JOSEPH-LOUIS DE LAGRANGEMATEMÁTICO (TURÍN, 1736-PARÍS, 1813)

Joseph-Louis de Lagrange, nacido el 25 de enero de 1736, en Turín, Sardinia-Piedmont (ahora Italia) Fallecido el 10 de abril de 1813 en París, Francia. Procedía de una ilustre familia parisiense, que tenía profundo arraigo en Cerdeña, y algún rastro de noble linaje italiano. Pasó sus primeros años en Turín, su activa madurez en Berlín, y sus últimos años en París, donde logró su mayor fama.

Una especulación insensata llevada a cabo por su padre, abandonó a Lagrange a sus propios recursos, a una edad temprana, pero este cambio de fortuna no resultó ser una gran calamidad, "pues de otro modo -dijo él- tal vez nunca hubiera descubierto mi vocación". Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. En la escuela, sus intereses infantiles eran Homero y Virgilio. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Fue nombrado profesor de matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín, donde el tímido muchacho, que no poseía recursos de oratoria y era de muy pocas palabras, mantenía la atención de hombres bastante mayores que él. Su encantadora personalidad atraía su amistad y entusiasmo. Pronto condujo un joven grupo de científicos, que fueron los primeros miembros de la Academia de Turín. Lagrange se transfiguraba cuando tenía una pluma en sus manos; y, desde un principio, sus escritos fueron la elegancia misma. Transcribía a las matemáticas todos los pequeños temas sobre investigaciones físicas que le traían sus amigos, de la misma manera que Schubert pondría música a cualquier ritmo perdido que arrebatara su fantasía.

En 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín. A los diecinueve años de edad, obtuvo fama resolviendo el así llamado problema isoperimétrico, que había desconcertado al mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su demostración en una carta a Euler, el cual se interesó enormemente por la solución, de modo especial en cuanto concordaba con un resultado que él mismo había hallado. Euler con admirable tacto y amabilidad respondió a Lagrange, ocultando deliberadamente su propia obra, de manera que todo el honor recayera sobre su joven amigo. En realidad, Lagrange no sólo había resuelto un problema, también había inventado un nuevo método, un nuevo cálculo de variaciones, que sería el tema central de la obra de su vida. Esté cálculo pertenece a la historia del mínimo esfuerzo, que comenzó en los espejos reflectores de Herón y continuó cuando Descartes reflexionó sobre la curiosa forma de sus lentes ovales. Lagrange podía demostrar que los postulados newtonianos de materia y movimiento, un tanto modificados, se adaptaban al amplio principio de economía de la naturaleza. El principio ha conducido a los resultados aún más fructíferos de Hamilton y Maxwell, y, actualmente, continúa, en la obra de Einstein y en las últimas fases de la mecánica ondulatoria.

En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su

adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas. A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecánica analítica. En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.

Lagrange estaba dispuesto a apreciar el trabajo sutil de los demás, pero estaba igualmente capacitado para descubrir un error. En una temprana memoria sobre las matemáticas del sonido, señaló defectos, incluso en la obra de Newton. Otros matemáticos le reconocían, sin envidia, primero como su compañero y más tarde, como el mayor matemático viviente. Después de varios años del mayor esfuerzo intelectual sucedió a Euler en Berlín. De vez en cuando estaba gravemente enfermo, debido al exceso de trabajo. En Alemania, el rey Federico, que siempre le había admirado, pronto comenzó a gustar de sus modales modestos, y le reprendía por su intemperancia en el estudio, que amenazaba con desquiciar su mente. Las amonestaciones debieron producirle algún efecto, porque Lagrange cambió sus hábitos, e hizo cada noche un programa de lo que debería leer al día siguiente, sin exceder nunca la proporción. Siguió residiendo en Prusia durante veinte años, produciendo obras de alta distinción, que culminaron en su Mécanique Analytique. Decidió publicarla en Francia, a donde fue llevada a salvo por uno de sus amigos. La publicación de esta obra maestra originó gran interés, que aumentó considerablemente, en 1787, con la llegada a París del célebre autor en persona, que había dejado Alemania después de la muerte del rey Federico, puesto que ya no encontraba una atmósfera afín en la corte prusiana. Los matemáticos acudieron en tropel a recibirle y a rendirle todos los honores, pero se desanimaron al encontrar perturbado, melancólico e indiferente al ambiente circundante. Aún peor: ¡su talento para las matemáticas había desaparecido! Los años de actividad producían su efecto, y Lagrange estaba desgastado matemáticamente. Durante dos años, no abrió ni una sola vez su Mécanique Analytique; por el contrario, dirigía sus pensamientos a cualquier otro punto, a la metafísica, la historia, la religión, la medicina, etc. Como ha dicho Serret, "aquel cerebro especulativo sólo podía cambiar los objetos de sus meditaciones". Lagrange siguió durante dos años en este estado filosófico y no matemático, cuando de pronto el país se vio precipitado a la Revolución. Muchos evitaron la

prueba huyendo al exterior, pero Lagrange se negó a marcharse permaneció en París. En años posteriores, su habilidad matemática volvió nuevamente, y produjo muchas joyas de álgebra y análisis. Una consecuencia de la Revolución fue la adopción del sistema métrico, en el cual la subdivisión de las monedas, pesos y medidas, se halla estrictamente basada en el número diez. Cuando hacía objeciones a este número, prefiriendo naturalmente el doce, porque tiene más factores, Lagrange señaló, inesperadamente, que era una pena que no se hubiera escogido el número once como base, porque es primo. ¡El M.C.C. resulta ser uno de los pocos cuerpos oficiales que han seguido esta sugerencia, pensando sistemáticamente en términos de dicha unidad! Le gustaba la música. Decía que le aislaba y le ayudaba a pensar, ya que interrumpía la conversación general. "La escucho durante los tres primeros compases; luego no distingo nada, pero me entrego a mis pensamientos. De esta manera he resuelto muchos problemas difíciles". Se casó dos veces: primero cuando vivía en Berlín, donde perdió a su esposa, después de una larga enfermedad, en la cual la cuidó con dedicación; luego en París, se casó nuevamente con la hija de un célebre astrónomo. Feliz en su vida hogareña, sencillo y bastante austero en sus gustos, pasó sus tranquilos años fructíferos, hasta que murió en 1813, a los setenta y seis años de edad.

Alexis Claude Clairaut

Alexis Claude Clairaut, también conocido como Clairaut (París, 13 de

mayo de 1713 – ibídem, 17 de mayo de 1765), fue un

matemático y astrónomo francés.

Biografía

Nacido en París, donde su padre era profesor de matemáticas, fue

considerado un niño prodigio. A los 12 años escribió un desarrollo sobre

cuatro curvas geométricas, y llegó a alcanzar tal progreso en el tema (bajo

la tutela de su padre), que a la edad de 13 años leyó ante la Academia

francesa un resumen de las propiedades de las cuatro curvas que había

descubierto. Tres años más tarde, completó un tratado sobre curvas de

doble curvatura, Recherches sur les courbes a double courbure, que la valió

su admisión a la Academia de Ciencias Francesa tras su publicación

en 1731, a pesar de que aún no contaba con la mínima edad legal de 18

años para ser admitido.

En 1736, junto con Pierre Louis Maupertuis, formó parte de una expedición

a Laponia, que tenía como objetivo medir un grado de meridiano. Tras su

regreso, publicó un tratado que dio en llamar Théorie de la figure de la

terre (1743). En este trabajo planteó por primera vez su teorema, que luego

se haría conocido con el nombre de Teorema de Clairaut, según el cual se

conecta la gravedad en los puntos superficiales de un elipsoide en rotación

con la compresión y la fuerza centrífuga en el Ecuador.

Clairaut obtuvo una ingeniosa resolución aproximada para el problema de

los tres cuerpos. En 1750 obtuvo el premio de la Academia Rusa de

Ciencias por su ensayo Théorie de la lune, y en 1759 calculó el perihelio del

cometa Halley.

La Théorie de la lune de Clairaut es estrictamente newtoniana en su

carácter. En este ensayo el autor explicó el movimiento del afelio que había

desconcertado a los científicos y al mismo Clairaut hasta entonces, que

había considerado al fenómeno tan inexplicable al punto de plantearse una

hipótesis de revisión de las leyes de atracción. Fue entonces cuando se le

ocurrió llevar la observación al tercer orden, tras lo cual concluyó que los

resultados eran coherentes con las observaciones. Esto fue corroborado en

1754 por algunas tablas lunares. Clairaut escribió tras ello varios trabajos

referidos a la órbita de la luna, y también sobre el movimiento de

los cometas y su perturbación por parte de los planetas, particularmente en

el caso del cometa Halley.

En 1731, Clairaut presentó una demostración de una afirmación de Newton,

en la cual el inglés notaba que todas las curvas de tercer orden eran

proyecciones de una de cinco parábolas.

En 1741, Clairaut participó en una expedición cuyo objetivo era medir la

longitud de un meridiano en la tierra, y a su regreso en 1743 publicó su

trabajo Théorie de la figure de la terre. Estas ideas se basaban sobre un

trabajo de Maclaurin, que había demostrado que una masa de fluido

homogéneo en rotación alrededor de un eje que pase por su

baricentro tomaría, bajo la atracción mutua de sus partículas, la forma de

un esferoide. El trabajo de Clairaut trataba sobre esferoides heterogéneos y

contenía la demostración de su fórmula para el efecto de aceleración

gravitacional en un sitio de latitud I. En 1849, Stokes demostró que el

mismo resultado se mantenía válido independientemente de la constitución

interna y de la densidad de la tierra, si la superficie era un esferoide de

equilibrio o de baja elasticidad.

Clairaut falleció en París en 1765, a la edad de 52 años

Ecuación diferencial de Clairaut

La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor,

el matemático1 francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial

ordinaria de la forma:

Para resolver la ecuación, se diferencia respecto a x,2 quedando:

por tanto:

y así:

o

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C.

Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones

dadas por:

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.

El otro caso,

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico

es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución

singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como:

(x(p), y(p)), donde p representa di/dx.

Ejemplo

Resolver:

Se hace:

por tanto:

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:

de la cual se puede obtener e integrando dos veces, así:

{{ecuación|

siendo D y E otras dos constantes cualesquiera.

Solución:

Enunciado del teorema en dos variables

Sea

una función de dos variables, definida en un conjunto abierto   del

plano  . Si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas

en   ( ) estas son iguales, es decir:

.

Demostración

Sea

.

Y sean   ,   reales tales

que  . Lo cual es posible, ya

que   es un abierto de  .

Se definen dos funciones   y 

,

,

de modo que:

.

,

Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

,

y análogamente:

,

con   ,  , por comodidad de

escritura pero sin perder generalidad, se

suponen  .

Luego haciendo tender   y   a   se logra la

tesis.