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Coloquio de f́ısica

Revisión sobre aspectos varios de la relatividadN. Jáuregui (2013)1,  a) and D. Gomez (201318237)1,  b)

Universidad de los Andes, Departamento de F́ısica 

(Dated: 8 de mayo de 2016)

La f́ısica como se entiende hoy en d́ıa está fundamentada en sólidas teoŕıas que necesitaron de siglos paradesarrollarse. El origen se puede atribuir a la contribución de Isaac Newton a la comunidad cient́ıfica delsiglo   XVII. Sin desconocer el trabajo de otros cient́ıficos contempoŕaneos, se puede decir fue Newton el

que estableció la primera gran ley de la f́ısica, que trataba sobre una ley universal de la gravitación. Dosconsecuencias revolucionarias surgieron de esta: la estructura de la una ley universal basada en postulados yun conjunto de predicciones acerca del sistema que se describe; y la búsqueda insaciable de leyes universalesque expliquen todo cuanto sucede a nuestro alrededor, pues antes era un imaginario el hecho de que lo quesucedı́a en la tierra no teńıa por qué tener relación con el resto del universo observable. Partiendo de estosmismos principios, en 1905 Albert Einstein rebatió a la primera gran ley de la gravitación: en contra de lacreencia popular que hab́ıa en la comunidad cient́ıfica de la época y guiándose por una suerte de intuición,Einstein realizó dos postulados bastante simples, que redefińıan los conceptos del tiempo y el espacio, pero deuna trascendencia tal que sus implicaciones siguen siendo revolucionarias hoy en d́ıa. El más reciente ejemplode su poder de predictibilidad data del 11 de febrero de este año, más de 100 años después de la postulaciónde la teoŕıa general de la relatividad: fueron detectadas por primera vez ondas gravitacionales, una de laspredicciones restantes más significativas sin confirmación. Teniendo en cuenta su posición central en la f́ısica,cabe realizar una revisión sobre varios aspectos de la teorı́a especial y general de la relatividad.

I. REVISIÓN HISTÓRICA

En distintos momentos de la historia se ha producidocierta ilusión de conclusión en el camino del aprendiza-

 je sobre la naturaleza. Por ejemplo, en diferentes cultu-ras occidentales las teoŕıas aristotélicas de la mecánicay el comportamiento celeste se tomaron por ciertas du-rante más de un milenio. Aśı mismo, a finales del sigloXIX, con la plena aceptación de la teoŕıa de Maxwelltras su unificación de la electricidad con el magnetismoy la verificación de que la luz era un fenómeno ondula-torio de naturaleza electromagnética, se llegó a aseverar

que reunidas, la teoŕıa de la mecánica y la gravitaciónde Newton, las leyes de la termodinámica y la cinéticay las leyes de Maxwell le daban una explicaci ón comple-ta a todos los fenómenos del universo y que sólo restabaaumentar la precisión de estas. En 1905, el denominado“año milagroso” de Einstein, el fı́sico alemán Albert Eins-tein revolucionó de nuevo la f́ısica desde distintos frentes,poniendo en contra a las ya establecidas leyes. Tres desus cinco trabajos más importantes rebatieron desde susprincipios más fundamentales a las teoŕıas de Newton yde Maxwell. Por un lado, demostró que estas dos teoŕıaseran incompatibles, basándose en una pregunta bastan-te sencilla pero a la vez completamente fundamental en

el desarrollo de la f́ısica: ¿corriendo a la velocidad de laluz, cómo se veŕıa el mundo? La respuesta a esta pregun-ta le dio origen a su teoŕıa especial de la relatividad yposteriormente a la de relatividad general.

La teorı́a electromagnética de Maxwell permitı́a con-cluir que los campos eléctricos y magnéticos variables da-

a)Electronic mail: ni.jauregui10@uniandes.edu.cob)Electronic mail: df.gomez11@uniandes.edu.co

ban lugar a ondas electromagnéticas cuya velocidad era lamisma calculada para la luz. En sus experimentos, FrankHertz logró demostrar que estas ondas electromagnéticasefectivamente se correspond́ıan con la luz y por tanto re-solvió la pregunta que llevaba tres siglos sobre si la luzera un haz de part́ıculas o un fenómeno ondulatorio. Sinembargo, en la teorı́a mecánica de Newton, la velocidades un concepto relativo a un marco de referencia. Por lotanto, la velocidad de la luz de la que se teńıa una medidadeberı́a ser la medida relativa a algún marco. Durante elsiglo XIX se postuló que el medio con respecto al que semed́ıa era un medio que permeaba todo el espacio al que

se le denominó éter. Numerables experimentos se realiza-ron intentando dar prueba de la existencia de este éter.En particular, uno de gran fama es el experimento rea-lizada en 1887 por los cient́ıficos estadounidenses AlbertMichelson y Edward Morley. Este consist́ıa en hacer pa-sar un haz de luz múltiples veces por divisores de haz enun monta je tı́pico de un interferómetro. Se esperaba quela luz se separara en diferentes haces y que uno de es-tos tendrı́a que recorrer una distancia mayor que el otro,de tal manera que al reencontrarse se generaŕıa algúnpatrón de interferencia, como producto de la naturalezaondulatoria de esta. Sin embargo, el resultado no mostróningún patrón, dando aśı una conclusión negativa sobre

la existencia del éter.

Numerosas teorı́as surgieron para poder explicar el porqué no se hab́ıa podido realizar medidas experimenta-les positivas que demostraran la existencia del éter. Encontra de esta corriente, Einstein desecho por comple-to la existencia de tal marco de referencia y en cambiopostuló que ningún marco de referencia es absoluto. Suaproximación resultó en la introducción de la teoŕıa dela relatividad especial en 1905 y diez años más tarde enla de teoŕıa de la relatividad general, que hoy en d́ıa es

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la teoŕıa que da cuenta de la mayoŕıa de los fenómenosastronómicos observados. En las siguientes secciones seentrará en detalle en cada una de estas teorı́as.

II. REVISIÓN SOBRE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

. Postulados

Aunque se suele asociar al experimento de Morley conel origen de la teoŕıa de la relatividad especial, es proba-ble es que Einstein no conociera estos resultados experi-mentales. En cambio, es posible que la razón que lo hallallevado a su teoŕıa es la invarianza de la teoŕıa electro-magnética al pasar de un marco inercial de referencia aotro que se encuentra en movimiento con respecto al pri-mero. Como ilustración de esta invarianza, considérese elsiguiente ejemplo: a los costados de un riel se encuentraun imán que genera un campo magnético constante y enun tren que viaja por el riel se encuentra un aro de unmaterial conductor. Para observadores que se encuentran

a los lados del riel, es decir, observadores para los que elcampo magnético es constante, las cargas del aro conduc-tor tienen la misma velocidad que el tren, de tal modoque al pasar por el campo magnético sienten la fuerza deLorentz magnética a causa de su velocidad. Esta fuerzagenera a su vez lo que se denomina fuerza electromotriz(emf  ), que viene a ser un potencial eléctrico y está dadopor la fórmula:

ε = −dφ

dt

Por otro lado, para un observador en el tren, las cargas

del aro se encuentran estacionarias y podrı́a concluir queno hay ninguna fuerza magnética sobre estas. Sin em-bargo, este observador registraŕıa un campo magnéticovariable atravesando la superficie rodeada por el aro. Porla ley de inducción de Faraday, este campo magnéticogenera un campo eléctrico en el aro, dado por la fórmula:

∇×E  = −∂B

∂t

De esta manera, el campo eléctrico que se genera prinducción también realiza una fuerza sobre las cargas delaro y se tiene de nuevo una fuerza electromotriz, que

“coincidencialmente” está dada por la misma expresión:

ε = −dφ

dt

Hay que tener en cuenta que la naturaleza de la fuerzaelectromotriz es de carácter netamente magnético en elprimer caso y netamente eléctrico en el segundo. Sin em-bargo, en ambos marcos se observa el mismo resultadof́ısico medible: la  emf  3.

Para Einstein esta invarianza no era una coincidenciasino por el contrario, una regla bastante natural. La exis-tencia del éter reñ́ıa con esta idea, puesto que de existirtal marco de referencia, no hay ningún requisito de inva-rianza entre marcos de referencia inerciales en movimien-to. Por el contrario, si no se cuenta con éter, sólo quedael vaćıo, que es un “espacio” sin puntos de referencia,dado que se ve igual para cualquier observador. Como

no se puede definir un marco de referencia en el vaćıo,el movimiento de un observador sólo se puede describircon respecto a un marco de referencia de un segundoobservador. De esto, Einstein deriva sus dos postuladosfundamentales2:

1. Principio de la relatividad especial: En todos losmarcos de referencia en movimiento rectilı́neo, uni-forme e irrotacional (marcos de referencia inercial)las leyes de la f́ısica deben ser completamente equi-valentes. Ningún marco de referencia se puede dis-tinguir de otro por ninguna propiedad particular.

2. Principio de invarianza de la velocidad de la luz:

La velocidad de la luz en el vaćıo es la misma encada marco de referencia inercial, independiente-mente de la velocidad de las fuentes o los obser-vadores. Es una constante fundamental de valorc = 299792, 458 m/s.

. Dilatacíon temporal y contracción espacial

Los dos postulados dieron son incompatibles con lastransformaciones de Galileo, puesto que la velocidad dela luz no se mantiene constante. Por este motivo, se debenadoptar las llamadas transformaciones de Lorentz. Estas

transformaciones son ecuaciones vectoriales que relacio-nan las coordenadas espaciales y temporales de dos dis-tintos marcos de referencia. Por ejemplo, supóngase quehay dos marcos de referencia inercial S  y S , tal que unose mueve con respecto al otro a una velocidad constan-te v  en el eje  x. Entonces se tienen las transformacionesgenerales:

x = Ax +Bt

y = y

z = z

t =  Cx+Dt

Un concepto que permite llegar a las transformacionesde Lorentz es el de evento. Un evento es cualquier cosaque tiene lugar en algún punto del espacio-tiempo y quedependiendo del marco de referencia puede correspondera un punto u otro, es decir, a unas coordenadas u otras.Lo que resulta claro es que un evento es único en cadamarco de referencia. Por ejemplo, una serie de eventos enS  corresponde con la trayectoria del origen del marco dereferencia  S . A partir de 4 distintos eventos es posible

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demostrar que para que los dos postulados se cumplan,las transformaciones deben pasar a ser2:

x = γ (x− βct)

y = y

z = z

ct = γ (ct− βx)

donde  β  =  v/c  y  γ  = 1/ 

1− (v2/c2). Lo que salta aprimera vista de estas transformaciones es que a diferen-cia de como sucede en las transformaciones de Galileo, enlas que el tiempo   t   se transforma a otro marco como eltiempo  t = t, en este caso el tiempo depende tanto de lacoordenada espacial como de la velocidad del marco  S .Esto lleva a una conclusión contra-intuituva si se evalúael tiempo que transcurre para un objeto que se encuentraen reposo en uno de los marcos de referencia:

c∆t = γ (ct2 − βx)− γ (ct− βx) ⇒ ∆t = γ ∆t

Una consideración especial del segundo postulado esque no sólo la velocidad de la luz es constante, sino quees una velocidad máxima. De este modo, γ  ≥ 1 y por tan-to ∆t ≥ ∆t. Se concluye entonces que el tiempo medidoes menor para el marco de referencia en el que el objeto seencuentra estacionario. A este fenómeno se le denominadilatación temporal. De manera similar, se puede consi-derar la medición que realiza un observador en el marcode referencia  S  para la longitud paralela al eje  x  de unobjeto en reposo. Claramente, cuando un observador delotro marco de referencia va a realizar medidas de longi-tud del mismo objeto, tiene que realizarlas en el mismoinstante de tiempo. Por ejemplo, si no se hiciera esto,

la longitud de un tren en movimiento resultaŕıa muchomayor de lo que realmente es. Teniendo esto en cuen-ta y que las transformaciones inversas son exactamenteiguales excepto por un signo (dado que la velocidad tienesigno contrario):

δx  =  γ (x2 − βct)− γ (x1 − βct

) =  γδx

∆x = ∆x

γ   ⇒ ∆x ≤ ∆x

Se tiene entonces el caso contrario para las longitudes:estas decrecen al medirse en el marco de referencia para elque el objeto no se encuentra en reposo. A este fenómenose le denomina contracción espacial.

La primera conclusión evidente de estos resultados esque no existe algo como un tiempo absoluto y por tan-to, no hay simultaneidad de eventos en el universo: algoque sucede en un instante de tiempo para un observadorpuede suceder en uno diferente para otro observador. Unejemplo intuitivo de por qué deberı́a suceder esto consis-te en que si dos observadores miden la distancia de ellosa una fuente de luz, estacionaria para el primer obser-vador y moviéndose hacia el segundo, el tiempo que le

va a tomar a la luz desplazarse hacia el observador enmovimiento es menor que para el primero, pero como lavelocidad de la luz es la misma para los dos, necesaria-mente la longitud se ha de contraer para el segundo5.

III. REVISIÓN SOBRE LA RELATIVIDAD GENERAL

. Postulados

La reformulación de la mecánica clásica de Newton porla relatividad especial haćıa urgente una nueva formula-ción de la teoŕıa gravitacional, puesto que el concepto defuerza ya no tiene mucho sentido al pasar de un mar-co a otro, pues se requiere la introducción de 4-vectoresde fuerza. Einstein logró dar cuenta de esta por mediode su teoŕıa de la relatividad general. Al igual que en laprimera, se mencionan dos postulados fundamentales.

1. Principio de la relatividad general: Todas las leyesde la f́ısica deben conservar su forma en todos losmarcos de referencia, acelerados o no.

2. Principio de equivalencia: En la localidad de cual-quier punto los efectos de un campo gravitacionalson equivalentes a los que genera un marco de re-ferencia acelerado (en ausencia de efectos gravita-cionales)

Estos dos principios dan lugar a varias conclusionesimportantes, pero tal vez la más importante es a la queEinstein llama la curvatura del espaciotiempo. El segun-do postulado indica que de alguna manera los efectos quesurgen por los campos gravitaciones pueden ser reempla-zados localmente por marcos de referencia acelerados, los

que se resumen en el concepto de la curvatura. La inter-pretación que sobre este concepto se tiene es que el espa-ciotiempo se ve curvado por la existencia de la masa y asu vez, los objetos en el espaciotiempo siguen la curvaturade este. De esta manera, Einstein dio una explicación a lapregunta que llevaba siglos sin respuesta de exactamen-te qué generaba las fuerzas gravitacionales. La respuestaentonces es que realmente no existen tal cosa como lasfuerzas gravitacionales sino que la aceleración de objetoshacia cuerpos masivos se debe a la gran curvatura queestos generan sobre el espaciotiempo.

. Predicciones

Tal y como se ha presentado la teoŕıa hasta el mo-mento, podŕıa parecer que la teoŕıa de la relatividad fueaceptada con facilidad. Sin embargo, la evolución de lasteoŕıas en la ciencia, y con mayor grado en la fı́sica, es re-lativamente lenta. Teoŕıas bien establecidas dif́ıcilmentepueden cambiar, porque por suficientes años y tras incon-tables experimentaciones han dado prueba de su correctadescripción del mundo. Por este motivo, le llevó más de20 años a la comunidad cient́ıfica darle el visto bueno

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a la teoŕıa einsteniana. Para que se diera lugar a esto,Einstein tuvo que dar explicación a fenómenos f́ısicos in-compatibles con la teoŕıa de Newton y además, tuvo quepredecir otros de los que no se tenı́a ninguna considera-ción previa. En cuanto a los fenómenos incompatibles,uno bastante representativo es la precesión del planetaMercurio. En su época ya se hab́ıa observado que la órbi-ta de este astro celeste no es una elipse perfecta, sino

que el perihelio de esta vaŕıa su posición por dos gra-dos cada siglo. La teoŕıa newtoniana logra concluir queexistirá dicha variación, pero el cálculo resulta ser menora 2 grados. Para que fuera compatible con esta teoŕıael f́ısico Urbain Le Verrier hab́ıa propuesto la existenciade un planeta pequeño entre el Sol y Mercurio que porsu tamaño no hab́ıa sido observado. Por el contrario, lateoŕıa de la relatividad da un cálculo bastante cercanoal experimental. En segundo lugar, la relatividad expli-ca el corrimiento en frecuencia de la luz (hacia el rojo)a medida que se aleja de un planeta. La respuesta quesurge de la teorı́a es que el tiempo que medimos para laluz realmente es el tiempo dilatado por el efecto del pla-neta sobre el espaciotiempo y por lo tanto la frecuenciaque percibimos, que es el inverso del periodo, va a sermenor. Otra interpretación que se le da a este fenómenoes que la luz cuenta con una masa inercial efectiva y quela curvatura del espaciotiempo generada por el planetala obliga a reducir su aceleración y como consecuencia areducir su energı́a, que por la teoŕıa cuántica de la luz esmenor a menores frecuencias. En particular, si aplica unvector asociado con la llamada métrica de Schwarzschild,se tiene que la frecuencia vista por alguien muy lejos delplaneta (ω∞) esta dada por4:

ω∞ =  ω 1− 2M 

R1/2

confirmando lo mencionado. Adicionalmente, en cuan-to a las predicciones que la teoŕıa gravitacional de Eins-tein realizó, se tienen dos relevantes. Una de estas con-siste en la curvatura del trayecto de la luz alrededor deobjetos masivos y la segunda consiste en la emisión deondas gravitacionales por parte de sistemas como varillasgiratorias o de estrellas binarias. La primera de estas fuela predicción que históricamente le dio la confirmación ala teorı́a de la relatividad. Debido a que objetos masivoscurvan al espaciotiempo y debido al principio de Fermatde la luz, que postula que esta recorre la trayectoria quele lleve el menor tiempo, la luz debe seguir geodésicas y

no lı́neas rectas, por lo que el espaciotiempo se encuen-tra localmente curvado. Para masas considerablementepequeñas, es decir, cuando el ángulo de deflexión es pe-queñó, como es el caso de la luz que pasa cerca del sol, setiene que el ángulo de deflexión está dado por la fórmula4:

δφdef  = 4GM 

c2b

donde   b   es llamado el parámetro de impacto, que esuna variable que se conserva en las órbitas de los haces

de luz en el espacio-tiempo. Entonces se observa cómola deflexión es directamente proporcional a la masa delobjeto que está produciendo la curvatura. El astrof́ısicobritánico Arthur Eddington realizó en 1919 medidas delas estrellas durante un eclipse solar y concluyó que laposición de las estrellas hab́ıa variado respecto a los da-tos originales. La cantidad de grados que se mov́ıan estasestrellas se explicaba a la perfección por la fórmula. En

cuanto a las ondas gravitacionales, este es un fen ómenoanálogo al de las ondas electromagnéticas. En la teoŕıa deMaxwell se tienen dos particularidades importantes. Unade estas es que los campos magnéticos variables generancampos eléctricos y los eléctricos variables a magnéticos.La segunda es que debido a que el campo magnético de-pende de la velocidad y esta es relativa al observador,hay una transformación de un campo eléctrico a un capomagnético o lo contrario cuando se cambia de marco dereferencia, como ya se mencionó en el ejemplo del aro yel imán. Lo que sucede en el caso gravitacional es queregiones inerciales generan curvaturas en el espaciotiem-po y a su vez estas curvaturas generan aceleraciones enlas regiones inerciales. La aceleración de regiones inercia-les genera una nueva curvatura que de nuevo genera uncambio de aceleración de las regiones inerciales. Se puedenotar cómo un sistema que tenga la configuración adecua-da podrı́a pasar por estos procesos de manear ćıclica tal ycomo un oscilador armónico. Sin embargo, el efecto no losufrirı́a sólo esta región inercial, sino que la variación decurvatura afectaŕıa en general a todo el espaciotiempo,que transmitiŕıa las oscilaciones tal y como una cuerdaque se hala en uno de sus extremos.

IV. ONDAS GRAVITACIONALES

Como ya se mencionó, una de las consecuencias teóri-cas de la relatividad general son las ondas gravitaciona-les. Según esta teoŕıa, los objetos en movimiento acele-rado generan perturbaciones del espacio-tiempo que sepresentan en forma de onda. Desde 1960 se ha busca-do evidencia experimental de la existencia de dichas on-das, pero, dado que su amplitud predicha por la teoŕıade la relatividad general es muy pequeña, su detección esmuy complicada. Esto quiere decir que se necesita de ins-trumentos con muy alta precisión y de eventos de granmagnitud para que el ruido experimental generado porotras fuentes no interfiera de forma significativa en losdatos analizados en el laboratorio. Como consecuencia,muy pocos eventos conocidos hasta ahora pueden produ-cir ondas gravitacionales detectables. Entre estos estánla explosión de una supernova, la formación de un agu-

 jero negro, el Big Bang, entre otros. El 11 de febrero de2016 se confirmó, por primera vez, la detección experi-mental de manera directa de ondas gravitacionales. Estaconfirmación fue informada por los integrantes del Ob-servatorio Avanzado de Interferometrı́a Láser de OndasGravitacionales (LIGO, por sus siglas en inglés) despuésde casi 5 meses de análisis de datos. Se identificó que la

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fuente de emisión de las ondas detectadas fue la colisiónde dos agujeros negros, que dieron origen a un nuevo agu-

 jero negro. La explicación más posible para este evento esla evolución de dos masas m1 y  m2 orbitando por influen-cia gravitacional. A frecuencias pequeñas, esta evoluciónestá caracterizada por la “chirp mass”:

M  =  (m1m2)

3/5

(m1 +m2)1/5  =  c3

G  5

96π−8/3f −11/3  ḟ 

3/5

donde  f   y  ḟ  son la frecuencia observada y su deriva-da en el tiempo, y   c  y  G   son la velocidad de la luz enel vaćıo y la constante de gravitación universal. Dos es-trellas de neutrones no tendŕıan la masa suficiente paragenerar frecuencias tan bajas, por lo que los únicos ob-

 jetos conocidos lo suficientemente compactos como parapresentar dichas frecuencias son un sistema binario deagujeros negros1. El análisis anterior deja clara una de lasmás importantes consecuencias de la detección de ondasgravitacionales: a diferencia de las ondas electromagnéti-cas, las ondas gravitacionales guardan información de la

estructura de la fuente y de su movimiento de forma di-recta. Esto quiere decir que la detección de ondas gravi-tacionales puede brindarnos información de eventos as-tronómicos desconocidos (o conocidos) con más precisiónde la que se puede obtener actualmente. Entre algunasotras consecuencias de la detección de ondas gravitacio-nales se tiene la validación experimental de la teoŕıa de larelatividad general, el estudio del universo visto desde elpunto de vista de un espectro totalmente ajeno al espec-tro electromagnético, y la obtención de información delorigen del universo de una forma más directa. Actual-mente existen diferentes proyectos para detectar ondasgravitacionales tales como LIGO, TAMA300, GEO600,

VIRGO y LISA, que está en fase de estudio y se esperaque se termine su construcción alrededor del año 2020.

V. CONCLUSIONES

Como conclusión se puede apreciar la gran importan-cia y el fuerte impacto que tuvo la teorı́a de la relatividadde Einstein en el mundo de la fı́sica. Junto con esta, sustrabajos respecto a la teorı́a de la luz y la teoŕıa molecu-lar le demostraron a la comunidad cient́ıfica que ningunateoŕıa está exenta de errores o de ĺımites de legitimidad.Sin embargo, los datos hallados por LIGO representanuna validación experimental importante de la teoŕıa dela relatividad general predica por Einstein. Además, de-

 jan a la comunidad cient́ıfica una herramienta para lacreación de nuevos modelos de interacciones astronómi-cas de objetos muy masivos en movimiento acelerado, ypara el análisis de dichas interacciones incluso en el BigBang.

VI. BIBLIOGRAF́IA

1Abbott, B. P., Abbott, R., and Abbott, T. D. e.  Observation

of gravitational waves from a binary black hole merger.   Phys.Rev. Lett. 116   (Feb 2016), 061102.

2Freund, J.   Special Relativity for Beginners, 3rd ed ed. WorldScientific, 2008.

3Griffiths, D.  Introduction to electrodynamics, 3rd ed ed. Addi-son Wesley, 1998.

4Hartle, J.  Gravity: An introduction to Einstein’s General Rela-

tivity , 3rd ed ed. Addison Wesley, 2003.5Serway, R. A.  Modern physics, 3rd ed ed. Thomson Brooks/Cole,

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