1) Espacio Mtrico: Una mtrica en un conjuntoM es una funcin d :MM! R que asocia a cadapar de puntos x;y 2 M un nmero real d(x;y), llamado la distancia del punto x al punto y de talmodo que:

1) d(x;x) = 0, d(x;y)> 0 si x 6= y;2) d(x;y) = d(y;x);

3) d(x;z) = d(x;y)+d(y;z);

Cuales quiera que sean x;y;z 2M.Un espacio mtrico es un par (M;d)formado por un conjunto M y una mtrica d en M.

Ejemplos:

1) d(x;y) = jx yj= valor absoluto de la diferencia x y2) d(x;y) =

p(x1 y1)2+(x2 y2)2

3) Una norma en un espacio vectorial E, sobre el cuerpo de los nmeros reales o complejos,es una funcin que asocia a cada vector x 2 E un nmero real jxj, llamado la norma de x, demodo que:

a) j0j= 0 y jxj> 0 si x 6= 0;b) jl xj= jl j jxj para cualquier escalar l ;c) jx+ yj jxj+ jyj para cualquier x;y 2 E;

Un espacio normado es un par formado por un espacio vectorial E y una norma x! jxj en E.Todo espacio vectorial normado E posee una mtrica natural, definida a partir de la normalpor

d(x;y) = jx yjOtras normas en Rn

jxj0 = jx1j+ : : :+ jxnj jxj00 =mxfjx1j; : : : ; jxnjg

las cuales dan origen a las siguientes mtricas en Rn:

d0(x;y) = jx1 y1j+ : : :+ jxn ynj

d00(x;y) =mxfjx1 y1j; : : : ; jxn ynjgdonde x= (x1; : : : ;xn), y= (y1; : : : ;yn)

4) Todo subconjunto X de un espacio mtricoM posee una estructura natura de espacio mtrico.Basta definir la distancia entre dos puntos x;y 2 X como la misma distancia entre ellos con-siderados como puntosM. La mtrica as definida en X se llama la mtrica inducida en X porla mtrica de M.

5) Una aplicacin f :M! N, de un espacio mtrico M en un espacio mtrico M en un espaciomtrico N, se llama una imersin isomtrica cuando

d( f (x); f (y)) = d(x;y)

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Cuales quiera que sean x;y2M. Si adems de eso, f es una aplicacin deM sobre N, entonesse dice que f es una isometria de M sobre N, o una isometria entre M y N.

Una imersin isomtrica siempre es biunvoca pues si f (x)= f (y); entonces 0= d( f (x); f (y))=d(x;y) y, por lo tanto, x= y.

Sea X un conjunto cualquiera y f : X ! M una aplicacin biunvoca de X en un espaciomtrico M. Dados x;y 2 X , pongamos d(x;y) = d( f (x); f (y)). Esto define una mtrica en X ,relativamente al cual f es una imersin isomtrica. Esta se llama la mtrica inducida en X porla aplicacin f . Como caso particular, la mtrica de un subespacio X M es inducida por laaplicacin inclusin i : X !M = i(x) = x, para todo x 2 X

6) En un espacio mtrico M, adems la distancia entre dos puntos x;y 2M, podemos tambin definirla distancia de un punto x 2M a un subconjunto no vaco AM por la expresin

d(x;A) = inffd(x;a);a 2 Ag

i) para todo a 2 A, m d(x;a)ii) dado cualquier e > 0, existe a 2 A tal que d(x;a)< m+ e

7) Sean M un espacio mtrico, r > 0 un nmero real y a un punto de M

B(a;r) = fx 2M;d(x;a)< rgD(a;r) = fx 2M;d(x;a) rgS(a;r) = fx 2M;d(x;a) = rg

7) Proposicin 2: Dados dos puntos distintos a, b en un espacio mtrico M, existen en M dos bolasabiertas disjuntas con centros en a y en b, respectivamente.

8) Un punto a de un espacio mtricoM se dice un punto aislado enM cuando existe una bola abiertade centro a (y radio r> 0) que consiste nicamente del punto a : B(a;r) = fag para un cierto r> 0.Un espacio mtrico se llama discreto cunado todos sus puntos son aislados.

9) Un Subconjunto X de un espacio mtrico se dice acotado cuando existe un nmero real r 0 talque d(x;y) r cualesquiera que sean x;y 2 X . El menor de los r se llama el dimetro del conjuntoX y se representa por el smbolo d (X). As:

Dimetro de X = d (X) = supfd(x;y);x;y 2 Xg; si X no es vaci y d (f) = 0

10) Una aplicacin f : X !M de un conjunto X en un espacio mtrico M se llama acotada cuandof (X) es un conjunto acotado en M. En particular M posee una mtrica acotada (i.e d (M) < ),entonces toda aplicacin f : X !M es acotada.

11) Definicin: Sea f :M ! N de un espacio mtricoM en un espacio mtrico N y a un punto deM.Decimos que f es continua en el punto a cuando, dado arbitrariamente un nmero e > 0, siemprefuera posible determinar un d > 0 tal que d(x;a)< d implique d( f (x); f (a))< ePara cada bola abierta B( f (a);e) existe una bola abierta B(a;d ) tal que f (B(a;d )) B( f (a);e).

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12) Proposicin: La composicin de dos funciones continuas es continua.

13) Toda funcin de un espacio mtrico discreto en otro espacio mtrico es continua.

14) Definicin: Un homeomorfismoes una aplicacin continua y biunvoca f :M!N, de un espaciomtrico M sobre un espacio mtrico N, tal que su inversa f1 : N !M tambin es continua.

15) Sean d y d0 mtricas en el mismo conjunto M. Decimos que d es ms fina (d d0) que d0 cuandola aplicacin identidad (M;d)! (M;d0) fuera continua.

16) Proposicin: La mtrica d es ms fina que la mtrica d0 en el conjunto M s y solamente si, paracada a 2M, cualquier bola abierta de centro a segn d0 contiene una bola abierta de centro a segnd.

17) Corolario: Si existen nmeros reales m;n > 0 tales que d(x;y) nd0(x;y) y d0(x;y) md(x;y)cualesquiera que sean los puntos x;y 2M, entonces las mtricas d y d0 sern equivalentes.

17) Definicin(Conjuntos abiertos): Un subconjunto A de un espacio mtrico M se llama abiertocuando todo punto a 2 A es centro de una bola abierta enteramente contenida en A.En otras palabras para cada a 2 A eciste e > 0 tla que x 2M y d(x;a)< e entonces x 2 A. Intuiti-vamente: siempre que un conjunto A contiene un punto a, debe contener tambin todos los puntosde M suficientemente prximos a a.

17) Corolario: Las mtricas d y d0 son equivalentes si y solamente si toda bola abierta siguiendocualquiera de esas mtricas contiene una bola abierta del mismo centro siguiendo la otra mtrica.

18) Proposicin: Los subconjuntos abiertos de un espacio mtricoM gozan de las siguientes propiedades:

1 El espacio mtrico M y el conjunto vaco f son subconjuntos abiertos de M.2 Si (Al )l2L fuera una familia cualquiera (finita o infinita) de subconjuntos abiertos de M, su

unin A=Sl2L

Al ser un subconjunto abierto de M.

3 La intersecin A1\ \An de una familia finiota de subconjuntos A1; : : :An abiertos en M estodava un subconjunto abierto de M.

19) Proposicin: Sean M y N espacios mtricos. Para que una aplicacin f :M ! N sea continua,es necesario y suficiente que la imagen inversa f1(A0) de todo subconjunto abierto A0 N sea unsubconjunto abierto de M.

20) Topologa una topologia en u conjunto X es una coleccin t de subconjuntos de X , llamados lossubconjuntos abiertos (segn la topologia t) satisfaciendo las siguientes condiciones:

1 X y el subconjunto vaco f son abiertos.2 La unin de una familia cualquiera de subconjuntos abiertos es un subconjunto abierto.

3 La interseccin de una familia finita de subconjuntos abiertos es un subconjunto abierto.

Un espacio topolgico es un par (X ;t) donde X es un conjunto y t es una topologa en X .

21) Una aplicacin f : X ! Y , de un espacio topolgico X en un espacio topolgico Y , se dicecontinua cuando la imagen inversa f1(B) de todo abierto B Y fuera un abierto en X .Ms especficamente, f se dice continua en un punto a 2 X cuando, para cada abierto BY , conf (a) 2 B, existe un abierto A X , con a 2 A, tal que f (a) B.

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22) Un espacio topolgico se dice metrizable cuando cunado es posible definir una mtrica d en X talque los abiertos definidos por d, coniciden con los abiertos de la topologa deX . No todo espaciotopolgico es metrizable.

23) Un espacio topolgico se llama espacio de Hausdorff(o espacio separable) cuando, dados dospuntos arbitrarios x 6= y en X , existen abiertos A;B X tales que x 2 A, y 2 B y A\B= f

24) Sean t y t 0 dos topologas en un mismo conjunto X . Diremos que t es ms fina que t 0 cunadot t 0, esto es, cuando todo abierto segn t 0 fuera necesariamente abierto segn t . Anlogamente,diremos que t es menos fina que t 0 cunado t t 0, o sea, cuando dado A X , A 2 t implica queA 2 t 0. Por ejemplo, toda topologa t en X es menos fina que la topologa discreta y mas fina quela topologa catica.

25) Un homeomorfismo h : X ! Y , de un espacio topolgico X en un espacio topolgico Y es unaaplcicacin continua y biunvoca de X sobre Y , cuya inversa h1 : Y ! X tambin es continua.

26) Topologa inducida: Sea f : S ! X una aplicacin de un conjuntos arbitrario S en un espa-cio topolgico X . La coleccin t de las imgenes inversas f1(A) de los abiertos A X por laaplicacin f es una topologa en S.

27) Topologa co-inducida: Espacio cociente. Sea X un espacio topolgico, Q un conjunto cualquieray j : X !Q una aplicacin de X en Q. Indiquemos con t la coleccin de los subconjuntos BQtales que j1(B) es abierto en X . Se verifica fcilmente que t es una topologa en Q, llamada latopologa co-imducida por la aplicacin j .

28) Topologa cociente: Sea X un espacio topolgico y E una relacin de equivalencia en X . En elconjunto Q = X=E, cociente de X por la relacin E, consideraremos la topologa co-inducida porla aplicacin cannica j : X ! X=E, que asocia a cada x 2 X la clase de equivalencia j(x) quelo contiene.

29) Una base en un espacio topolgico X es una coleccin de subconjuntos abiertos de X , llamadosabiertos bsicos, con las siguientes propiedades:Todo subconjunto abierto AX se expresa como la unin A=[Bl de abiertos Bl pertenecientesa.

30) Conjuntos cerrados: Un subconjunto F en un espacio topolgico X se dice cerrado cuando sucomplemento XF es abierto.

31) Proposicin: Sean X y Y espacios topolgicos. Para que una aplicacin f : X ! Y sea continua,es necesario y suficiente que la imagen inversa f1(F 0) de todo subconjunto cerrado F 0 Y sea unsubconjunto cerrado en X .

32) Sea S un subconjunto de un espacio topolgico X . Un punto x 2 X se dice adherente a S cunadotoda vecindad de x en X contiene al menos un punto de S. El conjunto de los puntos de X que sonadherentes a S se llama cerrado S. As, x 2 S si y solamente si, para todo abierto A del espacio X ,x 2 A implica A\S 6= f

33) En un espacio topolgico X decimos que un conjuntoV es una vecindad de un punto x2 X cunadox 2 R (V ). Esto quiere decir, naturalmente, que V contiene un abierto que contiene a x.

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34) Sea S un subconjunto de un espacio topolgico X . Un punto x2 X se llama punto de acumulacinde S caundo toda vecindadV de x 2 X contiene algn punto s 2 S, distinto del punto x. El conjuntode los puntos de acumulacin de S se llama el derivado de S (S0).

1. Espacio Conexo: Un espacio topolgico X se llama conexo cuando f y X son los nicos subcon-juntos de X abiertos y cerrados simultneamente.Intuitivamente, un espacio conexo es constituido por "un solo pedazo". Un subconjunto S de unespacio topolgico X se llama subconjunto conexo cuando, con la topologa inducida de X , S es unespacio topolgico conexo.

La frontera de un subconjunto S de un espacio topolgico X es el conjunto f r:(S) formadopor todos los puntos x 2 X tales que toda vecindad de x contiene puntos de S y de su comple-mento XS, en otras palabras x no pertenece al interior de S ni al interior de XS.

Sea S un subconjunto de un espacio topolgico X . Un punto x2 X se llama punto de acumu-lacin de S cuando toda vecindad V de x en Xcontiene algn punto s 2 S, distinto del puntox. (S0:Derivado de S).

Un conjunto es cerrado si, y solo si contiene a todos sus puntos de acumulacin. Si S X no posee puntos de acumulacin, entonces todo subconjunto de S es cerrado en X .

Luego, S es abierto y cerrado simultneamente si, y solamente si, su frontera es vaca.

2. Una sucesin en un conjunto X es una aplicacin definida en el conjunto N = f1;2;3; : : : ;n; : : :gde los nmeros enteros positivos y toman valores en X . A cada entero n 2 N la sucesin le hacecorresponder un elemento de X

3. En un espacio mtrico M, decimos que el punto x es el lmite de la sucesin (xn) cuando, paratodo e > 0 dado arbitrariamente, fuera posible obtener n0 2N tal que n> n0 implique d(xn;x)< e .(Unicidad del lmite) En un espacio mtrico M, una sucesin convergente posee un nico lmite.limn!xn = x, 8e > 0 9n0 2 N tal que d(xn;x)< e 8n> n0xn ! x, para toda bola abierta B centrada en x 9n0 2 N tal que xn 2 B 8n> n0Una sucesin (x)n de un espacio mtrico M es llamada de acotada si 9C > 0 tal que d(xn;x) n0 implica que xn 2 A

5. Sea M un espacio topolgico y (xn) una sucesin de M, entones (xn) converge para x si para todoabierto A de X , existe n0 2 N de modo que xn 2 A, para todo n> n0.

6. Una subsucesin de una sucesin (xn) en X es una restriccin de la aplicacin n! xn a un sub-conjunto infinito N0 = fn1 < n2 < :: :g del conjunto N= f1;2; : : :g.

7. Si xn ! a, entonces toda subsucesin de (xn) converge para a.8. Proposicin: SeanM y N espacios mtricos. Para que una aplicacin f :M! N sea continua en

el punto a 2M es necesario y suficiente que xn ! a en M implique f (xn)! f (a) en N.Para que f :M! N sea continua en el punto a 2M es necesario y suficiente que que la imagen( f (xn)) de toda sucesin convergente (xn) en M sea una sucesin convergente en N.

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9. Proposicin: Para que un subconjunto F de un espacio mtrico M sea cerrado, es necesario ysuficiente que el contenga el lmite de toda sucesin convergente de puntos xn 2 F .

10. Proposicin: SeaM un espacio mtrico. Para que un subconjunto AM sea abierto es necesarioy suficiente que toda sucesin (xn) que converge para un punto a 2 A tenga xn 2 A para todo nsuficientemente grande.

11. Proposicin: Sea M un espacio mtrico. Para que x 2 M sea punto de acumulacin de unsubconjunto SM es necesario y suficiente que exista una sucesin de puntos xn 2 S, con xn! xy xm 6= xn para m 6= n.

12. Sea X un conjunto cualquiera y M un espacio mtrico. Se dice que una sucesin de aplicacionesfn : X ! M converge simplemente para una aplicacin f : X ! M cuando, para cada x 2 X lasucesin ( f1(x); f2(x); : : : ; fn(x); : : :), de puntos fn(x) 2M, converge para el punto f (x) 2M.As, fn! f simplemente si, y solamente si, para cada x 2 X y cada e > 0 existe un nmero enteropositivo n0 = n0(x;e)(que depende no solamente del e dado, sino tambin del punto x considerado)tal que n> n0(x;e) implica d( fn(x); f (x))< e

13. Se dice que, fn ! f uniformemente cuando, dado e > 0 , fuera posible encontrar n0 = n0(e)(dependiendo apenas de e) tal que n> n0 implica que d( fn(x); f (x))< e , sea cual fuera x 2 X

14. Sean M, N espacios mtricos. Una aplicacin f : M N se dice uniformemente continuacuando, para todo e > 0 dado arbitrariamente, puede obtenerse un d > 0 tal que d(x;y)< d implicad( f (x); f (y))< e , sean cuales fueran x;y 2M

15. Un Homeomorfismo uniforme f :M! N es una aplicacin biunvoca , uniformemente continua,deM sobre N, cuya inversa f1 :N!M tambin es uniformemente continua. Evidentemente todaaplicacin uniformemente continua es continua, y por lo tanto todo homeomorfismo uniformees un homeomorfismo.

16. Dos mtricas d, d0 en un espacio M se dicen uniformemente equivalentes cuando la aplicacinidentidad i : (M;d)! (M;d0) es un homeomorfismo uniforme.

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