8/16/2019 Trabajo de Movimiento Curvilineo

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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECANICA

ESCUELA: INGENIERIA DE MANTENIMIENTO

DINAMICA

 TRABAJO N°2

 TEMA: MOVIMIENTO CURVILINEO

NOMBRES: GUILLERMO DAVID CACERES DAQUI

FECHA DE ENVIO: 2 016 – 041!

PERIODO ACADEMICO: ABRIL 2 016 – JULIO 2 016

RIOMBAECUADOR

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-ig'8 E(emplo del vector posici)n y el vector velocidad

El vector velocidad en un instante* es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende acero'

v6lim Δ t 9:Δr Δt 6drdt 

Como podemos ver en la 3igura* a medida que 1acemostender el intervalo de tiempo a cero* la direcci)n del vector 

velocidad media* la recta secante que une sucesivamentelos puntos /* con los puntos /.* /;'''''* tiende 1acia latangente a la trayectoria en el punto /' En el instante t * elm)vil se encuentra en / y tiene una velocidad cuyadirecci)n es tangente a la trayectoria en dic1o punto'

 

C. Vector aceleración

-ig'8 E(emplo del vector aceleraci)n

En el instante t  el m)vil se encuentra en / y tiene unavelocidad v cuya direcci)n es tangente a la trayectoria endic1o punto' En el instante t'  el m)vil se encuentra en el

 punto /0 y tiene una velocidad v0' El m)vil 1a cam+iado*en general* su velocidad tanto en m)dulo como endirecci)n* en la cantidad dada por el vector di3erencia Δv=v’-v' $e de3ine la aceleraci)n media comoel cociente entre el vector cam+io de  velocidad Δv y elintervalo de tiempo  Δtt'!t * en el que tiene lugar dic1ocam+io'

4a56v'7vt 07t 6Δv Δt 

& la aceleraci)n a en un instante

a6lim Δ t 9:Δv Δt 6dvdt 

Resumiendo* las ecuaciones del movimiento curvilíneo enel plano %& son

 #6 #<t =  $#6d#dt   a#6d$#dt%6 %<t =  $%6d%dt  

a%6d$%dt 

!a primera 3ila corresponde* a las ecuaciones de unmovimiento rectilíneo a lo largo del e(e %* la segunda 3ilacorresponde* a las ecuaciones de un movimiento rectilíneoa lo largo del e(e &* y lo mismo podemos decir respectodel e(e >'

III MOIMIENTO CURI!INEO COM/ONENTE$RECT#N"U!#RE$

De vez en cuando el movimiento de una partícula puededescri+irse me(or a lo largo de una trayectoria que puedae?presarse en 3unci)n de sus coordenadas ?*y*z /odemos

descri+ir la trayectoria curvilínea en 3unci)n decoordenadas ?* y* z'

 &  Posición

Descri+imos la trayectoria como un vector de posici)n,

-ig'@ "ra3ica del vector posici)n

r 6 #iAB %AB z( A

$a+emos que ? 6 ?<t=* y 6 y<t=* z 6 z<t= de modo que r 6 r<t='

!a magnitud r es,

r=x2+y2+z2

"

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 B Velocidad 

la primera derivada con respeto al tiempo de r proporciona lavelocidad de la particula * por consiguiente

v=dxdt  =  ddt  ( xi )+  ddt  ( yj )+ ddt  ( zk )

Cuando se toma esta derivada* es necesario tener en cuentatanto la magnitud como la direcci)n de cada uno de loscomponentes vectoriales por e(emplo * la derivada delcomponente i de r es

d

dt  ( xi )=

dx

dt  i+ x

 di

dt 

El segund termino del lado derec1o es cero * siempre que elmarco de re3erencia ?*y*z este 3i(o y por consiguiente ladirecci)n <y la magnitud=de i no cam+ia con el tiempo ' ladi3erencia de las componentes ( y se realiza de la mismamanera * la cual proporciona el resultado 3inal

v=dr

dt =vxi+vyj+vzk 

Donde?6?y6y

z6z

-ig' elocidad en el movimiento curvilíneo

C   Aceleración

!a aceleraci)n de la partícula se o+tiene de la primera derivada con respecto al tiempo entoncestenemos

a=dv

dt  =axi+ayk +azk 

Dondea?6v?6?

ay6vy6y

az6v?6zaquí en a?*ay*az representan * repsectivzmente las

 primeras derivadas con respeto al tiempo dev?6v?<t=* vy6vy<tF * vz6vz<t= o las segundasderivadas con respecto al tiempo de las 3unciones?6?<t=* y6y<t=* z6z<t=la aceleraci)n tiene una magnitud

a=√ ax2+ay

2+az

2

-ig'G "ra3ica de la aceleraci)n en el movimiento curvilíneo

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-ig'H /ro+lema resuelto del movimiento curvilíneo encomponentes rectangulares

I MOIMIENTO CURI!INEO,COM/ONENTE$ CI!INDRIC#$

.= En ocasiones el movimiento de una partícula selimita a una trayectoria que se descri+e me(or pormedio de coordenadas cilíndricas' si el movimientose limita al plano* entonces se utilizan coordenadas

 polares

;= !as coordenadas cilíndricas son un sistema decoordenadas para de3inir la posici)n de un punto delespacio mediante un ngulo* una distancia conrespecto a un e(e y una altura en la direcci)n del e(e'

8= El sistema de coordenadas cilíndricas es muyconveniente en aquellos casos en que se tratan

 pro+lemas que tienensimetría de tipo cilíndrico oazimutal' $e trata de una versi)n en tres dimensionesde las coordenadas polares de la geometría analítica

 plana'

-ig'2 "ra3ica de la posici)n en el movimiento Curvilíneo<coordenadas polares=

 & Coordenadas Cilíndricas

$i la partícula se mueve a lo largo de una curvaespacial entonces su u+icaci)n se especi3ica por medio de las 8 coordenadas cilíndricasrectangulares *como el vector unitario que de3ine sudirecci)n uz es constante * las derivadas con respecto

al tiempo de este vector son cero y por consiguientela posici)n * velocidad y aceleraci)n de la partículase escri+en en 3unci)n de sus coordenadas cilíndricascomo sigue

") *eri$adas con respecto al tiempo

!as ecuaciones anteriores requieren que o+tengamos

las derivadas con respecto al tiempo r* r*J y J paraevaluar las componentes r y J de v y a ' en generalse presenta dos tipos de pro+lemas$i las coordenadas polares se especi3ican comoecuaciones paranK3ricas en 3unci)n del tiempo *entonces las derivadas con respeto al tiempo puedencalcularse directamente

$i no se dan las ecuaciones paranK3ricas en 3unci)ndel tiempo entonces de+e conocerse la trayectoria siutilizamos la regla de la cadena de clculo podemos

encontrar entonces la relaci)n entre r y θ  en el

apKndice c se e?plica la aplicaci)n de la regla de lacadena

#

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-ig'F E(ercicio resuelto de movimiento curvilíneo <componentescilíndricas=

MOIMIENTO CURI!INEO,COORDEN#D#$ /O!#RE$

 A. Coordenadas polares

!as coordenadas polares o sistemas polares son un sistema decoordenadas +idimensional en el cual cada punto del plano se

determina por una distancia y un ngulo* ampliamenteutilizados en 3ísica y trigonometría'Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas

 polares es que un Lnico punto del plano puede representarsecon un nLmero in3inito de coordenadas di3erentes* lo cual nosucede en el sistema de coordenadas cartesianas' O sea que enel sistema de coordenadas polares no 1ay una correspondencia

 +iunívoca entre los puntos del plano y el con(unto de lascoordenadas polares'!os ngulos en notaci)n polar se e?presan normalmenteen grados o en radianes* dependiendo del conte?to' /or e(emplo* las aplicaciones de navegaci)n marítima utilizan lasmedidas en grados* mientras que algunasaplicaciones 3ísicas<especialmente la mecnica rotacional= y lamayor parte del clculo matemtico e?presan las medidas enradianes a continuaci)n presentare las ecuaciones de estemovimiento ,

r=rur

vr =r 

v θ=r θ

ar=´r−r

 ´θ

2

aθ=r θ+2 r θ

I CONC!U$IONE$

.' El movimiento curvilíneo 1ace que cam+ie tanto lamagnitud como la direcci)n de los vectores de

 posici)n * velocidad y aceleraci)n

;' El vector de velocidad siempre es tangente a la

trayectoria

II RECOMEND#CIONE$

.' $i el movimiento se descri+e mediante coordenadasrectangulares* entonces los componentes a lo largo decada uno de los e(e no cam+ien de direcci)n * solo sumagnitud y sentido cam+iaran

;' $e de+e considerar el movimiento de los

componentes *ya que el cam+io de magnitud ydirecci)n de la posici)n y de la velocidad de la partícula se tomara automticamente

RE-ERENCI#$

.' HIBBELER$ R% Ingeniería Mecánica. D&'()&*+,12°-.&/&'$ P-+/' E.3*+*&'$ 2010

;' ,201# C3/ &'5-+*5& .- 78/&*+ -' &'5-'-59'&'-;%A+&+<-: =55>:??@@@%/*%-=3%-/?/<@-<?/&*+?&'.-%=5)  A%F+'*&/*%G,200 E/53.& .- / )&)&-'5/9'&'-;%++&+<-: =55>:??@@@%/*%-=3%-/?/<@-<?/&*+?*&'-)+5&*+?*3&&

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