trabajo de grado optimización de funciones utilizando múltiples modelos sustitutos

Maracaibo, 26 de Mayo de 2006Maracaibo, 26 de Mayo de 2006

Universidad del ZuliaFacultad de IngenieríaDivisión de Postgrado

Maestría en Computación Aplicada

Universidad del ZuliaFacultad de IngenieríaDivisión de Postgrado

Maestría en Computación Aplicada

presentado ante la Ilustre Universidad del Zulia para optar al Grado Académico de MAGISTER SCIENTIARUM EN

COMPUTACIÓN APLICADA

Lic. Daniel Ernesto Finol GonzálezC.I.: 13.081.834

presentado ante la Ilustre Universidad del Zulia para optar al Grado Académico de MAGISTER SCIENTIARUM EN

COMPUTACIÓN APLICADA

Lic. Daniel Ernesto Finol GonzálezC.I.: 13.081.834

Trabajo de Grado

Optimización de Funciones utilizando Múltiples Modelos Sustitutos

ContenidoContenidoContenidoContenido

Justificación del Estudio

Hipótesis de la Investigación

Revisión de la Literatura

Objetivos

Alcance y delimitación

Planteamiento del Problema

Modelos Sustitutos

Optimización Global Lipschitziana

Metodología de solución

Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones


Hipótesis de la Investigación


Objetivos



Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones

Justificación del EstudioJustificación del EstudioJustificación del EstudioJustificación del Estudio•En distintas industrias frecuentemente se hace necesario optimizar funciones desconocidas.•Esto se realiza mediante la evaluación de la función objetivo en distintos puntos.•Para realizar esta optimización se requieren muchas evaluaciones.•Pero las funciones son usualmente costosas de evaluar.•Por lo que se debe construir un modelo que aproxime la función y realizar la optimización sobre él.

•En distintas industrias frecuentemente se hace necesario optimizar funciones desconocidas.•Esto se realiza mediante la evaluación de la función objetivo en distintos puntos.•Para realizar esta optimización se requieren muchas evaluaciones.•Pero las funciones son usualmente costosas de evaluar.•Por lo que se debe construir un modelo que aproxime la función y realizar la optimización sobre él.

Hipótesis de la InvestigaciónHipótesis de la InvestigaciónHipótesis de la InvestigaciónHipótesis de la Investigación

•La hipótesis de la presente investigación es que para tales problemas usar más de un modelo sustituto es un método eficaz de optimización global.

•La hipótesis de la presente investigación es que para tales problemas usar más de un modelo sustituto es un método eficaz de optimización global.




Objetivos

Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones

Recomendaciones



Objetivos

Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones

Recomendaciones

ObjetivosObjetivosObjetivosObjetivos

Objetivo General Objetivo General

Evaluar el desempeño relativo de una metodología de optimización global de funciones costosas basada en el uso de múltiples modelos sustitutos.

Evaluar el desempeño relativo de una metodología de optimización global de funciones costosas basada en el uso de múltiples modelos sustitutos.

ObjetivosObjetivosObjetivosObjetivosObjetivos específicos Objetivos específicos

Probar los algoritmos para la construcción de los modelos sustitutos considerados. Construir los modelos sustitutos correspondientes a los casos de estudio Optimizar / analizar la varianza de los estimadores asociados con cada uno de los modelos sustitutos considerados. Analizar y discutir los resultados.

Probar los algoritmos para la construcción de los modelos sustitutos considerados. Construir los modelos sustitutos correspondientes a los casos de estudio Optimizar / analizar la varianza de los estimadores asociados con cada uno de los modelos sustitutos considerados. Analizar y discutir los resultados.




Objetivos


Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones



Objetivos


Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones

Casos de EstudioCasos de EstudioCasos de EstudioCasos de Estudio

Se seleccionaron seis casos de estudio. Éstos se distinguen por tres características:– Alta o baja no–linealidad.– Alta o baja dimensionalidad.– Ruido aleatorio presente o no.

Caso de Estudio 1 (P1)Caso de Estudio 1 (P1)Caso de Estudio 1 (P1)Caso de Estudio 1 (P1)

Dimens: 10No–Lin: Alta



Dimens: 16No–Lin: Baja



Dimens: 2No–Lin: BajaCon Ruido

Dimens: 2No–Lin: BajaCon Ruido

1. Diseño del Experimento y Muestreo ==> Conjunto de datos iniciales.

2. Ajuste RBF; PRE y KRI ==> 3 Modelos.

3. Obtener medida de incertidumbre para c/u ==> Medidas de Incertidumbre.

4. Realizar “Model Averaging” ==> 4to Modelo (suma ponderada).

5. Optimizar c/u de los 4 modelos ==> 4 soluciones (Direct).

6. Comparar y analizar.

1. Diseño del Experimento y Muestreo ==> Conjunto de datos iniciales.

2. Ajuste RBF; PRE y KRI ==> 3 Modelos.

3. Obtener medida de incertidumbre para c/u ==> Medidas de Incertidumbre.

4. Realizar “Model Averaging” ==> 4to Modelo (suma ponderada).

5. Optimizar c/u de los 4 modelos ==> 4 soluciones (Direct).

6. Comparar y analizar.

MetodologíaMetodologíaMetodologíaMetodología

En el primer paso se obtiene el conjunto de puntos iniciales o muestra (para cada problema y tamaño de muestra) mediante el método del hipercubo latino.

En el primer paso se obtiene el conjunto de puntos iniciales o muestra (para cada problema y tamaño de muestra) mediante el método del hipercubo latino.

Diseño del Experimento y MuestreoDiseño del Experimento y MuestreoDiseño del Experimento y MuestreoDiseño del Experimento y Muestreo

Modelos SustitutosModelos SustitutosModelos SustitutosModelos Sustitutos

Los modelos construidos a partir de la muestra fueron:

•Kriging (KRI).•Regresión Polinómica (PRE).•Funciones de Base Radial (RBF).

Cada uno de ellos es un caso especial de:

Los modelos construidos a partir de la muestra fueron:

•Kriging (KRI).•Regresión Polinómica (PRE).•Funciones de Base Radial (RBF).

Cada uno de ellos es un caso especial de:

)()()(1

xxfxyp

iii

KrigingKriging

En nuestra versión de Kriging p = 1 y f(x) = 1. Lo cual hace β = μ. Y el modelo queda:

μ + ε(x)

con

donde ; Y es el valor de la función en

cada punto de la muestra.

R es la matriz de correlación entre los puntos de la muestra y r(x) es el vector de correlación entre cada punto de la muestra y x.

)()()(1

xxfxyp

iii

Txrx )()(

)ˆ(1 u YR

KrigingKriging

R y r(x) se estiman mediante modelos de la forma:

Donde cada Cj es una función parametrizada decreciente de la distancia entre los puntos.

Los Cj usados fueron: exponencial generalizada, gaussiana, spline y esférica.

dim

1

),())(),((j

jjj zxCzxCorr

Regresión PolinómicaRegresión PolinómicaRegresión PolinómicaRegresión Polinómica)()()(

1

xxfxyp

iii

•Este es una caso especial de la regresión lineal.•ε(x) se asume que es cero.•Cada fi(x) es una de las siguientes:

•La constante 1.•La función identidad de una de las variables.•El producto de dos variables.•El cuadrado de alguna variable.

•Este es una caso especial de la regresión lineal.•ε(x) se asume que es cero.•Cada fi(x) es una de las siguientes:

•La constante 1.•La función identidad de una de las variables.•El producto de dos variables.•El cuadrado de alguna variable.

Funciones de Base RadialFunciones de Base RadialFunciones de Base RadialFunciones de Base Radial•En este caso también se asume ε(x) como cero.•Las fi(x) son funciones gausianas o

multicuádricas con centro en algún punto de la muestra.•Además una fi(x) puede ser constante.

•Potencialmente a todo punto de la muestre le puede corresponder una función; pero se seleccionan con el método de forward selection.•El radio de cada función se escoge entre distintas opciones según una medida de error.

•En este caso también se asume ε(x) como cero.•Las fi(x) son funciones gausianas o

multicuádricas con centro en algún punto de la muestra.•Además una fi(x) puede ser constante.

•Potencialmente a todo punto de la muestre le puede corresponder una función; pero se seleccionan con el método de forward selection.•El radio de cada función se escoge entre distintas opciones según una medida de error.

Medidas de IncertidumbreMedidas de Incertidumbre

Kriging:

PRE y RBF:

RBF:

uu

u1

21122 )1(

1ˆ)(R

rRrRrx

T

TT

MVKRI

)1)()()((ˆ)( 122 xfFFxfx TTMSELIN

) ,(

n/3 p 100n

ˆ

2

2

2LOO

2CSM

2CSM

MSE

máx sino

sino

sisi

Modelo Suma PonderadaModelo Suma Ponderada

)()()()()()()( xyxxyxxyxxy KRIKRIPREPRERBFRBFSUM

KRIPRERBFV V

ZZ

x

xx

,,2

2

)(1)(

1

)(

Resumen de ResultadosResumen de Resultados

P1 P5 P6 P7 P12 P13 PROMEDIO VARIANZA

RBF 0,89169 0,95800 0,35451 0,35954 0,98831 0,91970 0,74529 0,09153

PRE 0,81004 0,92023 0,16737 -0,32041 1,00000 0,98009 0,59289 0,29703

KRI 0,80204 0,92551 0,50189 0,45462 1,00000 0,93992 0,77066 0,05567

SUM 0,85690 0,96405 0,43556 0,40833 1,00000 0,93875 0,76727 0,07384

P1 P5 P6 P7 P12 P13 PROMEDIO VARIANZA

RBF 0,93270 0,97221 0,68067 0,95785 1,00000 0,98064 0,92068 0,01433

PRE 0,90733 0,96464 0,28533 0,02668 1,00000 0,98515 0,69486 0,18190

KRI 0,88000 0,87917 0,98179 0,97605 1,00000 0,96479 0,94697 0,00285

SUM 0,92739 0,97264 0,98253 0,96481 1,00000 0,98359 0,97183 0,00061


P1 P5 P6 P7 P12 P13 AVERAGE VAR RBF 0,812 1,017 0,523 0,504 3,031 0,119 1,001 1,082 PRE 0,528 1,337 3,019 1,325 1,785 1,440 1,572 0,673 KRI 0,420 0,916 1,820 0,977 4,657 0,037 1,471 2,797

P1 P5 P6 P7 P12 P13 AVERAGE VAR

RBF 0,630 0,678 3,265 0,555 0,696 0,310 1,022 1,226

PRE 0,837 1,121 1,828 1,408 1,640 0,878 1,285 0,166

KRI 0,659 1,298 0,427 3,181 8,438 2,063 2,678 8,971


P1 P5 P6 P7 P12 P13 P -40.857 79.421 100.82 –1 -57.411 -55.001

RBF -34.446 323.62 101.33 -0.940 -57.411 -34.888

PRE -24.402 372.26 102.36 -0.524 -57.411 -57.411

KRI -25.955 102.72 102.06 -0.975 -57.411 -57.315

SUM -29.149 229.42 101.96 -0.960 -57.411 -51.709

P1 P5 P6 P7 P12 P13

P -40.857 79.421 100.820 –1 -57.411 -55.001

RBF -36.534 692.475 101.003 -0.996 -57,411 -57,315

PRE -30.232 121.055 108.283 -0.361 -57,411 -57,411

KRI -29.387 1034.323 100.805 -0.986 -57,411 -53,763

SUM -29.072 415.081 100.756 -0.996 -57,411 -57,315

La metodología propuesta involucra los siguientes pasos : La metodología propuesta involucra los siguientes pasos :

Metodología de SoluciónMetodología de SoluciónMetodología de SoluciónMetodología de Solución

Muestreo del espacio de diseño (entrada)

Evaluación de la función objetivo para la muestra de entrada (salida)

Construcción de los modelos sustitutos usando los pares entrada/salida

Optimización basada en modelos sustitutos

Evaluación de las soluciones óptimas basadas en modelos sustitutos

Muestreo del espacio de diseño (entrada)

Evaluación de la función objetivo para la muestra de entrada (salida)

Construcción de los modelos sustitutos usando los pares entrada/salida

Optimización basada en modelos sustitutos

Evaluación de las soluciones óptimas basadas en modelos sustitutos

ContenidoContenidoContenidoContenidoJustificación del Estudio


Objetivos



Fundamentos de ASP

Simulación de ASP

Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones



Objetivos



Fundamentos de ASP

Simulación de ASP

Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones

Se generó una muestra de 88 conjuntos de valores en el espacio de diseño de 4 dimensiones usando un diseño de experimentos basado en Hipercubo Latino

Luego, se calculó la producción acumulada de petróleo para cada uno de los conjuntos citados

Entre estos pares de entrada y salida :– Máximo COP = 33.58% POES (132,784 bbl)– Promedio COP = 24.27% POES (95,970 bbl)– Mínimo COP = 18.06% POES (71,414 bbl)

Se generó una muestra de 88 conjuntos de valores en el espacio de diseño de 4 dimensiones usando un diseño de experimentos basado en Hipercubo Latino

Luego, se calculó la producción acumulada de petróleo para cada uno de los conjuntos citados

Entre estos pares de entrada y salida :– Máximo COP = 33.58% POES (132,784 bbl)– Promedio COP = 24.27% POES (95,970 bbl)– Mínimo COP = 18.06% POES (71,414 bbl)

ResultadosResultadosResultadosResultados

ResultadosResultadosResultadosResultadosCaso de Estudio No. 1 Caso de Estudio No. 1

MODELO

Solución óptima basada en los modelos sustitutosFunción objetivo

(COP %POES)

Cna [meq/ml]

Csurf [Fracc. Vol.]

Cpol [meq/ml]Tiempo de inyección

[días]Sustitutos UTCHEM

PRG 0.1611 0.0018 0.1200 32634.31

(135,671 bbl)31.02

(122,661 bbl)

KRG 0.2898 0.0029 0.1200 28035.61

(140,812 bbl)34.86

(137,846 bbl)

RBF 0.2994 0.0030 0.0931 29236.71

(145,161 bbl)32.31

(127,762 bbl)

PPA 0.2866 0.0025 0.1181 28235.10

(138,795 bbl)34.81

(137,648 bbl)

La optimización con el modelo KRG resultó en el mayor valor de la función objetivo, el cual fue 34.86 %POES (137,846 bbl), un 3.81% mayor que el máximo valor de la muestra. Este punto tiene valores máximos de concentración de polímero

La solución óptima obtenida con el modelo PPA es aproximadamente igual a la del modelo KRG, esto se debe a que el modelo KRG tiene la menor varianza de estimación por lo tanto su peso es mayor

La optimización con el modelo KRG resultó en el mayor valor de la función objetivo, el cual fue 34.86 %POES (137,846 bbl), un 3.81% mayor que el máximo valor de la muestra. Este punto tiene valores máximos de concentración de polímero

La solución óptima obtenida con el modelo PPA es aproximadamente igual a la del modelo KRG, esto se debe a que el modelo KRG tiene la menor varianza de estimación por lo tanto su peso es mayor


El menor valor de la función objetivo corresponde al modelo PRG, que a pesar de presentar valores máximos de concentración de polímero y tiempo de inyección, el efecto de una concentración baja de surfactante y álcali se manifiesta como una menor producción acumulada de petróleo

Con el modelo RBF se obtiene un producción acumulada de petróleo intermedia entre la de los modelos anteriores, debido a la menor concentración de polímero en la solución de ASP

Estos resultados manifiestan la importancia de inyectar suficiente álcali y surfactante para lograr una disminución de la tensión interfacial que movilice el petróleo, y suficiente polímero para lograr una buena relación de movilidad que incremente la eficiencia de barrido volumétrico

El menor valor de la función objetivo corresponde al modelo PRG, que a pesar de presentar valores máximos de concentración de polímero y tiempo de inyección, el efecto de una concentración baja de surfactante y álcali se manifiesta como una menor producción acumulada de petróleo

Con el modelo RBF se obtiene un producción acumulada de petróleo intermedia entre la de los modelos anteriores, debido a la menor concentración de polímero en la solución de ASP

Estos resultados manifiestan la importancia de inyectar suficiente álcali y surfactante para lograr una disminución de la tensión interfacial que movilice el petróleo, y suficiente polímero para lograr una buena relación de movilidad que incremente la eficiencia de barrido volumétrico


ResultadosResultadosResultadosResultadosCaso de Estudio No. 2 Caso de Estudio No. 2

MODELO

Solución optima basada en los modelos sustitutosFunción objetivo

(COP % OOIP)

Cna [meq/ml]

Csurf [Fracc. Vol.]

Cpol [meq/ml]

Tiempo de inyección [días]

Sustitutos UTCHEM

PRG 0.3057 0.0050 0.1200 32632.17

(127,209)35.69

(141,128)

KRG 0.3167 0.0044 0.1200 28336.43

(144,054)34.73

(137,332)

RBF 0.2828 0.0030 0.0922 28836.45

(144,133)31.84

(125,904)

PPA 0.2900 0.0026 0.1200 28335.04

(138,558)35.06

(138,637)

La optimización con el modelo PRG resultó en el mayor valor de la función objetivo (mejor solución encontrada) el cual fue 35.69 % POES (141,128 bbl), 6.28% mayor que el máximo valor de la muestra. Este punto tiene valores máximos de concentración de surfactante y polímero y tiempo de inyección

Por otra parte, la solución encontrada usando el modelo PPA representa una disminución del 1.77 % con respecto a la mejor solución encontrada, pero con una disminución de 48 %, y 13.19 % en los valores de concentración de surfactante y tiempo de inyección, respectivamente, lo que resulta en menores costos

La optimización con el modelo PRG resultó en el mayor valor de la función objetivo (mejor solución encontrada) el cual fue 35.69 % POES (141,128 bbl), 6.28% mayor que el máximo valor de la muestra. Este punto tiene valores máximos de concentración de surfactante y polímero y tiempo de inyección

Por otra parte, la solución encontrada usando el modelo PPA representa una disminución del 1.77 % con respecto a la mejor solución encontrada, pero con una disminución de 48 %, y 13.19 % en los valores de concentración de surfactante y tiempo de inyección, respectivamente, lo que resulta en menores costos


Note que bajo diferentes condiciones distintos modelos ofrecieron las mejores soluciones y, que del análisis de las múltiples soluciones obtenidas fue posible identificar alternativas de menor costo

Los valores considerados como óptimos en los Casos 1 y 2 difieren en un 0.57 %, y los valores de las variables de diseño correspondientes son prácticamente iguales, lo que indica que usar un conjunto de data relativamente pequeño para la construcción de los modelos sustitutos puede no afectar la ubicación de la solución óptima global

Note que bajo diferentes condiciones distintos modelos ofrecieron las mejores soluciones y, que del análisis de las múltiples soluciones obtenidas fue posible identificar alternativas de menor costo



En ambos casos el modelo PPA representa la menor diferencia entre las estimaciones de los modelos sustitutos para producción acumulada de petróleo y los valores correspondientes obtenidos usando UTCHEM

Esto confirma las mejores capacidades de modelado del modelo PPA (a través de la reducción de la varianza) con respecto a los modelos sustitutos individuales

En ambos casos el modelo PPA representa la menor diferencia entre las estimaciones de los modelos sustitutos para producción acumulada de petróleo y los valores correspondientes obtenidos usando UTCHEM

Esto confirma las mejores capacidades de modelado del modelo PPA (a través de la reducción de la varianza) con respecto a los modelos sustitutos individuales


ContenidoContenidoContenidoContenidoJustificación del Estudio


Objetivos



Fundamentos de ASP

Simulación de ASP

Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones



Objetivos



Fundamentos de ASP

Simulación de ASP

Modelos Sustitutos



Caso de Estudio

Resultados

Conclusiones

Se ha propuesto una metodología para la optimización de procesos de recuperación mejorada de petróleo por inyección de ASP

La metodología involucra la ejecución acoplada de un algoritmo de optimización global y modelos sustitutos de rápida ejecución

La optimización global implementa el algoritmo DIRECT y las simulaciones numéricas son conducidas usando el simulador composicional UTCHEM de la Universidad de Texas en Austin

Se ha propuesto una metodología para la optimización de procesos de recuperación mejorada de petróleo por inyección de ASP

La metodología involucra la ejecución acoplada de un algoritmo de optimización global y modelos sustitutos de rápida ejecución

La optimización global implementa el algoritmo DIRECT y las simulaciones numéricas son conducidas usando el simulador composicional UTCHEM de la Universidad de Texas en Austin

ConclusionesConclusionesConclusionesConclusiones

Conclusions Conclusions Conclusions Conclusions

Para el conjunto de valores óptimos sugeridos por la mayoría de los modelos sustitutos la recuperación acumulada de petróleo fue mayor que aquellas obtenidas dentro del muestreo


Para el conjunto de valores óptimos sugeridos por la mayoría de los modelos sustitutos la recuperación acumulada de petróleo fue mayor que aquellas obtenidas dentro del muestreo



El modelo Promedio Ponderado Adaptativo (PPA) presenta la menor diferencia entre las estimaciones de los modelos sustitutos para producción acumulada de petróleo y los valores correspondientes obtenidos usando UTCHEM. Esto confirma las mejores capacidades de modelado del modelo PPA (a través de la reducción de la varianza) con respecto a los modelos sustitutos individuales

El uso de múltiples modelos sustitutos para la optimización de procesos complejos, como recuperación mejorada de petróleo por inyección de ASP, proporciona varias soluciones óptimas, las cuales deben ser evaluadas para seleccionar la que mejor se ajuste al criterio del diseñador

El modelo Promedio Ponderado Adaptativo (PPA) presenta la menor diferencia entre las estimaciones de los modelos sustitutos para producción acumulada de petróleo y los valores correspondientes obtenidos usando UTCHEM. Esto confirma las mejores capacidades de modelado del modelo PPA (a través de la reducción de la varianza) con respecto a los modelos sustitutos individuales

El uso de múltiples modelos sustitutos para la optimización de procesos complejos, como recuperación mejorada de petróleo por inyección de ASP, proporciona varias soluciones óptimas, las cuales deben ser evaluadas para seleccionar la que mejor se ajuste al criterio del diseñador


La metodología propuesta muestra ser efectiva y eficiente (requiere un número relativamente bajo de simulaciones a escala de campo) dentro del contexto del caso de estudio

Puede beneficiarse de la disponibilidad en crecimiento de ambientes de computo en paralelo, y promete ser útil en escenarios más generales de optimización de procesos de inyección de ASP para la recuperación mejorada de petróleo

La metodología propuesta muestra ser efectiva y eficiente (requiere un número relativamente bajo de simulaciones a escala de campo) dentro del contexto del caso de estudio

Puede beneficiarse de la disponibilidad en crecimiento de ambientes de computo en paralelo, y promete ser útil en escenarios más generales de optimización de procesos de inyección de ASP para la recuperación mejorada de petróleo

GraciasGracias

trabajo de grado optimización de funciones utilizando múltiples modelos sustitutos

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