UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALDASTALLER 1ELECTIVA TECNICA CONTROL NO LINEALPRESENTADO POR:OMAR PEREZ DUCONCODIGO:20091283020PRESENTADO A:ING . FRANK NILSON GIRALDOBOGOTA 13 DE SEPTIEMBRE DE 20111. Dado el siguiente sistema dinmico obtenga la representacin de estados, verifique los puntos y tipos de equilibrio y su estabilidad parael sistemalineal. Verifiqueel retratodefasedel sistemano lineal y el explique comportamiento cualitativo del sistema: ( )R + 2 21 [ ]1]1

2 23 1 21 0,x y x xyy x j [ ]1]1

11 00 , 0 jx y y x y yy xCuando 3 20 0 00Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:( ) x y y x y x y x y yy xxx 3 3 3 3333 x ' = yy ' = - x -15 -10 -5 0 5 10-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4txx y y x y yy xCuando 3 21 1 11Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = yy ' = y - y x2 - y3 - x -5 0 5 10 15 20 25-1-0.500.51txx y y x y yy xCuando + + 3 21 1 11Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = yy ' = - y + x2 y + y3 - x -25 -20 -15 -10 -5 0 5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81tx2. DadalaecuacindeRayleigh, obtengalarepresentacinde estado, verifique los puntos y tipos de equilibrio y su estabilidad para el sistema lineal. Verifique el retrato de fase del sistema no lineal y explique el comportamiento cualitativo:Cuando=1 y =0.1Obteniendo la representacin de estado el sistema:Reescribiendo:AX BVerificando los puntos de equilibrio y el retrato de fase del sistema:Verificando si el origen es solucin trivial La solucin depende del parmetro Para:Fig. 1. Retrato de fase para=1 Se puede apreciar que el sistema cualitativamente es de tipo hopf supercrtica, es marginalmente estable, pues converge en un ciclo limite.Para:Fig. 2. Retrato de fase para=0.1 Se puede apreciar que el sistema cualitativamente es de tipo hopf supercrtica, es marginalmente estable, pues converge en un ciclo lmite, el sistema en el tiempo muestra oscilaciones peridicas que tienden a acotarse, pero respecto al sistema anterior, estas son de una frecuencia 10 veces ms grande.3. Encuentre los puntos de equilibrio del sistema no lineal y determine el tipo de equilibrio de cada unoSe reemplaza en Si entoncesSi entoncesSi entoncesreemplazando en 1 y 2Si y se mantiene la igualdad en 1 y 2Posteriormente se desarrolla linealizacin por jacobiano4.Dada la ecuacin de Rayleigh, obtenga la representacin de estado, verifique los puntos y tipos de equilibrio, estabilidad para el sistema lineal. Verifique el retrato de fase del sistema no lineal y explique comportamiento cualitativo.0312 +

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xxx x Cuando1 . 01xyy yy xxxx xx xx x

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31312111222 21 21[ ]( )1]1

21 11 0,yy x j[ ]1]1

11 00 , 0 jSi 1 , entonces:xyy yy x 3311Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = yy ' = y - ((y3)/3) - x -5 0 5 10 15 20 25-2-1.5-1-0.500.511.52txSi 1 . 0 , entonces:xyy yy x 31 . 01 . 0311Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo: x ' = yy ' = 0.1 y - ((0.1 y3)/3) - x -40 -20 0 20 40 60 80 100-2-1.5-1-0.500.511.52tx5. Parael siguientesistemaverificarqueel origenesun equilibrio, linealize el sistema alrededor del origen e indique el tipo de equilibrio y la estabilidad del sistema lineal. Encuentre el retratodefasedel sistemanolineal (hagaconversina coordenadas polares):

( )21222121 2222112 122 2221222122211 2 2222212 1 21222112 2222121 1ln lncos1ln lnln lnxx xxx xx xxx xr rr x x x x r rx xx xxx xx xx r rx xxx xx xxx x r r

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+

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++ + ++ +

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++ +

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+ 222112 2222121 1lnlnx xxx xx xxx x++ + ( )211 2 2 122 2 1 12221212 12 121cos1sincosxx x x xx x x x r rx x rxxTanx x rr xr x + +

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+ ( )( ) ( )( ) rr rr r rrr rrx x xx xxx xx xxx xxx xxxx xxx xx xxx xln1ln11cosln cosln coslnlncos1ln lncos1ln lncos122 222 22222121222121222122212212221222221212212221221 22221211 22 + ++++++++ +++ Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = - x y ' = 1/(log(x)) 0 100 200 300 400 500 600 700-35-30-25-20-15-10-50tx[ ]11]1

00 10 , 02rejGrafica de comportamiento en el punto (0,1) en el tiempo: x ' = - x y ' = 1/(log(x)) -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 001020304050tx6. Verificar los puntos, tipos de equilibrio y estabilidad para el sistema no lineal( )2 111 22 1tan 2 x x x xx x+ [ ]11]1

+ + 2 2) ( 12) ( 1211 0,y x y xy x j[ ]1]1

2 11 00 , 0 jGrafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo: x ' = yy ' = x - 2 atan(x + y) -2 0 2 4 6 8 10051015202530tx7. El modelo de interaccin o accin inhibitoria y ex_citatoria entredosneuronasbiolgicasestadadoporlasecuaciones siguientes, donde 1xes la salida de la neurona ex_citatoria y 2xla salida de la neurona inhibitoria, la evolucin de 1x y 2xesta dada por:[ ]( ) ( )( ) ( ) 11111]1

++ ++++ 2 22 2221122111 211 212121,xxxxxxxxeeeeeeeey x j[ ]111]1

212121210 , 0 j( ) ) )( tanh( ) )( tanh(1) tanh( ) tanh(1) tanh( ) tanh(1) tanh( ) tanh(1) tanh( ) tanh(12 1 2 2 1 122212 2 1 222 2 1 1 1212 1 2 2 2 1 1 1x x x x x x x x r rx x x x x x x x x x r rx x x x x x x x r r+ + + + + +

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+ +

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+ ) tanh( ) tanh(1) tanh( ) tanh(12 1 2 22 1 1 1x x x xx x x x + + 1111) tanh(1xxeex+ ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )

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+ ++ + ++

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+ ++ + + ++

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+++ ++ + + + 2 12 12 11 2 2 122111 12 2) (1 11 1 1 1) (1111) () tanh( ) tanh( ) (12 122212 122212 122212 1 2 12221x xx xx xx x x xxxxxe ee ex xx xr re ee e e ex xx xr reeeex xx xr rx x x x x x r r ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )re ee esenrsenre ee esen rsen rxeeeex xx xxx x x x x xx xxx x x xx xx x x xx xxx x x x x x x xe ee e rre ee errr rr rr rr rr rxxxxr rr r

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+ ++ +

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+ ++ + 1]1

++ + + + +

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+ ++ + +

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+ ++ + + sin cossin cos2 2sin cossin cos 22212 12 12212 2 1 1 2 12 12212 2 1 22 12 1 1 12 12212 1 1 2 2 1 2 12sin cossin cossin cossin cos 21 1cos 2cos 2cos1 1cos 2cos 2cos11111 2cos1) tanh( ) tanh(2cos1) tanh( ) tanh( ) tanh( ) tanh(cos1) tanh( ) tanh(1) tanh( ) tanh(1cos11 1) sin (cos 21 1) sin (cos 22211 Grafica en el punto (0,0):x ' = - x + ((1 - exp( - x))/(1 + exp( - x))) - ((1 - exp( - y))/(1 + exp( - y)))y ' = - y + ((1 - exp( - x))/(1 + exp( - x))) - ((1 - exp( - y))/(1 + exp( - y))) -1 0 1 2 3 4 5 6 70510152025tx1 21Para21ParaGrafica en el punto (0,0)x ' = - x + ((1 - exp( - 4 x))/(1 + exp( - 4 x))) - ((1 - exp( - 4 y))/(1 + exp( - 4 y)))y ' = - y + ((1 - exp( - 4 x))/(1 + exp( - 4 x))) - ((1 - exp( - 4 y))/(1 + exp( - 4 y))) -1 0 1 2 3 4 5 6-8-6-4-20tx8. El modelo de sstole y distole cardiaca(Oscilador van del pol) es dado por las siguientes ecuaciones, en donde x representa la variacin de longitud de la fibra muscular cardiaca, v estimulo cardiaco y >0 un parmetro del sistema:x vv x 0 x vxxv x

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32Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = yy ' = - x -10 -5 0 5 10-0.03-0.02-0.0100.010.020.03txx vxxv x + 5 . 035 . 05 . 02Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y + ((0.5 x2)/3) - 0.5 xy ' = - x 0 5 10 15-40-30-20-10010txGrafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y + ((x2)/3) - xy ' = - x -4 -2 0 2 4 6 8 10-40-30-20-100txx vxxv x + 312Grafica de comportamiento en el punto (0,0) en el tiempo:x ' = y + ((x2)) - xy ' = - x -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-40-30-20-100txx vx x v x + 23