INTRODUCCINEste trabajo trata del torcimiento de barras circulares y ejes huecos sometidos a momentos torsionales. Primero consideramos la torsin uniforme que se refiere al caso en el cual el par de torsin es constante en toda la longitud de un eje prismtico, en tanto que la torsin no uniforme describe casos en los que el momento torsional y/o la rigidez torsional de la seccin vara en toda la longitud. Como en el caso de deformaciones axiales, debemos relacionar el esfuerzo y la deformacin unitaria y tambin la carga aplicada y la deformacin unitaria. Para torsin, recuerde que la ley de Hooke para cortante establece que los esfuerzos cortantes, t, son proporcionales a las deformaciones unitarias por cortante, g, con G como la constante de proporcionalidad, que es el mdulo de elasticidad en cortante. Los esfuerzos cortantes y las deformaciones unitarias por cortante varan linealmente con la distancia radial en la seccin transversal, como se describe con la frmula de la torsin. El ngulo de torsin, w, es proporcional al momento torsional interno y a la flexibilidad torsional de la barra circular. La mayor parte del anlisis en este trabajo se dedica al comportamiento lineal elstico y a rotaciones pequeas de elementos estticamente determinados. Sin embargo, si la barra es estticamente indeterminada, debemos aumentar las ecuaciones del equilibrio esttico con ecuaciones de compatibilidad (que se basan en relaciones par de torsin-desplazamiento) para resolver cualesquiera incgnitas de inters, como momentos de soporte o momentos torsionales internos en elementos. Los esfuerzos sobre secciones inclinadas tambin se estudian como primer paso hacia una consideracin ms complicada de estados de esfuerzo plano en captulos posteriores.

TORSIN

Momento que tiende a torcer un elemento sobre su eje longitudinal.

1.1. DEFORMACIN POR TORSIN DE UN EJE CIRCULAREl par de torsin es un momento que tiende a torcer un elemento sobre su eje longitudinal. Se puede ilustrar fsicamente lo que ocurre cuando un par de torsin se aplica sobre un eje circular considerando que el eje est fabricado de un material altamente deformable como el caucho, figura 1-1a. Cuando se aplica el par de torsin, los crculos y las lneas longitudinales en forma de cuadrcula marcados en un principio en el eje, tienden a distorsionarse para formar el patrn mostrado en la figura 1-1b. Observe que el torcimiento ocasiona que los crculos se conserven como crculos, y que cada lnea longitudinal de la cuadrcula se deforme en una hlice que interseca los crculos en ngulos iguales. Adems, las secciones transversales de los extremos a lo largo del eje seguirn siendo planas (es decir, no se arrugan o pandean hacia adentro o hacia afuera) y las lneas radiales se conservan rectas durante la deformacin, figura 1-1b. A partir de estas observaciones, se puede suponer que si el ngulo de giro es pequeo, la longitud del eje y su radio se mantendrn sin cambio.FIGURA 1-1

Si el eje est fijo en uno de sus extremos y se aplica un par de torsin a su otro extremo, el plano gris oscuro de la figura 1-2 se distorsionar en forma sesgada como se muestra en la misma figura. Aqu, una lnea radial situada en la seccin transversal a una distancia x del extremo fijo del eje girar un ngulo (x).El ngulo (x), definido de esta forma, se denomina ngulo de giro. ste depende de la posicin x y vara a lo largo del eje como se muestra en la figura.FIGURA 1-2

Con el fin de entender la manera en que esta distorsin hace que el material se deforme, se aislar un pequeo elemento situado a una distancia radial (rho) de la lnea central del eje, figura 1-3. Debido a una deformacin como la indicada en la figura 1-2, las caras frontal y posterior del elemento experimentarn una rotacin, la cara posterior de (x) y la cara frontal de (x)+ . Como resultado, la diferencia en estas rotaciones, , hace que el elemento est sometido a deformacin cortante. Para calcular esta deformacin, observe que antes de sta el ngulo entre las aristas AB y AC era de 90; sin embargo, despus de la deformacin los bordes del elemento son AD y AC, y el ngulo entre ellos es de . A partir de la definicin de deformacin cortante, se tiene:

Este ngulo, , que se indica en el elemento, puede relacionarse con la longitud x y con el ngulo entre los planos sombreados al considerar la longitud del arco BD, es decir

Por lo tanto, si se hace xdx y d.

(1-1)FIGURA 1-3

Como dx y d son iguales para todos los elementos ubicados en los puntos sobre la seccin transversal en x, entonces d/dx es constante en toda la seccin transversal, y la ecuacin 1-1 establece que la magnitud de la deformacin cortante para cualquiera de estos elementos vara slo con su distancia radial desde la lnea central del eje. En otras palabras, el esfuerzo cortante dentro del eje vara linealmente a lo largo de cualquier lnea radial, desde cero en la lnea central del eje hasta un mximo mx. En su lmite exterior, figura 1-4. Como d /dx = / = mx. /c, entonces

(1-2)

Los resultados obtenidos tambin son vlidos para los tubos circulares. Dichas conclusiones dependen slo de los supuestos relacionados con las deformaciones que se mencionaron antes.

Figura 1-4

1.2 FRMULA DE LA TORSINCuando un par de torsin externo se aplica sobre un eje, en ste se genera un par de torsin interno correspondiente. En esta seccin se desarrollar una ecuacin que relaciona este par de torsin interno con la distribucin del esfuerzo cortante en la seccin transversal de un eje o tubo circular.Si el material es elstico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke, = G, y en consecuencia cualquier variacin lineal en la deformacin cortante conducir a una correspondiente variacin lineal en el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier lnea radial ubicada en la seccin transversal, tal como se seal en la seccin anterior. Por consiguiente, variar desde cero en la lnea central longitudinal del eje hasta un valor mximo, mx., en su superficie externa. Esta variacin se muestra en la figura 1-5 sobre las caras frontales de un nmero seleccionado de elementos, los cuales se ubican en una posicin radial intermedia y en el radio exterior c. A partir de la proporcionalidad de tringulos, se puede escribir

(1-3)

Esta ecuacin expresa la distribucin del esfuerzo cortante sobre la seccin transversal en funcin de la posicin radial del elemento. Con base en ella, ahora es posible aplicar la condicin de que el par de torsin producido por la distribucin de esfuerzos sobre toda la seccin transversal sea equivalente al par de torsin interno resultante T en la seccin, lo cual mantendr al eje en el equilibrio, figura 1-5.Figura 1-5

En especfico, cada elemento de rea dA, ubicado en , est sometido a una fuerza de dF = dA. El par de torsin producido por esta fuerza es dT = (dA). Por lo tanto, para toda la seccin transversal se tiene

(1-4)

Como mx./c es constante.

(1-5)Donde:

La integral depende slo de la geometra del eje. Representa el momento polar de inercia del rea de la seccin transversal del eje alrededor de su lnea central longitudinal. Su valor se simboliza como J y, por lo tanto, la ecuacin anterior puede reordenarse y escribirse de una manera ms compacta, es decir,

(1-6)

Aqu mx = el esfuerzo cortante mximo en el eje, que se produce en la superficie externa T = el par de torsin interno resultante que acta en la seccin transversal. Su valor se determina a partir del mtodo de las secciones y la ecuacin de equilibrio de momentos aplicados respecto a la lnea central longitudinal del eje. J = el momento polar de inercia del rea de la seccin transversal c = el radio exterior del ejeSi se combinan las ecuaciones 1-3 y 1-6, el esfuerzo cortante a la distancia intermedia puede determinarse a partir de

(1-7)

Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele llamarse la frmula de la torsin. Recuerde que slo se usa si el eje es circular, el material es homogneo y se comporta de manera elstico lineal, puesto que su derivacin se basa en la ley de Hooke.

Eje slido. Si el eje tiene una seccin transversal circular slida, el momento polar de inercia J puede determinarse usando un elemento de rea en forma de un aro o anillo diferencial que tiene un grosor d y una circunferencia 2, figura 1-6. Para este anillo, dA = 2dp, y asFigura 1-6

(1-8)

Observe que J es una propiedad geomtrica del rea circular que siempre es positiva. Las unidades que se utilizan ms a menudo para su medicin son mm4 o pulg4. Se ha demostrado que el esfuerzo cortante vara linealmente a lo largo de cada lnea radial de la seccin transversal del eje. Sin embargo, si se asla un elemento del material que se encuentra sobre esta seccin, entonces debido a la propiedad complementaria de la fuerza cortante, deben existir tambin esfuerzos cortantes iguales que acten sobre cuatro de sus caras adyacentes, como se muestra en la figura 1-7a. Por consiguiente, no slo el par de torsin interno T desarrolla una distribucin lineal del esfuerzo cortante a lo largo de cada lnea radial en el plano del rea de la seccin transversal, sino que tambin se desarrolla una distribucin del esfuerzo cortante asociada a lo largo de un plano axial, figura 1-7b. Figura 1-7

Es interesante destacar que debido a esta distribucin axial del esfuerzo cortante, los ejes hechos de madera tienden a partirse a lo largo del plano axial cuando se someten a un par de torsin excesivo, figura 1-8. Esto se debe a que la madera es un material anisotrpico. Su resistencia al corte paralela a sus granos o fibras, y dirigida a lo largo de la lnea central del eje, es mucho menor que su resistencia perpendicular a las fibras, dirigida a lo largo del plano de la seccin transversal.Figura 1-8

Eje tubular. Si un eje tiene una seccin transversal tubular, con radio interior Ci y radio exterior Co, entonces su momento polar de inercia J puede determinarse con base en la ecuacin 1-8 al restar J para un eje de radio Ci de la determinada para un eje de radio Co. De lo anterior se obtiene

(1-9)

Al igual que en un eje slido, el esfuerzo cortante distribuido en toda el rea de la seccin transversal del tubo vara linealmente a lo largo de cualquier lnea radial, figura 1-9a. Adems, el esfuerzo cortante vara de la misma manera a lo largo de un plano axial, figura 1-9b. Esfuerzo de torsin mximo absoluto. Si se debe determinar el esfuerzo de torsin mximo absoluto, entonces es importante encontrar el sitio donde el cociente Tc/J es mximo. En este sentido, puede ser til mostrar la variacin del par de torsin interno T en cada seccin a lo largo de la lnea central del eje; esto se logra al dibujar un diagrama de par de torsin, que es una grfica del par de torsin interno T contra su posicin x a lo largo del eje. Como una convencin de signos, T ser positiva si mediante la regla de la mano derecha, el pulgar se dirige hacia fuera del eje cuando los dedos se enroscan en la direccin de torsin segn la ocasiona el par, figura 1-5. Una vez que se determina el par de torsin interno en todo el eje, es posible identificar la relacin mxima de Tc/J.Figura 1-9