CURSO DE CALCULO DIFERENCIAL 100410

TRABAJO COLABORATIVO 1

Presentado por:

OSCAR FERNANDO CUENCA RAMOS Código:

Presentado a:

OSCAR DIONISIO CARRILLO RIVEROS

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

BOGOTÁ

SEPTIEMBRE DE 2014

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INTRODUCCIÓN

En este trabajo se desarrollan un total de diez planteamientos, en los cuales se

despliegan por parte del equipo el conocimiento, destrezas adquiridas durante la

práctica de los ejercicios propuestos en cada una de las lecciones que componen

esta primera unidad. Y de esta manera mediante una autoevaluación conocer

debilidades y fortalezas en el desarrollo de las termas de análisis de sucesiones y

progresiones.

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1. Determine si la sucesiónV n=2(2n+1)n+1

es convergente o divergente.

limn→∞

¿2 (2n+1)n+1

limn→∞

¿ 4n+2n+1

limn→∞

¿

4 n+2nn+1n

limn→∞

¿4+ 2n

1+1n

¿limn→∞

4+limn→∞

2

n

limn→∞

1+limn→∞

1

n

=4

2. Sucesiones monótonas. Demostrar que W n=[ n+2n ] es estrictamente

creciente o decreciente.

Hallamos los valores de n:

W 1=[ 1+21 ]=3W 2=[ 2+22 ]=2W 3=[ 3+23 ]=53W 4=[ 4+24 ]=32W 5=[ 5+25 ]=75Observando el comportamiento de los términos de la sucesión aplicamos

4

U n+1<U n , entonces:

U n+1−U n<0

Remplazando:

W 2−W 1<0

2−3=−1 Se trata de una sucesión estrictamente decreciente.

Hallar el termino general de las siguientes progresiones, manifieste si son aritméticas o geométricas.

3. C0={0 ; 14 ; 12 ; 34 ;………..} = C0={04 ; 14 ; 24 ; 34 ;……… ..}a1=0

an=?

an={0a11; 14 a2; 12 a3 ; 34a4……;an }

Vemos que cada término se diferencia en 14

, que es una condición para una

sucesión aritmética y 14

es la diferencia común constante para cada término,

entonces de la forma an+1−an=d

an+1−an=d⇒⇒ 14−0=1

4⇒⇒d= 1

4

Sabemos que la forma general para la sucesión aritmética es:

an=a1+(n−1 )d⇒ an=0+(n−1 ) 14⇒n ( 14 )−14

an=n4− 14

, termino general de la sucesión.

4. C0={1;−12 ; 14 ;−18 ; 116… ..} = C0={ 120 ;− 121 ; 122 ;− 123 ; 124…..}

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Podemos decir que se trata de una sucesión geométrica con a=1 y r=12

. El

término general es: an=1( 12 )n−1

a1=1( 12 )1−1

=1

a2=1( 12 )2−1

=12

a3=1( 12 )3−1

=14

… … …an=1( 12 )n−1

5.C0={2; 2√33 ;23;−2√3

9;…… ..}=c0 ¿ {2,

2√33

; 23 ;2√39

}

c1=2

c2=c1 .(√33 )1

c3=c1 .(√33 )1

. (√33 ) = c1 .(√33 )2

c4=c1 .(√33 )2

. (√33 ) = c1 .(√33 )3

cn=c1 .(√33 )n−1

Remplazando tenemos el termino generalcn=2( √33 )

n−1

.Progresión Geométrica con

razón r = (√33 ).Utilizando los conceptos y fórmulas de las sucesiones y progresiones Hallar:

6. Cuál es la suma de los números múltiplos de 9 menores o iguales a 2304. Cuantos términos hay?

S1=9

Sn=2304

6

C0={9 ;18 ;27 ;36……… }, 2304 es múltiplo de 9, cada múltiplo esta cada 9

números, entonces 23049

=256, que serían los términos.

S2−S1=18−9=9

S3−S2=27−9=9

d=9

n=Snd

n=23049

n=256

256 términos.

La suma de los términos la podemos determinar:

Sn=n2

[2a+(n−1 )d ]

Sn=2562

[2(9)+(256−1 )9 ]

Sn=128 [18+2295 ]

Sn=296064

La suma de todos los términos es 296064.

7. La suma de los números pares de cuatro cifras. ¿Cuántos términos hay? a1=1000

an={1000a11;10022a2;1004a3 ;………; 9998an } Vemos que cada término se diferencia en 2, que es una condición para una sucesión aritmética y dos es la diferencia común constante para cada término, entonces:

an+1−an=d⇒⇒1002−1000=2⇒⇒ d=2

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Sabemos que la forma general para la sucesión aritmética es:

an=a1+(n−1 )d⟹an=1000+(n−1 )2⟹2n+998

an=2n+998, forma general de la sucesión.

Para conocer el término an, o la cantidad de términos.

an=2n+998, sustituimos 9998=2n+998⇒⇒2n=9000⇒⇒ n=4500

De la fórmula para la suma de los primerosn términos de una sucesión decimos:

Sn=n( a1+an2 )⇒ S4500=4500( 1000+99982 )=4500 (5499 )

S4500=24.745 .500

Rta// de S4500=24.745 .500 tenemosn=4500 términos.

8. En la progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

U3 = 24

U10 = 66

U1 = ?

d = ?

U n=U 1+ (n−1 )d U 10=U 1+(n−1 )d

U 3=U 1+ (3−1 )d 66=U 1+(10−1 )d

24=U 1+(2 )d 66=U 1+(9 )d

A ¿−U 1=2d−24 B ¿U 1=−9d+66

(−U 1=2d−24 )9(U ¿¿1=−9d+66)2¿

2U 1=−18d+132

−9U 1=18 d−216

−7U 1=−84U 1=12 Primer término.

Reemplazando,

U 1=−9d+66⇒12=−9d+66⇒9d=66−12⇒d=549

d=6 Es la diferencia común

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9. El caracol gigante africano (GAS en inglés) fue encontrado por primera vez en

el sur de Florida en la década de los 60. La erradicación de esta plaga llevo 10

años y costo un millón de dólares. Se reproduce rápidamente y produce alrededor

de 1.200 huevos en un solo año. Si no se le controla si de cada huevo resulta un

caracol, sabiendo que en una granja del meta se encontraron inicialmente 5.000

caracoles.

¿Cuántos caracoles gigantes existirían dentro de 10 años? No olvide usar los

conceptos y fórmulas de las sucesiones y progresiones.

Sabemos que la forma general para la sucesión aritmética es:

an=a1+(n−1 )d

a1=5000

n=10

d=1200

an=5000+(n−1 )1200⇒ an=5000+1200n−1200⇒an=1200n+3800

an=1200 (10 )+3800⇒an=15800

De la fórmula para la suma de los primerosn términos de una sucesión decimos:

Sn=n( a1+an2 )⇒ S10=10( 5000+158002 )=10 (10400 )

S10=104800

10. En la granja de la UNAD en Acacias se quiere saber cuál es el ingreso por la

venta de un lote de 1.850 cerdos, cuyo peso promedio es de 20 kg, los cuales

tendrán un tiempo de engorde de 120 días. Durante los primeros 30 días los

animales aumentarán de peso en promedio 1 kg por día y en los otros 90 días su

aumento será de 450 g por día.

El precio del kg de cerdo en pie es de $2.950.

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Hallamos el peso final durante los primeros 30 días:

U 1=20Kg

d=1Kg

n=30dias

Remplazamos en

U n=U 1+ (n−1 )d⇒U n=20+(n−1 )1⇒U n=20+n−1

U n=50−1⇒U n=49Kg Peso final en los primeros 30 días.

Ahora hallamos el segundo periodo:

d=0.45Kg

n=120dias

a=30dias

U a=49Kg

Peso de cada cerdo en para el primer periodo

U n=U a+(n−a )d⇒U n=49+(n−30 )0.45

U n=49+54−13.5⇒U n=89.5

⇒U nf=89.5Kg Peso final de cada cerdo a los 120 días.

Pc=U nf∗2950

Pc=89.5∗2950⇒PC=264025Precio de cada cerdo en pie.

Ptl=Pc∗1850⇒P tl=264025∗1850⇒Ptl=488446250 Precio total.

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CONCLUSIONES

Se profundiza conocimientos adquiridos, destrezas por parte del grupo de

estudiantes a fin de lograr un apropiado manejo de concepto en el desarrollo de

Análisis de Sucesiones y progresiones.

Así de esta manera y con los conceptos generales de sucesiones, sucesiones

monótonas, acotadas, convergentes, limites de las mismas y sucesiones

divergentes, y mediante el uso de ellos entender el uso de estas herramientas en

la vida real.

Se reconocen estrategias por parte del estudiante, que llevan al reconocimiento,

conocimiento, profundización y finalmente trasferir lo aprendido creando una

sinergia dentro del grupo, lograda mediante el debate de cada uno de los temas

tratados.

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REFERENCIAS

Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Precálculo, matemática para el cálculo.

México D.F. Pág. 783. 

Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Precálculo, matemática para el cálculo.

México D.F. Pág. 794 - 800. 

TAREASPLUS (23/09/2014) Que es una Sucesión Matemática.

[Vídeo] Recuperado de: http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Series-y-

Sucesiones/Que-es-una-Sucesion-Matematica

TAREASPLUS (23/09/2014) Sucesiones Monótonas y Acotadas.

[Vídeo] Recuperado de: http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Series-y-

Sucesiones/Sucesiones-monotonas-y-acotadas

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TAREASPLUS (23/09/2014) Que es una Progresión Geométrica.

[Vídeo] Recuperado de: http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Series-y-

Sucesiones/Que-es-una-Progresion-Geometrica