trabajo de transformada z
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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad politécnica territorial del oeste de sucre
“Clodosbaldo Russián”
Cumaná, Estado – Sucre
TRANSFORMADA Z
Realizado por:
Córdova, Luis F. C.I: 20.063.359
Pinto, José Ángel C.I: 20.345.848
PNF – Electrónica “01”
Cumaná, octubre de 2013
INTRODUCCIÓN
A través de la historia el hombre ha creado herramientas para facilitar el
desarrollo de las diferentes labores para los diversos campos de acción
empleados en su vida cotidiana. La ciencia y tecnología como parte de esa
cotidianidad no ha sido ajena al avance constante que en la historia ha
caracterizado al ser humano. Los conceptos de señales y sistemas aparecen
en una variedad muy amplia de campos, las ideas y técnicas asociadas con
estos conceptos juegan un papel importante en áreas tan diversas de la ciencia
y tecnología como comunicaciones, aeronáutica y astronáutica, diseño de
circuitos, acústica, sismología, ingeniería biomédica, sistemas de generación y
distribución de energía, control de procesos químicos y procesamiento de voz.
Por este motivo esta investigación está dirigida a estudiar la
transformada z que es un método matemático que se emplea entre otras
aplicaciones, para el estudio de procesamiento de señales digitales. Más
específicamente se usa en el análisis y proyectos de circuitos digitales, análisis
de sistemas de radar, telecomunicaciones y especialmente los sistemas de
control de procesos por computadora. Además es una herramienta muy útil
para el análisis de diferentes tipos de señales, tanto en el dominio del tiempo
como en la frecuencia.
La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite
reducir ecuaciones en diferencias o ecuaciones recursivas con coeficiente
constantes a ecuaciones algebraicas lineales. Este tipo de ecuaciones
provienen de todo tipo de sistemas digitales utilizados para control,
procesamiento de imágenes y sonido, etc.
TRANSFORMADA Z:
En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z
convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto
en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al
igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un
nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de
Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de
tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
DEFINICIÓN:
La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede
ser definida como una transformada unilateral o bilateral.
Transformada Z bilateral:
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto
x[n] es una función X(z) que se define
Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la
forma
Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por
segundo (rad/s).
Transformada Z unilateral:
De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente
para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como:
En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal
es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con
ROC del tipo ; es decir que converge "hacia afuera".
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de
probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta
aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s
= z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la
probabilidad.
Transformada Z inversa:
La Transformada Z inversa se define:
donde es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de
convergencia (ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de .
Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es
el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo
unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:
La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma
uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein.
La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se
obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.
CARACTERISTICAS:
• Transforma una señal en tiempo discreto x(n) en una función polinómica
compleja de variable compleja.
• Forma alternativa de representar la señal. Los valores de la señal pasan
a ser los coeficientes de un polinomio en la variable compleja z
.
• Para realizar la transformación no hay que realizar ningún cálculo
• Si tenemos que almacenar la señal almacenaremos los mismos valores.
• Usando este punto de vista (polinomios complejos en lugar de listas de
números) el tratamiento matemático de los sistemas LTI se simplifica.
PROPIEDADES:
En la siguiente tabla, se muestran de forma resumida las propiedades
más importantes que cumple la transformada z.
VENTAJAS:
• La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias
• La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el
manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más
conveniente.
• El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su
equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y
cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la
transformada de Fourier.
• El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su
equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y
cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la
transformada de Fourier.
PARES DE TRANSFORMADA Z:
Señal, Transformada Z, ROC
1
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6
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8
9
10
USOS:
• Uno de los sistemas de procesado digital de señales más utilizados es el
promediador móvil que queda definido por:
Se puede demostrar que este sistema es el óptimo cuando queremos
recuperar una señal de valor constante (componente de continua) que
se ve afectada por una serie de interferencias variables con el tiempo.
• La transformada Z se utiliza en el procesamiento de imágenes digitales.
Como por ejemplo los televisores de alta definición y las cámaras
digitales
• En los sistemas radar y en la telefonía móvil, entre otros.
De esta manera, se pueden ejemplificar el radar, la telefonía o la TV
digital donde:
Entrada Sistema Salida
Onda
electromagnét
ica
Radiocomunicaci
ones
Emisión
de la voz
Onda emitida Radar
Informaci
ón sobre
posición
de
blancos
Onda emitida TV Digital
Recepció
n de
video.
Ejemplo de usos
CONCLUSIÓN
Las transformadas Z es una excelente técnica la cual, a pesar de tener
su sustento teórico práctico definido, como consecuencia de la tecnología se
reinventa para aplicarse, en este caso particular a una de las necesidades
humanas fundamentales, que es la comunicación, y dentro del contexto
tecnológico a las telecomunicaciones. Cabe destacar, que las
telecomunicaciones obedecen a un sistema de comunicación que incluye
equipos electrónicos e inclusive la manipulación de señales digitales, las cuales
vienen compuestas por unos parámetros discretos.
Se pueden relacionar este proceso, con la telefonía móvil, con un radar,
o con la operación de diversos equipos, entre otros, cuando estos poseen o
manipulan señales, como un factor de entrada y salida.
Finalmente se puede decir que la transformada z es un desarrollo
importante en muchas áreas de la ingeniería moderna ya que a través de esta
técnica se permite el reemplazo de dispositivos analógicos por digitales, de tal
manera que representa un conocimiento que permite satisfacer las
necesidades del ser humano.
BIBLIOGRAFÍA
http://www.monografias.com/trabajos96/transformada-z/transformada-z.shtml
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_Z
http://www.sc.ehu.es/acwarila/PDI/Tema%205/transformadaZ.pdf
http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/TZ00.pdf
