TRABAJO COLABORATIVO 2

ELABORADO POR

JOSE RAUL MURCIA VEGA

CODIGO: 77.184.733

OSCAR MIGUEL BETTN ALMANZA

Cdigo: 78733015

ISIDRO RAFAEL PEREZ MARQUEZ

CODIGO: 78739447

EDGAR ROZO CODIGO:

WILLIAM ROLDAN

CODIGO: 79609244

GRUPO: 104561_19

DIRECTOR DEL CURSO:

VLADIMIR DE JESS VANEGAS ANGULO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

METODOS PROBALISTICOS

2011

INTRODUCCIN

La probabilidad hace parte de investigacin cientfica es una actividad orientada a

la obtencin de nuevos conocimientos, sin duda por esa va, ocasionalmente

damos solucin a problemas o interrogantes de carcter cientfico e investigativo,

en este caso aplicar el mtodo probabilstico adecuado, la dinmica y las tcnica

nos permitir establecer contacto con la realidad a fin de que la conozcamos mejor

alternativa para la toma de decisiones; usando diferentes criterios de decisin,

diferentes tipos de informacin e informacin de calidad variable.

El siguiente trabajo tiene como nos permitir comprender los elementos tericos

que sustentan los mtodos probabilsticos e identificarlos y utilizarlos para la

solucin de problemas de nuestro entorno.

Este trabajo lo conforma un cuadro comparativo entre las cadenas de Markov, la

teora de colas, y la programacin no lineal para dar cumplimiento a los objetivos

propuestos del curso.

OBJETIVOS

Profundizar en el conocimiento de las cadenas de markov.

Poner en prctica las cadenas de Markov lo aprendido mediante un

ejercicio practico de la vida real.

Solucionar problemas utilizando teora de colas y programacin no lineal.

Conocer las diferencias entre programacin lineal y la lineal.

1. El grupo colaborativo deber realizar un cuadro comparativo entre las cadenas de Markov, la teora de colas,

y la programacin no lineal. En el cuadro se debe desarrollar: Principales conceptos, caractersticas y sus

aplicaciones.

CADENAS DE MARKOV LA TEORA DE COLAS

LA PROGRAMACIN NO LINEAL

DEFINICION

Una Cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. Estos eventos evolucionan de forma No deterministica a lo largo del tiempo en torno a

un conjunto de estados..

La Teora de Colas se ocupa del anlisis matemtico de los fenmenos de las lneas de espera o colas. Las colas se presentan con frecuencia cuando se solicita un servicio por parte de una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo probabilstico. Sirven para encontrar un buen estimado entre costes del sistema y los tiempos promedio de la lnea de espera para un

sistema dado.

La Programacin No Lineal es el proceso de resolucin de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una Funcin Objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la funcin objetivo no son lineales.

CARACTERSTICAS

En las cadenas de Markov el ltimo evento condiciona la probabilidad de los eventos futuros. Los elementos bsicos que la componen son:

Un conjunto de estados del Sistema. .La definicin de transicin.

.Una ley de Probabilidad Condicional. Que defina la Probabilidad del nuevo estado en funcin de los anteriores.

Las siguientes caractersticas se aplican a los sistemas de colas: - Una poblacin de clientes, que es el conjunto de los clientes posibles. - Un proceso de llegada, que es la forma en que llegan los clientes de esa poblacin. - Un proceso de colas, que est conformado por la manera que los clientes esperan para ser atendidos y la disciplina de colas, que es la forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio.

No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas especficos que se ajustan a este formato. Y se tiene:

.Programacin Cuadrtica.

Multiplicadores de Lagrange.

Condiciones Kunh-Tucker.

Tcnicas de Gradiente Mtodo de Newton-

Raphson. Mtodo de la cuesta de Mayor Pendiente.

Tipos

Cadenas irreducibles:

Una cadena de Markov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre s):

Colas circulares (anillos): es una estructura en donde el ltimo elemento y el primero estn unidos.

1. Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro. 2. Todos los estados se comunican entre s. 3. C(x)=E para algn x E. 4. C(x)=E para todo x E. 5. El nico conjunto cerrado es el total. La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria sin barreras absorbentes son ejemplos de cadenas de Markov irreducibles. Cadenas positivo-recurrentes Una cadena de Markov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes. Cadenas regulares: Una cadena de Markov se dice regular (tambin primitiva o ergdica) si existe alguna potencia positiva de la matriz de transicin cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero. Cadenas absorbentes: Una cadena de Markov con espacio de estados finito se dice absorbente si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. La cadena tiene al menos un estado absorbente. 2. De cualquier estado no absorbente se accede a algn estado absorbente. Cadenas de Markov en tiempo continuo: Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1,

X2,..., Xi,.. Con i indexado en el conjunto de nmeros naturales, se consideran las variables aleatorias Xt con t que vara en un intervalo continuo

del conjunto de nmeros reales, tendremos una cadena en tiempo continuo.

Colas de prioridad: los elementos se atienden en un orden de prioridad Indicado asociado a cada elemento, si existen elementos con la misma prioridad, se atendern segn la posicin que ocupen. Existen dos formas de implementacin: 1. aadir un campo a cada nodo con su prioridad. Es conveniente mantener la cola ordenada por orden de prioridad. 2. crear tantas colas como prioridades haya, y almacenar cada elemento en su cola. BICOLAS: son colas en donde los nodos se pueden aadir y quitar por ambos extremos; se les llama DEQUE (double ended queue). Para representar las bicolas lo podemos hacer con array circular con inicio y Fin que apunten a cada uno de los extremos. Ejemplo: Bicolas de entrada restringida: en esta}estructura la insercin solo se hace por el final, aunque la eliminacin puede ser al principio y al final Bicolas de salida restringida: en estas colas solo se puede eliminar por el final y se puede insertar al inicio o al fina

APLICACIONES

Patrones de Compra de Deudores Morosos.

.Posicionamiento de un producto o Marca en el mercado.

Planear Necesidades de Personal. Analizar el reemplazo de un equipo. Dinmica de las fallas de una mquina

para decidir su poltica de

Lograr un balance econmico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio y proporciona informacin para la toma de decisiones.-Aviones en espera en Aeropuerto.

.Pasajeros en espera Aeropuerto. Atencin en Bancos y Cajeros

Transporte de Suministros.

Gastos de Publicidad. Estimacin de

Presupuestos. Mezcla ptima de

Componentes. Inversin de Cartera.

mantenimiento. Evolucin Clnica de una enfermedad o tratamiento.

Automticos. .Esperas en lneas de servicio al

cliente. Esperas en Hospitales.

Espera de Camiones en Puertos de Carga.

.Localizacin de Fbricas y/o Puntos de ventas y/o Distribucin.

Evaluacin de Monopolios.

.Variaciones de las Tasas de Cambio

2. Resolver los siguientes problemas de aplicacin:

a. Formule como una cadena de Markov el siguiente proceso. El fabricante

de dentfrico AROMA controla actualmente 60% del mercado de una ciudad.

(estado inicial). Datos del ao anterior muestran que 80% de consumidores

de AROMA continan usndola, mientras que 20% de los usuarios de

AROMA cambiaron a otras marcas. Adems 75% de los usuarios de la

competencia permanecieron leales a estas otras marcas, mientras que 25%

restante se cambi a AROMA. Considerando que estas tendencias

continan, determnese la parte del mercado que corresponde a AROMA: en

3 aos y a largo plazo. (dibuje el diagrama de estados correspondiente a la

cadena de Markov).

ESTADOS

S1 Consumidores de la marca AROMA

S2 Consumidores Otras Marcas

ESTADO INICIAL

X0= [X1, X2]= [0.60,

0.40]

PROBABILIDADES

X1= X0.P

X2= X1.P

X3= X2.P

MATRIZ DE TRANSICIN

S1 S2

S1 0,80 0,20

S2 0,25 0,75

X1= X0.P

X1= [ 0.60 0.40 ]0,80 0,20

0,25 0,75

X1= [(0.60*0,80) + (0.40*0,25), (0.60*0,20) + (0.40*0,75)].

X1= [0,58 0.42]

X2= X1.P

X2= [0.58 0.42] 0,80 0,20

0,25 0,75

X2= [(0.58*0,80) + (0.42*0,25), (0.58*0,20)+ (0.42*0,75)].

X2= [0,569 0.431]

X3= [0.563 0.431]0,80 0,20 0, 25 0,75 X3= [(0.563*0,80) + (0.431*0,25), (0.563*0,20)+ (0.431*0,75)]. X3= [0,5582 0.4359] AO PROBABILIDAD

1 (S1) PROBABILIDAD 2 (S2)

INICIO 0,60 0,40 1 0,58 0,42 2 0,569 0,431 3 0,5582 0,4359

En 3 aos la segmento de mercado corresponder en a la marca AROMA ser del 55,82%. Largo Plazo [ X1, X2].P = [ X1, X2] [ X1, X2] . 0,80 0,20 = [ X1, X2] 0,25 0,75 0,80 X1 + 0,25 X2 = X1 0,20 X1 + 0,75 X2 = X2 X1 + X2 = 1 X1 + X2 = 1 (0,25) 0,20 X1 - 0,25 X2 = 0 (1)

0,25 X1 + 0,25 X2 = 0,25 0,20 X1 - 0,25 X2 = 0 0,45 X1 = 0,25 X1 = 0,25/ 0,45 X1 = 0, 5555 X2 = 0, 4445 En largo plazo el segmento de mercado corresponder a la marca AROMA en 55,5%

0.8

0.2 S 0.25 0.75

Diagrama de proceso Cadenas de Markov

b. El departamento de comercializacin de la marca X hizo una investigacin

y encontr que, si un cliente compra su marca, existe un 68% de

posibilidades de que la compre de nuevo la prxima vez, por otro lado, si la

ltima compra fue de otra marca, entonces se escoge la marca X slo el 25%

del tiempo. Cul es el porcentaje de mercado que puede pronosticarse a la

larga para la marca X

Ecuacin 1

Ecuacin 2

Ecuacin 3

S1 S2

Multiplicamos la ecuacin 3 por 0.32 as:

Ecuacin 4

Le restamos a la ecuacin 1 la ecuacin 4

Es decir que , sea el 44%

La probabilidad de que el mercado pueda pronosticarse a largo plazo es de

44%

c. Suponga un restaurant de comidas rpidas al cual llegan en promedio 90

clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 120

clientes por hora, Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos

en la cola, Calcule las medidas de desempeo del sistema.

d. Identifique diferencias entre la programacin lineal y la no lineal.

Programacin lineal

Un modelo de Programacin Lineal (PL) considera que las variables de decisin

tienen un comportamiento lineal, tanto en la funcin objetivo como restricciones

del problema. En este sentido, la Programacin Lineal es una de las herramientas

ms utilizadas en la Investigacin Operativa debido a que por su naturaleza se

facilitan los clculos y en general permite una buena aproximacin de la realidad.

Las variables de decisin tanto en la funcin objetivo como en las

restricciones son elevadas al exponente uno.

No producto de variables

Proporcionalidad

Solucin optima factible

Aditividad

Programacin no lineal

Por lo menos una variable de decisin ya sea en la funcin objetivo o en

alguna de las restricciones son elevadas al exponente n

Si hay producto de variables

No siempre hay proporcionalidad

No siempre es factible

Programacin no lineal: Se tiene que encontrar los puntos extremos, crticos o estacionarios lo que es solucin optima f(x)=0.

Funcin Cncava: En la primera derivada de un punto mximo.

Funcin Convexa: Da como resultado un punto mximo.

Mximo local: Punto en el cual una funcin tiene un valor local mnimo. Si x* es un maximizador local entonces f(x)

CONCLUSIN

Despus de realizar el anterior trabajo se concluy los siguientes aspectos:

Que las cadenas de Markov esta llena de grandes posibilidad de que ocurra un evento teniendo en cuenta las aplicaciones de la vida diaria a travs de un suceso o hecho.

Que las teoras de colas es reflejada con demasiada frecuencia por el mundo de las matemticas en donde ocurren ciertos procesos en donde el nmero mximo de clientes que puede admitir, estas pueden ser finitas o infinitas.

Que la programacin no lineal es la manera como se restringen ciertas variables que usa un problema determinado que aun no se conoce y para encontrar soluciones requieren de ciertos mtodos como maximizar una funcin objetivo a minimizar una funcin objetivo (de coste) para hallar la solucin de un problema dado.

BIBLIOGRAFIA

Ortegn Carroso, William Germn, MTODOS PROBABILISTICOS, Universidad

Nacional Abierta y a Distancia UNDAD, IBAGUE 22 DE JULIO DE 2009.

lvarez A. Jorge Investigacin de Operaciones. Programacin Lineal. Editorial. U.N.I.Lima 1995.

Prawda W. Juan Mtodos y Modelos de Investigacin de Operaciones. Tomo I: Modelos Deterministicos. Editorial Limusa. Quinta Edicin. Mxico 2001.

Taha Hamdy A. Investigacin de Operaciones. Una Introduccin. Editorial Prentice Hall. Sptima Edicin. Mxico 2000.