trabajo colaborativo 1 sistemas dinamicos entregado

14
GRUPO: 201527_1 Página 1 SISTEMAS DINAMICOS CODIGO: 201527 TRABAJO COLABORATIVO 1 ACTIVIDAD 4 PRESENTADO POR: NASLY MEJIA e-mail [email protected] LUIS JAVIER LOPEZ N [email protected] JOSE VICENTE CRUZ PENAGOS [email protected] ALEXANDER IDARRAGA PALACIO e-mail [email protected] WALTER MANUEL ARANGO CASTRO [email protected] GRUPO: 201527_1 TUTOR: DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA 2009

Upload: capitanbagrecito

Post on 02-Aug-2015

924 views

Category:

Documents


7 download

DESCRIPTION

DOCUMENTO EN PDF

TRANSCRIPT

Page 1: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 1

SISTEMAS DINAMICOS

CODIGO: 201527

TRABAJO COLABORATIVO 1

ACTIVIDAD 4

PRESENTADO POR:

NASLY MEJIA

e-mail [email protected]

LUIS JAVIER LOPEZ N

[email protected]

JOSE VICENTE CRUZ PENAGOS

[email protected]

ALEXANDER IDARRAGA PALACIO

e-mail [email protected]

WALTER MANUEL ARANGO CASTRO

[email protected]

GRUPO: 201527_1

TUTOR:

DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA

2009

Page 2: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 2

INTRODUCCION

En muchos campos podemos encontrar la Ingeniería de Control. No podemos

desconocer la importancia que tiene hoy en día el control automático en el

mundo tecnológico, especialmente en el campo industrial. Una herramienta

importantísima en este aspecto es la aplicación que las matemáticas tienen y la

facilidad que produce su aplicación, como lo veremos en la solución del

problema planteado en este Trabajo colaborativo.

Sin embargo no podemos desconocer que ganar habilidad en la solución de

problemas no es un campo fácil de asumir. Se requiere mucho estudio y

habilidad para visualizar previamente los pasos que se deben seguir, de tal

manera que la solución buscada sea coherente y sobre todo bien

fundamentada.

La solución de esta Actividad nos permitirá introducirnos en el campo de la

solución de problemas, propiamente en el campo de la ingeniería de control.

Es una oportunidad para aprender y ganar destrezas en el manejo de las

técnicas y métodos utilizados por este campo de la ingeniería, y de esta

manera proponer soluciones en casos prácticos.

Un sistema dinámico puede definirse conceptualmente como un ente que

recibe unas acciones externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas

acciones externas son las denominadas variables de salida.

Dentro de los sistemas se encuentra el concepto de sistema de control. Un

sistema de control es un tipo de sistema que se caracteriza por la presencia de

una serie de elementos que permiten influir en el funcionamiento del sistema.

La finalidad de un sistema de control es conseguir, mediante la manipulación

de las variables de control, un dominio sobre las variables de salida, de modo

que estas alcancen unos valores prefijados. Los sistemas de control se han

desarrollado para manejar los diferentes procesos, de modo que se minimicen

o reduzcan las probabilidades de fallas y se obtengan resultados óptimos

como objetivo final.

Page 3: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 3

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Presentar un informe donde se muestre el análisis de circuitos mediante

un modelamiento matemático basándonos en el análisis de sistemas

dinámicos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Conocer los principales conceptos que actualmente dominan Los

Sistemas de Control identificando sus elementos.

Desarrollar destreza en el desarrollo de ejercicios donde pueda ejercitar

la interpretación y análisis del diseño de los sistemas dinámicos.

Resolver problemas que involucre el análisis y contextualización de

sistemas de control.

Adquirir una panorámica sobre la evolución histórica que han

experimentado los sistemas de control y el uso apropiado de las

herramientas que ofrece el mercado en las diferentes aplicaciones.

Page 4: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 4

GUIA DE ACTIVIDAD

DESARROLLO DE SITUACION

TRABAJO COLABORATIVO No. 1

1. Representar el modelo matemático que relaciona el voltaje a la entrada ( )ie t y la

posición angular ( )t a la salida, para el híbrido que se muestra en la figura.

Donde R=cc(1)+cc(2), L=cc(2)+cc(3), J=cc(3)+cc(4), b=cc(4)+cc(5)

ANALISIS DEL SISTEMA

En seguida se realizará un análisis de los conceptos que fundamentan el sistema en estudio

y la aplicación al mismo, basándose para ello en las definiciones dadas por la Física y la

articulación que hace la ingeniería en el campo de la aplicación práctica.

Para el análisis del sistema completo, lo podemos considerar como constituido por dos

subsistemas: subsistema eléctrico y subsistema mecánico; y los dos unidos por un elemento

giratorio, conocido como transductor.

Sistema eléctrico

En el sistema eléctrico, si consideramos la ley de tensiones de Kirchhoff tenemos que, la

suma algebraica de las caídas de tensión en el circuito eléctrico es igual a cero, así:

0i R L be V V e

De donde se tiene,

i R L be V V e (1)

Page 5: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 5

Como VR y VL son las caídas de tensión que se presentan en la resistencia R y la bobina L,

respectivamente, por Ley de Ohm y definición de inductor, se tiene:

RV i R Y L

diV L

dt

Reemplazando estas dos igualdades en la ecuación (1) resulta,

i b

die iR L e

dt (2)

Sistema mecánico

Por definición física de velocidad angular, , se sabe que

d

dt

(3)

A su vez el motor es movido por dos fuerzas paralelas que se producen sobre el conjunto de

espiras que conforman su embobinado interno, producto del campo eléctrico, generado por

la corriente eléctrica que circula por ellas, y el campo magnético constitutivo del motor, a

las cuales se les denomina par de torsión, y que para este caso en particular identificaremos

con Tb. Dicho par de torsión depende del momento de inercia del rotor, J, en torno al eje de

giro, y el factor de resistencia de fricción, B, expresado por la siguiente ecuación:

b

dT J B

dt

(4)

Transductor

Un transductor es un elemento que se encarga de transformar una forma de energía en otra.

En este caso, tenemos un transductor eléctrico, que se encarga de transformar energía

eléctrica en energía mecánica (o de movimiento).

En este elemento se cumplen las siguientes ecuaciones:

be K (5)

bT Ki (6)

Donde K es una constante de la fuerza contra electromotriz producida por el transductor.

Page 6: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 6

ECUACION DIFERENCIAL DEL SISTEMA

Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema y establecen relaciones entre

una y otra variable son (2), (3), (4), (5) y (6), básicamente. A partir de ellas vamos a

establecer la ecuación diferencial que muestra la relación existente entre la variable de

entrada ( )ie t y la variable de salida ( )t .

i b

die iR L e

dt (2)

d

dt

(3)

b

dT J B

dt

(4)

be K (5)

bT Ki (6)

Reemplazando en (4) la igualdad establecida en (3), se tiene,

b

d d dT J B

dt dt dt

2

2b

d dT J B

dt dt

Por la ecuación (6) se tiene que bT Ki , por lo tanto esta última ecuación queda de la

siguiente forma:

2

2

d dKi J B

dt dt

(7)

Derivando la ecuación (7) con respecto a la variable t, tenemos:

2

2

d d d dKi J B

dt dt dt dt

3 2

3 2

di d dK J B

dt dt dt

(8)

De igual manera, reemplazando la ecuación (3) en (5), tenemos

b

de K

dt

(9)

Page 7: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 7

Ahora multiplicamos la ecuación (2) por la constante K, y tenemos,

( ) ( )i b

diKe Ki R L K Ke

dt

Finalmente reemplazamos las ecuaciones (7), (8) y (9) en esta última ecuación. Así,

2 3 2

2

2 3 2( ) ( )i

d d d d dKe J B R L J B K

dt dt dt dt dt

2 3 22

2 3 2i

d d d d dKe JR BR JL BL K

dt dt dt dt dt

2 32

2 3( ) ( )i

d d dKe K BR JR BL JL

dt dt dt

3 22

3 2( ) ( ) i

d d dJL JR BL K BR Ke

dt dt dt

(10)

La ecuación diferencial lineal (10) describe el comportamiento del sistema, estableciendo

una relación matemática entre la variable de salida y la variable de entrada.

Teniendo en cuenta los valores R = 7, L = 9, J = 4, B = 9y reemplazando estos valores en la

ecuación (10) tenemos lo siguiente

3 22

3 236 109 ( 63) i

d d dK Ke

dt dt dt

FUNCION DE TRANSFERENCIA

Para determinar la función de transferencia del sistema, vamos a aplicar la transformada de

Laplace a la ecuación (10), aunque bien podríamos hacerlo con las ecuaciones básicas

inicialmente encontradas.

3 2

2

3 2 i

d d dJL JR BL K BR Ke

dt dt dt

L L

3 2 (1) (2) 2 (1)

2

( ) (0) (0) (0) ( ) ( ) (0) (0)

( ) ( ) (0) ( )i

JL s s s s JR BL s s s

K BR s s KE s

Suponemos que las condiciones iníciales para la variable son todas iguales a cero,

0 0

10 0

20 0 entonces la ecuación se reduce a,

3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iJLs s JR BL s s K BR s s KE s

Page 8: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 8

3 2 2( ) ( ) ( ) ( )iJLs JR BL s K BR s s KE s

En conclusión la función de transferencia es,

( )( )

( )i

sG s

E s

3 2 2( )

( ) ( )

KG s

JLs JR BL s K BR s

(11)

Reemplazando los valores correspondientes, la solución se queda así:

3 2 2( )

36 109 ( 63)

KG s

s s K s

Ahí

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA

Para determinar el diagrama de bloques del sistema, primero se calcula la transformada de

Laplace de cada una de las ecuaciones que describen el comportamiento de cada

componente del sistema, en este caso las ecuaciones (2), (3), (4), (5) y (6), teniendo en

cuenta que las condiciones iníciales son todas nulas.

Ecuación en el dominio del tiempo Transformada de Laplace

i b

die iR L e

dt ( ) ( ) ( ) ( )i bE s RI s LsI s E s

d

dt

( ) ( )s s s

b

dT J B

dt

( ) ( ) ( )bT s Js s B s

be K ( ) ( )bE s K s

bT Ki ( ) ( )bT s KI s

En seguida se representa la transformada de Laplace de cada ecuación mediante un

diagrama de bloques, despejando las variables dependientes.

Transformada de Laplace Diagrama de bloques

( ) ( )( ) i bE s E s

I sR Ls

iE 1

R Ls

I

bE

+

-

Page 9: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 9

( )( )

ss

s

( )( ) bT ss

Js B

( ) ( )bE s K s

( ) ( )bT s KI s

Todos los diagramas juntos dan por resultado el diagrama de bloques del sistema:

A continuación vamos a simplificar el diagrama. Para ello aplicaremos las propiedades del

algebra de bloques.

Reduciendo los bloques en cascada se obtiene,

Como tenemos una retroalimentación, aplicamos la simplificación del lazo de

retroalimentación. Así:

2( )( )

K

R Ls Js B K

1

s

iE

( )( )

K

R Ls Js B

1

s

K

iE

bE

+

-

1

R Ls

K

1

Js B

1

s

K

iE

bE

sI bT +

-

I K bT

K bE

bT 1

Js B

1

s

Page 10: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 10

Aplicando nuevamente la simplificación de bloques en cascada obtenemos el diagrama de

bloques simplificado del sistema.

Reemplazando los valores R = 7, L = 9, J = 4, B = 9, correspondientes al ejercicio particular

tenemos el diagrama siguiente:

Si realizamos las operaciones incluidas en el denominador, comprobaremos que el

resultado coincide con el cálculo realizado para la función de transferencia.

REPRESENTACION MATRICIAL EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Sean 1x , 2x y 3x , las variables de estado asignadas al sistema. Entonces, por definición se

cumple lo siguiente:

1( ) ( )x t t (12)

2

( )( )

d tx t

dt

(13)

2

3 2

( )( )

d tx t

dt

(14)

Derivando la ecuación (12) y teniendo en cuenta la ecuación (3), tenemos lo siguiente:

12

( )( )

dx t dx t

dt dt

(15)

Derivando la ecuación (13) y teniendo en cuenta la ecuación (4), tenemos lo siguiente:

2

232

( )( )

dx t d d dx t

dt dx dt dt

(16)

Derivando la ecuación (14), se obtiene,

2 3

3

2 3

dx d d d

dt dt dt dt

2(7 9 )(4 9)

K

s s s K s

iE

2( )( )

K

R Ls Js B s K s

iE

Page 11: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 11

Basándonos en la ecuación diferencial (10), que describe al sistema en general, 3 2

2

3 2( ) ( ) i

d d dJL JR BL K BR Ke

dt dt dt

, y despejando de ella

3

3

d

dt

, se tiene lo

siguiente:

223

2

1( ) ( )i

dx d dKe JR BL K BR

dt JL dt dt

De donde,

233 2

1( ) ( )i

dxKe JR BL x K BR x

dt JL (17)

En resumen, las ecuaciones (15), (16) y (17), completando los términos faltantes, las

podemos escribir como

11 2 30 1 0

dxx x x

dt

21 2 30 0 1

dxx x x

dt

2

31 2 3

( ) ( )0 i

dx K BR JR BL Kx x x e

dt JL JL JL

En representación matricial, este sistema de ecuaciones es equivalente a,

1 1

2 2

23 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0

i

x xd

x x edt

x x KK BR JR BL

JLJL JL

Se sabe que la salida del sistema es únicamente ( )t , por lo tanto, teniendo en cuenta la

ecuación (12), se concluye que el vector ecuación de salida, y(t), está constituido por una

sola componente y es,

1 1( ) ( )y t x t

De aquí podemos afirmar que la representación matricial de la salida es,

1[1] 0 iy x e

En definitiva, las ecuaciones dinámicas del sistema, representadas en forma matricial, son

las siguientes:

Page 12: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 12

1 1

2 2

23 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0

i

x xd

x x edt

x x KK BR JR BL

JLJL JL

(Ecuaciones de estado)

1[1] 0 iy x e (Ecuaciones de salida)

Para el caso particular de los valores R = 7, L = 9, J = 4, B = 9, la forma matricial queda

como sigue:

1 1

2 2

23 3

0 1 0 0

0 0 1 0

63 640

3636 36

i

x xd

x x edt

x x KK

1[1] 0 iy x e

Page 13: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 13

CONCLUSIONES

El anterior trabajo nos mostro de una forma analítica como resolver

circuitos basándonos en modelamiento matemático, y otras

herramientas de análisis matemático como las ecuaciones diferenciales

y el diagrama de bloques, los cuales nos permiten diferenciar y resolver

los distintos problemas que se plantean como los sistemas de control.

Este taller nos permite visualizar la importancia que tienen las

herramientas matemáticas en la solución de problemas que de otra

manera serían muy difíciles.

Fue muy importante ya que se pudo observar como los sistemas de

control aportan al desarrollo de las ciencias y contribuye a resolver

problemas en todas las disciplinas que esta involucrado el hombre.

El manejo las técnicas ingenieriles para comprender y determinar la

relación existente entre una variable de entrada, como en este caso el

voltaje aplicado por la fuente eléctrica, sobre una variable de salida, es

un aspecto vital que facilita mucho la solución de un problema y nos

garantiza obtener un resultado altamente confiable.

La aplicación de cualquier método para resolver este tipo de problemas

nos lleva siempre a la misma solución, pero dependiendo de las

habilidades matemáticas que el ingeniero posea, la elección de uno de

ellos puede facilitar o complicar su trabajo.

Es importante para nosotros ver como los sistemas de control aportan al

desarrollo de las ciencias y contribuye a resolver problemas en todas

las disciplinas que esta involucrado el hombre.

Los sistemas dinámicos están regidos por características en su diseño

mediante bloques funcionales de integración media y el análisis con

características reales de dichos bloques

Page 14: Trabajo Colaborativo 1 Sistemas Dinamicos Entregado

GRUPO: 201527_1 Página 14

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

MÓDULO SISTEMAS DINÁMICOS Diego Fernando Sendoya Losada

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/

http://www.prometeo.unicauca.edu.co/manzamb/Teoria%20y%20Dinamica%20de

%20Sistemas/Archivos/Materiales/REE-SIMUIS.htm

http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/curlineales2.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_estados

http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_bloques_de_modelo_matem%C3%A1tic

o

http://upcommons.upc.edu/pfc/bitstream/2099.1/3330/5/34059-5.pdf