trabajo colaborativo 1 sistemas dinamicos entregado
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GRUPO: 201527_1 Página 1
SISTEMAS DINAMICOS
CODIGO: 201527
TRABAJO COLABORATIVO 1
ACTIVIDAD 4
PRESENTADO POR:
NASLY MEJIA
e-mail [email protected]
LUIS JAVIER LOPEZ N
JOSE VICENTE CRUZ PENAGOS
ALEXANDER IDARRAGA PALACIO
e-mail [email protected]
WALTER MANUEL ARANGO CASTRO
GRUPO: 201527_1
TUTOR:
DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA
2009
GRUPO: 201527_1 Página 2
INTRODUCCION
En muchos campos podemos encontrar la Ingeniería de Control. No podemos
desconocer la importancia que tiene hoy en día el control automático en el
mundo tecnológico, especialmente en el campo industrial. Una herramienta
importantísima en este aspecto es la aplicación que las matemáticas tienen y la
facilidad que produce su aplicación, como lo veremos en la solución del
problema planteado en este Trabajo colaborativo.
Sin embargo no podemos desconocer que ganar habilidad en la solución de
problemas no es un campo fácil de asumir. Se requiere mucho estudio y
habilidad para visualizar previamente los pasos que se deben seguir, de tal
manera que la solución buscada sea coherente y sobre todo bien
fundamentada.
La solución de esta Actividad nos permitirá introducirnos en el campo de la
solución de problemas, propiamente en el campo de la ingeniería de control.
Es una oportunidad para aprender y ganar destrezas en el manejo de las
técnicas y métodos utilizados por este campo de la ingeniería, y de esta
manera proponer soluciones en casos prácticos.
Un sistema dinámico puede definirse conceptualmente como un ente que
recibe unas acciones externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas
acciones externas son las denominadas variables de salida.
Dentro de los sistemas se encuentra el concepto de sistema de control. Un
sistema de control es un tipo de sistema que se caracteriza por la presencia de
una serie de elementos que permiten influir en el funcionamiento del sistema.
La finalidad de un sistema de control es conseguir, mediante la manipulación
de las variables de control, un dominio sobre las variables de salida, de modo
que estas alcancen unos valores prefijados. Los sistemas de control se han
desarrollado para manejar los diferentes procesos, de modo que se minimicen
o reduzcan las probabilidades de fallas y se obtengan resultados óptimos
como objetivo final.
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OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Presentar un informe donde se muestre el análisis de circuitos mediante
un modelamiento matemático basándonos en el análisis de sistemas
dinámicos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Conocer los principales conceptos que actualmente dominan Los
Sistemas de Control identificando sus elementos.
Desarrollar destreza en el desarrollo de ejercicios donde pueda ejercitar
la interpretación y análisis del diseño de los sistemas dinámicos.
Resolver problemas que involucre el análisis y contextualización de
sistemas de control.
Adquirir una panorámica sobre la evolución histórica que han
experimentado los sistemas de control y el uso apropiado de las
herramientas que ofrece el mercado en las diferentes aplicaciones.
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GUIA DE ACTIVIDAD
DESARROLLO DE SITUACION
TRABAJO COLABORATIVO No. 1
1. Representar el modelo matemático que relaciona el voltaje a la entrada ( )ie t y la
posición angular ( )t a la salida, para el híbrido que se muestra en la figura.
Donde R=cc(1)+cc(2), L=cc(2)+cc(3), J=cc(3)+cc(4), b=cc(4)+cc(5)
ANALISIS DEL SISTEMA
En seguida se realizará un análisis de los conceptos que fundamentan el sistema en estudio
y la aplicación al mismo, basándose para ello en las definiciones dadas por la Física y la
articulación que hace la ingeniería en el campo de la aplicación práctica.
Para el análisis del sistema completo, lo podemos considerar como constituido por dos
subsistemas: subsistema eléctrico y subsistema mecánico; y los dos unidos por un elemento
giratorio, conocido como transductor.
Sistema eléctrico
En el sistema eléctrico, si consideramos la ley de tensiones de Kirchhoff tenemos que, la
suma algebraica de las caídas de tensión en el circuito eléctrico es igual a cero, así:
0i R L be V V e
De donde se tiene,
i R L be V V e (1)
GRUPO: 201527_1 Página 5
Como VR y VL son las caídas de tensión que se presentan en la resistencia R y la bobina L,
respectivamente, por Ley de Ohm y definición de inductor, se tiene:
RV i R Y L
diV L
dt
Reemplazando estas dos igualdades en la ecuación (1) resulta,
i b
die iR L e
dt (2)
Sistema mecánico
Por definición física de velocidad angular, , se sabe que
d
dt
(3)
A su vez el motor es movido por dos fuerzas paralelas que se producen sobre el conjunto de
espiras que conforman su embobinado interno, producto del campo eléctrico, generado por
la corriente eléctrica que circula por ellas, y el campo magnético constitutivo del motor, a
las cuales se les denomina par de torsión, y que para este caso en particular identificaremos
con Tb. Dicho par de torsión depende del momento de inercia del rotor, J, en torno al eje de
giro, y el factor de resistencia de fricción, B, expresado por la siguiente ecuación:
b
dT J B
dt
(4)
Transductor
Un transductor es un elemento que se encarga de transformar una forma de energía en otra.
En este caso, tenemos un transductor eléctrico, que se encarga de transformar energía
eléctrica en energía mecánica (o de movimiento).
En este elemento se cumplen las siguientes ecuaciones:
be K (5)
bT Ki (6)
Donde K es una constante de la fuerza contra electromotriz producida por el transductor.
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ECUACION DIFERENCIAL DEL SISTEMA
Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema y establecen relaciones entre
una y otra variable son (2), (3), (4), (5) y (6), básicamente. A partir de ellas vamos a
establecer la ecuación diferencial que muestra la relación existente entre la variable de
entrada ( )ie t y la variable de salida ( )t .
i b
die iR L e
dt (2)
d
dt
(3)
b
dT J B
dt
(4)
be K (5)
bT Ki (6)
Reemplazando en (4) la igualdad establecida en (3), se tiene,
b
d d dT J B
dt dt dt
2
2b
d dT J B
dt dt
Por la ecuación (6) se tiene que bT Ki , por lo tanto esta última ecuación queda de la
siguiente forma:
2
2
d dKi J B
dt dt
(7)
Derivando la ecuación (7) con respecto a la variable t, tenemos:
2
2
d d d dKi J B
dt dt dt dt
3 2
3 2
di d dK J B
dt dt dt
(8)
De igual manera, reemplazando la ecuación (3) en (5), tenemos
b
de K
dt
(9)
GRUPO: 201527_1 Página 7
Ahora multiplicamos la ecuación (2) por la constante K, y tenemos,
( ) ( )i b
diKe Ki R L K Ke
dt
Finalmente reemplazamos las ecuaciones (7), (8) y (9) en esta última ecuación. Así,
2 3 2
2
2 3 2( ) ( )i
d d d d dKe J B R L J B K
dt dt dt dt dt
2 3 22
2 3 2i
d d d d dKe JR BR JL BL K
dt dt dt dt dt
2 32
2 3( ) ( )i
d d dKe K BR JR BL JL
dt dt dt
3 22
3 2( ) ( ) i
d d dJL JR BL K BR Ke
dt dt dt
(10)
La ecuación diferencial lineal (10) describe el comportamiento del sistema, estableciendo
una relación matemática entre la variable de salida y la variable de entrada.
Teniendo en cuenta los valores R = 7, L = 9, J = 4, B = 9y reemplazando estos valores en la
ecuación (10) tenemos lo siguiente
3 22
3 236 109 ( 63) i
d d dK Ke
dt dt dt
FUNCION DE TRANSFERENCIA
Para determinar la función de transferencia del sistema, vamos a aplicar la transformada de
Laplace a la ecuación (10), aunque bien podríamos hacerlo con las ecuaciones básicas
inicialmente encontradas.
3 2
2
3 2 i
d d dJL JR BL K BR Ke
dt dt dt
L L
3 2 (1) (2) 2 (1)
2
( ) (0) (0) (0) ( ) ( ) (0) (0)
( ) ( ) (0) ( )i
JL s s s s JR BL s s s
K BR s s KE s
Suponemos que las condiciones iníciales para la variable son todas iguales a cero,
0 0
10 0
20 0 entonces la ecuación se reduce a,
3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iJLs s JR BL s s K BR s s KE s
GRUPO: 201527_1 Página 8
3 2 2( ) ( ) ( ) ( )iJLs JR BL s K BR s s KE s
En conclusión la función de transferencia es,
( )( )
( )i
sG s
E s
3 2 2( )
( ) ( )
KG s
JLs JR BL s K BR s
(11)
Reemplazando los valores correspondientes, la solución se queda así:
3 2 2( )
36 109 ( 63)
KG s
s s K s
Ahí
DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA
Para determinar el diagrama de bloques del sistema, primero se calcula la transformada de
Laplace de cada una de las ecuaciones que describen el comportamiento de cada
componente del sistema, en este caso las ecuaciones (2), (3), (4), (5) y (6), teniendo en
cuenta que las condiciones iníciales son todas nulas.
Ecuación en el dominio del tiempo Transformada de Laplace
i b
die iR L e
dt ( ) ( ) ( ) ( )i bE s RI s LsI s E s
d
dt
( ) ( )s s s
b
dT J B
dt
( ) ( ) ( )bT s Js s B s
be K ( ) ( )bE s K s
bT Ki ( ) ( )bT s KI s
En seguida se representa la transformada de Laplace de cada ecuación mediante un
diagrama de bloques, despejando las variables dependientes.
Transformada de Laplace Diagrama de bloques
( ) ( )( ) i bE s E s
I sR Ls
iE 1
R Ls
I
bE
+
-
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( )( )
ss
s
( )( ) bT ss
Js B
( ) ( )bE s K s
( ) ( )bT s KI s
Todos los diagramas juntos dan por resultado el diagrama de bloques del sistema:
A continuación vamos a simplificar el diagrama. Para ello aplicaremos las propiedades del
algebra de bloques.
Reduciendo los bloques en cascada se obtiene,
Como tenemos una retroalimentación, aplicamos la simplificación del lazo de
retroalimentación. Así:
2( )( )
K
R Ls Js B K
1
s
iE
( )( )
K
R Ls Js B
1
s
K
iE
bE
+
-
1
R Ls
K
1
Js B
1
s
K
iE
bE
sI bT +
-
I K bT
K bE
bT 1
Js B
1
s
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Aplicando nuevamente la simplificación de bloques en cascada obtenemos el diagrama de
bloques simplificado del sistema.
Reemplazando los valores R = 7, L = 9, J = 4, B = 9, correspondientes al ejercicio particular
tenemos el diagrama siguiente:
Si realizamos las operaciones incluidas en el denominador, comprobaremos que el
resultado coincide con el cálculo realizado para la función de transferencia.
REPRESENTACION MATRICIAL EN EL ESPACIO DE ESTADOS
Sean 1x , 2x y 3x , las variables de estado asignadas al sistema. Entonces, por definición se
cumple lo siguiente:
1( ) ( )x t t (12)
2
( )( )
d tx t
dt
(13)
2
3 2
( )( )
d tx t
dt
(14)
Derivando la ecuación (12) y teniendo en cuenta la ecuación (3), tenemos lo siguiente:
12
( )( )
dx t dx t
dt dt
(15)
Derivando la ecuación (13) y teniendo en cuenta la ecuación (4), tenemos lo siguiente:
2
232
( )( )
dx t d d dx t
dt dx dt dt
(16)
Derivando la ecuación (14), se obtiene,
2 3
3
2 3
dx d d d
dt dt dt dt
2(7 9 )(4 9)
K
s s s K s
iE
2( )( )
K
R Ls Js B s K s
iE
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Basándonos en la ecuación diferencial (10), que describe al sistema en general, 3 2
2
3 2( ) ( ) i
d d dJL JR BL K BR Ke
dt dt dt
, y despejando de ella
3
3
d
dt
, se tiene lo
siguiente:
223
2
1( ) ( )i
dx d dKe JR BL K BR
dt JL dt dt
De donde,
233 2
1( ) ( )i
dxKe JR BL x K BR x
dt JL (17)
En resumen, las ecuaciones (15), (16) y (17), completando los términos faltantes, las
podemos escribir como
11 2 30 1 0
dxx x x
dt
21 2 30 0 1
dxx x x
dt
2
31 2 3
( ) ( )0 i
dx K BR JR BL Kx x x e
dt JL JL JL
En representación matricial, este sistema de ecuaciones es equivalente a,
1 1
2 2
23 3
0 1 0 0
0 0 1 0
0
i
x xd
x x edt
x x KK BR JR BL
JLJL JL
Se sabe que la salida del sistema es únicamente ( )t , por lo tanto, teniendo en cuenta la
ecuación (12), se concluye que el vector ecuación de salida, y(t), está constituido por una
sola componente y es,
1 1( ) ( )y t x t
De aquí podemos afirmar que la representación matricial de la salida es,
1[1] 0 iy x e
En definitiva, las ecuaciones dinámicas del sistema, representadas en forma matricial, son
las siguientes:
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1 1
2 2
23 3
0 1 0 0
0 0 1 0
0
i
x xd
x x edt
x x KK BR JR BL
JLJL JL
(Ecuaciones de estado)
1[1] 0 iy x e (Ecuaciones de salida)
Para el caso particular de los valores R = 7, L = 9, J = 4, B = 9, la forma matricial queda
como sigue:
1 1
2 2
23 3
0 1 0 0
0 0 1 0
63 640
3636 36
i
x xd
x x edt
x x KK
1[1] 0 iy x e
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CONCLUSIONES
El anterior trabajo nos mostro de una forma analítica como resolver
circuitos basándonos en modelamiento matemático, y otras
herramientas de análisis matemático como las ecuaciones diferenciales
y el diagrama de bloques, los cuales nos permiten diferenciar y resolver
los distintos problemas que se plantean como los sistemas de control.
Este taller nos permite visualizar la importancia que tienen las
herramientas matemáticas en la solución de problemas que de otra
manera serían muy difíciles.
Fue muy importante ya que se pudo observar como los sistemas de
control aportan al desarrollo de las ciencias y contribuye a resolver
problemas en todas las disciplinas que esta involucrado el hombre.
El manejo las técnicas ingenieriles para comprender y determinar la
relación existente entre una variable de entrada, como en este caso el
voltaje aplicado por la fuente eléctrica, sobre una variable de salida, es
un aspecto vital que facilita mucho la solución de un problema y nos
garantiza obtener un resultado altamente confiable.
La aplicación de cualquier método para resolver este tipo de problemas
nos lleva siempre a la misma solución, pero dependiendo de las
habilidades matemáticas que el ingeniero posea, la elección de uno de
ellos puede facilitar o complicar su trabajo.
Es importante para nosotros ver como los sistemas de control aportan al
desarrollo de las ciencias y contribuye a resolver problemas en todas
las disciplinas que esta involucrado el hombre.
Los sistemas dinámicos están regidos por características en su diseño
mediante bloques funcionales de integración media y el análisis con
características reales de dichos bloques
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
MÓDULO SISTEMAS DINÁMICOS Diego Fernando Sendoya Losada
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/
http://www.prometeo.unicauca.edu.co/manzamb/Teoria%20y%20Dinamica%20de
%20Sistemas/Archivos/Materiales/REE-SIMUIS.htm
http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/curlineales2.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_estados
http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_bloques_de_modelo_matem%C3%A1tic
o
http://upcommons.upc.edu/pfc/bitstream/2099.1/3330/5/34059-5.pdf