1. はじめに　磁気ディスク装置(HDD)の高記録密度化の一手段として、データトラックを記憶するトラックの幅を狭める方法がある。近年、データトラックを磁気的に分離するための溝(グルーブ)を形成するDTM (Discrete Track Media: 離散トラックメディア)やBPM(Bit Patterned Media)が将来形態として考案され、スライダの浮上特性等の研究が進められている。　本報告では、媒質分布を有する表面間に働くファンデルワールス引力 (1, 2)(vdW力 )をフーリエ級数の形で求め、数値解析によりその特性を調べた。

2. 解析手法　本研究では、Fig. 1 のような系を考え、x 軸方向に媒質分布の繰り返し性を有する表面と、媒質が一様な表面との相互作用を考えた。ここで、表面間距離を D, 媒質分布の周期を 2L, 考える面積要素の各辺の長さを l, β, 媒質分布を有する表面の x 方向のずれを x0 とした。　次に、vdW 力の一般式の導出過程を示す。2 つの原子が距離 r で相互作用するときの原子間ポテンシャル w(r) は、

( ) mNC

w rr

= − (1)

と表され、ファンデルワールスポテンシャル (N=6) を考えた場合の原子と表面との相互作用エネルギー w(x0, D)は、

( ) m m0 6,D

Cw x D dxdydz

rρ∞ ∞ ∞

−∞ −∞

= −∫ ∫ ∫ (2)となる。ここで、原子間相互作用ポテンシャルにおける定数 Cm とディスク面の媒質の分子数密度 ρm との積を、媒質分布関数 σ (x)と定義する (Fig. 2)。さらに、媒質分布を有する表面の x 方向のずれ量 x0 を考慮し、σ (x) をフーリエ級数展開した場合、以下の式 (3)のように表される。

( )( ) ( )

m m 0

0 00

1

cos sin2 n nn

C x x

n x x n x xaa b

L L

ρ σ

π π∞

=

= −

− −= + +

∑ (3)

式 (3) を用いてw(x0, D)を求めると、

( ) ( )0 0 00 3 31

1 ˆˆ, cos sin12 n n nn

a n x n xw x D a b p D

D L L Lπ π π∞

=

= − − − ∑ (4)

( ) ( )( ) ( )

( )

3 22 2 2 2

3 24 2 20

ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 23ˆˆ ˆ ˆcos4 ˆˆ ˆ3

n

x D D x Dp D n x dx

x x D

ππ

∞ + − + = +

∫ (5)

媒質分布を有するディスク面とスライダ間に働くファンデルワールス力の理論解析Theoretical analyses of the van der Waals forces acting between slider and a disk

with distribution of material properties○学 山本　健(鳥取大・院) 正 松岡　広成(鳥取大・工) 正 福井　茂寿(鳥取大・工)

Takeru YAMAMAOTO, Tottori University, 4-101, Minami, Koyama, Tottori, 680-8552Hiroshige MATSUOKA, ibid. Shigehisa FUKUI, ibid.

Recording media with grooves such as discrete track media (DTM) and bit-patterned media (BPM) areconsidered to be some of the most promising media for achieving ultrahigh track densities. Thus, it is becomingincreasingly important to analyze the static and dynamic characteristics of flying head sliders over DTM/BPMmedia using the molecular gas-film lubrication (MGL) equation. In this paper, we established an analysis method ofvan der Waals forces acting between slider and a disk with distribution of material properties by using Fourier series.The characteristics of the van der Waals forces are quantitatively clarified.

Key Words : Micro/nanotribology, Head-disk interface, van der Waals, DTM, BPM

となる。無次元座標を ( )x̂ x L= , 無次元表面間距を D̂ (=D/L)とした。式 (5)の積分 ( )ˆˆ np D については、数値積分を用いて求めた。　次に、媒質が一様な物体(スライダ)中の微小体積要素dxdydz と媒質分布を有する物体との相互作用エネルギー∆W は、

∆W =w(x0-x, D-z)ρmsdxdydz (6)と表される。ここで、スライダにおける分子数密度を ρmsとした。式(6)を積分することで、表面間相互作用エネルギー W(x0, D) が以下のように求められる。

( ) ( )0 2

0 0 ms0 2, ,

l

lW x D w x x D z dxdydz

βρ

−∞ −= − −∫ ∫ ∫

( )0 0 021

2 1 ˆ ˆ= cos sin sin24 2

ms msn n n

n

a l n x n x n la b P D

D L n L L Lπβ ρ βρ π π π

π

∞

=

− − − ⋅ ⋅ ∑

(7)

( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,n nDP D p z dz z D z L∞

= = −∫ (8)

Fig. 1 Model of surfaces

Fig. 2 Distribution of material properties

0 2L

σ(x)

x2L 2L0 2L

σ(x)

x2L 2L

D

x0 2L

y

l/2β

-l/2x0

D

x0 2L

y

l/2β

-l/2x0

さらに、式 (7)を表面間距離 D で微分することで、媒質分布を有する表面間に働く vdW力の一般式F(x0, D)は、次のように求まる。以下の式については、y方向単位長さ当りの vdW力として表記した。

( ) ( ) ( ) ( )00 0 0,1

, ,dW x D

F x D F D F x DDβ

∂= − = +

∂ (9)

( ) 0 ms0 312a l

F DD

πρ= − (10)

( ) ( )ms 0 00 21

2 1 ˆˆ, cos sin sin2d n n nn

n x n x n lF x D a b p D

L n L L Lρ π π π

π

∞

=

= − − ⋅ ⋅ ∑

(11)ここで、Fd(x0, D) は、媒質分布による vdW 力の変動を表す項である。

　式 (5) で表される積分の項 ( )ˆˆnp D を求める際には、シンプソンの公式を用いた。また、̂ 0x = における被積分関数 I の値については、以下の近似式を用いた。

4ˆ 0

1ˆ4x

ID=

= (12)

被積分関数の性質としては、̂xが大きくなるにつれて波打ちながら減衰していく関数であり、その減衰は早い。計算条件として、積分範囲については、媒質分布の周期 2Lの 500倍とし、0≤ x̂ ≤1000 までとした。また、̂xの分割数については、被積分関数に含まれる余弦の項の周期 2/n を基準とし、この区間を 2m (m=3,4..,13) 分割し、分割数を大きくしつつ積分を行った。Fig. 3 へ、フーリエ係数の各番号 n に対して求めた ( )ˆˆnp D の値を示す。3. 2 種類の媒質が交互に並んだ場合の解析例　具体的な媒質分布として、2種類の媒質が交互に並んでいる表面間 (Fig. 4)を対象に解析を行った。まず、2種類の媒質の分布比をα :(1-α)とすると(Fig. 5)、フーリエ係数はそれぞれ以下のように表される。

( )0 1 md1 2 md22 2 1a C Cρ α ρ α= + − (13)

( ) ( ) 0 01 md1 2 md21

cos 2 1 sin sin 2 cosnn x n x

a C C n nn L L

π πρ ρ πα πα

π = − − ⋅ + ⋅

(14)

( ) ( ) 0 01 md1 2 md21

cos 2 1 cos sin 2 sinnn x n x

b C C n nn L L

π πρ ρ πα πα

π = − − − ⋅ − ⋅

(15)次に、求めたフーリエ係数、式 (13)～ (15)を式 (9)に代入して整理すると、以下のように表せる。

( ) ( ) ( )0 0 0, , , , ,dF x D F D F x Dα α α= + (16)

( ) ( )131 1320 31

,6

A AF D l

Dα α

απ

+ −= − (17)

( ) ( ) ( )131 1320 4 2 21

2 ˆˆ, , nd nn

A A KF x D p D

L nβ

απ

∞

=

− = − ⋅ ∑ (18)

( ) 20 0cos2 1 sin sin 2 cos sin2n

n x n x n lK n n

L L Lπ π π

πα πα = − ⋅ + ⋅ ⋅

(19)

2131 1 md1 msA Cπ ρ ρ= (20)

2132 2 md2 msA Cπ ρ ρ= (21)

ここで、媒質の組み合わせによって決まる定数Cmと媒質の分子数密度 ρm を Hamaker 定数に結びつけ、それぞれの媒質によって決まるHamaker定数をA131, A132とした。Hamaker定数とは、媒質の屈折率によってきまる定数である。Fig. 6に、

媒質(屈折率)の組み合わせにおけるHamaker定数の対応を示す。ここで、屈折率 n1, n2, n3 について、以下の値を用いた。

n1=1.9 (媒質:DLC)n2=k⋅n1 (n1 の定数倍、k は定数 )n3=1.0 ( 媒質:空気 )

なお、式 (16) において、α =0 または α =1 の場合、媒質が一様な表面間に働く通常の vdW 力を表す式に帰着される。

Fig. 6 Refractive index

Fig. 3 Function ( )ˆˆnp D

Fig. 5 Distribution of material properties

0

2L

C1ρmd1

C2ρmd2

2Lα +x0

σ(x-x0)=Cmρmdn

x0 x

α :(1-α)

2L

0

2L

C1ρmd1

C2ρmd2

2Lα +x0

σ(x-x0)=Cmρmdn

x0 x

α :(1-α)

2L

(b) A132(a) A131

n1medium s

n1

n3

n1

n3medium 3

medium s

medium s

medium 3

medium 2 n2

(b) A132(a) A131

n1medium s

n1

n3

n1

n3medium 3

medium s

medium s

medium 3

medium 2 n2

Fig. 4 Interaction between a homogeneous half-space and a half-space made of two materials

D

x0 2Ll/2

z

-l/2

D

x0 2Ll/2

z

-l/2

0.5 1

10–10

100

n=1, m=13n=2, m=13n=5, m=8n=7, m=5n=8, m=3

n=1 n=2

n=5

n=7n=7

n=8

0.01ˆNondimentional surface distance, D D L=

( )ˆˆnp D

0.5 1

10–10

100

n=1, m=13n=2, m=13n=5, m=8n=7, m=5n=8, m=3

n=1 n=2

n=5

n=7n=7

n=8

0.01ˆNondimentional surface distance, D D L=

( )ˆˆnp D

Fig. 7 vdW forces vs. x0 and D̂ for α =0.5, k=1.1, L=10nm Fig. 8 Fd(x0, D, α) vs. x0 and D̂ for α =0.49, k=1.1, L=10nm

(a) F(x0, D, α)

(b) Fd(x0, D, α)

(c) Fd(x0, D,α)/F(x0, D, α)

D̂̂D̂D

(a) F(x0, D, α)

(b) Fd(x0, D, α)

(c) Fd(x0, D,α)/F(x0, D, α)

D̂̂D

D̂̂D D̂̂D

D̂̂D

　vdW 力 F(x0, D,α)、媒質分布による vdW 力の変動成分Fd(x0, D,α)、媒質分布による vdW 力の変化率 Fd(x0, D,α)/F(x0, D,α)を Figs. 7(a)～ (c)に示す。各パラメータの値は、L=10nm, l=1nm, α =0.5, k=1.1とした。このときの Hamaker定数の値は、それぞれ A131=1.81×10

-19J, A132=2.08×10-19Jである。

Figs. 7(a), (b) より、正味の vdW力 F(x0, D, α)は、x方向の

ずれ量 x0 に対して周期的に変化し、無次元表面間距離 D̂ が小さいほど変動幅は大きいことが分かる。Fig. 7(c)より、媒質分布による vdW力の変化率 Fd(x0, D, α)/F(x0, D, α)は、D̂ =0.01 のとき、およそ -20% ～ +10% であり、無次元表面間距離 D̂ が小さいほど、変化率は大きい。

D̂̂D̂D

Fig.9 vdW forces vs. x0 and D̂ for α =0.51, k=1.1, L=10nm Fig. 10 vdW forces vs. x0 and D̂ for α =0.5, k=1.5, L=10nm

(b) Fd(x0, D, α)

(a) F(x0, D, α)

(c) Fd(x0, D,α)/F(x0, D, α)

(b) Fd(x0, D, α)

(a) F(x0, D, α)

(c) Fd(x0, D,α)/F(x0, D, α)

D̂̂D

D̂̂D

D̂̂D

D̂̂D

D̂̂D

D̂̂D

　Figs. 8(a)～ (c), Figs. 9(a)～ (c)に、k=1.1で、α =0.49あるいは α =0.51 とした場合の、vdW力 F(x0, D,α)、vdW力の変動成分 Fd(x0, D,α)、vdW力の変化率 Fd(x0, D,α)/F(x0, D,α)をそれぞれ示す。このときの Hamaker 定数の値は、それぞれA131=1.81×10

-19J, A132=2.08×10-19J である。2 種類の媒質の分

布比 α の値によって、vdW 力の変動を表す項 Fd(x0, D, α)

の最大値、最小値が変化する。　Figs. 10(a) ～ (c)に、α =0.5, k=1.5 とした場合の vdW力F(x0, D,α)、変動成分Fd(x0, D,α)、vdW力の変化率Fd(x0, D,α)/F(x0, D,α)を示す。このときの Hamaker定数の値は、それぞれA131=1.81×10

-19J, A132=2.91×10-19Jである。Fig. 7(b)とFig. 10(b)

を比較すると、Fig. 7(b)の場合より、Fig. 10(b)の変動幅が

大きくなっていることが分かる。すなわち、Hamaker 定数の値(媒質の組み合わせ)によって、媒質分布による vdW 力の変動成分Fd(x0, D, α)の影響が異なってくる。

4. まとめ　本研究では、媒質分布の繰り返し性を有する表面間に働くファンデルワールス力を汎用的に解析する手法を検討した。代表的な媒質分布として、二種類の媒質が交互に並んだ表面間を例にとり、媒質分布によるファンデルワールス力の変動成分を数値解析によりに求めた。得られた結果は、以下の通りである。

(i) 媒質分布の繰り返し性を有する表面間に働くファンデル　ワールス力を、汎用的に解析する手法を確立した。特に、　二種類の媒質が交互に並んでいる表面間を対象に、無次元　表面間距離、媒質分布のずれ量、Hamaker定数が及ぼす影　響を解析した。(ii) 媒質分布のずれ量 x0 に伴い、ファンデルワールス力は周 期的に変動する。また、無次元表面間距離 D̂ が小さいほ ど、変動幅は大きい。これらを、定量的に示した。(iii)媒質分布比αの値によって、ファンデルワールス力の変　 動成分 Fd(x0, D, α) の最大値、最小値が変化する。(iv) Hamaker定数の値(媒質の組み合わせ)によって、媒質分布に　 よるファンデルワールス力の変動成分 Fd(x0, D, α)の影響　 が異なってくる。

参考文献

(1) 松岡広成, 福井茂寿, 日本機械学会論文集 C 編 , 第 69 巻, 686 号, (2003), pp. 286-293(2) J. N. イスラエルアチヴィリ, 分子間力と表面力 , 第 2 版, (1996), 朝倉書店

謝辞

　本研究において、鳥取大学工学部、土井俊行講師のご協力を頂いた。ここに記し、謝意を表す。