TRABAJO DE APLICACIÓN A LA CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL“ESTRATIFICACIÓN POR EDADES APLICADA A LA VIDA ÚTIL DE LA LECHE

PROCESADA”

PRESENTADO POR:JEFFERSON ALVARADO MARTÍNEZ

YONATAN SEBASTIAN ESPITIAANDRES FELIPE TIRADO BELLO

DOCENTE JUAN JESUS CRUZ MORA

REVISADO POR SANDRA BELLO

GRUPO IND2

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

MÉTODOS NUMÉRICOS BOGOTÁ D.C. 2012

ESTRATIFICACIÓN POR EDADES APLICADA A LA VIDA ÚTIL DE LA LECHE PROCESADA

TEMA: Estimar la vida útil de la leche procesada, por el método de medición microbiológica en anaqueles con ayuda de la función cinética de desarrollo microbiano, a través del análisis estratificado por edades, por medio de gráficos de dispersión donde el absentismo sea evidenciado, y con la aplicación de los métodos numéricos determinar la vida útil en función del crecimiento de microbios en el tiempo.Este estudio se realiza con el fin, de mejorar la vida útil de la leche procesada, el cual puede ser aplicable para industrias lácteas pequeñas en Colombia.

OBJETIVOS

GENERAL

Estimar la vida útil de la leche procesada, a través de muestras microbiológicas tomadas de los anaqueles, utilizando la ecuación de crecimiento microbiano y aplicando los métodos numéricos en función del crecimiento del número de microbios en el tiempo.

ESPECÍFICOS

Proponer un método para estimar la vida útil de la leche procesada en función del crecimiento del número de microbios en el tiempo, sin modificar la calidad de la leche.

Hacer aplicable este modelo, para ayudar a microempresas alimentarias en Colombia.

Encontrar la aplicabilidad de los métodos numéricos dentro de los problemas que un ingeniero industrial debe resolver.

JUSTIFICACIÓN

Actualmente existe un interés, principalmente en países más desarrollados, en aumentar la vida útil de la leche pasteurizada, teniendo en cuenta que la leche ULTRA HIGHT TEMPERATURE (UHT) disponible en el mercado presenta un fuerte sabor cocido, y es mas preferido por el consumidor.

Sin embargo, para algunos consumidores el sabor de la leche UHT es inaceptable, la vida útil está definida como el periodo de tiempo entre el procesamiento y el punto en el cual el producto se torna inaceptable para el consumidor, siendo que para leche pasteurizada, un conteo microbiano de aproximadamente 10^7 células/ml es frecuente, asociarla con este punto de no aceptación.

Vida útil expresada es el periodo de tiempo antes de que la calidad de un producto pueda tomarse un problema potencialmente de salud pública, siendo que, dentro de las razones para esta pérdida de calidad del producto, se está incluyendo el desarrollo microbiano y los defectos sensoriales relativos al sabor y el olor originarios de la degradación de vitaminas.

Por esta razón se propone un método a partir del análisis microbiológico, que estime y mejore la vida útil de la leche, sin comprometer la calidad del producto.

HIPOTESIS

Si el comportamiento del crecimiento microbiano se puede expresar de forma matemática, y el desarrollo microbiano es uno de los factores, por los cuales la leche UHT pierde su calidad, es posible modelar un método matemático, que estime a vida útil de la leche, en función del crecimiento bacteriano.

MÉTODO APLICADO:

o Ecuación cinética de desarrollo microbiano.

o Interpolación Newton.

o Ecuaciones diferenciales ordinarias.

o Método de Heun

o Método de Punto medio

o Método de Ralston

o Método de Runge-Kutta tercer orden

o Método de Runge-Kutta de cuarto orden.

INTRODUCCIÓN

La leche es la secreción láctea, prácticamente libre de calostro, obtenida de un ordeños completo de una o varias vacas saludables, no debe contener menos de 8.25% de sólidos no grasos y menos de 3.5 % de grasa, para considerar la leche como un producto apto para el consumo humano debe de cumplir una serie de requerimientos entre los que se encuentra una apariencia blanca, ausencia de olores desagradables, libres de sustancias anormales y un bajo conteo de bacterias y células somáticas.

La composición de la leche brinda un medio excelente para la proliferación de bacterias que provoca un cambio indeseable en la leche y por ende en la calidad de la misma. En el deterioro aparecen en la leche productos secretados por las bacterias a partir de los sustratos de la leche como las proteínas, grasa, etc.

Con el 1% de la producción mundial, Colombia ocupa un discreto lugar ante las grandes productoras de leche del planeta, lugar que adquiere importancia si la comparación se hace solo entre los países latinoamericanos, pues allí tan solo somos superados por Brasil, México y Argentina.

Esto quiere decir que tenemos buenas opciones para convertir el negocio de los productos lácteos como una importante alternativa de exportación si analizamos el futuro y nos preparamos desde ahora para abordarlo.

MARCO TEÓRICOANÁLISIS ESTRATIFICADO

El análisis estratificado es una técnica estadística multivalente, porque están implicadas en el análisis estadístico de al menos tres variables. Consiste en el estudio de una tabla de contingencia para cada una de las categorías de una variable cualitativa. En una tabla de contingencia se estudian las relaciones entre dos variables cualitativas, por lo tanto, en un estudio estratificado, intervienen, al menos, tres variables, las dos implícitas en la tabla de contingencia y la estratificadora. Puede haber más variables estratificadas, pudiendo analizar simultáneamente más de tres variables. Por ejemplo, se estudia la relación entre fumar y padecer enfermedades bronquiales, se estratifica el estudio para hombres y mujeres.

El análisis estratificado es una técnica interesante, pero compleja para más de tres variable, se usa cada vez menos, son preferibles otras técnicas de análisis multivariable como la regresión logística, que permite analizar varias variables sin los problemas del análisis estratificado.

ECUACIÓN CINÉTICA DE DESARROLLO MICROBIANO

El crecimiento de una población bacteriana sigue una cinética de primer orden:

V=k (N °)

Donde:V= Aumento de célulasK= Constante de velocidad de crecimiento N°= Masa de células

Relacionada con ella está el tiempo de generación (tiempo necesario para que la población se duplique) tg=ln2/k.

La V de crecimiento de cualquier componente puede expresarte como:

log10 N−log10N0=k (t−t o )/2.303

ó, tomando antilogaritmos:

Z=Z0∗10k (t−t0)/2.3

Lo que indica una variación exponencial de la n° de células con el tiempo.Y de forma más sencilla:

N=N 0∗2n

Siendo n el número de generaciones. CRECIMIENTO BACTERIANOSe pueden describir la curva en seis fases, representadas de la siguiente manera:

A. FASE DE REZAGO: Representa un periodo durante el cual se adaptan a un nuevo ambiente. Si las células se obtienes de un medio enteramente diferente, con frecuencia ocurre que son genéticamente incapaces de crecer en el nuevo medio, presentándose así una fase derezago más prolongada.

B. FASE DE ACELERACIÓN: Es el periodo de tiempo donde la tasa de crecimiento pasa de cero a creciente es decir que es el momento donde se inicia el crecimiento bacteriano, ya que a bacteria finalmente se ha adaptado al medio.

C. FASE EXPONENCIAL: Aquí las células se encuentran en un estado sólido sostenido este crecimiento continuará solo que los nutrimentos se agoten o se acumulen toxinas, un ejemplo, puede ser con los microorganismo arobios, donde su nutriente limitante es el Oxigeno que a la larga su demanda será demasiado que hará que la colonia disminuya su crecimiento progresivamente.

D. FASE DE RETRASO: Es un periodo que marca la pauta entre el exponencial y el de meseta, donde el crecimiento deja de ser constante y se vuelve decreciente.

E. FASE ESTACIONARIA MÁXIMA: Al agotarse los nutrimentos o acumular productos tóxicos el cese del crecimiento por completo. Pero por lo general, esta fase se trata cuando la tasa de crecimiento es nula, mueren las mismas bacterias que las nuevas que se forman.

F. FASE DE DECLINACIÓN (MUERTE): En esta etapa ocurre un cambio en la tasa de crecimiento entendiéndolo como una mayor cantidad de muerte que de formación de bacterias, Muchas bacterias pueden morir pero quedan pocas en el cultivo las cuales pueden dura mese o años.

 

Grafica. Curva de crecimiento bacteriano.

INTERPOLACIÓN NEWTON

Interpolación es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuación cuya curva pase por todos ellos o lo más cerca posible.

Utilizaremos el método de interpolación de Newton ya que es más fácil de aplicar, aunque sabemos que ya sea por LaGrange o Newton los resultados son los mismos.

Por supuesto que este método tiene todo un desarrollo teórico para llegar a la ecuación general, pero es demasiado largo y para fines prácticos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el método y como aplicarlo.

La ecuación general para este método es la siguiente:

f ( x )=b0+b1 (x−x0 )+b2 (x−x0 ) (x−x1 )+…+bn (x−x0 )(x−xn−1)

Para un polinomio de n-esimo grado se requieren n+1 puntos:

[ x0 , f (x0)] , [ x1 , f (x1 ) ,…, [ xn , f (xn) ] ] .usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes.

b0=f (x0)

b1=f ( x1 , x0)

b2=f ( x2 , x1 , x0)

bn=f (xn , xn−1 ,…, x1, x0)

Donde las evaluaciones de la función colocada entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo la primera diferencia dividida finita es forma general se representa como

f (x i , x j )=f (x i)−f (x¿¿ j)xi−x j

¿

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primeras diferencias dividas, se expresa en forma general como

f (x i , x j , xk )=f (xi , x j )−f (x j , xk)

xi−xk

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

Los métodos de Runge-Kutta lograban la exactitud del procedimiento de las series de Taylor sin requerir el uso de derivadas superiores. Existen diversas variantes, pero tienen la siguiente forma:

y i+1= y i+∅ (x i , y i , h )h

Donde ∅ ( xi , y i , h ) es conocida como la función incremento, la cual puede

interpretarse como una pendiente representativa en un intervalo. Esta función se escribe de forma general como:

∅=a1k 1+a2 k2+…+an kn

Donde las a son constantes y las k son:

k 1=f (x i , y i)

k 2=f ( xi+ p1h , y i+q11k1h)

k 3=f (xi+ p2h , y i+q21 k1h+q22 k2h)

k n=f (xi+ pn−1h , y i+qn−1,1k1h+qn−1,2k2h+…+qn−1 ,n−1 kn−1h)

Obsérvese que las k son las relaciones de recurrencia; esto indica que k 1 aparece

en la ecuación para k 2y k 2aparece en la ecuación para k 3etc.

Segundo orden:

La versión de segundo orden para y i+1+∅ (x i , y i , h )h es:

y i+1= y i+ (a1 k1+a2k 2)h

Donde:

k 1=f (x i , y i)

k 2=f ( xi+ p1h , y i+q11k1h)

Los valores para a1,a2 , p1 y q11 son evaluados al igualar el termino de segundo orden de

y i+1= y i+ (a1 k1+a2k 2)h

Con la expansión de la serie de Taylor. Para obtener esto se obtienen tres ecuaciones con cuatro constantes desconocidas.

a1+a2=1a2 p1=12a2q11=

12

Debido a que se tiene cuatro incógnitas y tres ecuaciones, se propone el valor de una de estas incógnitas para determinar las demás. Por ejemplo, si se propone un valor para a2 ,se obtiene:

a1=1−a2 y p1=q11=12a2

Debido a que se puede elegir un número infinito de valores para a2 ,también existe un número infinito de métodos o ecuaciones de Runge-Kutta de 2do. Orden. Las más comunes son el método de Heun de un solo correctos, Método de Punto Medio y método de Ralston.

Método de Heun de un solo corrector a2=1/2

Si se supone que a2=12

entonces a1=¿1/2 y p1=q11=1.Estos parámetros

sustituidos en y i+1= y i+ (a1 k1+a2k 2)h da

y i+1= y i( k12 +k22 )h

Donde:

k 1=f (x i , y i)

k 2=f ( xi+h , y i+k ih)

Método de Punto medio a2=1

Si se supone que a2=1, entonces a1=0 y p1=q11=1/2. Estos parámetros

sustituidos en y i+1= y i+ (a1 k1+a2k 2)h da:

y i+1= y i+k2h

Donde:

k 1=f (x i , y i)

k 2=f ( xi+12h y i+

12k1h)

Método de Ralston a2=2/3

Ralston y Rabinowitz determinaron que al seleccionar a2=23

se obtiene un límite

mínimo sobre el error de truncamiento para el algoritmo de Runge-Kutta de segundo orden. Para esta versión, a1=1/3 y p1=q11=3/4 lo cual da:

y i+1= y i+( 13 k1+23k2)h

Donde:

k 1=f (x i , y i)

k 2=f ( xi+34h , y i+

34k ih)

Método de Runge-Kutta de tercer orden

Se puede llevar una derivación análoga a las del método de segundo orden para n=3. El resultado de esta derivación es de seis ecuaciones con ocho incógnitas para determinar parámetros restantes, una versión común que resulta es

y i+1= y i+〔 16(k1+4k2+k 3)〕h

Donde:

k 1=f (x i , y i)

k 2=f ( xi+12h , y i+

12k1h)

k 3=f (x i+h , y ih−k ih+2k 2h )

Método de Runge-Kutta de cuarto orden

Los métodos de Runge-Kutta más populares son los de cuarto orden. Como sucede con los métodos de segundo orden. Existe un número infinito de versiones. Se presentan dos versiones más comunes de este método de la primera versión de la regla de Simpson 1/3 y comúnmente es llamada método clásico de Runge-Kutta como se describe a continuación.

y i+1= y i+〔 16(k1+2k2+2k3+k4)〕h

Donde:

k 1=f (x i , y i)

k 2=f ( xi+12h , y i+

12k1h)

k 3=f (xi+12h , y i+

12k2h)

k 4=f (x i+h , y i+k3h)

La segunda se basa en la regla de Simpson 3/8 y se escribe así:

y i+1= y i+〔 18

(k1+3k2+3k3+k 4 )〕h

Donde:

k 1=f (x i , y i)

k 2=f ( xi+13h , y i+

13k1h)

k 3=f (xi+13h , y i+

13k 1h+ 1

3k2h)

k 4=f (x i+h , y i+k 1h−k2h )

APLICACIÓN DEL MÉTODO

La calidad de los producto lácteos esta directamente relacionados con la calidad microbiológica de la leche cruda utilizada como principal materia prima, dependiendo las condiciones a las cuales se encuentre, esta ya sean la temperatura, el almacenamiento, entre otras, diversos grupos de microorganismos pueden llegar a pasar por un periodo de crecimiento intensivo, produciendo altas concentraciones de microbios, como lipasas o proteasas1.

Estas lipasas y proteasas producidas por bacterias psicotrópicas2 de leche antes del tratamiento térmico, esta producción son debidos cuando el recuento de bacterias llega a 106 UFC/ml o más, y se desarrollan en los residuos o depósitos que controlan el tratamiento de la leche, también se producen cambios en la viscosidad que en ocasiones conducen a gelificaciones.

En primer lugar a través del análisis estratificado, se seleccionara una muestra probabilística de cada estrato y se trabajara de manera independiente entre estratos

Cuestiones técnicas para plantear el muestreo:

1. Construcción de estratos: Para nuestro problema, los estratos que tomaremos serán, las temperaturas de manejo de la leche procesada, una vez la leche ya esta empacada y lista para distribuir, el objetivo es estimar la vidad útil de la leche, según ciertas temperaturas de almacenamiento; ¿Porque de almacenamiento y no de procesamiento? La razón es sencilla, nuestro método solo lo aplicaremos a la vida de la leche ya procesada y empaca, y no a la leche en proceso, porque la leche en proceso, como sabemos tiene que pasar por diferentes etapas de proceso como lo son, la filtración, homogenización, estandarización, deodorización, clarificación, Termización, pasteurización, ultra pasteurización y esterilización, todos estos procesos, mejoran notablemente la vida y la calidad de la leche , a nivel matemático y químico, pero nosotros nos centraremos en mejorar la durabilidad después de todos estos procesos, basándonos en nuestros

1 Las lipasas y las proteasas, son enzimas, las lipasas se encargan de ayudar con la adsorción de grasas, en los seres humanos se encuentra en la leche materna, las proteasas son las enzimas que hacen posible la hidrólisis de las proteínas.2 Las baterías psicotrópicas son las que creen en mayor cantidad estando entre los 15° y los 20°C.

conocimientos adquiridos durante el transcurso de la clase, más por la parte matemática.Los estratos que formaremos serán: Temperatura del almacén del productor, temperatura del almacén del distribuidor, temperatura de la trayectoria de la tienda hasta la casa, temperatura en la nevera del consumidor

ESTRATOS TEMPERATURA (°C)

DÍAS

PRODUCTOR 5 1DISTRIBUIDOR 8,4 3

TRAYECTO HOGAR

12,20,03

CONSUMIDOR 6 3

Fuentes: BURTIB.H, Ultra-High Temperature Processing of Milk Products, London Elsevier Applied Science Publishers. 1988

PRODUCTOR

DISTRIBUIDOR

TRAYE

CTO HOGAR

CONSUMIDOR

0

2

4

6

8

10

12

14

TEMPERATURA (°C)DÍAS

La grafica anterior muestra la cinética de almacenamiento de la leche, desde que es producida y empaquetada, hasta ser distribuida y finalmente, hasta que es consumida por el cliente.

Para la determinación de la vida útil a través de este método, consideraremos las primeras dos fases de crecimiento bacteriano, ya que como vemos en la grafica, el límite máximo de población, se alcanza en estas dos primeras fases.

Fase de latencia:t ≤ tlat N=No

Fase exponencial:El proceso sigue una cinética de primer orden

dNdt

=kN

Donde:K= Tasa de crecimientoN=Número de unidades formadoras de colonias T= Tiempo

No (CFU/g) N° Máx (CFU/g) Ko Ea (cal/mol) To EatL. Monocytogenes 0,1 1000 5,62E+19 5,32E-15 20791

L. Monocytogenes: Es una bacteria que se desarrolla intracelularmente y es causante de la Listeriosis, es uno de los patógenos causantes de infecciones alimenticias mas virulentos con una tasa de mortalidad entre un 20 a 30%, más alta que casi todas las restantes toxico infecciones alimentarias,

Durante el almacenamiento de un producto, la población permanece constante hasta que no supera el tiempo de latencia, pudiendo transcurrir varios períodos de almacenamiento, sin que la población difiera substancialmente de la inicial.

K=koeEaRT

tlat=toeEatRT

Donde:

Ko: Factor pre-exponencial de kto: Factor pre-exponencial de tlat Ea: Energía de activación (cal/mol) Eat: Energía de activación para el tiempo de latencia (cal/mol)R: Constante de los gases (1.98717 cal/mol°K)No: Número inicial de CFU/gto: Tiempo inicial (H)tlat: Tiempo de latencia (H)

En la ecuación reemplazaremos los valores de las constantes para determinar el tiempo de latencia.

tlat :5.32∗10−15×e| 207911.98717∗278|=117.68 horas

Se tiene la función de la cinética de desarrollo microbiano, en ella reemplazamos los valores de las constantes

dNdt

=Ko×e|−EaRT |

×N

Para N°C:dNdt

=5.62×1019×e|−49.87|× N

Ahora aplicaremos el método de Runge-Kutta de cuarto orden, a partir de la ecuación que anteriormente se ha generado.

La condición inicial que usaremos será:

Y (1): 0.1

Se tomaran valores delta de x: 1, con el fin de tomar un intervalo de 1 a 24 que representa las horas de un día

Grafica 1. Aplicación del método de Runge-Kutta

Time Y(X) ƍ1 ƍ2 ƍ3 ƍ41 0,1 0,0015 0,0015 0,0015 0,00152 0,10148887 0,0015 0,0015 0,0015 0,00153 0,102999907 0,0015 0,0015 0,0015 0,00154 0,104533441 0,0015 0,0016 0,0016 0,00165 0,106089808 0,0016 0,0016 0,0016 0,00166 0,107669346 0,0016 0,0016 0,0016 0,00167 0,109272403 0,0016 0,0016 0,0016 0,00168 0,110899326 0,0016 0,0017 0,0017 0,00179 0,112550473 0,0017 0,0017 0,0017 0,0017

10 0,114226202 0,0017 0,0017 0,0017 0,001711 0,115926882 0,0017 0,0017 0,0017 0,001712 0,117652882 0,0017 0,0018 0,0018 0,001813 0,11940458 0,0018 0,0018 0,0018 0,001814 0,121182358 0,0018 0,0018 0,0018 0,001815 0,122986606 0,0018 0,0018 0,0018 0,001816 0,124817716 0,0018 0,0019 0,0019 0,001917 0,126676089 0,0019 0,0019 0,0019 0,001918 0,128562131 0,0019 0,0019 0,0019 0,001919 0,130476253 0,0019 0,0019 0,0019 0,002020 0,132418875 0,0020 0,0020 0,0020 0,002021 0,134390419 0,0020 0,0020 0,0020 0,002022 0,136391317 0,0020 0,0020 0,0020 0,002023 0,138422006 0,0020 0,0021 0,0021 0,002124 0,140482929 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021

APLICACIÓN DE RUNGE-KUTTA 4

0 5 10 15 20 25 300

0.020.040.060.08

0.10.120.140.16

Variación de N en función del tiempo

Y(X)

Finalmente de la grafica obtenida que representa a N (unidad formadora de colonia presente en la leche) en función del tiempo, interpolaremos para encontrar

una función que represente el valor de N en función del tiempo, para cualquier tiempo, y sabiendo la cantidad de bacterias que se pueden formar, finalmente encontraremos el valor de la vida útil de la leche.