Modelamiento y Simulacin de Procesos

Modelamiento y Simulacin de Procesos

BALANCE DE MASA DE TANQUES EN SERIE

A. Caracterstica de una PlantaLa planta Fig.1 consta de dos tanques en serie de misma seccincon un rea de base Ainterconectados por una tubera de rea As.Consta de un caudal Q fijo a la entrada del tanque 1,adems determinaremos el caudal formado por la interconexin de los tanques 1 y 2 al que llamaremos q12,tomando en consideracin tambinel de salida q0.Las alturas h1 y h2 son las variables que dependen del tiempo procedindolas a calcular

Se deben realizar ciertas suposiciones:Laspropiedades fsico-qumicas delproceso se asumen constantes.Se estima queel flujode salidaes proporcional ala raz cuadrada de la altura del lquido. El flujo deentradaseasumeconstanteyes funcin del tiempo.Sistemahomogneo

Indicado esto las ecuaciones que gobiernan el sistema por conservacin de masa:

LEY DE POISEUILLELaley de Poiseuille(tambin conocida comoley de Hagen-Poiseuille) despus de los experimentos llevados a cabo en1839porGotthilf Heinrich Ludwig Hagen(1797-1884) es una ley que permite determinar elflujo laminarestacionarioVde un lquidoincompresibley uniformemente viscoso (tambin denominadofluido newtoniano) a travs de un tubo cilndrico de seccin circular constante. Esta ecuacin fue derivada experimentalmente en1838, formulada y publicada en1840y1846porJean Louis Marie Poiseuille(1797-1869). La ley queda formulada del siguiente modo:

DondeVes el volumen del lquido que circula en la unidad de tiempot,vmedialavelocidadmedia del fluido a lo largo del ejezdel sistema de coordenadas cilndrico,res el radio interno del tubo, Pes la cada de presin entre los dos extremos, es la viscosidad dinmica yLla longitud caracterstica a lo largo del ejez. La ley se puede derivar de laecuacin de Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidrulica y que por lo dems es vlida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar tambin del siguiente modo:

DondeRees elnmero de Reynoldsyes la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor delfactor de friccin, la energa disipada por laprdida de carga 'RTYERY', el factor de prdida por friccin o el factor de friccin de Darcy en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilndrico. La derivacin terica de la frmula original de Poiseuille fue realizada independientemente por Wiedman en1856y Neumann y E. Hagenbach en1858(1859,1860). Hagenbach fue el primero que la denomin como ley de Poiseuille.

PROBLEMA:En el esquema que se muestra, se tienen 4 tanques dispuestos uno a continuacin del otro. Prepare las ecuaciones diferenciales respectivas que permita calcular la altura instantnea del fluido en cada uno de los tanques. Asuma diferentes datos de dimetros de los tanques, alturas iniciales, caudal de entrada al primer tanque, longitud y radio de cada uno de los tubos interconectados.

SolucinBALANCE DE MATERIA EN EL TANQUE (I)

m1 = masa instantnea en el tanque (I)me = flujo de masa de entrada al tanque (I) ms = flujo de masa a la salida del tanque (I)SABEMOS:.. (2)h1 = altura instantnea de fluido en el tanque (I)A1 = rea de la seccin transversal del tanque (I) = densidad del fluido V1 = volumen instantneo de fluido en el tanque (I)REEEMPLAZANDO (2) EN (1)

= -

(3)Los caudales pueden ser calculados por la ecuacin de hagen- poiseville, ecuacin no Considera los factores de friccin, es decir.Q = REEMPLAZANDO (4) EN (3) Y ADECUANDO LAS ECUACIONES . (5)DE MODO SIMILAR ESCRIBIMOS LAS ECUACIONES DE LOS TANQUES 2, 3 y 4. (6)(7)(8)Las presiones instantneas pueden ser calculadas a partir de las leyes de la hidrosttica: P = d. g. h

... (9) .. (10) .. (11) .. (12) .. (13) .. (14) . (15)

REEMPLAZANDO LAS ECUACIONES (9),(10)(11),(12), (13), (14) y (15) EN (5) , (6) , (7) y (8) SE OBTIENE....(16). (17)

.. (19)SE RESULVE SIMULTANEAMENTE LAS TRES ECUACIONES DIFERENCIALES CON:h1 (0) = h10, h2 (0) = h20 , h3 (o) =h30 y h4(0)=h40

Programa:d(h1)/d(t) = QE1 / A1 - B1 * (h1 - h2)h1(0) = 7d(h2)/d(t) = B2 * (h1 - h2) - B3 * (h2 - h3)h2(0) = 3.5d(h3)/d(t) = B4 * (h2 - h3) - B5 * (h3 - h4)h3(0) = 2.5d(h4)/d(t) = B6 * (h3 - h4) - B7 * h4h4(0) = 4

B1 = (pi * R1 ^ 4 / (8 * VISC * L1 * A1)) * g * RHOB2 = (pi * R1 ^ 4 / (8 * VISC * L1 * A2)) * g * RHOB3 = (pi * R2 ^ 4 / (8 * VISC * L2 * A2)) * g * RHOB4 = (pi * R2 ^ 4 / (8 * VISC * L2 * A3)) * g * RHOB5 = (pi * R3 ^ 4 / (8 * VISC * L3 * A3)) * g * RHOB6 = (pi * R3 ^ 4 / (8 * VISC * L1 * A4)) * g * RHOB7 = (pi * R4 ^ 4 / (8 * VISC * L4 * A4)) * g * RHO

g = 9.81 # aceleracin de la gravedad m/s^2

L1 = 8 # longitud entre los tanques 1 y 2, metrosL2 = 4 # longitud entre los tanques 2 y 3, metrosL3 = 7 # longitud entre los tanques 3 y 4, metrosL4 = 5 # longitud a la salida del tanque 4, metros

R1 = 0.2 # radio del tubo de longitud L1, metrosR2 = 0.15 # radio del tubo de longitud L2, metrosR3 = 0.12 # radio del tubo de longitud L3, metrosR4 = 0.19 # radio del tubo de longitud L4, metros

QE1 = 0.2 # Caudal de entrada, m^3/s

A1 = 4 # rea de la seccin del tanque 1A2 = 5 # rea de la seccin del tanque 1A3 = 3 # rea de la seccin del tanque 1A4 = 6 # rea de la seccin del tanque 1

pi = 3.1416

VISC = 0.1 # Viscosidad del fluido Kg/m.sRHO = 800 # Densidad del fluido Kg/m3

t(0) = 0t(f) = 5

Reporte:POLYMATH ReportNo Title

Ordinary Differential Equations

Calculated values of DEQ variables VariableInitial valueMinimal valueMaximal valueFinal value

1 t 0 0 5. 5.

2 h1 7. 3.767103 7. 3.767103

3 h2 3.5 3.5 4.409697 3.600019

4 h3 2.5 2.5 3.648877 3.079994

5 h4 4. 0.2917105 4. 0.2917105

6 A1 4. 4. 4. 4.

7 R1 0.2 0.2 0.2 0.2

8 A2 5. 5. 5. 5.

9 A3 3. 3. 3. 3.

10 pi 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416

11 VISC 0.1 0.1 0.1 0.1

12 RHO 800. 800. 800. 800.

13 g 9.81 9.81 9.81 9.81

14 L1 8. 8. 8. 8.

15 L2 4. 4. 4. 4.

16 L3 7. 7. 7. 7.

17 L4 5. 5. 5. 5.

18 B2 1.232764 1.232764 1.232764 1.232764

19 R2 0.15 0.15 0.15 0.15

20 R3 0.12 0.12 0.12 0.12

21 R4 0.19 0.19 0.19 0.19

22 QE1 0.2 0.2 0.2 0.2

23 B1 1.540955 1.540955 1.540955 1.540955

24 B3 0.7801084 0.7801084 0.7801084 0.7801084

25 B4 1.300181 1.300181 1.300181 1.300181

26 A4 6. 6. 6. 6.

27 B5 0.3043166 0.3043166 0.3043166 0.3043166

28 B6 0.1331385 0.1331385 0.1331385 0.1331385

29 B7 1.338792 1.338792 1.338792 1.338792

Differential equations 1 d(h1)/d(t) = QE1 / A1 - B1 * (h1 - h2)

2 d(h2)/d(t) = B2 * (h1 - h2) - B3 * (h2 - h3)

3 d(h3)/d(t) = B4 * (h2 - h3) - B5 * (h3 - h4)

4 d(h4)/d(t) = B6 * (h3 - h4) - B7 * h4

Explicit equations 1 A1 = 4

rea de la seccin del tanque 1

2 R1 = 0.2

radio del tubo de longitud L1, metros

3 A2 = 5

rea de la seccin del tanque 1

4 A3 = 3

rea de la seccin del tanque 1

5 pi = 3.1416

6 VISC = 0.1

Viscosidad del fluido Kg/m.s

7 RHO = 800

Densidad del fluido Kg/m3

8 g = 9.81

aceleracin de la gravedad m/s^2

9 L1 = 8

longitud entre los tanques 1 y 2, metros

10 L2 = 4

longitud entre los tanques 2 y 3, metros

11 L3 = 7

longitud entre los tanques 3 y 4, metros

12 L4 = 5

longitud a la salida del tanque 4, metros

13 B2 = (pi * R1 ^ 4 / (8 * VISC * L1 * A2)) * g * RHO

14 R2 = 0.15

radio del tubo de longitud L2, metros

15 R3 = 0.12

radio del tubo de longitud L3, metros

16 R4 = 0.19

radio del tubo de longitud L4, metros

17 QE1 = 0.2

Caudal de entrada, m^3/s

18 B1 = (pi * R1 ^ 4 / (8 * VISC * L1 * A1)) * g * RHO

19 B3 = (pi * R2 ^ 4 / (8 * VISC * L2 * A2)) * g * RHO

20 B4 = (pi * R2 ^ 4 / (8 * VISC * L2 * A3)) * g * RHO

21 A4 = 6

rea de la seccin del tanque 1

22 B5 = (pi * R3 ^ 4 / (8 * VISC * L3 * A3)) * g * RHO

23 B6 = (pi * R3 ^ 4 / (8 * VISC * L1 * A4)) * g * RHO

24 B7 = (pi * R4 ^ 4 / (8 * VISC * L4 * A4)) * g * RHO

General Total number of equations 28

Number of differential equations 4

Number of explicit equations 24

Elapsed time 1.157 sec

Solution method RKF_45

Step size guess. h 0.000001

Truncation error tolerance. eps 0.000001

Grfico:

3