trabajo descartes final
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Elkin Alirio llanos valencia
Edgar Ceballos Espinosa
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
25/11/2010
DESCARTES MÁS QUE LA DUDA, LA GEOMETRÍA
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DESCARTES MÁS QUE LA DUDA, LA GEOMETRÍA
HISTORIA DE LA CIENCIA MODERNA
Edgar Ceballos Espinosa
Elkin Alirio llanos valencia
Profesor: Alonso Sepúlveda.
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
ESCUELA DE FÍSICA
MEDELLÍN
2010
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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCION .................................................................................................... 3
DESCARTES MÁS QUE LA DUDA, LA GEOMETRÍA ............................................ 4
OPERACIONES GEOMÉTRICAS DE DESCARTES .............................................. 7
Suma .................................................................................................................... 7
Multiplicación ....................................................................................................... 8
Raíz cuadrada ...................................................................................................... 9
Solución de ecuación de segundo grado ........................................................... 10
Medias proporcionales con el compás de descartes.......................................... 12
Duplicación del cubo ....................................................................................... 13
Trisección del ángulo ...................................................................................... 13
Medias proporcionales con cortes entre cónicas ............................................... 14
Solución a ecuaciones de tercer y cuarto grado con el corte de un círculo y una parábola ............................................................................................................. 14
Paso de las cónicas de Apolonio a las de descartes. ........................................ 16
Parábola ......................................................................................................... 16
Elipse e hipérbole ........................................................................................... 17
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................... 19
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INTRODUCCION
Hoy por hoy sigue abierta la discusión sobre quién es el verdadero autor o autores de la geometría analítica tal y como la conocemos. Solo se tiene la certeza de que fue publicado por primera vez con ese nombre haciendo parte del tratado de Descartes titulado “Discurso del método”, aunque dicho método ya era conocido y aplicado por Pierre de Fermat previo a la publicación de Descartes, y también Omar Khayyam un siglo antes utilizaba un método similar para determinar intersecciones entre curvas, no es posible que estos dos matemáticos pudieran haber conocido la obra de Descartes.
Geometría analítica y geometría cartesiana marcharon al unísono tornándose equivalentes, pero ahora como algo paradójico se suele nombrar Geometría Cartesiana (Descartes la había titulado Geometría Analítica) al apéndice del Discurso del método y se denomina Geometría analítica a aquella que abarca todo el desarrollo posterior de la geometría utilizando como base construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones, hasta llegar a la Geometría Diferencial de Gauss.
La Geometría Diferencial permitió el estudio de superficies en general, logro que no fuera posible en la Geometría analítica, y con lo anterior llega a su fin la ésta geometría como disciplina.
Cabe anotar que el nombre de analítica por la forma de abordarse su estudio dio pie para que la anterior manera de estudiarse (sin que intervengan coordenadas), termina por clasificarla por oposición como geometría sintética (análisis opuesto a síntesis).
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DESCARTES MÁS QUE LA DUDA, LA GEOMETRÍA
En la historia de las matemáticas René Descartes tiene un espacio reservado por el gran aporte que hizo a la geometría. Sus primeros pasos en este campo se dejan vislumbrar en escritos que dirigía a uno de sus grandes amigos llamado Beeckman, en dichos escritos discuten permanentemente de matemáticas y se plantean el uno al otro problemas desafiantes (Journal de Beeckman), problemas famosos por su puesto y que eran de gran interés para los matemáticos de su época. El problema del chainette, que consiste en descubrir si la forma que adopta una cadena suspendida de dos clavos colocados a la misma altura es una sección cónica. La cuadratura del círculo, que consiste en hallar un cuadrado con igual área que un círculo dado. La duplicación del cubo, es decir hallar un cubo que tenga dos veces el tamaño original. Y la trisección de un ángulo, que es, a un ángulo dado dividirlo en tres iguales. Al primero y al segundo problema Descartes le dedica poco tiempo y así se lo hace saber a su amigo en sus cartas, pero a los dos siguientes le pone todo su empeño y dedicación, al punto que este es el origen de su gran contribución a la Geometría.
Hipócrates de Quíos había descubierto muchos siglos atrás que para hallar la duplicación del cubo se necesitaba encontrar dos medias proporcionales entre la longitud del lado del cubo original y el doble de esa longitud pero se desconocía cuales eran, Descartes en su tarea de resolver el problema de una manera sencilla inventa un compas capaz de trazar medias proporcionales (véase figura), este invento al parecer fue inspirado por un compás que había hecho Eratóstenes llamado mesolabium que aunque bastante distinto al de Descartes, se construyó para hallar la división de tonos iguales en la música que es equivalente a hallar medias proporcionales, lo que demuestra que en esencia buscan lo mismo “medias proporcionales” para problemas distintos.
René Descartes ocupándose luego del problema de trisecar ángulos, realiza modificaciones a su compás proporcional y dice lograr no solo dividir en tres iguales un ángulo dado, sino en las partes que se quiera a través de su nuevo compás (véase pág. 11). Descubre Descartes que el compás proporcional al permitir duplicar el cubo, le permite resolver toda clase de ecuaciones cúbicas, porque ello se reduce a buscar magnitudes proporcionales que es precisamente lo que su instrumento hace. René Descartes se siente orgulloso de sí mismo, comparte este descubrimiento con su amigo y dice haber descubierto una “nueva ciencia”.
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La práctica de solucionar ecuaciones con el compás proporcional, abre las puertas a la geometrización del álgebra, resolviendo ecuaciones por analogía entre la ecuación y la construcción de una figura geométrica, teniendo claro que para Descartes la ecuación es una herramienta y no otra forma de definir la figura, porque ese descubrimiento es posterior. También por analogía y en este caso entre la aritmética y la geometría, hace una clasificación de los problemas geométricos en tres tipos:
El primero reúne problemas que se resuelven con líneas rectas y círculos, comparado con los problemas más simples de la aritmética solubles con números racionales.
El segundo agrupa problemas que se resuelven con curvas producidas por un movimiento continuo único, comparado con problemas solubles con irracionales.
El tercer tipo de problemas son los solubles con curvas producidas por dos o más movimientos insubordinados como el caso de la cuadratriz. Comparado con soluciones supuestas, pero imposibles en realidad en la aritmética. Para Descartes acá están agrupados todos los problemas posibles de la aritmética y la geometría.
Descartes traducía todo problema geométrico al lenguaje algebraico, pero la solución válida para él era la que hallara a través de su compás proporcional. Descubre en este trabajo que una variable cuadrada x2 no es necesariamente un cuadrado y además encuentra que hay gran relación entre operaciones con segmentos de líneas y las operaciones con números, logra también interpretar la multiplicación de dos rectas como una tercera recta y no como un solo como un rectángulo, dando paso con ello a un algebra general.
En sus tres libros de geometría logra dar entonces el inicio a lo que hoy conocemos como geometría analítica. El libro I contiene la interpretación geométrica de las operaciones algebraicas, además de la solución en detalle de las ecuaciones cuadráticas pero como ya se mencionó anteriormente, a través de representaciones geométricas; por su parte el libro II contiene cantidad de resultados a los llamados “óvalos de Descartes” curvas utilizadas en los problemas de óptica que se logran por medio del famoso método del jardinero; y el último libro de su gran obra de geometría puede compararse con un completo curso de teoría elemental de ecuaciones donde retoma la solución de ecuaciones cuadráticas y pasa a la solución de ecuaciones cúbicas y cuarticas como de
6
costumbre introduciendo el álgebra de símbolos a las manipulaciones geométricas.
Sin desmeritar a matemáticos como Apolonio, Fermat y otros que también hicieron grandes aportes a la geometría, podemos afirmar que es a partir de este gran personaje que la geometría del siglo XVII toma un nuevo rumbo.
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OPERACIONES GEOMÉTRICAS DE DESCARTES
Suma Descartes abre su trabajo de la siguiente manera:
1
Dicho de otra manera que todos los problemas geométricos se pueden simplificar
a las formas que debe ser accesible a todas las personas que saben cómo
trabajar con las líneas.
Descartes también señala a continuación que el trabajo con dichas líneas homologo a la aritmética, es decir, suma, resta, multiplicación, división y la extracción de raíces). Así que la suma o diferencia de las líneas se obtiene simplemente por la adición de un línea a otra o restando una línea de otra línea:
a + b = c c – b = a
a b c
C a b
1 Pg1la geometría 1/25 del documento digitalizado por google.
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Multiplicación
2
Para hacer una multiplicación descartes propone que al multiplicar BD por BC hay que tomar AB como la unidad, la unidad, se traza DE paralela a CA, y BE es el producto de es multiplicación.
Por ejemplo si deseamos multiplicar 3 y 2 el resultado seria 6 pero geométricamente quedaría:
La abertura entre las líneas no tiene importancia, podemos hacerlo sin escala de manera ilustrativa sobre una cuadricula para apreciarlo mejor, como no de los factores de la multiplicación es 2 trazamos una línea hasta 1, y como el otro factor es 3 trazamos una paralela a la línea anterior y vemos que llego a 6 que es el resultado de la multiplicación.
Para la división el procedimiento es al contrario, para dividir 6 entre 3 se traza primero la línea desde 6 hasta 3 y luego una paralela que salga de 1 y vemos que llega a 2 como era de esterarse 6÷3=2 2 Ibíd. Pg2/26
6
5
4
3
2
1
3 2 1 0
9
Raíz cuadrada
3
Para encontrar la raíz cuadrada d un número, descartes se vale del teorema de Pitágoras y del hecho de que tenga como hipotenusa el diámetro de un círculo y su vértice contrario se encuentre sobre la circunferencia es un triangulo rectángulo como el siguiente:
Supongamos que deseamos obtener la raíz de X, trazamos un segmento con la medida X, luego la prolongamos en una unidad, luego con centro en la mitad del nuevo segmento X+1 trazamos una circunferencia, luego del punto en donde se unen X y la unidad que adicionamos se traza una perpendicular hasta la circunferencia, esta medida Y es la raíz de X.
X2+y2=r2 (1)
12+y2=s2 (2)
r2+s2= (x+1)2 (3)
Sustituyendo (1) y (2) en (3) queda
X2+y2 +12+y2 = (x+1)2
X2+2y2 +12 = x2 +2x+1
y2= x que quiere decir que la medida del segmento y es la raíz cuadrada del segmento x 3Ibíd Pg 2/26
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Solución de ecuación de segundo grado
4
Para Descartes una ecuación de segundo grado era de este tipo z2=az+bb
Que tiene como solución: z � �
�a + ��� �.� ��.
Construyo el triángulo rectángulo NLM, cuyo lado LM es igual a b, raíz cuadrada de la cantidad conocida bb , y el otro LN es , la mitad de la otra cantidad
conocida, a que está multiplicada por z, que es la línea desconocida. Luego, prolongando MN, base de ese triángulo, hasta O, de modo que NO sea igual a NL, la línea total OM es z, que es el resultado de la ecuación.
4 Ibíd Pg 6/30
11
z2=az+bb la convertimos a z2 -az -bb =0 nos queda una expresión cuadrática de la
forma ax2 + bx + c =0 donde a=1 b=-a c=-bb
� � � � √�� 4��2�
� � � � √ �� 4 � 1��2 � 1
� � � � √�� 4��2 � 1
� � a2 √�� 4��
2
z � ��a + ��
� �.� ��.
Que concuerda con la definición que había propuesto Descartes, nótese que descartes solo consideraba la raíz positiva de la ecuación
Medias proporcionales con el compá
De alguna manera, Descartes tuvo en sus manos un compas como en que dibuja en la geometría que constbrazos, el primero fijo y los demás deslizantes sobre el brazo ángulos rectos con XY y CD, EF y GH forman también forman ángulos rectos con YZ, BC esta fijo a XY en B pero los demás brazos
Al abrir el compas la primera regla empuja a la segunda obligándola a deslizarse y así con la tercera y sucesivamente. forman curvas que se ven en la grafica.
Debido a la proporcionalidad entre losresulta.
����=
���� � ��
�� � ���� � ��
��Descartes se interesa especialmente por estas curvas y por las ecuaciones que las producen, pero lo más importante es que este compestrategia para generar medias como sólo abrir el compas.
Descartes presto atención a los problemas clásicos de la antigüedad, la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisec
5 Ibíd Pg 20/44
dias proporcionales con el compás de descartes
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De alguna manera, Descartes tuvo en sus manos un compas como en que dibuja en la geometría que constaba de dos brazos a los que están adheridosbrazos, el primero fijo y los demás deslizantes sobre el brazo BC, DE ángulos rectos con XY y CD, EF y GH forman también forman ángulos rectos con YZ, BC esta fijo a XY en B pero los demás brazos se pueden deslizar.
compas la primera regla empuja a la segunda obligándola a deslizarse y a tercera y sucesivamente. Si se ponen lápices en B, D, F,
forman curvas que se ven en la grafica.
Debido a la proporcionalidad entre los triángulos que forman el comp
���� � ��
��
Descartes se interesa especialmente por estas curvas y por las ecuaciones que más importante es que este compás se convirtió en una
estrategia para generar medias proporcionales de una manera fácil, tan
Descartes presto atención a los problemas clásicos de la antigüedad, la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo y con este
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De alguna manera, Descartes tuvo en sus manos un compas como en que dibuja adheridos otros
y FG forman ángulos rectos con XY y CD, EF y GH forman también forman ángulos rectos con
se pueden deslizar.
compas la primera regla empuja a la segunda obligándola a deslizarse y H al abrir se
ue forman el compás al final
Descartes se interesa especialmente por estas curvas y por las ecuaciones que s se convirtió en una
manera fácil, tan simple
Descartes presto atención a los problemas clásicos de la antigüedad, la ción del ángulo y con este
compás pudo darle una solución al primero y aque se esperaba..
Duplicación del cubo
Hipocrates de Quios fue quien dio una de las ideas de cómo de la hora de solucionar este problema.
Sea a la medida del lado del cubo original de volumen acubo de tamaño desconocido con segunda media proporcional
�� =
� =
��
Organizando las razones tenemos
�!�! =
�� x
� x
��
�!�! =
���
X3=2a3
Donde x es la medida del lado del nuevo cubo de volumen son medias proporcionales quesin embargo se rompe la regla de la construcción exclusiva de regla y compas, dado que esto se logra con un compas diferente.
Trisección del ángulo
Descartes modifico el compsiguiente:
olución al primero y al último aunque no d
Hipocrates de Quios fue quien dio una de las ideas de cómo de debíala hora de solucionar este problema.
del cubo original de volumen a3 y 2 a3 el volumen del de tamaño desconocido con x como su primera media proporcional
segunda media proporcional
Organizando las razones tenemos:
Donde x es la medida del lado del nuevo cubo de volumen 2 a3 tanto x como y son medias proporcionales que se pueden encontrar con el compás de Descartes, sin embargo se rompe la regla de la construcción exclusiva de regla y compas, dado que esto se logra con un compas diferente.
Trisección del ángulo
Descartes modifico el compás anterior de tal manera que quedara como el
Las cuatro reglas AB,AC,AD,AD, giran alrededor de A , los puntos, F.I,K,L equidistan de A y las varillas FG, GK, IH, LH todas ellas iguale a AF giran alrededor de los puntos F, I, K ,L y están dispuestas de tal manea que los puntos G y H se puedan
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de la manera
debía proceder a
el volumen del como su primera media proporcional con y su
tanto x como y s de Descartes,
sin embargo se rompe la regla de la construcción exclusiva de regla y compas,
uedara como el
Las cuatro reglas AB,AC,AD,AD, giran alrededor de A , los puntos, F.I,K,L equidistan de A y las varillas FG, GK, IH, LH todas ellas iguale a AF giran alrededor de los puntos F, I, K ,L y están dispuestas de tal
ntos G y H se puedan
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deslizar por sus respectivas varillas AC y AD , al abrir el compás , etc se abre uniformemente como un acordeón dividiendo e en tres el ángulo, en este caso en tres partes iguales , aunque sirve para dividir un ángulo en cuantas pates se quiera .
Medias proporcionales con cortes entre cónicas Descríbase la parte DA de una parábola cuyo vértice A dista de foco O un cuarto de las líneas dadas, la línea m por ejemplo.
Tómese en el eje de la parábola, BA=�� n ,
perpendicular al eje . Entonces con centro en C, dibújese un circulo de radio CA que corte la parábola en D, y dibújese DI perpendicular al eje. DI será la mayor de las medias proporcionales, IA la menor.
Solución a ecuaciones de tercer y cuarto grado con el corte de un círculo y una parábola Descartes considero que era posible solucionar ecuaciones de tercer y cuarto grado transformándolas a cuadráticas y solucionando de forma geométrica para las cuales ya conocía un método, las transformaciones que utilizaría serian las siguientes:
X3= +/- apx +/- a2
X4= +/- apx2 +/- a2qx +/- r
Estas son soluciones a problemas sólidos según descartes y se solucionan mediante la intersección de n círculo y una parábola, considerando 4 casos.
X4=px2 - qx+r
X4= - px2 – qx + r
X4=px2-qx-r
X3=a2q
Los tres primeros casos son similares y difiepropondría la siguiente demostración para el primero de ellos:
El último caso lo soluciona descartes mediante sus medias proporcionales entre las líneas dadas a y b, ya lo h
�� =
� =
" solucionando por sep
X2=ay (1) , y2 = xq
X4=a2y2 (3)
X4=a2 xq reemplazando (2)
X3=a2q
6 Ibíd Pg 86/110
Los tres primeros casos son similares y difieren solo en los signos, descartes propondría la siguiente demostración para el primero de ellos:
6
Trácese una parábola FAG de eje ACDK, y sea AC
a=latus rectus , córtese
de ese eje, dibújese
perpendicular al eje , de AE córtese AR = r , y de la prolongación de AE AS = a , luego circulo tal que RS sea su diámetro .
Dibújese la perpendicular AH a RS, tal corta el circulo en H. trácese un circulo cuyo centro sea E, de radio EH. MK=ED. Añádase EM.
La raíz positiva de la ecuación GK la negativa FL.
caso lo soluciona descartes mediante sus medias proporcionales entre adas a y b, ya lo hicimos antes para m y n.
onando por separado estas igualdades tenemos:
(2)
elevando (1) al cuadrado
ando (2) en (3)
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en solo en los signos, descartes
Trácese una parábola FAG de eje ACDK, y sea AC a , donde
córtese CD= �� p
dibújese DE= �� q
perpendicular al eje , de AE = r , y de la de AE tómese
AS = a , luego dibújese un circulo tal que RS sea su
la perpendicular AH a circulo en H.
un circulo cuyo centro sea E, de radio EH. Dibújese
EM.
La raíz positiva de la ecuación
caso lo soluciona descartes mediante sus medias proporcionales entre
arado estas igualdades tenemos:
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Paso de las cónicas de Apolonio a las de descartes.
Parábola
Sea, pues, ABC el cono y sea EDG la curva obtenida al cortarlo por un plano perpendicular en el punto D a la generatriz ADC del cono. Sea P un punto cualquiera de la curva sección y un plano horizontal que corta al cono en la circunferencia PVQR, siendo Q el otro punto de intersección de la curva sección con esta circunferencia.
Por razones de simetría resulta que los segmentos PQ y RV son perpendiculares en el
punto O, de modo que OP es la media proporcional entre RO y OV.
OSEA: #$$% =$%
$& Por tanto OP2=RO·OV.
De los triángulos semejantes DOV y BCA se tiene: $&$' = ()
*(
De los triángulos semejantes SDA y ABC se tiene: +'*+ = ()
*(
Tomando OP=y, OD=x, como «coordenadas» del punto P, se tiene y2 = RO·OV, de modo que sustituyendo:
y2 = OP2
y2 = RO·OV como RO =SD
y2 = SD·OV
y2 = AS· () *( · DO·
() *(
y2= *+�(), *(, AS
y2= *+�(),
*(, X
y2=l X
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Ya que los segmentos AS, BC y AB son los mismos para todos los puntos de la curva EQDPG, podemos escribir la ecuación de la curva o «sección del cono rectángulo» en la forma: y2=lx, donde l es una constante que más tarde se llamaría el «latus rectum»
Elipse e hipérbole
Se traza el plano H, la cual obviamente interseca a todas las generatrices del
cono.
Este plano interseca a las generatrices diametralmente opuestas AB y AC, en los
puntos H y K respectivamente. La
intersección de los segmentos
HK y BC es el punto G.
Sea el segmento PQ paralelo a la
base del cono, que interseca al
segmento HK en el punto M.
Trazamos por el segmento PQ un
plano paralelo a la base del cono
determinado una circunferencia
que contiene a los puntos D, P y
E.
Se observa:∆HDM ~∆HBG Entonces
Entonces '-.- =
���� donde DM =
�/����� ( I )
Se observa:∆MEK ~∆KCG
Entonces -0-1 =
��2� donde ME =
/2���2� ( II )
En la circunferencia: por relaciones métricas.
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PM2=DM ·ME . (III)
Reemplazando (I) y (II) en (III):
PM2=�/���
�� /2���
2�
PM2=��������2� ·HM· MK
Si PM =Y si HM =X si HK = 2 y como ��������2� es constante
y2 =kx(2a-x)
Que es una elipse con vértice en H y su eje mayor es HK
Nótese que esta elipse está referida a partir de uno de sus vértices, descartes la transformaría usando las coordenadas cartesianas teniendo en cuenta la multiplicación de segmentos antes estudiada en la que el expresión constante
k = ��������2� es equivalente a
3,�, donde los ejes de la elipse considerados desde
el centro son:
Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) , Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)
Entonces la ecuación de la elipse de Apolonio se transforma en:
y2 =kx(2a-x)
y2 =2akx- kx2
y2 + kx2=2akx
y2 + 3,�, x2 = 2a
3, �, x
,3, +
�,�, =
���
Que es una ecuación de una elipse con centro en el origen.
De una manera similar Apolonio y posteriormente Descartes obtiene la ecuación de la hipérbole
y2 =kx(x + 2a) que en términos de Descartes quedaría: �,�, -
,3, = 1
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BIBLIOGRAFIA
DESCARTES RENE , Geometrie
R SEA William. La magia de los números y el movimiento La carrera científica de Descartes. Alianza
Universidad Watson Publising international 1991
BOYER Carl B. Historia de la matemática. Alianza Universidad textos 1992
http://books.google.com