Unidad N° 3 Derivadas y sus Aplicaciones

CALCULO DIFERENCIAL 100410

GRUPO N°448

PRESENTADO POR:

GERMAN CASTAÑEDA SAVOGAL CODIGO: 79 557 905

SERGIO GARCIA CODIGO: 79 567 806

MANUEL EDUARDO HENAO: CODIGO 79 538 983

PEDRO IGNACIO MELO CODIGO: 79 536 965

TUTOR: RAMIRO CABALLERO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

BOGOTA

MAYO 06-2015

INTRODUCCION

En el presente Trabajo Colaborativo encontramos 10 ejercicios de la Unidad tres

dividido en tres frases en la primera se desarrollaran los ejercicios de derivadas de

funciones y encontrar la ecuación de la Recta, en la segunda fase Derivadas de

orden superior, en la tercera Unidad limites puntos de inflexión, coordenadas y

aplicaciones de Derivadas.

Con el desarrollo de esta actividad se cumple con el 60% del Módulo donde cada

estudiante aplicamos lo aprendido referente al tema de Derivadas.

OBJETIVO

Analizar las Derivadas y sus aplicaciones y realizar su respectivo desarrollo

utilizando determinada formula de manera adecuada reconociendo que tipo de

Derivadas y así obtener destrezas en el desarrollo de los ejercicios a través de la

practica al resolver problemas que requieren de este concepto para su solución

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

1. y = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 para x = 1

y` = x2 - 2x – 3 y` = 2 x – 2 y` = 12 – 2 (1) – 3 p (1, - 4) Pendiente de la Recta Tangente

mr = y` (1) = 2(1) – 2 = 0

mr = 0 Ecuaciòn de la Recta Tangente a la Curva

p (1, - 4) y – y1 = m * (x – x1) y + 4 = 0 * (x – x1) y= - 4

2. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 1

𝑥4− 𝐼𝑛 4 halle el valor de f`(1)

f`(x) = 4 𝑥3 − ⌊(0) (𝑥4)−(1)(4 𝑥3)

(𝑥4)2 ⌋– 0

f`(x) = 4 𝑥3 − ⌊− 4 𝑥3

𝑥8 ⌋

f`(x) = 4 𝑥3 + 4

𝑥5

f`(1) = 4 (1)3 + 4

(1)5 = 4 + 4 = 8

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

3. 𝑓(𝑥) = sen2 2𝑥

f`(x) = 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 ∗ 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ∗ 2

f`(x) = 2(2𝑆𝑒𝑛2𝑥 ∗ 𝐶𝑜𝑠2𝑥) = 2𝑆𝑒𝑛4𝑥

4. 𝑓(𝑥) = 𝐼𝑛 𝑥7

𝐼𝑛 𝑥3

= ⌊

1

𝑥7 ∗7 𝑥6⌋ 𝐼𝑛 𝑥3− [𝐼𝑛 𝑥7∗ 1

𝑥3 ∗ 3 𝑥2]

(𝐼𝑛𝑥3)2

= 7 𝐼𝑛 𝑥3

𝑥 −

3 𝐼𝑛 𝑥7

𝑥

(𝐼𝑛𝑥3)2 =

7 𝐼𝑛 𝑥3− 3 𝐼𝑛 𝑥7

𝑥 (𝐼𝑛𝑥3)2

= 7 𝐼𝑛 𝑥

3 𝐼𝑛 𝑥 =

7

3

= 𝑓`(𝑥) = 0

5. 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑒𝑥

= 𝑓`(𝑥) = (1)(𝑒𝑥)−𝑥 𝑒𝑥

(𝑒𝑥)2

= 𝑓`(𝑥) = 𝑒𝑥−𝑥 𝑒𝑥

(𝑒𝑥)2

= 𝑓`(𝑥) = (𝑒𝑥) (1 −𝑥)

(𝑒𝑥)2

= 𝑓`(𝑥) = 1 −𝑥

𝑒𝑥

Derivadas de Orden Superior 6. Hallar la tercera derivada de:

f(x) = 2sen2x f`(x) = 2cos2x*2 f`(x) = 4(cos2x) Primera Derivada f``(x) = 4(- sen2x)*2 f```(x) = - 8sen2x Segunda Derivada f```(x) = - 8 * cos2x*2 f```(x) = -16cos2x Tercera Derivada 7. Hallar la segunda derivada de:

f(x) = ex ln x

f`(x) = ex ln x + 𝑒𝑥

𝑥 Primera Derivada

f``(x) = ex ln x + 𝑒𝑥

𝑥 +

𝑒𝑥∗𝑥− 𝑒𝑥

𝑥2

f``(x) = 𝑥∙𝑒𝑥∙𝑙𝑛𝑥+𝑒𝑥

𝑥 +

𝑒𝑥∙𝑥−𝑒𝑥

𝑥2

f``(x) = 𝑥(𝑥∙𝑒𝑥∙𝑙𝑛𝑥+𝑒𝑥)+𝑒𝑥∙𝑥−𝑒𝑥

𝑥2

f``(x) = 𝑥2𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥−𝑒𝑥

𝑥2

f``(x) = 𝑥2𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥+2𝑥𝑒𝑥−𝑒𝑥

𝑥2 Segunda Derivada

8. Usando L`Hospital hallar el límite de:

lim𝑥−2

𝑥2 + 2𝑥 − 8

𝑥2 − 𝑥 − 2

= 22+2(2)−8

22−2−2 =

4 +4 − 8

4 − 2 − 2 =

0

0 Es una indeterminación

Derivando

lim𝑥−2

2𝑥 + 8

2𝑥 − 1

= 2 (2)+ 2

2 (2)−1 =

4+2

4+1 =

6

3 = 2

9. De la curva f(x) = x2 – x Hallar: a. Las coordenadas del punto crítico b. Los puntos de inflexión si los hay

a. f(x) = x2 – x f`(x) = 2x – 1 = 2x – 1 = 0 = 2x = 1

= x = 1

2

f (x) = (1

2)

2−

1

2=

1

4−

1

2=

1−2

4= −

1

4

Las coordenadas del punto crítico son:

(1

2, −

1

4)

b. f(x) = x2 – x

= f`(x) = 2x – 1

= f``(x) = 2

2 ≠ 0 No tiene puntos de inflexión

10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?

C`T (x) = (0) (𝑥) − (100.000.000)(1)

𝑥2 + 100

C`T (x) =100 - 100.000.000

𝑥2

C`T (x) =100 - 100.000.000

𝑥2 = 0

= 100𝑥2−100.000.000

𝑥2 = 0

= 100𝑥2 − 100.000.000 = 0

= 100𝑥2 = 1.000.000

= 𝑥2 =100.000.000

100

= 𝑥 = √1.000.000

= x = 1.000

CONCLUSIONES

Con la presentación del anterior Trabajo cada uno de nosotros los estudiantes interactuó en el desarrollo del trabajo colaborativo N°3 se realizaron los ejercicios propuestos para el desarrollo de la actividad reflejando el nivel de conocimiento adquirido como el compromiso propuesto para el desarrollo del trabajo. Se dio a conocer las bases para el desarrollo de los ejercicios sobre Derivadas y sus aplicaciones con el objetivo de cumplir con lo solicitado en el Modulo

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

ESCARTIN, R.C- todo/matemáticas, Equipo editorial, Colombia. 2008 RONDON DURAN, Jorge Eliecer; ORTEGON CAMACHO, Francisco Modulo de cálculo Diferencial, UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA”UNAD”; Bobota D.C RONDON DURAN, Jorge Eliecer, Modulo de cálculo diferencial, Universidad nacional abierta y a Distancia.UNAD; Bogotá D.C. 2011