tpf ambroselli silvia
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Teorema de Tales
Prof.: Silvia Beatriz Ambroselli
Matemática
2do año
Ciclo Básico
Escuela Secundaria
de modalidad Técnica Nº 527
http://i21.servimg.com/u/f21/14/11/92/84/tales110.jpg
Cuando miramos a nuestro alrededor o salimos a dar un paseo y en
especial cuando vamos de vacaciones, apreciamos en cada
paso que damos la cantidad de cosas que representan figuras o formas
geométricas, sean regulares o irregulares. El conocimiento
geométrico básico es indispensable para desenvolverse en nuestra vida
cotidiana para orientarse reflexivamente en el espacio, como para hacer estimaciones de alturas, distancias a veces inaccesibles. Tal es el caso que podemos calcular la
altura de monumentos, edificios, puentes, etc. Hoy existe la tecnología
adecuada para realizar estas mediciones, entonces nos
preguntamos:
¿Cómo medían en la antigüedad? ¿Qué elementos
se utilizaban?
http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcThlx1uieriUNtaebfn_mLeZV03wcLLRm6mV44FWAThirMvDEWH
http://img230.imageshack.us/img230/8647/06torrerepsolypf119uo.jpg
http://es.wikipedia.org/wiki/Monumento_hist%C3%B3rico_nacional_a_la_Bandera
http://www.hidro.gov.ar/ImagenesN/FotosFaros/FPuntaMogotes.jpg
Es entonces cuando también surge la pregunta: ¿Quién fue el primero en medir la altura de este tipo de construcciones?
Se cuenta que el filósofo y matemático griego , Tales de Mileto, pudo calcular la altura de la pirámide de Keops con la proyección de su sombra y la ayuda de una estaca, mediante la relación de triángulos semejantes conocida como el Teorema de Tales: "La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.".
De donde dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura."
http://matemativerso.files.wordpress.com/2010/01/piramide-tales.jpg
Rayos solares
Pirámide
S (sombra)
H(altura de la pirámide)
s (sombra)
h (altura de bastón)
Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierralos triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra
Podemos, por tanto, establecer la proporción
HS
= hs
De donde H= h•Ss
y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes
Entonces, expliquemos lo que dedujo Tales:
Y ahora
El famoso Teorema de
Tales
T S
"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales
determinados por las paralelas, son proporcionales”
En el dibujo: Si L1 // L2 // L3
L1
L2
L3
, T y S transversales,
los segmentos a, b, c y d son proporcionales
Es decir:
aa
bb=
cc
dd
¿DE ACUERDO?
L1
L2
L3
T
S
8
24
x15
En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida deltrazo x
Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales
Es decir: 824 =
X
15
Y resolvemos la proporción
24 • x = 8 • 15
X =8 • 15 24
X = 5
¿Fácil no?
Veamos un ejemplo:
En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD
Formamos la proporción
32 = x+4
x+1
Resolvemos la proporción
3(x + 1) = 2(x + 4)
3x + 3 = 2x + 8
3x - 2x= 8 - 3
X=5
L1
L2
L3
T
S
x+4
x+1
3 2
C
D
Luego, como CD = x + 4
CD= 5 + 4 = 9
Veamos otro ejemplo:
Y nuevamente pensando en la pirámide…..TRIÁNGULOS DE THALES
Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.
S (sombra)
H(altura de la pirámide)
s (sombra)
h (altura de bastón)
Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide
Triángulos de Tales
En dos triángulos de Tales, sus lados, tienen la
misma razón de semejanza
B C
A
DE
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre:
AEAB
=ED
O también
AEED
= AB
BC
BC
A esta forma de tomar los trazos, se le llama
“la doble L”
Aplicaciones de esta idea
Calcula la altura del siguiente edificio
x
5
3 12
Escribimos la proporción
35
=15x
Y resolvemos la proporción
3 • x = 5 • 15
x = 75 3
X = 25
Por que 3+12=15
Otro ejercicio
En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE
AB
C
x+3 x
8
12D
E
Formamos la proporción
8 X+3
= 122x+3
Resolvemos la proporción
Por que x+3+x = 2x+3
8(2x + 3) = 12( x + 3)
16x + 24 = 12x + 3616x – 12x = 36 – 24
4x = 12
X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6
Sombra 12 m. Sombra 5 cm.
25 c
m.
Botella
Torre
X
1. Una torre tiene una sombra de 12 metros Al mediodía, mientras que una botella de 25 cm. Proyecta una sombra de 5 cm. a la misma hora. ¿Cuánto mide la torre?
a) 50 m b) 60 m c) 65 m
2. Calcular la altura de la persona de acuerdo a los datos del gráfico.
a) 1,8 cm
b) 1,9 m
c) 180 cm
Resuelve problemas con tu grupo?
4. Calcular el ancho del rio de acuerdo a los datos adjuntos del gráfico.
3. Una señal de tránsito de 2 metros de altura proyecta una sombra de 10 metros, al mismo tiempo una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 metros. Calcular la altura de la pared.
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