Universidad Privada del Universidad Privada del GuairáGuairá

Cátedra:Cátedra: Geometría Descriptiva. Geometría Descriptiva.

ProfesoraProfesora: María Diana Chaparro : María Diana Chaparro García.García.

Alumnos:Alumnos:

Mariana Troller MelloMariana Troller Mello

ClaudioClaudio

Apuntes:Apuntes:

Sistemas de Proyección.Sistemas de Proyección.Punto y Recta en el Plano.Punto y Recta en el Plano.Posiciones Relativas en una Recta y un Posiciones Relativas en una Recta y un

Plano.Plano.Características del Plano.Características del Plano.Traza del Plano.Traza del Plano.Posiciones Particulares del Plano.Posiciones Particulares del Plano.

Punto y Recta en el PlanoPunto y Recta en el Plano El punto es una «El punto es una «figura geométricafigura geométrica» adimensional: no tiene » adimensional: no tiene

longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un determinada respecto de un sistema de coordenadassistema de coordenadas preestablecido.preestablecido.

En En geometríageometría, el , el puntopunto es uno de los es uno de los entes fundamentalesentes fundamentales, , junto con la junto con la rectarecta y el y el planoplano. Son considerados conceptos . Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los apoyándose en los postulados característicospostulados característicos, que , que determinan las relaciones entre los entes geométricos determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. fundamentales.

Representación gráficaRepresentación gráfica

En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño figuras, suelen representarse con un pequeño segmentosegmento perpendicular cuando pertenece a una perpendicular cuando pertenece a una rectarecta, , semirrectasemirrecta o o segmentosegmento. .

A los puntos se les suele nombrar con una letra minúscula: a, A los puntos se les suele nombrar con una letra minúscula: a, b, c, etc. (a las rectas con letras mayúsculas, y a los ángulos b, c, etc. (a las rectas con letras mayúsculas, y a los ángulos con letras griegas) con letras griegas)

La forma de representar un punto mediante dos La forma de representar un punto mediante dos segmentossegmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculocírculo, , circunferenciacircunferencia, u otra , u otra figura geométricafigura geométrica, presupone , presupone que el punto es su centro. que el punto es su centro.

Determinación geométricaDeterminación geométrica

Un punto puede determinarse con diversos Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia: sistemas de referencia:

SISTEMAS DE REFERENCIASISTEMAS DE REFERENCIA coordenadas cartesianascoordenadas cartesianas, se determina mediante las , se determina mediante las

distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z). espacio (x, y, z).

En En coordenadas polarescoordenadas polares, mediante su distancia al centro y la , mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).

En En coordenadas esféricascoordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y , mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ)la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ)

En En coordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, , mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z).acimutal y altura: (ρ, φ, z).

También se pueden emplear sistemas de También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticascoordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, , parabólicas, esferoidales, toridales, etc.etc.

Algunos postulados y teoremas relacionados con Algunos postulados y teoremas relacionados con el puntoel punto

Postulados en Postulados en geometría euclidianageometría euclidiana

Por un punto pasan infinitas rectas y planos. Por un punto pasan infinitas rectas y planos. Dos puntos determinan una recta y sólo una. Dos puntos determinan una recta y sólo una. Una recta contiene infinitos puntos. Una recta contiene infinitos puntos. Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas. Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas. El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos. El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos. Estos postulados se pueden generalizar para Estos postulados se pueden generalizar para

espacios de n dimensiones.espacios de n dimensiones. Teoremas en geometría euclidianaTeoremas en geometría euclidiana Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo

uno. uno.

RECTARECTA

RectaRecta

En En geometríageometría euclidiana, la euclidiana, la rectarecta o línea recta, es el o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). fragmento de línea más corto que une dos puntos).

Es uno de los entes geométricos fundamentales, Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el Las rectas se suelen denominar junto al punto y el Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula. con una letra minúscula.

Definiciones y postulados de Euclides Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la rectarelacionados con la recta

Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1). recta (Libro I, postulado 1).

Si una recta secante corta a dos rectas Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado). I, quinto postulado).

PLANOPLANO

PLANOPLANO

En geometría, un En geometría, un planoplano es el ente ideal que es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto geométricos fundamentales junto con el punto y la recta y la recta

Solamente puede ser definido o descrito en Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos relación a otros elementos geométricos similares similares

Cuando se habla de un plano, se está Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. otro.

Un plano queda definido por los Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados. Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan. Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Posiciones Particulares del PlanoPosiciones Particulares del Plano

Plano HorizontalPlano Horizontal

Plano HorizontalPlano Horizontal

es un Plano paralelo al Plano Horizontal de Proyección. es un Plano paralelo al Plano Horizontal de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal, se verá en Verdadero Tamaño en la Plano Horizontal, se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Horizontal del Plano y en su Proyección Vertical Proyección Horizontal del Plano y en su Proyección Vertical se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano α.α.En este Plano α sólo distinguimos una Traza Vertical (TV α), En este Plano α sólo distinguimos una Traza Vertical (TV α), la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo α= 0º la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo α= 0º con el Plano Horizontal de Proyección. El ángulo β= 90ºcon el Plano Horizontal de Proyección. El ángulo β= 90ºLa distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa la Cota del Plano Horizontal α. representa la Cota del Plano Horizontal α.

PLANO FRONTALPLANO FRONTAL

es un Plano paralelo al Plano Vertical de Proyección. es un Plano paralelo al Plano Vertical de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá en Verdadero sobre el Plano Vertical, se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Vertical del Plano y en su Tamaño en la Proyección Vertical del Plano y en su Proyección Horizontal se ve como una sucesión de Proyección Horizontal se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano β.puntos sobre la traza del Plano β.En este Plano β sólo distinguimos una Traza En este Plano β sólo distinguimos una Traza Horizontal (TH β), la cual es paralela a la Línea de Horizontal (TH β), la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo β = 0º con el Plano Vertical de Tierra y cuyo ángulo β = 0º con el Plano Vertical de Proyección. El ángulo α = 90ºProyección. El ángulo α = 90ºLa distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del Plano Vertical β. representa el Vuelo del Plano Vertical β.

Plano de PerfilPlano de Perfil

es un Plano perpendicular a los Planos Vertical y es un Plano perpendicular a los Planos Vertical y Horizontal de Proyección. Como consecuencia de Horizontal de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano de Perfil, esto todo elemento dibujado sobre el Plano de Perfil, se verá confundido sobre las líneas de las Trazas se verá confundido sobre las líneas de las Trazas Vertical y Horizontal del Plano ε. se verá en Vertical y Horizontal del Plano ε. se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Lateral del Verdadero Tamaño en la Proyección Lateral del Plano.Plano.En este Plano ε distinguimos dos Trazas una En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε), las cuales Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε), las cuales son perpendiculares a la Línea de Tierra y cuyos son perpendiculares a la Línea de Tierra y cuyos ángulos α = 90º y β = 90º.ángulos α = 90º y β = 90º.La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del Plano Vertical β. representa el Vuelo del Plano Vertical β.

Plano Proyectante Vertical (de Plano Proyectante Vertical (de CantoCanto

Plano perpendicular al Plano Vertical de Proyección. Plano perpendicular al Plano Vertical de Proyección. El valor del ángulo α oscila entre 0º y 90º. El ángulo El valor del ángulo α oscila entre 0º y 90º. El ángulo β = 90º.β = 90º.

En este Plano ε distinguimos dos Trazas una En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε).Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε).Como consecuencia de esto todo elemento dibujado Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá en confundidos sobre el Plano Vertical, se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los elemento dibujado sobre el Plano Horizontal se y los elemento dibujado sobre el Plano Horizontal se ven pero no están en Verdadero Tamaño.ven pero no están en Verdadero Tamaño.

Plano Proyectante Horizontal Plano Proyectante Horizontal (de pie)(de pie)

es un Plano perpendicular al Plano Horizontal de es un Plano perpendicular al Plano Horizontal de Proyección. El valor del ángulo β oscila entre 0º y Proyección. El valor del ángulo β oscila entre 0º y 90º. El ángulo α= 90º.90º. El ángulo α= 90º.En este Plano ε distinguimos dos Trazas una En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε).Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε).Como consecuencia de esto todo elemento dibujado Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal, se verá en confundidos sobre el Plano Horizontal, se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los elemento dibujado sobre el Plano Vertical se y los elemento dibujado sobre el Plano Vertical se ven pero no están en Verdadero Tamaño. ven pero no están en Verdadero Tamaño.

Plano Paralelo a la Línea de TierraPlano Paralelo a la Línea de Tierra

se reconoce como su nombre lo indica por se reconoce como su nombre lo indica por ser paralelo a la Línea de Tierra.ser paralelo a la Línea de Tierra.Sus Trazas siempre son paralelas a la Línea Sus Trazas siempre son paralelas a la Línea de Tierra (TV ε y TH ε). de Tierra (TV ε y TH ε).

Plano Cualquiera (Oblicuo):Plano Cualquiera (Oblicuo):

es aquel cuya posición en el espacio no se es aquel cuya posición en el espacio no se someta a ninguna relación notable con los someta a ninguna relación notable con los Planos de Proyección.Planos de Proyección.Las magnitudes de los ángulos α y β alcanzan Las magnitudes de los ángulos α y β alcanzan valores cualquiera, la posición con respecto a valores cualquiera, la posición con respecto a la LT es siempre oblicua, por lo que debe la LT es siempre oblicua, por lo que debe cumplir la relación 180º > α + β <>90. cumplir la relación 180º > α + β <>90.

Posición relativa entre dos planosPosición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:Sus posiciones relativas pueden ser:

Planos coincidentes:Planos coincidentes: la misma dirección de la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2. al plano 2.

Planos paralelos:Planos paralelos: si tienen la misma dirección si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2 pertenece al plano 2

Planos secantesPlanos secantes: si los vectores normales no : si los vectores normales no tienen la misma dirección. tienen la misma dirección.

TRAZATRAZA ENEN ELEL PLANOPLANO

Son las rectas donde el plano se Son las rectas donde el plano se intercepta con los planos principales de intercepta con los planos principales de proyección. Se denominan\ Fig.11:proyección. Se denominan\ Fig.11:

a)   a)       Traza vertical de un planoTraza vertical de un plano.. Es laEs la intersección (f) del plano (a) con el plano intersección (f) del plano (a) con el plano

vertical de proyección\Fig.11avertical de proyección\Fig.11a..  

b)    Traza horizontal de un plano. Es la intersección (h) del plano (a) con el plano horizontal de proyección\ Fig.11b

DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UN PLANOUN PLANO

Si una recta (r) está contenida en un plano Si una recta (r) está contenida en un plano (a); las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la (a); las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (r), están contenidas en las trazas recta (r), están contenidas en las trazas vertical (f) y horizontal (h) del plano (a), vertical (f) y horizontal (h) del plano (a), respectivamente (fig.12). Además, como ya se respectivamente (fig.12). Además, como ya se mencionó, las trazas de un plano se cortan en mencionó, las trazas de un plano se cortan en la línea de tierra (Excepto si el plano es la línea de tierra (Excepto si el plano es paralelo a ella)paralelo a ella)

Por lo tanto, pueden definirse las trazas de un plano (a), definiendo previamente las trazas de dos rectas (a y b) contenidas en el, como se muestra en los ejemplos (a) y (b) de la fig.13

PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR TRAZASDEFINIDO POR TRAZAS

En la figura siguiente, se ilustra como hacer En la figura siguiente, se ilustra como hacer pertenecer un punto (P) a un plano (a) pertenecer un punto (P) a un plano (a) definido por trazas (f y h)\ (fig.a), utilizando definido por trazas (f y h)\ (fig.a), utilizando para ello:para ello:

una recta: (r) cualquiera (fig.b1);una recta: (r) cualquiera (fig.b1);una recta (f1) frontal (fig.b2);una recta (f1) frontal (fig.b2);una recta (h1) horizontal (fig.b3).una recta (h1) horizontal (fig.b3).

Características del PlanoCaracterísticas del Plano

CARTESIANOCARTESIANO

El plano cartesiano está formado por dos rectas El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:representa como:

P (x, y)

SISTEMAS DE PROYECCION O SISTEMAS DE PROYECCION O SISTEMA DE REPRESENTACIONSISTEMA DE REPRESENTACION

Un sistema de proyección permite la Un sistema de proyección permite la representación de una superficie curva sobre representación de una superficie curva sobre un plano.Se aplica para representar un objeto.un plano.Se aplica para representar un objeto.

Entonces, dependiendo de la figura sobre la Entonces, dependiendo de la figura sobre la cual se realiza la proyección se tienen:cual se realiza la proyección se tienen:

Proyecciones Proyecciones CilíndricasCilíndricas

Proyecciones Proyecciones CónicasCónicas

Proyecciones Proyecciones AzimutalesAzimutales (sobre un plano). (sobre un plano).

Sin embargo hay proyecciones que Sin embargo hay proyecciones que conservan alguna de estas características.conservan alguna de estas características.

Proyecciones Proyecciones equidistantesequidistantes conservan las conservan las distancias.distancias.

Proyecciones Proyecciones conformesconformes conservan los conservan los ángulosángulos

Proyecciones Proyecciones equiáreasequiáreas conservan las áreas. conservan las áreas.

Sistemas de RepresentaciónSistemas de Representación

SISTEMA AXONOMÉTRICOSISTEMA AXONOMÉTRICO

Los principales sistemas de representación son:Los principales sistemas de representación son:

Planos acotados.Sistema diédrico.

Sistema axonométrico.Sistema cónico.

Los objetos se representan por medio de Los objetos se representan por medio de proyecciones.proyecciones. Proyectar Proyectar es lanzar en línea recta (denominada rayo proyectante) un punto o la es lanzar en línea recta (denominada rayo proyectante) un punto o la

imagen de un objeto sobre una superficie (plano de proyección).imagen de un objeto sobre una superficie (plano de proyección). Clases Clases de proyecciones; Dependiendo de donde esté colocado el centro de de proyecciones; Dependiendo de donde esté colocado el centro de

proyección pueden ser de dos clases:proyección pueden ser de dos clases:

Proyección cilíndricaProyección cilíndricaFoco en el infinitoFoco en el infinito

Proyección cónicaProyección cónicaFFoco en un punto oco en un punto

Ortogonal Ortogonal OblicuaOblicua

Cilíndrica ortogonal Cilíndrica oblicua Cónica

Sistema AxonométricoSistema Axonométrico

El Sistema El Sistema Axonométrico es un Axonométrico es un sistema de sistema de representación que representación que utiliza la proyección utiliza la proyección cilíndrica ortogonal en cilíndrica ortogonal en las que las rectas las que las rectas proyectantes son proyectantes son paralelas entre sí y paralelas entre sí y perpendiculares al perpendiculares al plano de proyección.plano de proyección.

El Sistema El Sistema Axonométrico permite Axonométrico permite dibujar un objeto dibujar un objeto tridimensional sobre un tridimensional sobre un único plano, tomando único plano, tomando como referencia tres como referencia tres ejes (Z, Y y X ) que ejes (Z, Y y X ) que pueden formar ángulos pueden formar ángulos diferentes entre ellos.diferentes entre ellos.

YX

Altura Z

AnchuraProfundidad

Representación de Representación de sólidos a partir de sólidos a partir de

sus vistas.sus vistas.

Para representar un Para representar un objeto en sistema objeto en sistema axonométrico se parte axonométrico se parte de las vistas diédricas de las vistas diédricas de la pieza; Alzado, de la pieza; Alzado, planta y perfil.planta y perfil.

Perspectiva caballeraPerspectiva caballeraSe considera un caso particular de la Se considera un caso particular de la

axonometría, ya que su proyección es axonometría, ya que su proyección es cilíndrica en vez de ortogonal.cilíndrica en vez de ortogonal.

Cilíndrica oblicuaCilíndrica ortogonal

En este sistema de representación los ejes X En este sistema de representación los ejes X y Z (alzado) forman siempre un ángulo de 90º y Z (alzado) forman siempre un ángulo de 90º y el otro (Z-Y) es libre (normalmente 135º).y el otro (Z-Y) es libre (normalmente 135º).

Altura Z

Anchura X

Profundidad Y

90º

http://www.educacionplastica.net/zirkel/caballera1.html

Al realizar una figura en perspectiva caballera Al realizar una figura en perspectiva caballera las medidas de altura y profundidad son las medidas de altura y profundidad son reales pero a la anchura se le aplica un reales pero a la anchura se le aplica un coeficiente de reducción. coeficiente de reducción.

Para representar Para representar sólidos en perspectiva sólidos en perspectiva caballera se procede de caballera se procede de manera similar a la manera similar a la representación en representación en isométrica, teniendo en isométrica, teniendo en cuenta el valor de cuenta el valor de reducción.reducción.

MUCHAS GRACIASMUCHAS GRACIAS