tp7-derivadas

Universidad Nacional de Río Negro. Sede Allen.

Tecnicatura superior en Mantenimiento Industrial.

Cátedra: Matemática. 1º Cuatrimestre 2009.

Trabajo Práctico Nº 7: Derivadas.

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Definición de la derivada de una función. La derivada de con respecto a x viene dada

Supuesto que ese límite existe. En el conjunto de los x donde existe el límite es una función de x.

Una forma alternativa de definir la derivada en un punto x=c del siguiente límite:

1. Hallar la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica de en los puntos y . Realizar el

gráfico correspondiente a la función y a las rectas tangentes.

2. Dar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes curvas, en los puntos indicados:

a) en ; c) en (completar);

b) en ; d) en (completar).

3. En los gráficos siguientes estimar la pendiente de la recta tangente.

4. Dada la función .

a) Esbozar la gráfica.

b) Calcular e identificar en la gráfica:

i) ii) iii) iv)

c) Hallar la recta tangente a la curva en el punto .

5. Aplicando la definición, hallar la derivada (si existe) de cada una de las siguientes funciones en el punto

indicado:

a) en – ; c) en ;

b) en ; d) en (agregar condiciones)

6. Indicar todos los puntos en que f no es derivable, siendo: (Usar la gráfica como auxiliar.)

a) ; c) ; e) ;

b) – ; d) ; f) .

Definición de la recta tangente con pendiente m. Si está definida en un intervalo que contiene a y el límite

existe, la recta que pasa por el punto con pendiente m es la recta tangente a la gráfica de en el punto .

La recta perpendicular a la tangente en se llama normal de la función en el punto.

a) b) c)





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7. La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de f, analizar y responder, si es posible:

8. a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de que sea paralela – . Indicar el

punto de tangencia.

b) ¿En qué puntos de la gráfica de – la tangente es paralela a ?

9. a) Sean

y

Probar que f es continua pero no derivable en . Demostrar que g es derivable en 0 y calcular g`(0).

b) Hallar y tales que sea derivable en todo punto.

10. La recta tangente a la gráfica de en el punto pasa por el punto . Calcular y .

11. Hallar, aplicando reglas, la función derivada de cada una de las dadas:

a) ; g) ; m) ;

b) – h) – – ; n) ;

c) i) ; o) ;

d) ; j) – ; p) – ;

e) k) q) ;

f) l) r)

12. a) Demostrar que la derivada de una función impar (derivable) es una función par.

b) Demostrar que la derivada de una función par (derivable) es una función impar.

13. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Si una función es continua en un punto, entonces es derivable en ese punto.

b) Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.

c) Si una función tiene derivadas laterales en un punto, entonces es derivable en ese punto.

d) Si , entonces

e) Si , entonces ).

a) ¿Es f es continua en x=0?

b) ¿Es f es discotinua en x=0?

c) ¿Qué tipo de gráfica tiene la función para los x>0?

d) ¿Qué tipo de gráfica tiene la función para los x<0?

e) ¿Cuánto vale la f ’’ para los x>0?

f) ¿Qué tipo de gráfica tendrá f ’’ para x<0?





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14. Determinar los puntos en que la gráfica de f tiene tangente horizontal, siendo

a) ; b) .

15. Hallar la segunda derivada de:

a) ; b) ; c) d) .

16. En los siguientes ejercicios se da la relación entre y . Deducir la relación entre y .

a) b)

17. Resolver los ejercicios 93 y 94 del capítulo 2, sección 2.3, del libro “Cálculo I” Larson – Hostetler – Edwards.

Octava Edición. Editorial Mc Graw Hill.

Derivación implícita:

18. Hallar en cada una de las siguientes curvas:

a) e)

b) f)

19. Hallar en cada una de las siguientes curvas:

20. Resolver los ejercicios 29 a 40 del capítulo 2, sección 2.5, del libro “Cálculo I” Larson – Hostetler – Edwards.

Octava Edición. Editorial Mc Graw Hill.

21. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada una de las gráficas en el punto indicado en cada

caso:

i) x2 – y

2 = 1 + x , en (2,1) ; ii) x

3 + 3x

2y – 6xy

2 + 2y

3 = 0 , en (1,1) .

Ritmo o razón de cambio:

22. La resistencia eléctrica combinada de y , conectadas en paralelo, es dada por donde , y

se mide en ohmios. y están creciendo a razón de y ohmios por segundo, respectivamente. ¿A

qué ritmo está cambiando cuando y ohmios?

23. Se infla un globo esférico con gas a razón de 800 centímetros cúbicos por minuto. ¿A qué ritmo está

aumentando su radio en el momento en que éste está a 30 centímetros? ¿y a 60 centímetros?

24. En una reacción química la cantidad (en gramos) de una sustancia, producida en horas, está dada por

– . Hallar el ritmo (en gramos por hora) de producción de la sustancia

cuando t es: .





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EJERCICIOS OPCIONALES:

1. Resolver los ejercicios 37 a 40 del capítulo 2, sección 2.1, del libro “Cálculo I” Larson – Hostetler –

Edwards. Octava Edición. Editorial Mc Graw Hill.



3. Resolver, con el uso del software GRAPHMATICA, los ejercicios 31 a 38 del capítulo 2, sección 2.2,

del libro “Cálculo I” Larson – Hostetler – Edwards. Octava Edición. Editorial Mc Graw Hill.



5. Resolver los ejercicios 123 y 124 del capítulo 2, sección 2.3, del libro “Cálculo I” Larson – Hostetler –














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TABLA DE DERIVADAS:

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