ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA(RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS)

Resolución:

Los ángulos son consecutivos y distribuidos en una vuelta completa, por lo que suman 360º:

Θ + 42º + 49º + 124º + 72º = 360º

Θ + 287º = 360º

Θ = 73º

Resolución:

Si AOC = ∡ y BOC = ∡ , entonces:

AOB = AOC – BOC ∡ ∡ ∡

AOB = ∡ –

Luego, si OM es bisectriz del AOB∡ tenemos que:

AOM = ∡ – = MOB ∡ 2

Por lo que: COM = MOB + BOC ∡ ∡ ∡

COM = ∡ – + 2

COM = ∡ – + 2 2

COM = ∡ + 2

Resolución:

Si = 37º 90’ 180’’ < > 37º 93’ < > 38º 33’

También se tiene que AB es bisectriz, por lo tanto: = 38º 33’ / 2

Luego: – 2 = 38º 33’ – 2 (38º 33’ / 2)

– 2 = 0º

Finalmente el complemento de ( – 2) = C(0º)

( – 2) = 90º

Resolución:

Si L4 es bisectriz de entonces = 2 por ser puestos por el vértice. Es decir que:

= 2 = 2(35º) = 70º

También 2 y son ángulos conjugados osea son suplementarios:

2 + = 180º 70 + = 180º

= 110º S (110º) = 70º

S() = 70º

Resolución:

Sea : el ángulo 3 – 20 = 110º 75 – 20 = 110º 4 100 100

55 = 11000º = 200º

Luego, 10% del ángulo (200º) es 20º

Por lo que: C(20º) = 70º

Resolución:

Si 25 = 5º 30’ 1 = 5º 30’ 100 4

= 4 (5º 30’) = 20º 120’ < > 22º

También 40 = 52º 2 = 52º 100 5

= 5 (52º) / 2 = 130º

Por lo que: + = 152º

Resolución:

Por la gráfica tenemos que: 30º

60º

Luego por ángulo externo que es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacentes, tenemos:

x = 30º + 90º x = 120º < > 118º 120’

Por lo que: x = 118º 120’

Resolución:

Como AC es secante, forma ángulos conjugados internos (son suplementarios) con las bisectrices AE y CE.

Luego tenemos que:

2x + 2y = 180º

x + y = 90º

Ahora = x + y = 90º

Por lo que:

= 90º

Resolución:

1

1

xx

y y

Por la gráfica podemos tomar como dato la suma de los ángulos internos del triángulo:

(180º – ) + 63º + (180º – 133º) = 180º

180º – + 63º + 47º = 180º

– = –110º

Por lo tanto:

= 110º

Resolución:

Por dato tenemos: = 3 = 3 ; = 82º 4 4

Por suma de ángulos internos de un triángulo:

+ + = 180º

3 + + 82º = 180º 4 3 + 4 = 4 (180º – 82º)

7 = 392ºPor lo tanto:

= 56º

Resolución:

Por dato tenemos: = 2 = 5 5 2

Por suma de ángulos internos de un triángulo:

+ + 40º = 180º

+ 5 = 140º 2 2 + 5 = 2 (140º)

7 = 280ºPor lo tanto:

= 40º

Resolución:

Por la gráfica tenemos que el ángulo 58º y x son alternos internos (es decir son iguales):

58º = x

Así mismo + x = 180º

= 122º

También tenemos que y son correspondientes (es decir iguales), por lo que:

= 122º y = 122º

Resolución:

Se observa en la gráfica que y = 2(80º) por ser ángulos correspondientes.

y = 160º

Entonces: x + y = 180º

x + 160º = 180º

x = 20º

También x = por ser correspondientes por lo que:

= 20º

Resolución:

Observamos que:

x y

+ x + 90º = 180º

+ x = 90º

Despejando x tenemos

x = 90º –

Resolución:

Si DC y DE son bisectrices, entonces forman ángulos congruentes. Luego:

2 + 2 = 180º (∡ conjugados internos)

+ = 90º

Por lo tanto deducimos que:

x = 90º < > 88º 120’

x = 88º 120’

Resolución:

Observamos que

+ = 180º (∡ conjugados internos)

= 180º –

Por suma de ángulos internos de un triángulo:

35º + x + = 180º

35º + x + 180º – = 180º

x = – 35º

Resolución:

Observamos que

x + = 180º (∡ conjugados internos)

x = 180º –

Resolución:

Observamos que = 65º (∡ correspondientes)

x

Entonces: + + 65º = 180º

65º + + 65º = 180º

= 50º

Por suma de ángulos internos de un triángulo:

+ + = 180º

+ 50º + = 180º

+ = 130º

Por lo que: + – = 80º

Resolución:

Observamos que:

= 10º (∡ opuestos por el vértice)Entonces: + = 90º

= 80º

Luego por suma de ángulos internos de un triángulo:

+ x + ( + 55º) = 180º

80º + x + 65º = 180º

x = 180º – 145º

Por lo que: x = 35º

Resolución:

Por la gráfica tenemos que:

+ 150º = 180º (∡ adyacentes y

suplementarios) = 30º

Luego por suma de ángulos internos de un triángulo:

+ + 90º = 180º

30º + + 90º = 180º

= 180º – 120º

Por lo que: = 60º

Resolución:

Por la gráfica tenemos que:

= 55º 30’ (∡ alternos internos)

Luego:

2x + = 180º

2x + 55º 30’ = 180º

2x = 180º – 55º 30’

x = 124º 30º / 2

Por lo que: x = 62º 15’ < > 62º 14’ 60’’

Resolución:

Por la gráfica tenemos que:

= 45º (∡ correspondientes)

x

Y por dato: = 90º

Entonces: + + x = 180º

45º + 90º + x = 180º

x = 180º – 135º

Por lo que: x = 45º

Resolución:

Observamos en la gráfica que:

+ 60º = 180º (∡ conjugados externos) = 120º

Por dato sabemos que L5 es bisectriz, entonces:

x = / 2 (∡ opuestos por el vértice)x = 120º / 2

Por lo que: x = 60º

Resolución:

Según la gráfica tenemos que:

/2

+ 70º = 180º (∡ conjugados internos) = 110º

Pero nos piden como respuesta la mitad de :

/ 2 = 110º / 2 = 55º

Resolución:

Tenemos que:

x + 122º = 180º

x = 58º (∡ correspondientes)También se tiene que:

y = 45º (∡ correspondientes)Entonces:

+ 58º + 45º = 180º

= 180º – 103º

Por lo tanto: = 77º

Resolución:

Por la gráfica tenemos que:

x58ºy

+ = 180º (∡ conjugados internos)Por dato:

= 2 = 3 3 2

Entonces:

+ = 180º

3 + = 180º 3 + 2 = 360º 2

= 360º / 5 = 72º

Pero como = por ser correspondientes, tenemos:

= 72º

Resolución:

Según la gráfica tenemos que:

2y + 2z = 180º (∡ conjugados internos) y + z = 90º

También sabemos que:

x = y + z

Por lo que:

x = 90º

Resolución:

y y

zz

Por dato tenemos que:

+ = 70º

También:

= 2 = 2 3 3

Entonces:

+ = 70º 2 + = 70º 3

2 + 3 = 210º = 210º / 5 = 42º

El valor de es:

= 2 = 2(42º) = 84º = 28º 3 3 3

Por lo tanto:

= 28º y = 42º

Resolución:

Según la gráfica podemos obtener lo siguiente:

z = 180º – 111º z = 69º

También:

91º + y = 130º (∡ correspondientes)

Luego:

91º + y = x + z

130º = x + 69º x = 130º – 69º

Por lo que:

z

x = 61º

Resolución:

Por la gráfica podemos fácilmente determinar que:

x + 10º = 90º

x = 90º – 10º

Por lo que:

x = 80º

x 10º

10º