Matemática I- 2012 25

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA MATEMÁTICA I FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES GEOLOGÍA

TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 : Cónicas y superficies en el espacio PARTE I Objetivos: - Reconocer y graficar cónicas y superficies.

- Distinguir sus elementos.

- Reconocer las cuádricas.

Duración: Ocho horas Bibliografía: - Swokowski E. (2006). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Ed. Internacional

Thomsom.

- Stewart, J. (2006). Precalculo. Thomson. - Stewart, J. (2006). Cálculo. Thomson. - Leithold, L. (2003). El Cálculo. 7º Edición. Oxford. Te sugerimos visitar los siguientes sitios: • http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/conicas.htm

(Cónicas: sitio interactivo)

• http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad5/u5conreto.pdf (Ejercicios resueltos de cónicas)

• http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/naturaleza

/1bachnaturaleza.htm (Ejercicios resueltos de cónicas en Unidad 9-Lugares geométricos)

• http://www.dmae.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm

(Resuelve las autoevaluaciones)

• http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-

superficiescuadraticas/index.html (Superficies cuádricas)

PARTE II Ejercicio 1: 1.1- Determina la ecuación de la circunferencia en cada caso y grafica.

a) ( ) 3;0,0 =rC b) centro (–2, 1) y radio 3

1.2- Escribe las coordenadas de 2 puntos por donde pasa cada una de las circunferencias dadas. Ejercicio 2: 2.1- Encuentra la ecuación de la circunferencia que satisfaga las condiciones requeridas. a) Con centro C (–2, 1) y que pasa por P(0, – 4).

b) el diámetro tiene como extremos los puntos ( )4,3− y ( )2,7 .

2.2- ¿Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a x2 + y2 = 9?

2.3- ¿Cuál la posición relativa de la recta y = 3 - 2x respecto a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 3y + 2 = 0? Ejercicio 3: 3.1- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P(–4, 0) y Q(4, 0) es 10.

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3.2- Determina los vértices, focos y excentricidad de cada elipse. Calcula las longitudes de los ejes mayor y menor y traza su gráfica.

a) 44 22 =+ yx b) 7075 22 =+ yx c) ( )

125

)4(91 22

=++− yx

d) ( ) ( ) 1442 22 =+++ yx e) 03649 22 =++ xyx Ejercicio 4: Encuentra una ecuación de la elipse que cumpla las condiciones indicadas y dibuja la elipse.

a) Centro en el origen, F: )0,2( , V: )0,3(

b) V: )2,0( , V’: )2,4( y con excentricidad 2/1=e

c) V: )1,3( , V’: )9,3( y con longitud de eje menor igual a 6.

d) C: )2,1( , eje mayor vertical y puntos de la elipse: )6,1( , )2,3(

e) Vértices en ( )2,1− , ( )6,1−− , ( )2,3−− y ( )2,1−

f) Focos en ( )1,1−− y ( )7,1− y el semieje mayor de 8 unidades de longitud.

Ejercicio 5: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, y el Sol está en uno de los focos de la elipse. El punto de la órbita en el que el planeta está más cercano al Sol se llama perihelio y el punto donde está más alejado se llama afelio. Esos puntos son los vértices de la de la órbita. La longitud del semieje mayor de la órbita elíptica de la Tierra es 149570000 km y la excentricidad 0.0167. Halla la distancia mínima (perihelio) y la distancia máxima (afelio) de la Tierra al Sol. Ejercicio 6: El 26 de noviembre de 1963, EEUU lanzó el Explorer 18. Sus puntos más bajo y más alto sobre la superficie de la Tierra estaban a 119 millas y 122.000 millas de altura. Halla la excentricidad de su orbita elíptica. Ejercicio 7:

Halla el centro, los vértices, los focos, la excentricidad de la hipérbola, las ecuaciones de sus asíntotas y dibuja su gráfica.

a) 14

22 =− y

x b) 1925

22

=− xy c)

( )1

25

)4(

9

1 22

=+−− yx

d) 4)1(4

22

=+− yx

e) ( )

1)2(4

1 22

=++−− yx

Ejercicio 8: Deduce en cada caso la ecuación de la hipérbola que cumpla con las condiciones dadas.

a) Focos en ( )10,0± , vértices en ( )8,0± .

b) Centro en ( )5,3− , un vértice en ( )5,7− y foco en ( )5,8− .

c) Intersecciones x: 5± y asíntotas: xy 2±=

d) Focos en ( )1,2−− y ( )5,2−− y la longitud del eje transverso es 2 .

Ejercicio 9:

Halla el vértice, el foco y la directriz de la parábola y dibuja su gráfica. a) xy 62 −= b) 082 =+ yx c) 0)2(3 2 =−++ yx

d) 0442 =−− xyy e) ( ) ( )243 2 +−=− yx f) 04442 =+++ xyx

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Ejercicio 10: Determina la ecuación de la parábola que tiene las propiedades dadas. Dibuja la parábola.

a) Con vértice ( )2,3 y foco )2,1( .

b) Con vértice ( )4,0 y directriz 2−=y .

c) Cuyo eje es paralelo al eje y, y cuyo gráfica pasa por los puntos ( ) ( )4,3,3,0 y

( )11,4 .

d) Con directriz 2−=x y puntos terminales del lado recto en ( )1,2 − y )2,2( . Ejercicio 11:

Un panel solar para calentar agua está construido con una hoja de acero inoxidable en forma de parábola, el agua fluye por una tubería situada en el foco de la parábola. ¿A qué distancia del vértice está la tubería? Ejercicio 12: En el puente de la figura, la forma de los cables de suspensión es parabólica. Los pilones, u horcas (torres de apoyo), están separados 600 metros de distancia, y el punto más bajo de los cables portadores está a 150 m por debajo del extremo superior de los pilones. Deduce una ecuación de la parte parabólica de los cables. Ejercicio 13: Asocia la ecuación de la cónica que corresponde a cada gráfica. a) b) c)

d) e) f)

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g) h)

1. xy 42 = 2. yx 82 = 3. ( ) ( )223 2 −−=+ yx

4.( ) ( )

141

162 22

=++− yx 5. 1

49

22

=+ yx 6. 1

99

22

=+ yx

7. 114

22

=− yy 8.

( )1

492 22

=−− yx

Ejercicio 14: Identifica y dibuja la superficie detallando trazas y cortes con los ejes.

a) 3=z b) 4=x c) 922 =+ zy d) 02 =− yx

e) 22 =− yx f) yez = g) 44 22 =+ zx h) 422 =− zy Ejercicio 15: 15.1- Encuentra las coordenadas de los focos y las longitudes de: los eje mayor y menor de la

elipse, que resulta de la intersección de 42

22 yxz += con el plano: a) 2=z b) 8=z

15.2- Inventa un ejemplo de una ecuación de un cilindro cuyas generatrices sean paralelas al: a) eje x b) eje y c) eje z. Dibuja la superficie en cada caso. Ejercicio 16: Nombra y dibuja la gráfica de las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional.

a) 4001625 22 =+ yx b) 14

22

2 =++ zy

x c) 0444 222 =−+− zyx

d) 01294 22 =−+ zyx e) 0222 =+− zyx f) 14169

222

=−− zyx

g) 100222 =++ zyx h) 922 =+ zy i) yx 82 =

j) 01252 =−+ zx k) 14169

=++ zyx

Ejercicio 17: Asocia la ecuación con su gráfica.

1. 19169

222

=++ zyx 2. 415415 222 −=+− zyx 3. 444 222 =+− zyx

4. 222 94 zxy += 5. 044 22 =+− zyx 6. 044 22 =+− zyx

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a) b) c)

d) e) f)

PARTE III

A. Identifica el lugar geométrico y nombra todos sus elementos: 02 =++ xyx

B. a) Determina A de tal manera que el punto ( )3,2− pertenezca a la cónica 42 22 =+ yAx

b) ¿La cónica es una elipse o una hipérbola?

C. a) Encuentra el conjunto solución del sistema.

=−=+

0

1892 22

xy

yx

b) Identifica cada ecuación.

D. Con una excentricidad de 0.25 la órbita de Plutón es la más excéntrica del sistema solar. La longitud de su eje menor de su órbita es aproximadamente 10 000 000 000 km. Encuentre la distancia entre Plutón en el perihelio y el afelio.

E. Verdadero o Falso. Justifica.

La ecuación 3=x representa un punto en 3R .

En toda circunferencia el diámetro es equivalente al radio al cuadrado.

La ecuación 022 =− yx representa una hipérbola en 2R .

La ecuación 422 =+ yx representa un cilindro en el espacio.

La ecuación 4164 222 =−+ zyx representa un hiperboloide de dos hojas.

F. Denomina y dibuja la gráfica en tres dimensiones.

a) xz 42 = b) 3=x c) 122 =+ zx d) 263 =− zy

d) 014416369 222 =−++ zyx e) 1252516

222

=++ zyx f) 1

1694

222

=−+ zyx