trab cal int fase 3 aplicación de las integrales

7/26/2019 Trab Cal Int Fase 3 Aplicacin de Las Integrales

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APLICACIN DE LAS INTEGRALES

INTRODUCCIN

El estudio de las matemticas y su aplicacin, innegablemente es unfactor muy importante para el desarrollo sostenido de la vida, ya quelos clculos matemticos estn presentes en cada momento de lamisma. Esta ciencia se encuentra divida en varias ramas como lo son:la aritmtica, el lgebra, la trigonometra, la geometra, el clculodiferencial e integral sirve de apoyo a todas las dems ciencias odisciplinas del conocimiento (Economa, Fsica, ecnica,!stronoma"# sin importar que sean e$actas o no. El clculo integral,es el proceso de integracin o antiderivacin, el cual es aplicado enla ingeniera y en la matemtica en general y se utili%aprincipalmente para el clculo de reas (&rea entre dos funciones olimitada por funciones# y vol'menes de regiones y slidos derevolucin.

En este trabao, partiendo de la ya e$presado, se )ablara mostrar encierta forma la aplicaciones del clculo integral (integralesdefnidasaplicadas# a nuestra vida cotidiana, el cual ser de granutilidad para resolver situaciones o problemas que requieran de ciertonivel matemtico y de la aplicacin del tema obeto de este trabao.

Una pequea resea

*a )istoria del clculo, comien%a desde que comen% la )istoria del)ombre, cuando este vio la necesidad de contar. +an sido muc)os losgrandes matemticos que )an inuido en el desarrollo queactualmente posee el clculo, igualmente que )an sido muc)as lasculturas que )an inuido en sus avances. *as matemticas,actualmente son la base de todas las ciencias que manea el )ombre,debido a que su campo de accin cubre la totalidad de losconocimientos cient-cos.*a integracin se puede tra%ar en el pasado )asta el antiguo Egipto,

circa /00 a. 1., con el papiro de osc', donde se demuestra que yase conoca una frmula para calcular el volumen de un troncopiramidal. *a primera tcnica sistemtica documentada capa% dedeterminar integrales es el mtodo de e$)auscin de Eudo$o (circa230 a. 1.#, que trataba de encontrar reas y vol'menes a base departirlos en un n'mero in-nito de formas para las cuales seconocieran el rea o el volumen. Este mtodo fue desarrollado yusado ms adelante por !rqumedes, que lo emple para calcularreas de parbolas y una apro$imacin al rea del crculo. todossimilares fueron desarrollados de forma independiente en 1)ina

alrededor del siglo 444 por *iu +ui, que los us para encontrar el readel crculo. s tarde, 5u 1)ong%)i us este mtodo para encontrar el


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volumen de una esfera. En el 6idd)anta 6)iromani, un libro deastronoma del siglo 744 del matemtico indio 8)as9ara 44, seencuentran algunas ideas de clculo integral.

+asta el siglo 74 no empe%aron a aparecer adelantos signi-cativossobre el mtodo de e$)auscin. En esta poca, por un lado, con eltrabao de 1avalieri con su mtodo de los indivisibles y, por otro lado,con los trabaos de Fermat, se empe% a desarrollar los fundamentosdel clculo moderno. ! comien%os del siglo 744, se produeron nuevosadelantos con las aportaciones de 8arro; y


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Integro de forma indenida:

[2x3 ]dx

= xdx=

2

4x

41

2x

2+c=1

2x

41

2x

2+c

-act!ri.!#1

2x

2 (x21)+c

A/!ra teniend! en cuanta que es c'lcul! de 0rea entre d!s,unci!nes) c!n 1ase en una integral defnida) e(al2! usand! elinter(al! para fnal+ente calcular el 0REA

A31

2 x4

1

2x2

1

2(1 )41

2(1 )2

A=1

2(2)4

1

2(2 )

2

A=82(1

2

1

2)

A=6(0)

A=6U2

>. &allar el 'rea de la regi"n li+itada p!r las gr'fcasf(x )=x33x2y g (x )=x+2

&all! punt!s cr4tic!s igualand! las d!s ,unci!nes#

x33x+2=x+2

x33xx+22=0

x34x=0

-act!ri.!#


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x (x24 )=0

Calcul! pri+er (al!r de 5#x

1=0

Calcul! (al!r 6 * 7 de 5#(x24 )=0

x=4

x2=2

x3=2

El inter(al! (a desde 86 /asta 6

9!sque:! la gr'fca partiend! de la ta1la de (al!res de cada,unci"n#

Grafca c!n ap!*! de Ge!ge1ra c!+! ,!r+a de pr!1ar que elpr!ces! +anual ,ue c!rrect!

Seg2n la gr'fca se tienen d!s 'reas * p!r l! tant! el 'reafnal ser' la su+at!ria de las d!s 'reas li+itadas#

A1=2

0

[x3

4x ] dx=1

4x

4

2x2

=

1

4(0 )

4

2 (0 )

2

[1

4(2 )

4

2 (2 )

2

]=4


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De la +is+a +anera se calcula 'rea 6#

A2=0

2

[x34x ] dx=14

(2 )42 (2 )2[14(0 )42 (0 )2]=4

0rea t!tal#A1+A2=8u

2

7% La regi"n li+itada p!r la gr'fca y=x3

) el e:e 5 *

x=1

2 ) se gira alreded!r del e:e 5%

&allar el 'rea de la superfcie lateral del s"lid! resultante%

Se des,rag+enta el s"lid! r!tat!ri!#r=y

r=radio

Se calcula el 'rea#

A=r2

x3 2

A=

A= x6


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&all! ,unci"n#

dv=Adx

dv= r2

Integr! para /allar (!lu+en del s"lid!#

V=a

b

dv

Sustitu*! en ,"r+ula para c'lcul! de (!lu+en#

V=0

1

2

x6

dx

Integr! * e(al2! en el inter(al!

V=

7x

7

V=

7 ( 12 )7

7(0 )7=

896

V=

896U

3

;% &allar la l!ngitud de la cur(a Cosx=ey

para 5 entre

6 y

3

La integral de la l4nea est' dada p!r#


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y1

21+

l=a

b

Despe:! < en la Igualdad a relaci"n#

Y=ln [cos (x) ]

Deri(!#

y1=

1

Cosx[senx ]=tan(x )

Sustitu*! en el integrand! * la +is+a (e. si+plifc!#

1+ [ tan(x) ]2=

1

cos(x)

l=

6

23

dxcos(x )

Integr! de ,!r+a indefnida#

Sec (x )+ tan(x ) ln [ ]+c

Calcul! l!ngitud teniend! en cuenta el inter(al!#

Sec( 3 )+tan (3 )L= ln [ ]ln[ Sec(x6)+ tan(6 )]=0,77u

Ca1e aclarar que para el c'lcul! de la L!ngitud de la cur(a) alusar la calculad!ra se sustitu*e secante en ,unci"n de c!sen!=$>C!s5?


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@% &allar el (!lu+en generad! p!r la r!taci"n del 'rea del

pri+er cuadrante li+itada p!r la par'1!la y2=8x * la

!rdenada c!rresp!ndiente a x=2 c!n respect! al e:e

5) c!+! l! +uestra la fgura%

Una imagen semejante

y2=8x

dv= y2 dx


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dv=8 xdx

Se Aplicando: V=0

2

8 xdx

Integro de forma indefinida:

8(x2

2)

Calcul! (!lu+en s"l! utili.and! l4+ite superi!r) *a que el in,eri!r escer! * p!r l! tant! resultar4a el +"dul! que n! a,ecta c!+!sustraend!#

Sustitu*! 5 p!r 6#

V=8 (22

2)

V=8 (2 ) = V=16

% El (!lu+en del s!lid! de re(!luci"n generad! cuand! la regi"n

li+itada p!r las gr'fcas de las ecuaci!nes y=x2

* y=4 )

gira alreded!r del e:e *) es#


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P!r tratarse de un centr!ide l! que se de1e calcular) se de1e/allar una c!!rdenada =5)*?#

A=0

2

x2

dx ?

4ntegro de forma inde-nida:

x2 dx=x3

3+ c

A=

(2 )3

3

(0 )3

3 =

8

3 U

2

Integr! 5=56? * calcul! sustitu*end! l4+ites#

0

2

x (x2)dx=0

2

(x3)dx=x

4

4=

(2 )4

4 ( (0 )

4

4)=4

Calcul! 5 +edia#

x= 48

3

=32

Lueg!#

(x2)2dx=0

2

x4dxintegro :

x5

5, calculoconlmitesuperior=

32

5

0

2

Calcul! * +edia#

y=1

2(32

5 /8

3)=6

5

Teniend! * < ,!r+! la c!!rdenada del centr!ide#


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( 32 ,65 )

% &allar el centr! de +asa =Ce? de un !1:et! cu*a ,unci"n

densidad es p=5?3 5> F6 0 x 6

Aplic! ,"r+ula de centr! de +asa#

xCm=xd d

Pri+er!#

xd=xd=x (x6 +2)dx=(x2

6+2x)dx=x

3

18+x2=

(6 )3

18+(6 )2=48

0

6

Segund!#

(y )d=(x6 +2)dx=x

2

12+2x=

(6 )2

12+2(6)=15

d=

0

6

-inal+ente calcul! el centr! de +asa#

xCm=xdd

=48

15=

16

5

APLICACIN DE LAS INTEGRALES DE-INIDAS EN LA -SICA

Calcul! de Tra1a:! =H?#

% Un !1:et! se e+pu:a en el plan! desde 53J /asta 53$J)per! de1id! al (ient!) la ,uer.a que de1e aplicarse en elpunt! 5 es - =5? 3 756 8 5 F $J% KCu'l es el tra1a:! alreali.ad! al rec!rrer esta distancia


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!(x )=0

10

[3x2x+10 ]dx

Integr! de +anera indefnida#

!(x )= (3x2x+10 ) dx=x3x2

2

+10x+c

E(al2! t!+and! s"l! el l4+ite $J#

" (x )=(10 )3(10)2

2

+10 (10 )=1.050 #

!=1.050 #

10.Un res!rte tiene una l!ngitud natural de pulgadas% Si una,uer.a de 6J li1ras estira el res!rte $>6 pulgada) deter+inar eltra1a:! reali.ad! al estirar el res!rte de pulgadas a $$pulgadas%

$=% & x

$=%(x0x )

20=%(12)%=220

%=40

A/!ra) ree+pla.! el (al!r de la c!nstante de elasticidad =M?

en la ecuaci"n inicial$=40 (8x )

$=40x320

Calcul! integral defnida teniend! en cuenta que l!s l4+itesest'n dad!s p!r el estira+ient! del res!rte) que ,ue de a$$#


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!=8

11

(40x320) dx

Integr!#!=

40

2 x

2320x

E(al2!#

112

11

!=20

!=1.100+1.280

!=180 #

11. El e5cedente del c!nsu+id!r de un pr!duct! para un ni(el de(enta a un preci! P de art4cul!s) est' dad! p!r la e5presi"n

'C=0

(

) (x ) dx(* . El e5cedente del c!nsu+id!r de un pr!duct!

a un preci! de $JJJJ cu*a ecuaci"n de la de+anda est' dadap!r ) (x )= (x+10)

2

es#

T!+and! c!+! 1ase que#

'C=0

(

) (x ) dx(* ) (x )= (x+10)2

*=10000

Se ree+pla.a en la ,"r+ula#

0

(

(x+10)2 dx

Sustitu*end! +=x+10 =d+

dx=1d+=dx


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Defn! l4+ites#

x=0 x=(

+=10 +=(+10

Calcul!#

10

(+10

+2d+

1

3+3

{(+1010

1

3((+10 )

3

103

3

-inal+ente#

'c=1

3((+10)31000

310000(

$6% Teniend! D=q?3$JJJ8J%;q6y S=q?3;6q) calcular EP < EC

Pri+er! Igual! a !,erta * la de+anda para /allar un punt! deequili1ri!#

000=0.@qA> ? @>q0.@qA>B@>q=000 ? 0q? >0C q? =>D ? q? >0

=ormalmente se )ace una gr-ca para observarlo meor?

Sustitu*! 6J en cualquiera de las 6) es decir) c'lcul! (al!r nu+ric!al e(aluar#

$JJJ8 J%;=6J?6 3 ;J este sera el precio

A/!ra integra+!s para /allar el EP#


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'*=0

20

(84042- )d-

Integr! de ,!r+a indefnida#

'*= (84042- )d-=840-21-2

E(al2!#

'*=8.400

Integr! EC#

'C=

0

20

(1.0000,4 -2 ) d-

Integr! de +anera indefnida#

'C= (1.0000,4 -2 )d- 840d-=1.000-0,43-

3840-

E(al2!#

'C=2.133,33


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CONCLUSIN

El clculo 4ntegral y de este la integral de-nida, es de vitalimportancia para la !dministracin, la 4ngeniera y otras ciencias odisciplinas del conocimiento, lo que se vio en el desarrollo del trabao.6in duda, todo lo que nos rodea est )ec)o gracias al clculo y saberesto, es de gran relevancia para otorgarle al mismo la importanciaque merece y no pensar que las matemticas y sus procesos sonalgo tortuoso que alguien sin o-cio invento para amargarnos la vida,sino por el contrario, entender que las matemticas y una de susramas, el 1lculo, tiene su aplicacin y la tendr toda la vida parasostener la vida misma )aciendo ms fcil sobrevivir en este planeta,tarde o temprano lo que aprendemos del clculo se ver aplicado.

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