SISTEMAS DINAMICOS TRABAJO COLABORATIVO 2

WILSON ALEXANDER HUERTAS URREGO COD. 3.216.368

DIEGO SENDOYA TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

BOGOTA D.C MAYO 22 DE 2011

INTRODUCCION

Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema, disponemos de varios

métodos para analizar el comportamiento del sistema. Los sistemas de control se

diseñan para conseguir un determinado comportamiento, tanto en régimen

permanente como transitorio. La respuesta en el tiempo de un sistema de control se

divide normalmente en dos partes: respuesta transitoria y respuesta estacionaria

(permanente o en estado estable). En sistemas de control, la respuesta transitoria está

definida como la “parte de la respuesta temporal que tiende a cero cuando el tiempo

se hace muy grande”. Por el contrario, la respuesta estacionaria “es la parte de la

respuesta temporal que permanece, una vez que la transitoria ha desaparecido”.

Entre los muchos tipos de especificaciones de desempeño utilizadas para el diseño de

un sistema de control, el requerimiento más importante es que el sistema sea estable;

por lo general, un sistema inestable se considera inutil. Existen muchas nociones de

estabilidad, una de ellas es considerar que un sistema es estable si al aplicarle una

entrada de magnitud finita, entonces la salida es también finita.

DESARROLLO

Encuentre la función de transferencia G(s) que relacione el voltaje de entrada

Y la velocidad angular de salida , para la planta que se muestra en la

Figura:

Modelamos el sistema eléctrico y el rotacional de manera independiente:

Para el sistema rotacional tenemos que:

(1)

Para el sistema rotacional tenemos:

(2)

Para relacionar los sistemas tenemos en cuenta que el sistema en conjunto puede

funcionar tanto como un sistema rotor como un generador, es decir, puede haber una

transferencia de eléctrica a mecánica, como de mecánica a eléctrica.

Para transferencia de eléctrica a mecánica, tenemos que, el torque generado por el

sistema es directamente proporcional a la corriente que circula por el circuito,

entonces:

(3)

Para transferencia de mecánica a eléctrica, tenemos que, el potencial que podría

generar el sistema si funcionara como una bobina es directamente proporcional a la

velocidad angular con que roto el sistema, entonces:

(4)

Reemplazamos (3) en (2) y (4) en (1)

(5)

(6)

Despejamos i en la ecuación (6), tenemos:

Reemplazamos i en (5), ASI OBTENEMOS LA ECUACION DIFERENCIAL:

Para la función de transferencia aplicamos transformadas de Laplace antes de

reemplazar, teniendo en cuenta que w(s)=

En (5):

En (6):

Agrupando términos y la función de transferencia G(s) que relaciona el voltaje de

entrada tei )( y la velocidad angular de salida )(twm es:

Una vez el grupo de trabajo encuentre la función de transferencia, se debe elegir el

número de cédula de alguno de los integrantes del equipo y utilizar los últimos cinco

dígitos para crear un arreglo o vector que pueda ser utilizado en la simulación del

sistema desarrollado.

Se tomó el número de cedula: “84088054”

CC. (1)=8

CC. (2)=4

CC. (3)=0

CC. (4)=8

CC. (5)=8

De acuerdo con los valores obtenidos con los dígitos de la cédula, asignamos valores a

cada una de las variables del problema de la siguiente forma:

R= CC(1)+ CC(2)=12

L= CC(2)+ CC(3)=4

J= CC(3)+ CC(4)=8

b= CC(4)+ CC(5)=16

Ke= CC(1)+ CC(3)=8

Kt= CC(3)+ CC(5)=8

Obtenemos entonces:

1. Hallar tiempo de subida, el tiempo de pico, el sobre impulso máximo y el tiempo de

establecimiento, si el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario. Solución:

• Calculando el tiempo de subida

Se observa que es necesario hallar los valores de:

Por lo cual:

• Calculando tiempo de pico

• Calculando el impulso máximo

• Calculando el tiempo de asentamiento

Graficando obtendríamos:

Desarrollando este ejercicio en Matlab (este archivo se encuentra en el

comprimido). FA=0.6; Wn=5; num=Wn^2; den=[1 2*FA*Wn Wn^2]; s1=tf(num,den); t=[0:0,01:3]; step(s1,t); grid;

2.

Las propiedades de estabilidad del sistema son una función de la ganancia K de

retroalimentación. La ecuación característica está dada por:

El arreglo de Routh correspondiente es:

Si el sistema va a permanecer estable debemos tener:

3. El lugar geométrico de las raíces se realiza para variaciones de K desde cero

hasta infinito, para las cuales dichas raíces deben satisfacer la ecuación:

Como s es una variable compleja, es posible reescribir dicha ecuación en forma

polar como sigue.

A continuación se muestra el procedimiento a seguir para la construcción del

lugar geométrico paso a paso, cuya función de transferencia a lazo abierto es la

que se muestra en la ecuación:

Debido a que el lugar geométrico de las raíces comienza en los polos del lazo

abierto y termina en los ceros del lazo abierto se deben dibujar sobre el Plano s

dichos polos y ceros, para lo cual se utiliza la convención de marcar los polos

con una “X” y los ceros con un “O”.

5. El sistema estaría definido por:

Obtendremos entonces las representaciones en el espacio de estados en la forma

canónica controlable, en la forma canónica observable y en la forma canónica

diagonal.

Forma canónica controlable:

Forma canónica observable:

Forma canónica diagonal:

Valores propios de una matriz A de n x n. Los valores propios de una matriz A de n x

n son las raíces de la ecuación característica

Los valores propios también se denominan raíces características. Por ejemplo,

considérese la matriz A siguiente:

La ecuación característica es:

Los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica, -1, -2, -3.

Diagonalización de una matriz de n x n. Obsérvese que, si una matriz A de n x n con

valores propios distintos, está dada por:

La transformación x = Pz, donde

n valores propios distintos de A. transformará P-1AP en la matriz diagonal o

Si la matriz A definida mediante Ec. (1.102) contiene valores propios múltiples, la

diagonalización es imposible. Por ejemplo, si la matriz A de 3 X 3, donde:

La transformación x = Sz, donde:

Producirá

Que está en la forma canónica de Jordan.

Aquí se realiza la comparación sobre los procesos de resolución de problemas

sin los entes de control de modelado el cual llamaremos control clásico y el uso

de todas estas herramientas que hemos usado en el transcurso del curso al cual

llamaremos control moderno:

1. El control clásico es mejor para diseñar sistemas de una sola entrada una

sola salida (SISO) lineales e invariantes en el tiempo. El diseño esta basado

en las características de respuesta transitoria y respuesta a la frecuencia del

sistema. En el control clásico se presentan serias limitaciones y existen

dificultades para diseñar sistemas de control multivariable y sistemas de

control variantes en el tiempo. El diseño por medio de la teoría de control

moderno basado en conceptos de espacio de estado será llevado a la salida

por otro tipo de entradas en vez de la función impulso, función escalón o

función senoidal. El control moderno puede ser aplicado al diseño sistemas

de control multivariable lineal y sistemas de control variantes en el tiempo

que son óptimos con índices de funcionamiento dados.

2. Experimentalmente, un sistema complejo puede ser caracterizado

fácilmente en términos de curvas de respuesta a la frecuencia. Las pruebas

de respuesta a la frecuencia son, en general, simples y pueden ser hechas

exactas mediante el uso de generadores de señal senoidal exactos y

equipos para mediciones senoidales precisos. Usualmente se dificulta la

escritura del conjunto de ecuaciones diferenciales que representan la

dinámica de un sistema complejo y la teoría de control moderna se puede

aplicar directamente. De aquí, el control moderno es más conveniente que

el control clásico.

3. En el control clásico, las manipulaciones algebraicas de los parámetros se

pueden hacer antes de que se substituyan los valores numéricos. Este no es

el caso en el control moderno debido al uso extensivo de la notación vector-

matriz. La notación vector-matriz generalmente simplifica la descripción de

un sistema de ecuaciones. La simplicidad notacional y conceptual de las

operaciones vector-matriz es esencial para el trabajo teórico.

4. La inclusión de las condiciones iniciales en el diseño del sistema es

imposible en el control clásico. De lo contrario, el control moderno nos

habilita para incluir las condiciones iniciales del sistema en el diseño.

5. Para el rechazo de ruido de alta frecuencia en sistemas de control, las

técnicas de diseño en el dominio de la frecuencia del control clásico son

más convenientes que las técnicas de espacio de estado del control

moderno.

Bibliografía R. Dorf. Sistemas Modernos de Control. Addison Wesley Iberoamericana, 2da.

Edici´on, 1989.

Benjamin. Kuo. Sistemas de Control Autom´atico. Prentice Hall-

Hispanoamericana, 1996.

K. Ogata. Ingenier´ıa de Control Moderna. Prentice Hall Hispanoamericana, 3a.

Edici´on, 1998.