torsion y flexion..docx
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República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario Politécnico.
“Santiago Mariño.
Bachilleres:
Valdez, María Fernanda C.I:20.634.435
Zerpa, José C.I: 19.651.013
Barcelona, enero 2013.
INTRODUCCIÓN.
Los miembros sometidos simultáneamente a torsión y flexión, que
ocurren con frecuencia en el análisis de estructuras, serán tratadas brevemente
a continuación.
Se estudiará para dar conciencia de las diferencias en tales soluciones
respecto a las de los miembros circulares y otros materiales que pueden
presentar torsión y flexión.
El esfuerzo de flexión puro o simple se obtiene cuando se aplican sobre
un cuerpo pares de fuerza perpendiculares a su eje longitudinal, de modo que
provoquen el giro de las secciones transversales con respecto a los inmediatos.
La Torsión se refiere a la deformación helicoidal que sufre un cuerpo
cuando se le aplica un par de fuerzas. La torsión se puede medir observando la
deformación que produce un objeto en un par determinado.
OBJETIVO GENERAL.
Desarrollar a través de distintas teorías el cálculo de flexión y
torsión en distintos materiales macizos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS.
Conocer los conceptos básicos de torsión y flexión.
Conocer algunas características de ambos temas.
Calcular con ejemplos prácticos los cálculos de torsión y flexión.
Analizar las diferencias entre torsión y flexión.
TORSION.
En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica
un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma
mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una
dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en
situaciones diversas.
La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva
paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado
inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se
retuerce alrededor de él.
Para los diferentes tipos de estructuras sometidas a torsión estas se
pueden clasificar en dos categorías básicas: estructuras sometidas a torsión
primaria, algunas veces denominada torsión de equilibrio o torsión
estáticamente determinada y estructuras que generan torsión secundaria,
también llamada torsión de compatibilidad o torsión estáticamente
indeterminada.
A continuación definimos cada uno de los dos tipos de torsión básica:
1. Torsión Primaria. Cuando el momento es transmitido a los soportes a
través de la longitud de la viga. La carga externa siempre va a causar torsión y
el elemento de soporte no tiene otra alternativa que resistir dicha torsión. El
momento torsional es requerido en los extremos para el equilibrio de la
estructura y la carga externa.
Torsión Secundaria. También llamada torsión por compatibilidad, y es
generada a partir de la de la redistribución de fuerzas internas en las vigas de
borde, encargadas de resistir la torsión. La compatibilidad de deformaciones
entre las viguetas o losetas que llegan a la viga de borde y esta misma,
cuando son construidas monolíticamente, produce un giro que probablemente
desarrollará agrietamiento en la unión de ambos elementos pero no hará
colapsar la estructura. Existe la posibilidad de una redistribución o reducción
del momento torsor aplicado en el borde de la viga externa, pero este no puede
determinarse únicamente con base en el equilibrio estático. Si la viga de borde
es suficientemente rígida y las columnas pueden resistir el momento torsor
aplicado, entonces los momentos en las viguetas o losa serán los de un apoyo
exterior rígido. Si la viga no tiene suficiente rigidez torsional, esta se deforma y
la losa gira, se produce agrietamiento y se reduce la capacidad de resistir
momentos en la loseta o viguetas que descansan en la viga de borde.
El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de
solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por
dos fenómenos:
1-Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal.
2-Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas
adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga
simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones
transversales deformadas no sean planas.
Al aplicar las ecuaciones de la estática, en el empotramiento se
producirá un momento torsor igual y de sentido contrario a T.
Si cortamos el eje por 1-1 y nos quedamos con la parte de abajo, para
que este trozo de eje este en equilibrio, en la sección 1-1 debe existir un
momento torsor igual y de sentido contrario. Por tanto en cualquier sección de
este eje existe un momento torsor T.
El diagrama de momentos torsores será:
Para el estudio de la torsión de un eje cilíndrico vamos a suponer las
siguientes hipótesis:
a) Hipótesis de secciones planas.
b) Los diámetros se conservan así como la distancia entre ellos.
c) Las secciones van a girar como si se tratara de cuerpos rígidos.
Planteadas estas hipótesis vamos a considerar un elemento diferencial
de eje en el que estudiaremos su deformación y después las tensiones a las
que está sometido.
Vamos a aislar el trozo dx de eje.
Casos hiperestáticos en torsión.
1º CASO:
Supongamos un eje cilíndrico empotrado en los dos extremos sometido
a los momentos torsores de la figura.
Supongamos que hemos calculado T1 y T2. Ahora vamos a calcular el
giro y la tmax en C.
El giro de C será lo que gire la sección C respecto del empotramiento
derecho o izquierdo ya que los empotramientos no giran.
Trazando por C una vertical, y como los momentos torsores son más fáciles a
la izquierda que a ala derecha en el diagrama de momentos torsores
calculamos el giro de C respecto del empotramiento izquierdo.
2ºCASO
Supongamos un eje cilíndrico empotrado en los 2 extremos sometido a
los momentos torsores de la figura.
Flexión acompañada con torsión.
El efecto que produce la carga P es equivalente a un par y a una fuerza
actuando en O
Los puntos más peligrosos de la sección de empotramiento son el a y el
b.
Los diagramas se representan así:
Estudio del punto a.
Estudio del punto b.
Por estar el punto b en la LN:
El punto a suele ser más peligroso que el b, ya que tmax del punto a es
superior a la del punto b.
FLEXION.
En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta
un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje
longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es
dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están
diseñadas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de
flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o
láminas.
El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta
una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de
cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la
deformación. El esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector.
Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar
predominantemente en flexión. Geométricamente son prismas mecánicos cuya
rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la sección
transversal de las vigas. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para
representar la flexión de vigas y arcos:
La hipótesis de Navier-Bernouilli.
La hipótesis de Timoshenko.
Teoría de Euler-Bernoulli
La teoría de Euler-Bernoulli para el cálculo de vigas es la que se deriva de
la hipótesis cinemática de Euler-Bernouilli, y puede emplearse para calcular
tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje grande
comparada con el canto máximo o altura de la sección transversal.
Para escribir las fórmulas de la teoría de Euler-Bernouilli conviene tomar un
sistema de coordenadas adecuado para describir la geometría, una viga es de
hecho un prisma mecánico sobre el que se pueden considerar las coordenadas
(s, y, z) con s la distancia a lo largo del eje de la viga e (y, z) las coordenadas
sobre la sección transversal. Para el caso de arcos este sistema de
coordenadas es curvilíneo, aunque para vigas de eje recto puede tomarse
como cartesiano (y en ese caso s se nombra como x). Para una viga de
sección recta la tensión el caso de flexión compuesta enviada la tensión viene
dada por la fórmula de Navier:
Donde:
son los segundos momentos de área (momentos de inercia) según los
ejes Y y Z.
es el momento de área mixto o producto de inercia según los ejes Z e Y.
son los momentos flectores según las direcciones Y y Z, que
en general varíarán según la coordenada x.
es el esfuerzo axial a lo largo del eje.
Si la dirección de los ejes de coordenadas (y, z) se toman coincidentes
con las direcciones principales de inercia entonces los productos de inercia se
anulan y la ecuación anterior se simplifica notablemente. Además si se
considera el caso de flexión simple no-desviada las tensiones según el eje son
simplemente:
Por otro lado, en este mismo caso de flexión simple no esviada, el
campo de desplazamientos, en la hipótesis de Bernoulli, viene dada por la
ecuación de la curva elástica:
Donde:
representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la
posición inicial sin cargas.
representa el momento flector a lo largo de la ordenada x.
el segundo momento de inercia de la sección transversal.
el módulo de elasticidad del material.
representa las cargas a lo largo del eje de la viga.
Teoría de Timoshenko
La diferencia fundamental entre la teoría de Euler-Bernouilli y la teoría
de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la sección se aproxima
mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una
aproximación válida sólo para piezas largas en relación a las dimensiones de la
sección transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas
al esfuerzo cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas
por el momento flector. En la teoría de Timoshenko, donde no se desprecian
las deformaciones debidas al cortante y por tanto es válida también para vigas
cortas, la ecuación de la curva elástica viene dada por el sistema de
ecuaciones más complejo:
Derivando la primera de las dos ecuaciones anteriores y substituyendo
en ella la segunda llegamos a la ecuación de la curva elástica incluyendo el
efecto del esfuerzo cortante:
TORSION Y FLEXION EN DISTINTOS MATERIALES.
En madera:
En el caso de la resistencia al esfuerzo cortante, la madera presenta una
mayor resistencia cuando la fuerza cortante actúa en forma perpendicular a la
orientación de las fibras. Todo mundo sabe que para hacer leña de un tronco
de madera, el golpe del hacha debe ser paralelo a las fibras con el propósito de
desgajarlo fácilmente.
Aunque la madera posee una muy buena capacidad a la tensión (tres
veces mayor que la compresión), siempre y cuando la fuerza se aplique en
forma paralela a las fibras, usualmente no se le trabaja en este sentido en
forma directa (una excepción son algunos elementos en las armaduras de
madera). Casi por lo regular si un elemento estructural debe resistir alguna
tensión lo hace como parte de los esfuerzos generados por la flexión, es decir,
una parte de la sección transversal recibe tensiones mientras la otra recibe
compresiones. La resistencia a la flexión se obtiene mediante una prueba de
flexión en la cual un espécimen apoyado libremente se carga al centro (flexión
de tres puntos) hasta hacerlo fallar, calculando de aquí el esfuerzo máximo a la
flexión o módulo de ruptura.
En vigas de concreto:
En muchos casos es común encontrar estructuras monolíticas sometidas
a la acción conjunta de momentos flectores, fuerzas cortantes y momentos de
torsión alrededor del eje longitudinal de un elemento. Un elemento sometido a
torsión causa esfuerzos cortantes en el plano perpendicular y en la dirección
radial del elemento, desde el núcleo hasta la superficie externa. En una sección
rectangular, los esfuerzos cortantes varían desde cero en el centro hasta un
valor máximo en los centros de los bordes extremos de los lados más largos.
Cuando la viga es sometida a torsión y flexión combinadas, los dos esfuerzos
cortantes se adicionan por un lado y tienen diferentes direcciones en el lado
opuesto. El resultado son grietas inclinadas en las caras donde los esfuerzos
se adicionan, las cuales continúan en la cara o región donde hay flexión en la
viga, y si el momento es grande, casi verticalmente en el lado opuesto. Si la
tensión ocurre en la cara superior y hay compresión en la cara inferior, dicha
compresión previene al elemento de desarrollar grietas en la cara inferior.
Para los diferentes tipos de estructuras sometidas a torsión estas se
pueden clasificar en dos categorías básicas: estructuras sometidas a torsión
primaria, algunas veces denominada torsión de equilibrio o torsión
estáticamente determinada y estructuras que generan torsión secundaria,
también llamada torsión de compatibilidad o torsión estáticamente
indeterminada.
En placas y láminas:
Una placa es un elemento estructural que puede presentar flexión en
dos direcciones perpendiculares. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes
para representar la flexión de placas y láminas:
La hipótesis de Love-Kirchhoff
La hipótesis de Reissner-Mindlin.
Siendo la primera el análogo para placas de la hipótesis de Navier-
Bernouilli y el segundo el análogo de la hipótesis de Timoshenko.
Teoría de Love-Kirchhoff
La teoría de placas de Love-Kirchhoff es la que se deriva de la hipótesis
cinemática de Love-Kirchhoff para las mismas y es análoga a la hipótesis de
Navier-Bernouilli para vigas y por tanto tiene limitaciones similares, y es
adecuada sólo cuando el espesor de la placa es suficientemente pequeño en
relación a su largo y ancho.
Para un placa de espesor constante h emplearemos un sistema de
coordenadas cartesianas con (x, y) según el plano que contiene a la placa, y el
eje z se tomará según la dirección perpendicular a la placa (tomando z = 0 en
el plano medio). Con esos ejes de coordenadas las tensiones según las dos
direcciones perpendiculares de la placa son:
Donde:
, es el segundo momento de área por unidad de ancho.
es el espesor de la placa.
, son los momentos flectores por unidad de ancho,
que pueden relacionarse con el campo de desplazamientos
verticales w(x,y) mediante las siguientes ecuaciones:
Para encontrar la flecha que aparece en la ecuación anterior es
necesario resolver una ecuación en derivadas parciales que es el análogo
bidimensional a la ecuación de la curva elástica:
El factor:
Se llama rigidez flexional de placas donde:
son las constantes elásticas del material: módulo de
Young y coeficiente de Poisson.
es el espesor de la placa.
Teoría de Reissner-Mindlin
La teoría de Reissner-Mindlin es el análogo para placas de la teoría de
Timoshenko para vigas. Así en esta teoría, a diferencia de la teoría más
aproximada de Love-Kirchhoff, el vector normal al plano medio de la placa una
vez deformada la placa no tiene por qué coincidir con el vector normal a la
superficie media deformada.
DIFERENCIA ENTRE TORSION Y FLEXION.
Torsión.
Se utiliza pruebas de torsión para determinar y comparar el módulo de
rigidez de diferentes materiales y demostrar la formula de la deformación.
Flexión.
Se utilizan pruebas de flexión para determinar el módulo de elasticidad
rigidez de diferentes materiales. También se utiliza para demostrar, por
ejemplo, la relación entre la carga, el momento de inercia, la distancia entre los
soportes, el módulo de elasticidad y la deflexión.
Las probetas para las pruebas de flexión tienen distintas dimensiones,
de manera que se puede hallar la relación entre el momento de inercia y las
dimensiones de la pieza para un determinado material.
CONCLUSIÓN.
Basta con mirar a nuestro alrededor para encontrarnos numerosos
ejemplos de estructuras. Todas ellas son diseñadas y construidas por el
hombre al objeto de soportar, sin romperse, las fuerzas a las que se
encuentran sometidas.
Por eso, diremos que a la hora de diseñar una estructura esta debe
cumplir tres propiedades principales: ser resistente, rígida y estable. Resistente
para que soporte sin romperse el efecto de las fuerzas a las que se encuentra
sometida, rígida para que lo haga sin deformarse y estable para que se
mantenga en equilibrio sin volcarse ni caerse. Tan importante es el estudio de
flexión y torsión en los diferentes materiales con que se puede hacer una
estructura.