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TRABAJO PRÁCTICO N° 5 ARENISCAS

El objetivo de la práctica consiste en familiarizarse con estudios petrográficos utilizando microscopio óptico y simultáneamente, identificar los principales tipos de areniscas.

Los estudios petrográficos de cortes delgados de rocas sedimentarias constituyen una base fundamental para la investigación moderna de estas rocas. La petrografía sedimentaria consiste en el análisis de la composición mineralógica, de las texturas depositacionales y diagenéticas, de la procedencia y de la fábrica de las rocas.

Las psamitas (o areniscas) son rocas silicoclásticas formadas por un esqueleto o armazón detrítico, cemento, matriz y poros (Fig. 1).

El armazón clástico está compuesto por granos tamaño arena y limo grueso (2.0 - 0,03 mm) y su composición es una característica muy importante y la principal para clasificadas. Las areniscas están compuestas por un conjunto relativamente restringido de minerales detríticos (cuarzo y feldespatos) y fragmentos líticos, a los que se suman escasos minerales accesorios (micas, minerales pesados.

Se denomina matriz al material fino (< 0,03 mm.), que rellena los espacios entre los clastos tamaño arena y está constituido principalmente por minerales finamente divididos (cuarzo, feldespatos, micas, etc.) y arcillas.

La matriz puede haberse depositado junto con los granos que forman el esqueleto de la arenisca (sindepositacional), puede haberse infiltrado posteriormente en los espacios porales o puede haberse producido durante la diagénesis.

El cemento está compuesto por minerales autigénicos que rellenan espacios que originalmente eran poros abiertos. Los más comunes son los silíceos, carbonáticos, ferruginosos y zeolíticos.

La distinción entre cemento arcilloso autigénico y matriz, puede ser muy dificultosa utilizando microscopio petrográfico, en estos casos debe recurrirse al microscopio electrónico.

Los poros son los espacios huecos que quedan entre los componentes de la

arenisca. De acuerdo a su tamaño, se los divide en: vacuolas (>4000 µ), megaporos (>4000-1000 µ), macroporos (1000 - 250 µ), mesoporos (250 - 62 µ), microporos (62 - 4 µ) y criptoporos (<4 µ).

Las clasificaciones de areniscas se basan en la composición de los constituyentes mayoritarios (cuarzo, feldespatos y fragmentos líticos) y en el porcentaje de matriz. Si bien existe gran cantidad de clasificaciones, se adoptarán en esta práctica la de Dott, modificada por Pettijohn et al. (1987) y la de Folk et al (1970) que pueden observarse en la Figura 2).

Figura 1: Esquema de los componentes de una arenisca.

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Textura de areniscas.

Está dada por la forma, cantidad e interrelaciones entre los granos detríticos que

constituyen el esqueleto de la roca, los minerales que forman la matriz y el cemento, y los poros. Es un elemento característico que refleja tanto rasgos depositacionales como diagenéticos.

Las principales texturas que pueden observarse en los cortes delgados son:

I - Texturas que involucran a los clastos: 1 - Textura clasto o grano-sostén : los clastos tamaño arena o limo grueso se tocan formando un armazón que se sostiene por sí mismo (Fig. 3a, b, c, d).

Figura 2: Clasificación de areniscas: a- Dott modificada por Pettijohn et al. (1987) y b- Folk et al. (1970).

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Los contactos entre granos pueden ser: a- Contactos tangenciales : los clastos están en contacto entre sí por lo menos en un punto (Fig. 3a). Con el aumento de la presión confinante disminuye la porosidad primaria, incrementándose el número de contactos y pudiendo pasar de tangenciales a: b- Contactos rectos : los granos se tocan delimitando superficies rectas (Fig. 3b). 1. c- Contactos cóncavo -convexos : los clastos se interpenetran delimitando superficies curvas (Fig. 3c). d- Contactos suturados : los clastos se interpenetran delimitando entre ellos superficies con diseño suturado o aserrado (Fig. 3d).

2 - Textura fango o matriz-sostén : los clastos tamaño arena o limo grueso “flotan” en matriz (Fig. 3e). 3 - Textura flotante : los clastos están separados por cemento y no están en contacto entre sí (Fig. 3f).

Figura 3

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II - Texturas que involucran al material interstici al: 1- Textura granular : el material cementante está constituido por cristales de tamaño variable; se presenta tanto como un mosaico cristalino (cristales de tamaño superior a 40µ) o microgranular (cristales muy pequeños, por lo que es difícil su identificación con microscopio petrográfico, particularmente si presenta impurezas, por lo que ésta suele realizarse con microscopio electrónico o por medio de rayos x). Suele darse en cementos silíceos, carbonáticos o de zeolitas (Figs. 4a y b). 2- Textura fibrosa radiada : es característica de la calcedonia y se forma porque cristales aciculares se disponen en forma de abanico alrededor de los clastos (Fig. 4c). Cuando la calcedonia es producto de deshidratación de ópalo, es posible observar relictos de textura coloforme. 3- Textura fluidal o de deshidratación : se produce como consecuencia de la pérdida de agua de óxidos u otros minerales hidratados, con la consiguiente disminución de volumen de la roca por compactación. Presenta por esto un aspecto fluidal (Fig.4d). 4- Pátinas y parches : las primeras son delgados depósitos de óxidos, arcillas u otros minerales, que recubren a los clastos y, en ocasiones, le imprimen su color característico, lo que dificulta su determinación a grano suelto, lupa o microscopio electrónico. (Fig. 4e). Los parches son concentraciones aisladas de un tipo particular de cemento (Fig. 4f) o matriz (Fig. 4g). 5- Crecimiento secundario : es producido por la precipitación, en continuidad óptica, de cemento sobre un clasto semilla de igual composición, tendiendo a reconstruir la forma cristalina del mismo. Dicha reconstrucción puede ser parcial o total. Se reconoce el crecimiento autigénico, porque el clasto semilla .suele presentar una pátina de óxidos o arcillas sobre su superficie, o por la presencia de inclusiones (Fig. 5a).

Es muy común el crecimiento secundario de cuarzo en cuarcitas. Cuando se trata de un clasto semilla de cuarzo policristalino, el reborde autigénico respeta las orientaciones de cada grano del clasto, cristalizando en continuidad óptica con cada una (Fig. 5b).

También hay crecimiento secundario en feldespatos, pero en estos casos es muy frecuente que dicho crecimiento se encuentre en continuidad óptica con un sólo individuo de la macla (Fig. 5c). Otro mineral que puede presentar esta textura es la calcita (Fig. 5d). 6- Textura coloforme : común en cementos amorfos originados por la precipitación de geles. Se desarrolla en bandas concéntricas alrededor del clasto, dejando frecuentemente poros libres (Fig. 5e). El caso más común es el del ópalo, que cuando presenta una sola capa, puede ser de tipo mamelonar. El ópalo es inestable y se deshidrata con facilidad, debido a lo cual es común observar textura coloforme relíctica, siendo el ópalo reemplazado por calcedonia o cuarzo microcristalino.

Frecuentemente, se observan clastos rodeados por ópalo, calcedonia fibrosa radiada y eventualmente cuarzo microcristalino, dispuestos como bandas en ese orden desde el clasto hacia el poro.

7- Textura filiforme : son filamentos, generalmente de ópalo, que se desarrollan adosados a las paredes de los clastos (Fig. 5f). 8- Texturas relícticas : se forman cuando se produce el reemplazo, parcial o total, del cemento primitivo por uno nuevo, que mantiene el hábito del cemento original. Ejemplo de este tipo de texturas es el reemplazo de estilbita (zeolita) por calcita, que mantiene el hábito radiado, en forma de abanicos, de la primera (Fig. 6a) o el reemplazo de ópalo por calcedonia que conserva la textura coloforme inicial.

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9 - Textura poikilítica : frecuente en los cementos de calcita, donde se desarrollan grandes cristales que incluyen varios clastos (Fig. 3f). Suele ocurrir que la roca se fracture siguiendo el clivaje de estos cristales, apareciendo el llamado lustre moteado, producido por reflexión de la luz. 10 - Textura en peine : en las wackes es frecuente observar que laminillas de minerales como clorita y sericita, interpenetran a los clastos mayores desdibujando su contorno. Esta textura suele formarse por recristalización de la matriz primitiva (pasaje de protomatriz a ortomatriz) (Fig. 6b).

Figura 4

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Figura 5

Figura 6

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Procedencia El estudio de la composición de las areniscas, resulta un importante indicador de la

región de procedencia o proveniencia de los detritos y de las características tectónicas de dicha región.

Para este tipo de estudios se determinan las modas detríticas de las areniscas; ploteando en diagramas triangulares los porcentajes de varias combinaciones de granos. Para mayor información ver Cap. 8 de Scasso y Limarino (1997)

Fábrica de areniscas

Se refiere a la orientación y empaquetamiento de los granos que constituyen la arenisca. Algunas areniscas presentan los clastos elongados alineados con el eje mayor en la misma dirección. Esta orientación se produce por interacción entre el flujo depositacional y el sedimento y puede ser usada como indicador de paleocorrientes.

El empaquetamiento , que depende del tamaño de los granos, su forma y selección,

es muy importante porque afecta a la porosidad y permeabilidad de la roca; cuando el empaquetamiento es flojo, la porosidad es alta y viceversa.

La densidad de empaquetamiento expresa, en porcentaje, el volumen de los granos en relación al volumen total de la roca.

Porosidad Son los espacios vacíos que tiene la roca, se expresa en porcentaje y se puede

diferenciar:

- Porosidad absoluta: expresa el porcentaje total de poros en relación al volumen de la roca.

Pt = volumen total - volumen de sólidos x 100 volumen total

- Porosidad efectiva : corresponde al porcentaje de poros interconectados en la roca.

Pe = volumen de poros interconectados x 100 volumen total

La porosidad depende de:

1- Los clastos (tamaño, forma, selección, grado de alteración), 2- El cemento (composición, porcentaje, distribución), 3- La matriz (composición, porcentaje, distribución).

El sistema poral en sí mismo es el resultado de una serie de variables: 1- tamaño,

forma y distribución de los poros, 2- diámetro y distribución de gargantas porales, 3- rugosidad de las paredes, 4 - número de coordinación (número de gargantas porales que llegan a cada poro), 5- tortuosidad (relación entre la distancia real entre dos puntos a través de las interconexiones y la distancia en línea recta).

El corte delgado (preferentemente con inyección de resina epoxi) permite evaluar

gran parte de estas variables y, a la vez, estimar el porcentaje de porosidad. Así se distingue: Porosidad baja ....... .......... 0- 5 % Porosidad moderada .......... 5 - 10 % Porosidad buena .... … ...... 5 - 20 %

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Porosidad excelente ........... > 20 % Los poros pueden clasificarse por su tamaño en:

Criptoporos ............. < 4 µ. Microporos .............. 4 - 62 µ. Mesoporos .............. 62 - 250 µ. Macroporos ............. 250 - 1000 µ. Megaporos .............. 1000 - 4000 µ. Alveolos .................. > 4000 µ. Se reconocen dos tipos de porosidad: a - Porosidad primaria : es la que presenta el sedimento cuando se deposita. Es principalmente de tipo interparticular y los clastos presentan contactos tangenciales (Fig. 7a) y más raramente intraparticular. En general, se incrementa al aumentar el tamaño de grano, la selección y el redondeamiento, cuanto más flojo sea el empaquetamiento y menor el contenido de material arcilloso. Así en arenas de playa y de dunas la porosidad puede ser superior al 50 %. b - Porosidad secundaria : es posterior a la depositación del sedimento y se produce por fracturación y principalmente por disolución (Fig. 8).

Después de la depositación, la mayoría de las areniscas muestran un gradual decrecimiento de la porosidad, debido principalmente a compactación (Fig. 7b) y cementación. La primera comienza a pocos metros de profundidad, originando un empaquetamiento más cerrado y si el soterramiento continúa hasta centenas o miles de metros se producen fenómenos de presión-solución e interpenetración de granos, lo que da origen a contactos rectos, cóncavo-convexos y suturados entre los clastos.

Por su parte, la cementación rodea a los clastos y rellena los poros y las interconexiones entre ellos (gargantas porales), disminuyendo notablemente la porosidad. Las arcillas autigénicas, a su vez, aumentan la criptoporosidad en detrimento de los poros mayores.

La porosidad secundaria puede reconocerse por:

1 - disolución parcial de clastos y/o material intersticial (matriz y/o cemento) (Fig.9.1). 2 - moldes dejados por minerales solubles y restos orgánicos (Fig. 9.2) 3 - heterogeneidad en el empaquetamiento, observándose sectores muy cerrados y otros, vecinos, donde el empaquetamiento es muy abierto (Fig. 9.3). 4 - granos que "flotan" sin presentar ningún contacto con sus vecinos (Fig. 9.3). 5 - poros de mayor tamaño que los clastos. Se conocen como poros "oversized" (Fig. 9.4). 6 - poros elongados (Fig. 9.5). 7 - granos con contornos corroídos (Fig. 9.6). 8 - granos con disolución favorecida por planos de debilidad del mineral, lo que origina textura en panal de abejas o "honeycombed" (Fig. 9.7). 9 - granos que han sido fracturados o fisurados (Fig. 9.8).

Permeabilidad Es la capacidad que tiene un sedimento de permitir el pasaje de un fluido y depende

no sólo de la porosidad efectiva, sino también de la forma y tamaño de los poros e interconexiones (gargantas porales), de las propiedades del fluido como viscosidad, fuerza capilar y del gradiente. Así, muchas areniscas finas con elevada porosidad efectiva, pueden tener baja permeabilidad, porque las fuerzas capilares obstaculizan el pasaje de los fluidos a través de las estrechas gargantas porales.

Cuantitativamente se calcula aplicando la ley de Darcy y su valor se expresa en

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milidarcys (mD).

Figura 8: Porosidad secundaria

Figura 7: Porosidad

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Figura 9: Criterios para reconocer porosidad secundaria en areniscas

Descripción de muestras de areniscas

Con el objeto de sistematizar la descripción de areniscas durante este curso, se presentan a continuación un listado con las principales características a observar en estas rocas, lo que no implica un orden estricto en las descripciones, como así también planillas tipo y un modelo de descripción.

Sin embargo debe tenerse en cuenta que, en última instancia, la metodología a seguir en cada estudio estará condicionado por las objetivos que se persiguen (determinación de modas detríticas para conocer el área, de proveniencia o su marco tectónico, estudios diagenéticos, análisis de las características del sistema poral con miras a evaluar las características que presenta la roca como reservorio de agua o de hidrocarburos, etc.).

- Número de muestra

- Formación a la que pertenece.

- Localización

DESCRIPCIÓN MACROSCÓPICA

- Color: puede usarse la Tabla de Colores de la Geological Society of America (The Rock Color Chart). Color de la roca fresca y de la superficie de alteración. (Recuerde que el color de las areniscas en general está dado por los cementos presentes en la muestra y no por su composición mineralógica).

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- Grado de consolidación : suelta, friable (los granos se separan con los dedos), consolidada (los granos se separan con un cortaplumas), muy consolidada (los granos no se separan con un cortaplumas).

- Estructuras sedimentarias : consultar el Trabajo Práctico correspondiente.

- Fractura : irregular, astillosa, concoide, etc.

- Fábrica : imbricación, orientación de clastos, etc.

DESCRIPCIÓN MICROSCÓPICA

A- Textura : clasto-sostén, matriz-sostén o flotante. En caso de ser clasto-sostén se debe indicar el tipo de contactos entre clastos (indicando en el caso de ser tangenciales el número de contactos por clasto) (Fig. 3).

B- Porcentajes : establecer proporciones relativas de clastos, matriz, cemento y poros, para lo que pueden utilizarse los gráficos de la Fig. 10. Estos porcentajes deben sumar 100% ya que son los componentes totales de la roca.

C- Fracción arena: a) tamaño medio de grano (pe. En caso de ser 200 micrones, el tamaño de grano es

arena fina). b) selección: se determina midiendo los tamaños de grano mínimo y máximo y se

evalúa cuantos grados de la escala granulométrica de Udden involucra (Muy buena: <1 grado; buena: 1 a 3; moderada: 4 a 7 grados de Udden; mala: más de 7 grados de Udden), pueden utilizarse los gráficos de la Fig. 11.

c) redondeamiento: empleando el método de comparación visual (Fig. 12). d) composición: reconocer las especies minerales y los fragmentos líticos presentes,

los que se describen por separado, indicando en cada caso: porcentaje, forma, redondez, contornos (netos, corroídos, engolfados), grado de alteración (incipiente, parcial o total) y producto de alteración, tipo de extinción (normal, ondulante, fragmentosa, etc.), tipo de inclusiones (fluidas, sólidas, orientación). D- Matriz (<30 micrones): tipos de textura (Fig. 3e; 6e), composición, orientación de los minerales planares, recristalización, presencia de minerales autigénicos (ej: Fig. 4g), etc. Tipos de matriz:

a. Protomatriz: matriz original (no recristalizada). b. Ortomatriz: matriz original recristalizada. c. Epimatriz: matriz recristalizada originada a través de clastos intensamente alterados (no es matriz verdadera y no se debe contabilizar como tal). d. Pseudomatriz: fragmentos líticos altamente deformados (no es matriz verdadera y no se debe contabilizar como tal).

La epimatriz y la pseudomatriz no se contabilizan en los porcentajes totales de la muetra con la matriz, ya que por lo común son clastos. Se debe intentar reconocer su origen sumar al tipo litológico que corresponda dentro de la fracción clástica. E- Cemento : Composición, sí hay más de un cemento indicar abundancia relativa y orden de formación. Texturas: granular (Fig. 4a), microgranular (Fig. 4b), coloforme (Fig. 5e), crecimiento secundario (Figs. 5a, b, c y d), fibrosa radial (Fig. 4c), etc., Indicar si el cemento corroe o reemplaza a los otros constituyentes de la roca. Cada tipo de cemento que aparece en la roca debe tener su textura correspondiente.

Se puede también describir la estratigrafía de cementos (referido al orden de precipitación de los mismos). En este sentido, es importante recordar que los cementos

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precipitan siempre primero sobre las superficies de los clastos. Los cementos de filosilicatos (arcillas o micas) se diferencian de la matriz a través de

los siguientes criterios: a. Cristales limpios con nicoles paralelos (sin detritos o impurezas) b. Composición monomineral c. Arreglo radial de los cristales, desde la superficie de los clastos hacia el centro de los poros (Fig. 13.a). d. Zonación concéntrica de color o mineralogía (Fig. 13.b). e. Líneas de sutura entre los cristales (bordes de compromiso, Fig. 13.c).

Figura 10: Cartas de comparación para estimar porce ntajes (Tomado de Folk et al ., 1970).

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,

Fig. 13: Criterios de reconocimiento de cemento de filosilicatos

F- Porosidad óptica : Primaria (interparticular o intraparticular) o secundaria (fracturas o disolución). Porcentaje (muy baja, baja, etc); tamaño de los poros (microporos, criptoporos, etc).

Fig. 12: Redondeamiento de granos con diferente esf ericidad (Modificado de Powers, 1953; Pettijohn et al ., 1987)

Fig. 11: Comparadores visuales para secciones aleat orias en conjunto de granos con distribución logarítmica norma (Modificado de Harel l, 1984).

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Ejemplo de descripción Muestra N° 18 Formación Huamampampa Localización: Angosto del Medio (Salta) Clasificación: Arenita lítica (Según Dott modificado por Pettijohn et al., 1987)

Arenisca de color gris claro mediano, bien consolidada y de fractura irregular, en la que se observa orientación subparalela a la estratificación de micas y probables seams.

La muestra está bien seleccionada, con moda en la clase arena mediana. Presenta textura clasto-sostén, con predominio de contactos rectos y cóncavo-convexos, aunque se observan algunos de tipo suturado.

En la fracción clástica (90% del total de la roca), el cuarzo monocristalino es el componente mayoritario (54%), generalmente con extinción normal aunque se han observado granos con extinción ondulante. Se presenta límpido con algunas inclusiones fluidas y bordes netos. Los clastos son subredondeados.

Los feldespatos (18%), se presentan subangulosos, con su forma tabular característica y, sí bien predominan plagioclasa (10%) y ortosa (8%) con alteración incipiente a arcillas y sericita, se han observado también escasos individuos de microclino (<1%). En ocasiones, los feldespatos potásicos presentan pertitas.

Los fragmentos líticos (24%), corresponden a rocas metamórficas de bajo grado (10%) con abundantes micas, muy alterado; sedimentitas de grano fino (8%), cuarzo policristalino de tipo milonítico (3%), chert (2%) y escasos líticos volcánicos intermedios con textura andesítica (1%). Las sedimentitas corresponden a limolitas gruesas cuarzosas con pátinas de óxidos de hierro y arcillas. Los fragmentos de rocas metamórficas y algunos sedimentarios están deformados con contornos difusos y se acomodan entre los clastos más resistentes, dando origen a una incipiente pseudomatriz. Esta característica impide observar con claridad el grado de redondeamiento de los fragmentos líticos.

Son porcentualmente importantes las micas (4% de la fracción clástica), de la que pueden distinguirse dos variedades. La primera está compuesta por láminas de biotita y muscovita alteradas y flexuradas por compactación entre los clastos más resistentes. La segunda variedad compuesta por muy pocos individuos, se presenta fresca, sin deformación y cortando la fabrica.

El cemento (5%) está constituido por sílice como crecimiento secundario en cuarzo y feldespatos (3%), por pequeños parches intersticiales de óxido de hierro y arcillas (2%), principalmente cloritas, con textura microgranular. Estos mismos cementos se encuentran también formando pátinas sobre algunos clastos.

La ortomatriz es escasa (5%) y está conformada por material arcilloso y sericítico. Es importante la presencia de seams y estilolitas incipientes donde se han

concentrado óxidos de hierro. La porosidad es muy baja (˂ 5%), primaria e interparticular. Estaría principalmente

constituida por criptoporos alojados en el material arcilloso de la matriz y el cemento.

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TRABAJO PRÁCTICO

Consiste en describir, clasificar y analizar muestras de mano y cortes delgados de areniscas, para lo cual se utilizará la clasificación de Dott modificada por Pettijhon et al. (1987) y la de Folk et al. (1970) (Fig. 1), y los gráficos que se incluyen en el práctico, para estimar redondeamiento, porcentajes, selección, tipos de porosidad, etc.

Puede utilizarse la guía de descripción de areniscas, con el fin de sistematizar la observación de las principales características de la muestra. La descripción se realizará tanto en planillas como redactada.

Además para cada muestra se analizará: a - madurez textural y composicional. b - procedencia c - eventos diagenéticos d - estimación de la probable profundidad de soterramiento e - calidad de la roca como reservorio de fluidos

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA Boggs, S., 2009. Petrology of Sedimentary Rocks. Cambridge University Press: 720

pp. New York. " Carozzi, A., 1960. Sedimentary Petrography. John Wiley and Sons. New York: 485

pp. London. Folk, R.L., Andrews, P.B., Lewis, D.W., 1970. Detrital sedimentary rock classification

and nomenclature for use in New Zeland. N.Z. Journal of geology and geophysics 4(13): 937-968.

Pettijohn, F.J., P.E. Potter y Siever, R., 1987. Sand and sandstone. Springer -Verlag: 553 pp - New York.

Powers, M.C., 1953, A new roundness scale for sedimentary particles: J. Sediment. Petrol., 23, 117–119.

Scasso, R.A. y Limarino, C.O., 1997 Petrología y diagénesis de rocas clásticas. Publicación especial N°1 de la Asociación Argentina de Sedimentología.

Tucker, M.E., 1991. Sedimentary Petrology - An introduction to the origin of Sedimentary Rocks. Blackwell Scientific Publications: 260 pp - Oxford.

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Anexo: CÁLCULO DE PORCENTAJES A. Cálculo de porcentajes para DESCRIBIR a la muest ra

Al describir las muestras los porcentajes serán establecidos de la siguiente manera:

1. Los componentes de la roca deben sumar 100%

% CLASTOS + %MATRIZ + % CEMENTO + %POROSIDAD = 100%

De esta manera, una muestra ejemplo contendrá:

% Clastos: 80% % Cemento:10% % Matriz: 8% % Porosidad: 2% ______________ Total: 100%

2. Dentro de la fracción clástica se recalculan los porcentajes parciales de manera tal que:

%CUARZO (Q) + % FELDESPATOS (F) + %FRAGMENTOS LÍTIC OS (L) + %OTROS (O) = 100%

Tendremos entonces que para la muestra que tiene un 80% de clastos (con respecto al de la total de la roca, ejemplo del punto 1) los porcentajes de Q, F, L y O serán:

%Q: 60% %F: 25% %L: 13% %O: 2% __________ Total: 100%

La muestra puede poseer cuarzo monocristalino (Qm) y policristalino (Qp). En este caso,

recuerde que el cuarzo policristalino se incluirá dentro de los fragmentos líticos. Es decir que:

% Q + % F + %L + %O = 100%

es igual que

(%Qm) + (%Fk + %P +%M) + (%Lv + %Lm +%Ls+ %Qp)+ %O= 100%

B. Cálculo de porcentajes para CLASIFICAR a la mues tra Para clasificar a la muestra los porcentajes que se necesitan son:

%Qm: %F: %(L + Qp)

dónde

%Qm + %F + %(L + Qp) = 100%

En el caso de la muestra que se dio como ejemplo anteriormente esta relación es:

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Qm= 55% (a) F= 25%(b) + L + Qp= 13% + 5%=18% (c) _____________________ Total= 98% (d)

Como estos componentes no suman el 100% sus porcentajes deben ser recalculados. Así, el

recalculo para entrar a las clasificaciones se realiza de la siguiente manera: 98 (d)-------------100% 55 (a)--------------------x= a x 100/ d=56%(Qm final) 25 (b)--------------------x= b x 100/ d= 26%(F final) 18 (c)-------------------x= c x 100/ d= 18% (L + Qp final) ____________________ Total: 100% Finalmente, el Q: F:L con el que clasificará a la m uestra será en este caso 56:26:18.