Tipos de errores Ejemplos

Error absoluto Se tienen 2,000ml de leche almacenada, pero al momento de pasarla a un tanque de agitación para su proceso ya no mide lo mismo tenemos 1,999, entonces el error absoluto será de la forma 2,000-1999=1.

Error relativo Tomamos el mismo ejemplo para calcular el error relativo: se divide el valor absoluto entre el valor exacto quedaría así: 1,999/2,000=0,999.

Error relativo aproximado Seguimos con el mismo ejemplo: 2,000−1,999

2,000∗100=0,05

Error por truncamiento En este caso la cifra utilizada es 1,999 utilizamos toda la cifra después del punto decimal

Error por redondeo En este caso utilizaríamos 1,9 redondeando 1,999ml

2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.

Cuadro comparativo

MÉTODOS PARA CALCULAR LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN

DEFINICIÓN EJEMPLO

Método de bisección

Este es uno de los métodos de aproximación más antiguo método que requiere dividir repetidamente a la mitad los subintervalos de [a; b] y, en cada paso, localizar la mitad que contenga a p. Para empezar se supone que a1=a y b1=b y que sea p1 el punto medio de f (a1) y f (b1). Supongamos que f(x) es una función continúa definida en el intervalo [a, b] con f(a) y f (b) de signos diferentes.

La función f(x) = xsenx – 1 tiene un cero en el intervalo [0,2], porque f (0) = -1 y f (2)=0.818595.

Si se denota con entonces: c1 = 1. Ahora f (c1) = f (1) == -0.158529, luego la función tiene un cero en el intervalo [c1, b1] = [1,2] ; se renombra

a2=c1 y b2=b1.

El de bisección nos dice que de acuerdo al teorema del valor intermedio existe un número p en a, b tal que f (p)=0. Aunque el procedimiento en el caso en que f(a) y f (b) tengan signos diferentes y exista más de una raíz en el intervalo (a, b), por razones de simplicidad suponemos que la raíz de este intervalo es única. el método resumido consiste en lo siguiente: debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]. A continuación se verifica que f(a)*f(b) <0, se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada en caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b) se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo, con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

El nuevo punto medio es yf (c2) = f (1.5) = 0.496242, el cero está en el intervalo[a2, c2] y se renombra como: [a3, b3].

Método de la regla falsa

El método de la regla falsa combina dos métodos el de bisección y el de la secante. Este método consiste en encontrar la raíz de una ecuación. La ecuación tiene la forma f(x), es decir, es una función de x. Además, f(x) está definida en el intervalo [a, b].

Este método requiere de varias condiciones:

Este método se basa en la siguiente ecuación

un ejemplo paso a paso en la búsqueda de una raíz por este método es:

1.- F(a)*f (b) < 0 Es decir, que el producto de la función de x, f(x), evaluada en a, f(a), multiplicada por la función de x, f(x), evaluada en b, f (b), sea negativo (menor a cero). 2.- Que la función f(x) se aproxime por otra función L(x).

Método de newton raphson

Este método es un método iterativo, es uno de los métodos más usados y efectivos a diferencia de los métodos anteriores, el método de newton raphson no trabaja con formula si no que se basa en su fórmula iterativa

Esta es la fórmula :

1. Expresamos la ecuación en la forma f(x) = 0, e identificamos la funciónf. En el ejemplo esf(x) = ex −1x

2. Calculamos la derivadaf0(x) = ex +1/x2

3. Construimos la fórmula de recurrencia:

xj+1=xj−exj− 1

xj

e xj+ 1x2 j

Método iterativo de punto fijo

Este método sirve para encontrar las raíces de una ecuación y consiste en los siguientes pasos: 1.- Nos deben dar la función a la cual le debemos encontrar la raíz, es decir, debemos conocer f(x)=0. Ejemplo: f(x)= 0.5*x - 4 = 0 2.- Nos deben de dar un valor inicial x0. Ejemplo x0 = 0. 3.- De la función f(x) debemos de despejar x de manera que encontremos una nueva función de x llamada ahora g(x).

Ejemplo:F(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1

Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:

Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), los valores sucesivos de x son:

Parece que los valores convergen a x = 3.