza entre triángulos rectángulos y la proporcionalidad entre sus lados será la chispa que encienda la mecha de las razones trigonométricas que se verán en la unidad siguiente.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Entender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo; catetos e hipotenusa.
Representar gráficamente de manera clara y precisa las situaciones que surgen en los problemas de geometría.
Conocer y aplicar convenientemente el teorema de Pitágoras, y su aplicación en problemas de la vida cotidiana. Aplicar correctamente los teoremas del Cateto y de la Altura, en la resolución de triángulos. Combinar los tres teoremas para resolver incógnitas que se presentan en los ejercicios de triángulos rectángulos.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PRODECIMENTALES APTITUDINALES
Teorema de Pitágoras Teorema de la Altura Teorema del Cateto
Generalización del teorema de Pitágoras(Ampliación)
Apreciación de la importancia de la semejanza. Interés por la búsqueda de estrategias para la aplicación de la semejanza para la resolución de problemas.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Expresar e interpretar gráficamente figuras de nuestro entorno y expresar la relación trigonométrica que existe entre ellos.
X X X
Analizar mediante una relación matemática una situación para poder determinar magnitudes desconocidas.
X X X
TFM: 2011-2012 UNIDADES DIDÁCTICAS
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO
MATEMÁTICAS 6 RELACIONES TRIGONOMETRICAS
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 15
1.- INTRODUCCION El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Está compuesta por las palabras trigonon (triángulo) y metron (medida); trigonometría: medida de ángulos. Se comienza la trigonometría estudiando la resolución numérica de los triángulos rectángulos.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Entender las distintas formas de medir ángulos y cómo se transforman de unos sistemas a otros utilizando, cuando sea precisa, la calculadora científica.
Comprender las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos, expresar estas relaciones mediante las razones trigonométricas de un ángulo y hacer uso de ellas para resolver problemas de geometría.
Hallar los lados de un triángulo rectángulo. Conocer los sistemas de medida de ángulos. Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras. Conocer y utilizar adecuadamente las relaciones trigonométricas. Generalizar la definición de las razones trigonométricas.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Medida de ángulos: el grado sexagesimal y el radián. Razones trigonométricas. Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo. Ecuación fundamental. Ángulos opuestos Ecuaciones trigonométricas
Transformar la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal a radianes y viceversa. Establecer las razones trigonométricas. Relacionar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera con las del un ángulo del primer cuadrante.
Reconocimiento de la utilidad de los distintos sistemas de medida de ángulos. Valoración positiva de la gran utilidad que tiene el conocimiento de las razones trigonométricas. Interés por utilizar la calculadora adecuadamente.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Expresar la medida de los ángulos y efectuar operaciones con ellos, con o sin calculadora.
X X X X
Analizar las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos y expresarlas mediante razones trigonométricas.
X X X X
TFM: 2011-2012 UNIDADES DIDÁCTICAS
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 7 VECTORES EN EL PLANO
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 8
1.- INTRODUCCION Para completar el bloque de Geometría es preciso introducir el concepto de vector. Podemos calcular ángulos haciendo uso del producto escalar y de la trigonometría, ya vista en unidades anteriores. El conocimiento y manejo de las ecuaciones de la recta, que ha han utilizado en cursos anteriores, nos permitirá resolver problemas.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Introducir el concepto de vector, en primer lugar, de una forma concreta y tangible (vectores fijos), y posteriormente, de una forma más abstracta (vectores libres). Manejar adecuadamente las operaciones con vectores para, posteriormente, a través de las operaciones, y sus propiedades, expresar vectores como combinación lineal de otros y determinar ángulos.
Distinguir y saber relacionar los vectores fijos con los vectores libres, así como operar con vectores libres. Comprender y utilizar los conceptos de dependencia lineal y combinación lineal de vectores. Efectuar el producto escalar de dos vectores y conocer sus aplicaciones.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Vector fijo. Vector libre. Operaciones con vectores libres. Combinación lineal de vectores. Módulo de un vector. Ángulo que forman dos vectores.
Representar puntos y vectores fijos. Hallar las coordenadas de un vector fijo. Determinar vectores equipolentes. Expresar un vector como combinación de dos vectores.
Gusto por la representación ordenada y clara de vectores fijos y puntos. Reconocimiento de la utilidad de los vectores. Valoración positiva de la geometría analítica.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Utilizar los vectores para expresar cantidades de magnitudes físicas vectoriales del mundo que nos rodea, como las fuerzas, velocidades,…
X X X
Reconocer la utilidad de las representaciones vectoriales y saber interpretarlas en múltiples aspectos de nuestra vida cotidiana
X X X X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO
MATEMÁTICAS 8 ECUACIONES DE LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 5
1.- INTRODUCCION Las ecuaciones de las rectas nos van a permitir resolver problemas de posición y medida.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Aprender a expresar de distintas formas la relación que existe entre las coordenadas de los puntos de una recta, parar que podamos después determinar ecuaciones de lugares geométricos.
Saber interpretar los coeficientes en las ecuaciones de la recta y relacionarlos con su posición relativa a los ejes de coordenadas.
Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos, el vector director y la pendiente. Utilizar las ecuaciones de las rectas de manera conveniente para resolver con ellas distintos tipos de problemas de paralelismo, perpendicularidad…
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Ecuación vectorial de la recta. Ecuación paramétrica de la recta. Ecuación continúa de la recta. Ecuación general de la recta. Ecuación explícita de la recta. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Ecuaciones de la recta en forma punto-pendiente. Ecuación de la circunferencia.
Determinar las ecuaciones de la recta y transformar unas en otras. Determinar la pendiente, ordenada en el origen, vector director y puntos de una recta cuando se conoce una cualquiera de sus ecuaciones. Discutir la posición relativa de dos rectas.
Curiosidad por las múltiples formas de expresar la ecuación de una recta. Valoración positiva de la geometría analítica como herramienta eficaz en la resolución de problemas de tipo geométrico y, en particular, de lugares geométricos.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Analizar y expresar mediante una relación matemática la condición que cumplen los puntos de una recta y solamente ellos.
X X X
Utilizar las nuevas tecnologías para efectuar representaciones precisas de las rectas y apreciar sus posiciones relativas
X X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO
MATEMÁTICAS 9 SUCESIONES.LÍMITES DE SUCESIONES.
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 8
1.- INTRODUCCION Ya en el curso pasado los alumnos estudiaron las sucesiones. A diferencia del curso anterior, en el que nos centrábamos en el manejo de las sucesiones, en esta unidad nos centraremos en la idea de límite de una sucesión.
Las sucesiones sirven para estudiar, representar y predecir fenómenos. Debe tener claro el concepto de límite, para más tarde calcular el límite de distintas sucesiones, incluso cuando se presente alguna indeterminación. Trabajaremos con sucesiones concretas como la que tiende al número e.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Comprender el concepto de límite de una sucesión y averiguar su valor.
Reconocer la importancia de la
sucesión n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11
Caracterizar una sucesión mediante su término general. Calcular el límite de una sucesión. Identificar límites indeterminados y resolverlos.
Utilizar la sucesión n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11 para
resolver la indeterminación 1∞. Resolver problemas de la vida cotidiana.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Sucesión de números naturales. Término general. Limite de una sucesión. Límites en el infinito. Más infinito y menos infinito. Operaciones con sucesiones. Relaciones entre sus límites. Límites indeterminados.
La sucesión n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11
Construcción de una sucesión a partir de su término general. Cálculo de límites. Reconocimiento de límites indeterminados. Estudio de la sucesión
n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11como aquella
que su límites es el nº e.
Reconocimiento de la utilidad de las sucesiones para el estudio de la vida real. Comprensión del término infinito como un concepto matemático. Valoración del número e.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Saber construir una sucesión de naturales a partir de su término general.
X X
Distinguir si una función tiene por límite un número natural o, en cambio, su límite es infinito.
X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 10 FUNCIONES
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 6
1.- INTRODUCCION El concepto de función es el mejor instrumento que los matemáticos han inventado para expresar el cambio que se produce en la variable dependiente cuando la dependiente varía.
Trataremos de estudiar aspectos fundamentales de las funciones: cómo se traduce en términos matemáticos lo deprisa o despacio que crece o decrece, dónde alcanza sus máximos y sus mínimos
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Interpretar y realizar gráficas de funciones que aparezcan situaciones sociales, económicas, etc., y obtener informaciones prácticas.
Estudiar las características principales de una función a través de su expresión algebraica o su representación gráfica. Dadas dos funciones, ser capaz de operar con ellas e interpretar los resultados que se obtienen. Estudiar y representar funciones definidas en varios trozos.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Concepto de función. Dominio de una función. Restricciones del dominio. Discontinuidad y continuidad de una función. Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y mínimos. Funciones definidas a trozos. Función inversa.
Visualización del grafo de una función. Relación entre la expresión analítica de una función y su gráfica. Representación de funciones. Reconocimiento de discontinuidades, de máximos y mínimos, de intervalos de crecimiento y de periodicidades.
Reconocimiento de la utilidad de la representación gráfica para un estudio de rápido de una función. Apreciar ventajas e inconvenientes que tiene la representación gráfica.Valoración crítica ante el uso de las nuevas tecnologías a la hora de estudiar funciones.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Interpretar una función a través de su gráfica. X X
Reconocer cual es la gráfica de una función a partir de su expresión analítica.
X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO
MATEMÁTICAS 11 INICIACIÓN A LA DERIVADA
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 6
1.- INTRODUCCION En este tema se va a presentar a los alumnos un de los conceptos más importantes de la matemática aplicada, la derivada, que nos sirve para explicar, por ejemplo, cual es la velocidad con que varía una función a lo largo de su dominio. Dicho concepto, alrededor del cual gira una parte tan importante de las matemáticas como es el cálculo diferencial, se estudiará en profundidad en Bachillerato. La idea de límite vista en el tema anterior es clave en la definición de derivada, por lo que no les costará mucho calcular derivadas a partir de la definición.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Comprender el concepto de derivada.
Manejar con soltura las reglas de derivación y calcular con ellas la derivada de suma, diferencia, cociente o producto de funciones.
Análisis de la variación de una función. Calcular la derivada de una función utilizando las reglas de derivación.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Derivada de un punto. Derivadas de funciones fundamentales.
Cálculo de la derivada de una función en un punto mediante la definición. Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
Interés por la relación entre los conceptos de límite en un punto, continuidad y derivabilidad. Diferenciación entre derivada en un punto y función derivada. Gusto por el trabajo ordenado a la hora de derivar. Reconocimiento de la utilidad del cálculo diferencial a la hora de resolver problemas.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Cuantificar la variabilidad de una situación y relacionarla con la derivada de su función asociada.
X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 12 12 COMBINATORIA
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 3
1.- INTRODUCCION En esta unidad se introducen las técnicas de recuento (permutaciones, variaciones y combinaciones) y los conceptos relacionados con ellas (diagrama de árbol, principio general de recuento y números combinatorios). Todos estos conceptos les resultarán nuevos a los alumnos, y probablemente difíciles. Por este motivo, el desarrollo de la unidad debe tener un carácter eminentemente práctico.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Reconocer el principio general de recuento y el diagrama de árbol como técnicas de recuento.
Diferenciar entre permutaciones , variaciones con y sin repetición y combinaciones
Utilizar el principio general de recuento y el diagrama de árbol como métodos de conteo. Distinguir entre variaciones con y sin repetición, permutaciones y variaciones.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Factorial de un número. Permutaciones de n elementos. Variaciones con y sin repetición de m elementos tomados de n en n (n≤m). Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n≤m)
Representación con un diagrama en árbol los posibles resultados de una situación de recuento y utilizar el principio general de recuento. Identificar la técnica de recuento a utilizar. Resolver ecuaciones algebraicas en las que aparezcan números combinatorios.
Valoración positiva de los métodos de recuento para resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana. Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas de conteo. Curiosidad e interés por aprender nuevos conocimientos.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Conocer y manejar correctamente el lenguaje de la combinatoria, distinguiendo entre variaciones, combinaciones y permutaciones.
X X
Adquirir un método autónomo de análisis ordenado y sistemático para resolver problemas de contar.
X X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO
MATEMÁTICAS 13 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 6
1.- INTRODUCCION La idea sobre el azar y la probabilidad se ha ido introduciendo paulatinamente desde el primer curso de la ESO. Todos los alumnos tienen ideas previas sobre el azar y la probabilidad.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Distinguir los experimentos aleatorios de los que no lo son.
Asignar probabilidades a sucesos utilizando la regla de Laplace y las tablas de contingencia.
Resolver problemas de probabilidad condicionada.
Obtener la probabilidad de un suceso mediante la probabilidad total y la regla del producto.
Diferenciar entre experimentos aleatorios y deterministas, deducir el espacio muestral y los distintos tipos de sucesos vinculados a un experimento al azar. Calcular la probabilidad de un suceso. Realizar operaciones con sucesos y calcular sus probabilidades. Identificar sucesos dependientes e independientes, y aplicar el concepto de probabilidad condicionada. Utilizar la regla de producto y la probabilidad total para calcular probabilidades en experimentos compuestos.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Experimentos aleatorios. Sucesos de un experimento. Operaciones con sucesos. Sucesos compatibles e incompatibles. Probabilidad de la unión de dos sucesos Tablas de contingencia.
Analizar la aleatoriedad de un experimento. Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio. Diferenciar sucesos.
Disposición favorable para el uso de la probabilidad. Sentido crítico ante los resultados obtenidos.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Utilizar el vocabulario adecuado para describir situaciones y experiencias de azar.
X X
Reconocer situaciones y fenómenos aleatorios en la vida cotidiana y en el conocimiento científico
X X X
Calcular el resultado de las probabilidades, aplicando la técnica más adecuada, y decir si es necesaria una respuesta exacta o
X X X
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO
MATEMÁTICAS 14 ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 6
1.- INTRODUCCION La estadística es una de las ramas de las matemáticas que más aparecen en la vida cotidiana. Por ejemplo, en la prensa, en internet o en otros medio de comunicación es frecuente su utilización.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Representar gráficamente los datos de una variable aleatoria mediante los diversos gráficos
Calcular los parámetros estadísticos de centralización y de dispersión.
Saber comparar la dispersión existente entre distintas distribuciones mediante el coeficiente de variación.
Interpretar en un estudio estadístico la diferente terminología. Calcular e interpretar los distintos parámetros estadísticos. Representar los datos de un estudio estadístico mediante un gráfico y extraer información de este. Comparar la dispersión de distintas distribuciones.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Población y muestra. Caracteres estadísticos cualitativos y cuantitativos. Variable discreta y variable continúa. Diagramas de sectores y de barras, historiogramas. Rango, varianza y desviación típica. Coeficiente de variación.
Reconocimiento del tipo de caracteres de una población. Representación gráfica de un estudio estadístico. Obtención de los parámetros de centralización y de dispersión de una variable.
Valoración del uso de la estadística como instrumento para el estudio de diferentes aspectos de la realidad. Actitud crítica ante la interpretación de los datos presentados mediante métodos estadísticos.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Representación gráfica de un estudio estadístico X X X
Calcular los parámetros estadísticos. X X
TFM: 2011-2012 UNIDADES DIDÁCTICAS
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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO
MATEMÁTICAS 15 ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
Temporalización: Nº de sesiones previstas: 6
1.- INTRODUCCION El presente tema, igual que el anterior, es quizá la parte de las matemáticas que tiene una relación más evidente con la sociedad de la información. No es difícil encontrar estudios estadísticos en prensa, en internet o en otros medios de comunicación. Utilizaremos esto para intentar fomentar entre los alumnos el interés por el teme y el gusto por encontrar matemáticas fuera de sus lugares tradicionales; el aula o los libros.
2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Comprender la necesidad de las variables bidimensionales y representarlas mediante la nube de puntos.
Calcular el centro de gravedad, la covarianza, el coeficiente de correlación y la recta de regresión.
Utilizar y representar las variables aleatorias bidimensionales. Calcular parámetros estadísticos de las variables aleatorias bidimensionales. Comprender el concepto de recta de regresión y conocer su cálculo. Resolver problemas utilizando las propiedades de las variables bidimensionales.
4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES
Variable estadística bidimensional. Distribución marginal. Diagrama de dispersión (nube de puntos) Dependencia aleatoria o funcional. Correlación lineal. Recta de regresión.
Cálculo de las distribuciones marginales a partir de una distribución bidimensional. Representaciones gráficas de una variable bidimensional mediante el diagrama de dispersión.
Comprensión de la necesidad de las variables bidimensionales Interés por el significado de los parámetros estadísticos. Gusto por el trabajo limpio y ordenado.
5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS
Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
Conocer las variables aleatorias bidimensionales que aparecen en los distintos medios y reconocer su utilidad para modelizar problemas de la vida real.
X X
Desarrollar estrategias mediante las que interpretar gráficos correspondientes a variables bidimensionales y saber deducir la información que los datos nos aportan.
X X
TFM: 2011-2012 METODOLOGÍA
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6. METODOLOGÍA. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
La metodología deberá adaptarse a cada grupo de alumno y situación,
rentabilizando al máximo los recursos disponibles. Por ello, al comienzo de
cada unidad el profesor hará alguna actividad para saber los conocimientos
que los alumnos tienen sobre los contenidos a explicar. En base a lo
percibido, la unidad se irá adaptando, dando siempre los contenidos
mínimos que marca la Ley e intentando profundizar y ampliar lo máximo
posible. Todos estos principios metodológicos giran en torno a una regla
básica: la necesidad de que los alumnos realicen aprendizajes significativos
y funcionales.
Las dos primeras unidades servirán, junto con el control o controles
correspondientes, de evaluación inicial, pues en estas dos unidades se tiene
todos los contenidos básicos que servirán como herramientas de trabajo
para las sucesivas unidades.
6.1. Metodología general del área o materia.
Los principios metodológicos en los cuales se fundamenta el área son:
• Se potenciará el aprendizaje inductivo y se fomentará la
adquisición de hábitos de trabajo propios de las matemáticas,
• La introducción de los conceptos se debe hacer de forma intuitiva
y buscar poco a poco el rigor matemático.
• Se debe procurar la adquisición de destrezas matemáticas
básicas.
• Se debe motivar el esfuerzo y superación personal, premiando la
actitud positiva.
TFM: 2011-2012 METODOLOGÍA
36
• Partir de las ideas previas que siempre hay en la mente de quien
aprende.
• Favorecer el ambiente de aprendizaje en clase para la
construcción del conocimiento.
• Emplear también el error como motor de aprendizaje.
• Para el tratamiento de la diversidad hacer las adaptaciones
correspondientes.
• Hacer uso de la calculadora cuando el tema y la situación lo
requiera.
6.2. Actividades y estrategias de enseñanza y aprendizaje.
Las estrategias de actuación son las siguientes:
• Al comienzo de cada unidad el profesor hará una presentación
de la misma, evaluará los conocimientos previos de los alumnos
y dictará el índice.
• El profesor tomará nota diaria del trabajo de cada alumno,
deberes de casa, atención, participación en clase,…
• Es necesario relacionar los contenidos matemáticos con la
experiencia de los alumnos, así como potenciar su aplicación en
otras áreas y fuera del ámbito escolar.
• Realización de ejercicios que repasen lo visto en clase.
• Análisis, valoración y corrección del trabajo práctico.
• Consolidación y puesta en común de las destrezas básicas
desarrolladas en el tema.
• Utilización, siempre que sea posible, de las NNTT como método
innovador y motivador.
TFM: 2011-2012 METODOLOGÍA
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• Se debe crear un ambiente que favorezca la interacción profesor-
alumno en el aula, tanto una relación informativa-formal como
socio-afectiva. El diálogo, el debate y la confrontación de ideas
es uno de los ejes de este planteamiento metodológico.
Estrategias de agrupación en el aula:
Dentro del aula, según el tipo de agrupamiento con el que estemos
trabajando se reorganizarán los alumnos de la forma más conveniente
en cada caso. Los distintos tipos de agrupamientos que haremos
dependerán del tipo de actividades que estemos trabajando y lo que
pretendamos con ellas:
• Se trabajará individualmente cuando queramos favorecer la
reflexión y la práctica sobre los diversos contenidos de
aprendizaje de manera personalizada.
• En pequeños grupos de 3 a 6 miembros, cuando queramos
favorecer la cooperación y confrontación de ideas.
• En grupo medio o grupo de clase para la exposición de
contenidos, debates,…
TFM: 2011-2012 EVALUACIÓN
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7. EVALUACIÓN
7.1. Criterios de evaluación.
1. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de
resolución de problemas tales como emisión y justificación de
hipótesis o la generalización.
2. Expresar verbalmente con precisión y rigor, razonamientos,
relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos
matemáticos.
3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones para resolver
problemas de la vida cotidiana.
4. Calcular el valor de expresiones numéricas irracionales sencillas,
aplicar correctamente las reglas de prioridad y hacer un uso
adecuado de signos y paréntesis.
5. Simplificar expresiones numéricas sencillas y utilizar
convenientemente la calculadora científica.
6. Dividir polinomios y utilizar la regla de Ruffini.
7. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado
con una incógnita e interpretar gráficamente los resultados.
8. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el
planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado
o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
9. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener
medidas directas, y para las indirectas en situaciones reales.
TFM: 2011-2012 EVALUACIÓN
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10. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal, y las
relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver
problemas reales.
11. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la
geometría analítica plana.
12. Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo
de función que puede representarlas y aproximar e interpretar la tasa
de variación a partir de una gráfica.
13. Representar gráficamente e interpretar las funciones constantes,
lineales, afines o cuadráticas por medio de sus elementos
característicos.
14. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos.
15. Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados
a un experimento aleatorio. Utilizar la Lay de Laplace, los diagrama
de árbol, las tablas de contingencia u otras técnicas combinatorias
para calcular probabilidades simples o compuestas.
16. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para
resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana.
7.2. Instrumentos de evaluación.
Los instrumentos de evaluación son los siguientes:
• El número de evaluaciones será de tres realizándose una prueba
inicial para conocer la situación del alumno. Cada 2 ó 3 unidades
habrá una prueba individual. Estas pruebas supondrán el 40% de
la nota de la evaluación. Para poder aprobar la evaluación es
TFM: 2011-2012 EVALUACIÓN
40
imprescindible obtener al menos un 4 de media en esas pruebas
individuales.
• Cumplido ese requisito, la nota de los controles podrá aumentar
hasta un punto por la resolución de ejercicios de los propuestos
en el libro y resueltos en casa. Las actividades complementarias
como uso de programas informáticos, resolución de problemas,
relatos matemáticos, etc. contarán para este punto adicional.
Para el redondeo de la calificación se valorará el
comportamiento, trabajo en clase, asistencia y la participación en
olimpíadas matemáticas.
• El examen final de evaluación contará un 60% de la nota total de
la evaluación.
• La calificación de la evaluación será la media de las notas
obtenidas y el aprobado será a partir de 5.
• La 1ª y 2ª evaluación se podrán recuperar mediante un examen a
realizar unos días después de la evaluación. Se recuperará sólo
si la nota de la prueba es al menos un 5. La calificación podrá
aumentar al valorar los resultados obtenidos en las actividades
de la evaluación. Las recuperaciones son obligatorias y la nota
obtenida anula la anterior.
• Para aprobar la asignatura se deberá alcanzar un 5 como media
de las 3 evaluaciones, pudiéndose no superar una de ellas y
siempre que su calificación sea superior a 4. El examen final
servirá para que cada alumno recupere las evaluaciones
suspendidas.
TFM: 2011-2012 EVALUACIÓN
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• El 20% de faltas no justificadas, sobre el total de clases
correspondientes a un período de evaluación, es motivo de
pérdida de la evaluación positiva en la asignatura.
7.3. Tipos de evaluación.
Evaluación inicial: Para conocer la situación del alumnado y detectar las
posibles actuaciones que fueran necesarias.
Evaluación formativa: Controles individuales por escrito
correspondientes a unidades didácticas completas, procurando hacer
un control cada 2 ó 3 temas.
Evaluación sumativa: Se harán tres evaluaciones que incluyan los
temas dados en ese período siendo la nota final la media de estas tres
pruebas.
7.4. Criterios de calificación.
Los criterios de calificación son los siguientes:
• Los controles de 2 ó 3 temas contarán un 40%
• El examen final de cada evaluación contará un 60%
o La recuperación del examen final de evaluación se realizará
en las dos primeras evaluaciones a través de un examen de
recuperación y en la tercera evaluación mediante un trabajo
final. Estos exámenes y trabajos harán media a partir de 4,5.
7.5. Actividades de refuerzo y ampliación.
Siempre que el profesor lo estime oportuno tendrá a su disposición una
página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido, junto
con otra con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada
unidad del libro.
TFM: 2011-2012 EVALUACIÓN
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7.6. Evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje.
Llevaremos a cabo una evaluación continua y formativa que nos permita
conocer en todo momento el grado de evolución de nuestros alumnos y
aplicar las modificaciones necesarias en cada caso.
Junto a esto el profesor podrá realizar durante el tercer trimestre, con
carácter opcional, una encuesta de satisfacción a los alumnos, en la
que, de manera anonimia, puedan expresar su opinión.
TFM: 2011-2012 MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
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8. MEDIDAS DE ATENCIÓN AL ALUMNADO CON NECESIDADES
ESPECÍFICAS DE APOYO EDUCATIVO O CON NECESIDADES DE
COMPENSACIÓN EDUCATIVA.
Se aplicarán los ACI ó ACIS correspondientes. Para ello existen unos
documentos individualizados donde se recogen las deficiencias y los
progresos para tres niveles diferentes, son las llamadas plantillas de
adaptaciones curriculares.
En el caso de alumnado con deficiencias auditivas, se les dará la hora de
refuerzo pertinente y se seguirá el protocolo de actuación ante alumnos de
estas características.
Como medidas de atención a la diversidad llegaremos en todas las
unidades a un mínimo exigible, a continuación observamos para cada
unidad cual es su mínimo.
UNIDAD MÍNIMO EXIGIBLE
1. Números naturales Operar con fracciones de exponente fraccionario y entero. Saber escribir un número ordinal en notación científica.
2. Logaritmos
Saber aplicar la definición de logaritmo. Conocer y desarrollar sus propiedades. Resolver ecuaciones logarítmicas que den como resultado la resolución de una ecuación de primer grado.
3. Ecuaciones Exponenciales
Saber plantear una ecuación exponencial a partir de la definición. Saber poner dichas exponenciales en la base de la potencia necesaria. Saber realizar el cambio de variable en aquellas exponenciales que lo necesiten. Realizar ecuaciones exponenciales que den como resultado una de primer grado
4. Inecuaciones
Reconocer y resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita. Aplicar el método de factorización de polinomios para resolver inecuaciones de grado superior a dos y racionales. Importancia del cuadro de signos.
TFM: 2011-2012 MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
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5. Triángulos en el plano
Conocer el teorema de Pitágoras y reconocer en un triángulo rectángulo catetos e hipotenusa.
6. Relaciones Trigonométricas
Hallar los lados de un triángulo rectángulo aplicando los teoremas o mediante la utilización de las razones trigonométricas Conocer los sistemas de medida de ángulos y el manejo de la calculadora científica para operar con ellos. Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras.
7. Vectores en el plano
Realizar operaciones con vectores. Calcular el producto escalar de vectores. Calcular el producto escalar de vectores.
8. Ecuaciones de la recta y la circunferencia.
Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos, el vector director y la pendiente
9. Sucesiones. Límites de sucesiones
Caracterizar una sucesión mediante su término general. Calcular el límite de una sucesión.
10. Funciones Estudiar las características principales de una función a través de su expresión algebraica o su representación gráfica
11. Iniciación a la derivada
Calcular la derivada de una función utilizando las reglas de derivación.
12. Combinatoria Distinguir entre variaciones con y sin repetición, permutaciones y variaciones.
13. Cálculo de Probabilidades
Distinguir los experimentos aleatorios de los que no lo son.
14. Estadística Unidimensional
Interpretar un estudio estadístico. Representar los datos de un estudio estadístico.
15. Estadística Bidimensional
Comprender la necesidad de las variables bidimensionales. Comprender el concepto de recta de regresión.
Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de
textos están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde
(nivel básico), naranja (nivel medio) y rojo (alguna dificultad)
TFM: 2011-2012 MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
45
De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a
las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada
grupo de alumnos dentro de la misma.
Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que
complementan los ofrecidos en el libro del alumno:
• Actividades de refuerzo: Una página fotocopiable con ejercicios para
consolidar lo aprendido.
• Actividades de ampliación: Una página fotocopiable con ejercicios
para completar y ampliar lo tratado en cada unida del libro.
• Propuesta de evaluación: Una prueba que cubre los contenidos de la
unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión
de los conceptos y procedimientos tratados
• Cuadernos de evaluación de competencias: en él se propone una
prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la
adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los
contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales,
en conjunción con el resto de competencias básicas.
TFM: 2011-2012 FOMENTO DE LA LECTURA
46
9. FOMENTO DE LA LECTURA.
Para favorecer la comprensión lectora y la mejora de la expresión oral y
escrita, realizaremos las siguientes acciones en clase:
• Lectura periódica de relatos matemáticos con un cuestionario referido
al mismo que deberán contestar.
• Lectura opcional de algún libro o artículo relacionado con la materia
de estudio que se especificará durante el curso.
• Exposición oral y escrita de la resolución de algún problema
matemático.
• En los exámenes, valorar las “explicaciones” sobre los
procedimientos empleados.
• En ortografía, aplicar la normativa sobre faltas cometidas en los
exámenes.
Además de todo lo anterior en su cuaderno de trabajo utilizará un léxico
oportuno para la materia que se está impartiendo, haciendo especial
hincapié en la correcta construcción de frases, la utilización de las normas
gramaticales y la omisión de coloquialismos, del lenguaje telegráfico y
abreviado.
Junto a ello se fomentará una buena presentación del cuaderno, utilizando
márgenes, títulos e índices adecuados.
Los siguientes criterios de corrección ortográfica son de obligado
cumplimiento:
• Sanción a partir de la tercera falta de -0’5 puntos por falta.
• Cuatro tildes cuentan como una falta.
• Se podrá restar hasta un máximo de 2 puntos.
TFM: 2011-2012 USO DE LAS TIC´S
47
10. UTILIZACIÓN DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA
COMUNICACIÓN.
El uso de las TIC´s en el aula nos ayuda a crear un entorno más cercano,
tanto entre alumnos como entre el profesor y los alumnos. Para favorecer
esta comunicación con los alumnos se ha creado un grupo en gmail, donde
cada alumno tendrá su espacio individualizado en que podrá contractar con
todos los miembros de la clase y el profesor, pudiendo realizar trabajos
colaborativos en red.
Para favorecer el uso de las TIC´s en el centro se han planificado las
siguientes actividades a lo largo del curso:
• Crear un blog: como se deduce del título el objetivo es crear una
bitácora, donde se lleve un diario de clase y los alumnos puedan
compartir problemas, soluciones o artículos que ellos crean de
interés sobre las matemáticas.
• Crear un Flickr: esta aplicación sirve para subir fotos, la actividad
propuesta se basa en la elaboración de un trabajo de campo, es
decir, se les pide a los alumnos que cámara en manos recorran la
ciudad y busquen los edificios históricos donde encuentren algo
relacionado con las matemáticas, una vez encontrado lo retraten y
los suban a esta plataforma.
• Utilizar google maps para crear mapas de google públicos que
podrás compartir, con itinerarios calculados matemáticamente por los
alumnos siguiendo las pautas establecidas en el ejercicio.
• Utilizar programas como Geogebra para la explicación de contenidos
del aula.
TFM: 2011-2012 USO DE LAS TIC´S
48
• Elaboración de Hojas de cálculo con problemas de probabilidad
donde puedan cambiar la variable y observar como varían los
resultados.
TFM: 2011-2012 RECURSOS DIDÁCTICOS
49
11. RECURSOS DIDÁCTICOS Y ORGANIZATIVOS.
11.1. Bibliografía.
Bibliografía del profesor: Libro Esfera 4º de E.S.O. (Opción B) e la
editorial SM en la versión castellana. Materiales de apoyo y refuerzo del
libro correspondiente.
Bibliografía del alumno: Esfera 4º de E.S.O. (Opción B) de la editorial
SM en la versión castellana.
Otros materiales escritos: Hojas de ejercicios escritos o insertados en la
plataforma de gmail creada para el grupo. Cuaderno del alumno.
Otros materiales no escritos: Visionado de algún video relacionado con
las matemáticas. Periódicos y revistas. Mapas y planos.
Materiales del aula: pizarra, pizarra digital, calculadora.
Materiales de dibujo: escuadra, cartabón, compas, etc.
Recursos disponibles en red: La web de la editorial ( www.e-sm.net ), la
web de matemáticas ( www.ematematicas.net ).
Materiales informáticos: Procesador de textos, hojas de cálculos,
geogebra,…
11.2. Material específico en el aula, taller o laboratorio.
En el aula contaremos con una pizarra normal y otra digital para realizar
nuestras explicaciones. Junto a esto contaremos también con un
proyector para el visionado de los videos programados para clase.
TFM: 2011-2012 RECURSOS DIDÁCTICOS
50
Finalmente añadir la presencia en clase de un armario en el cual
disponemos de juegos de lógica y estrategia para la clase.
Además de estos recursos cuando sea necesario nos trasladáramos a
la biblioteca para la realizar las actividades de lectura y al aula TIC
cuando sea necesario apoyar el tema en programas informáticos.
En casi la totalidad del tiempo utilizaremos el aula habitual y en
determinadas ocasiones el aula TIC. También haremos uso de la
biblioteca del centro cuando realicemos algunas de las actividades de
lectura.
TFM: 2011-2012 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
51
12. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES.
Actividades complementarias a desarrollar durante el curso:
• Concurso de fotografía matemática para alumnos y profesorado del
centro.
• Visitas culturales relacionadas con las matemáticas, así como un
taller de matemágia.
• Elaboración de carteles de hombre y mujeres matemáticos
importantes en la historia durante la semana de la ciencia.
• Realización del Puzle de la Paz en colaboración con el Departamento
de Plástica para el día de la Paz.
• Elaboración de carteles de contenido matemático sobre un país
francófono elegido para la semana de la Francofonía en colaboración
con los departamentos de la Sección Bilingüe del Instituto.
Actividades extraescolares:
• Celebración de la Liga Matemática: concurso de resolución de
problemas matemáticos para la ESO, habrán dos categorías primer
ciclo y segundo ciclo.
• El instituto participará en la Olimpiada Matemática desarrollada por la
universidad.
TFM: 2011-2012 ANEXOS
52
13. ANEXOS.
13.1. Anexo1: Ejemplo examen Unidad Sucesiones.
TEMA 9: SUCESIONES. LÍMITE DE SUCESIONES.
1. Sucesión. Hacia la idea de límite.
2. Definición de límite.
3. Sucesiones que tienden a infinito.
4. Operar con los símbolos +∞ y -∞.
5. Límites de operaciones con sucesiones.
6. Límites indeterminados.
1. SUCESIÓN. HACIA LA IDEA DE LÍMITE.
Una sucesión es cualquier relación entre los números naturales y
un conjunto de números reales tal que a cada número natural “n”,
llamado índice, le coresponde un número real , llamado término.
Las cadenas ilimitadas de número reales se llaman sucesiones. Se
representan por: , , , , …
Ejemplo: 2 5. Calcula los 5 primeros términos.
2 1 5 7
2 2 5 9
2 3 5 11
2 4 5 13
2 5 5 15
TFM: 2011-2012 ANEXOS
53
El término general de una sucesión, si existe, es la expresión
algebraica que permite calcular cualquier término en funcion del
índice.
Una sucesión tiene por límite el número real L cuando, a medida
que “n” toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión
se aproximan cada vez más al número L.
lim∞
Ejemplos: Investiga que valor podría tener el límite de la siguiente
sucesión.
1
0,5
0,1 Luego ∞ ∞0
1100 0,01
11000 0,001
En el infinito esta función tiende a 0, aunque nunca llegue a alcanzar
ese valor.
Si una sucesión tiene por límite un número real se llama Convergente.
2. DEFINICIÓN DE LÍMITE.
Matemáticamente se define límite como:
“Se dice que un número L es límite de una sucesión, de término
general , si la diferencia en valor absoluto entre y L es menor
que un número cualquiera, , previamente elegido”
TFM: 2011-2012 ANEXOS
54
Expresado matemáticamente (definición de Cauchy):
| |
Ejemplo: Calcula a partir de qué término la sucesión y su
límite, se diferencian en menos de una centésima.
1. Investigo si tiene límite.
2 1 31 1 2,5
2 2 32 1 2,09
2,09 ∞ 2
2 100 3100 1 2,009
2 1000 31000 1 2,0009
2. Aplico la definición de Cauchy para calcular “n” | | .
2 31 2 0,01
2 3 2 21 0,01
11 0,01
11 0,01
1 0,01 1
TFM: 2011-2012 ANEXOS
55
0,990,01
99
A partir de se cumple la definición de Cauchy.
Ejercicio para casa: Dada la sucesión , calcula a partir de
qué término su diferencia con el límite es de una milésima.
3. SUCESIONES QUE TIENDEN A INFINITO.
Consideramos la siguiente sucesión 2 1. Calculamos sus
términos.
3, 5, 7, 9, … 21, … 201
Sus términos se hacen cada vez mayores, de manera que por más
alto que pongamos el listón, más grande es dicho valor. Diremos por
tanto que la sucesión tiende a +∞.
lim∞
∞
Supongamos ahora la sucesión de término general ,
Calculamos algunos términos:
1, 8, 27, … 1000, … 10000
Sus términos se van haciendo cada vez menores, de modo que por
bajo que pongamos el listón, existen términos menores que él.
Diremos por tanto que la sucesión tiende a -∞.
lim∞
∞
Las sucesiones que tienen por límite +∞ ó -∞ se llaman Divergentes.
TFM: 2011-2012 ANEXOS
56
4. OPERAR CON LOS SÍMBOLOS +∞ Y -∞
Veamos un cuadro resumen para realizar operaciones aritméticas
entre ∞ y un número real cualquiera “a”.
SUMAS Y RESTASº PRODUCTOS ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
0 ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
COCIENTES POTENCIAS
0∞
∞
0∞
∞
0 ∞
∞0
1 ∞ ∞, ∞ 0 0 1 ∞ 0,
∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ 0
5. LÍMITES DE OPERACIONES CON SUCESIONES.
• El límite de una suma es igual a la suma de sus límites.
lim∞
lim∞
lim∞
• El límite de un producto es igual al producto de sus límites.
lim∞
lim∞
lim∞
• El límite de un cociente es igual al cociente de sus límites.
lim∞
lim∞
lim∞
• El límite del producto de un número por una sucesión es igual al
número por el límite de la sucesión.
lim∞
lim∞
• El límite de una sucesión elevada a otra es igual al límite de dicha
sucesión elevada al límite de la otra sucesión.
TFM: 2011-2012 ANEXOS
57
lim∞
lim∞
∞
Ejercicio: Dadas las sucesiones y . Calcula:
a) ∞ y ∞
∞2
∞
15
b) ∞ 5 y ∞ 7
∞5 5 2 10
∞7 7
15
75
c) ∞ y ∞
∞2
15
25
∞2 √2
6. LÍMITES INDETERMINADOS.
Hemos visto que existen sucesiones convergentes (que tienden a un
número real), sucesiones divergentes (que tienden a infinito) y
también hay otras sucesiones en las que el límite es indeterminado.
Un límite es indeterminado cuando no se puede calcular directamente
su valor. Estos límites surgen siempre que aparece alguna de las
siguientes expresiones:
∞∞
; ∞ ∞ ; ∞ 0 ; 00 ; 1∞; ∞ ; 0
Racionales Exponenciales
TFM: 2011-2012 ANEXOS
58
Límite de un cociente de Polinomios ∞∞
Para resolver una indeterminación del tipo ∞∞
, se dividen el
numerador y el denominador por la máxima potencia de “n” de entre
los que aparecen en la división.
Ejemplo: Calcula el límite de la sucesión:
∞
2 5 7 21
∞∞ ∞
2 5 7 2
1
∞
0 0 0 01 0
01 0
Ejercicios: Calcula los límites propuestos en la página de recursos.
Límite de la indeterminación (∞-∞)
Para solucionar una indeterminación del tipo (∞-∞) se multiplica y
divide por el conjugado.
Ejemplo:
∞1 2 ∞ ∞
∞
√ 1 √ 2 √ 1 √ 2√ 1 √ 2
∞
1 2√ 1 √ 2
∞
1 2√ 1 √ 2
∞∞
Ahora hay que resolverlo como la primera indeterminación.
TFM: 2011-2012 ANEXOS
59
∞
1 2
1 2 ∞
0 21 1 1
Ejercicios: Calcula los límites propuestos en la página de recursos.
Límites con Indeterminación ∞
Tenemos la sucesión de término general 1 . Vamos a estudiar
como se comporta dicha sucesión
111 2
112 2,25
113 2,3703
11
10 2,59
11
100 2,704
11
1000 2,7169
Vemos que cada término es mayor que el anterior, por eso se dice
que es una sucesión Creciente.
Si calculamos el término de un “n” muy grande;
. . =2,718281…
TFM: 2011-2012 ANEXOS
60
Podemos notar que esta sucesión va a estar acotada, es decir, no va
a tender a infinito. Por tanto decimos que:
lim∞
11
Toda sucesión que cumpla las dos condiciones anteriores, ser
creciente y estar acotada superiormente, tiene límite.
Los límites de las sucesiones que tienden a 1∞están asociadas al
número e.
• El número e es irracional, e i, tiene infinitas cifras decimales.
• Además es trascendente, e i, no es solución de ninguna
ecuación algebraica, es la base de los logaritmos naturales o
neperianos.
Por lo tanto, para resolver las indeterminaciones de este tipo
procederemos partiendo de:
lim∞
11
Tomaremos como:
• 1
• " "
Entonces tendremos la siguiente resolución:
∞
Ejemplo: Calcula
TFM: 2011-2012 ANEXOS
61
lim∞
11
lim∞
11
lim∞
14
3∞ ∞
Junto a este método podemos incluir otro procedimiento para realizar
estos límites. Por ejemplo utilicemos la sucesión:
2 32 2
1. Arreglamos el cociente para lograr tener la fórmula del número e.
lim∞
2 2 52 2 lim
∞1
52 2
2. Para conseguir el uno en el numerador de la fracción pasamos el 5
dividiendo el denominador:
lim∞
11
2 25
3. Para conseguir que el exponente sea el mismo que el denominador
de la fracción debemos multiplicar el exponente existente por el
denominador de esta manera:
lim∞
11
2 25
lim∞
11
2 25
4. Resolver el límite como un fracción
TFM: 2011-2012 ANEXOS
62
lim∞
2 32 2
13.2. Anexo 2: Ejemplo Problemas de Repaso.
EJERCICIOS REPASO TEMA 9: SUCESIONES
1º.Halla términos de la siguiente sucesión y estudia si tiende a algún
valor.(2ptos)
2º. La sucesión de término general tiene por límite
L=1/2. Calcula a partir de qué término la diferencia entre la sucesión y
su límite es menor que una milésima. (2ptos)
3º.Dadas las sucesiones y realiza
las siguientes operaciones.(2ptos)
a) Calcula hallando términos lim ∞ y lim ∞
b) lim ∞
c) lim ∞
d) lim ∞
4º. Calcula los siguientes límites.(4ptos)
a) lim ∞ ,
b) lim ∞
c) lim ∞ 1 √ 1
TFM: 2011-2012 ANEXOS
63
13.3. Anexo 3: Ejemplo Examen.
EXAMEN TEMA 9: SUCESIONES
1º.Halla términos de la siguiente sucesión y estudia si tiende a algún
valor.(2ptos)
63 1
2º. La sucesión de término general tiene por límite L=3.
Calcula a partir de qué término la diferencia entre la sucesión y su
límite es menor que una centésima. (2ptos)
3º.Dadas las sucesiones y realiza
las siguientes operaciones.(2ptos)
a) Calcula hallando términos lim ∞ y lim ∞
b) lim ∞
c) lim ∞
d) lim ∞
4º. Calcula los siguientes límites.(4ptos)
a) lim ∞ 1
b) lim ∞
c) lim ∞ 2 √ 3
d) lim ∞
TFM: 2011-2012 ANEXOS
64
13.4. Anexo 4: Fomento de la lectura.
LA PIRÁMIDE DE KEOPS
La pirámide de mayor dimensión de todo el mundo, Keops – o la gran
pirámide – es la primera y la mayor de las tres grandes pirámides de la
Necrópolis de Giza, en las afueras de El Cairo, en Egipto. Fue el edificio
más alto (tiene una altura de 145 metros) hasta el siglo XIX, cuando se
construyó el primer rascacielos moderno. Lo que la convirtió en una de las
Siete Maravillas del Mundo Antiguo fue su constitución: cada una de las
piedras usadas para construirla pesa más de dos toneladas. Más de dos
millones de esas piedras fueron necesarias para conformar la pirámide.
El Faraón Keops perteneció a la Cuarta Dinastía, alrededor del año 2560
a.C., lo que da como resultado que la pirámide data de hace 4500 años
aproximadamente. Se cree que fue construida, según las costumbres
egipcias, para albergar los restos del faraón una vez que éste iniciara su
viaje a la nueva vida.
Ejercicios:
1. Teniendo en cuenta el monumento que te planteamos como cuerpo
geométrico. Contesta a las siguientes preguntas:
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene la pirámide?
La pirámide de Keops es de base cuadrangular. Completa la tabla con
el número de caras, vértices y aristas de las diferentes pirámides, según
sea el polígono de su base:
TFM: 2011-2012 ANEXOS
65
Nº de lados de la base Caras Vértices Aristas
3 (Triángulo)
4 (Cuadrado)
5 (Pentágono)
6 (Hexágono)
7 (Heptágono)
8 (Octógono)
¿ Cuál sería el número de caras, vértices y aristas de una pirámide cuyo
polígono de la base tiene 100 lados?
2. Generaliza el resultado para cualquier tipo de pirámide (cuya base es
un polígono de n lados). Asocia mediante flechas algunas de las
siguientes frases con caras, vértices y aristas:
El número de lados del polígono de la base más uno (n+1).
El número de lados del polígono de la base (n). Número de caras.
El doble del número de lados de la base (2n). Número de vértices.
El triple del número de lados de la base (3n). Número de aristas.
El número de lados de la base más dos (n+2).
Utiliza lo descubierto para comprobar que en cualquier pirámide se
cumple la ley de Eules para los poliedros:
nº de caras + nº de vértices = nº de aristas +2
La gran pirámide es la mayor de las tres que se extienden en la llanura de
Giza, cerca del actual El Cairo. Tuvo una altura de 280 codos en su origen.
TFM: 2011-2012 ANEXOS
66
El lado del cuadrado de la base mide 440 codos, eso es casi un cuarto de
kilómetro.
En su construcción, se calcula que se emplearon entre 2,3 y 2,5 millones
de bloques de piedra, los cuales están tallados con precisión óptica, y
oscilan de media entre las 2 y 2,5 toneladas de peso, lo que no quita que
también los haya de 60 toneladas. Las juntas entre los bloques son tan
exactas que no es posible introducir una hoja de cuchillo entre dos de ellos.
En su mayoría se empleó la piedra caliza, pero también el duro granito.
Toda esta mole se asienta sobre una plataforma nivelada artificialmente,
con errores mínimos, lo que no deja de constituir un auténtico logro incluso
para nuestra época.
3. Completa la siente tabla rellenado los huecos. Expresa los resultados
redondeando a número enteros:
Unidades Egipcias Longitudes (codos)
Lados Arista Altura Apotema
Diagonal Perímetro Superficie (codos cuadrados)
Área de la Base Área de un cara Volumen (codos cúbicos)
4. Haz la conversión de la tabla anterior al sistema métrico decimal
rellenando los huecos teniendo en cuenta que 1 codo real = 0,523
metros. Expresa los resultados a números enteros:
Sistema Métrico Decimal Longitudes (codos)
Lados Arista Altura Apotema
Diagonal Perímetro Superficie (codos cuadrados)
Área de la Base Área de un cara Volumen (codos cúbicos)
TFM: 2011-2012 ANEXOS
67
Con respecto a sus peculiaridades matemáticas, ya en el siglo V a. C.,
Herodoto afirma en uno de sus textos que los sacerdotes egipcios le
habían mostrado que el cuadrado de la altura total de la pirámide de
Keops era igual al área de una cara. Rellena los huecos:
Cuadrado de la Altura Área de una cara ¿Tenían razón los sacerdotes egipcios?
Para definir las dimensiones de una pirámide, normalmente nos fijamos
en el lado y la altura, pues con estas dos magnitudes podemos calcular
todas las demás, como has podido comprobar en la actividad anterior.
Una de las principales medidas que usaban los egipcios era el ángulo
de inclinación de las caras de la pirámide, que se obtiene de la relación
que hay entre el lado de la base y la altura. La inclinación de las caras
era medida en Seked (un dato que es el doble de la cotangente del
ángulo).
Veamos: usaban el triángulo meridiano, triángulo isósceles que se
produce al seccionar la pirámide en dos mitades iguales desde el
vértice y pasando por la mitad de las caras. Los dos ángulos iguales de
este triángulo nos dan la inclinación de las caras.