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TOMO I
Prof. JORGE INOSTROZA L. Magíster en Matemática 2010
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A LOS ESTUDIANTES: La decisión de conformar estos apuntes de clases ,que se pone a disposición de los alumnos de Ingeniería de Ejecución, responde a dos propósitos principales; Por un lado ofrecer un material de apoyo conforme a los contenidos expresos del Programa de Cálculo Aplicado en un estilo sencillo apto para un primer paso en el estudio de las materias correspondientes con un fundamento adecuado a las exigencias del perfil profesional y una variada gama de ejemplos resueltos y propuestos para tal propósito. Por otra parte se pretende que sirva además como un estímulo a la indagación bibliográfica como requisito indispensable en la autoformación del estudiante, conducta que deberá acompañarlo durante todo su desempeño profesional y que le procurará los argumentos necesarios para la toma de decisiones en ese ámbito principalmente. No se trata de un trabajo muy acabado ni pretende competir con los textos que existen en estas materias, más bien lo vemos como un preámbulo amistoso y sencillo por lo que el estudiante no deberá conformarse con ello. Para aquellos alumnos y profesores que se sirvan de este material, nos permitimos solicitarle los comentarios que tiendan a mejorar este proyecto de ayuda estudiantil agradeciendo de antemano esa colaboración.
Prof. Jorge A .Inostroza Lagos Magíster en Matemática
______________________________________________________________________________________ UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE. PROF. JORGE ALEJANDRO INOSTROZA LAGOS
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INDICE. Capitulo 1.- FUNCIONES REALES 1.1.- Introducción 3 1.2.- Conjuntos y nomenclaturas. 3 1.3.- Caracterización de los reales. 6 1.4.- Función real de una variable real. 27 1.5.- Funciones exponenciales y Logaritmo. 53 1.6.- Elementos básicos de Geometría Analítica. 56 1.7.- Límite y continuidad. 85 1.8.- Guía de Ejercicios. 99
Capitulo 2: CÁLCULO DIFERENCIAL 2.1.- La derivada de funciones en R 107 2.2.- Guía de Ejercicios 144 2.3.- Aplicaciones de la derivada. 148 2.4.- Teorema del Valor Medio 158 2.5.- Máximos y mínimos 161 2.6.- Reglas de L’Hôspital 168 2.7.-Guía de Ejercicios 171 Capitulo 3.- CALCULO INTEGRAL. 3.1.- La integral indefinida Antiderivada ó primitivas 173 3.2.- Métodos de integración.- 182 3.3.- Guía de Ejercicios 213
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1.1.- Introducción.- El quehacer matemático conlleva la creación desarrollo y demostración de objetos matemáticos estos que pueden ser proposiciones, o enunciados de diferente naturaleza requieren de un coherente sistema de símbolos y un vocabulario que permita su difusión y comprensión en el ámbito mas amplio posible, este espíritu de universalidad nos mueve a entregar de un modo breve los elementos más necesarios para nuestro desarrollo del trabajo que juntos emprendemos. Aunque para todos debiera ser familiar.
1.2.- Conjuntos y nomenclaturas:
El conjunto entendido como un concepto primitivo denotado por letras mayúsculas: ZYXCBA ,,.......,,, ….; y que está compuesto por elementos señalados por letras minúsculas:
.....,,....,,, zyxcba ,La pertenencia de éstos a un conjunto y la inclusión de un conjunto en otro se expresan por:
Aa ∈ Se lee “ a pertenece al conjunto A”
Aa ∉ Se lee “a no pertenece al conjunto A”
BA ⊂ Se lee A es un subconjunto o está contenido en B
BA ⊆ Se lee A es un subconjunto o igual al conjunto B
BA ⊄ Se lee el conjunto A no es parte del conjunto B.
Un conjunto se puede expresar por extensión, es decir enumerando todos sus elementos o bien por comprensión, señalando las características comunes de todos sus elementos mediante un clasificador:
}{ ....,,,, edcbaA = Por extensión.
{ xRxA ∈= =2n,n N∈ } Por comprensión
Clasificador que se lee “A es el conjunto de todos los x reales tal que x es un número par”.
Las operaciones principales entre conjuntos son: Unión e Intersección:
}{ BxAxxBA ∈∨∈=∪
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Se lee “es el conjunto de todos los elementos x que pertenecen a A ó pertenecen a B”
}{ BxAxxBA ∈∧∈=∩ :
Se lee “Es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y también pertenecen a B”
También requerimos del Complemento de un conjunto o sea el de aquellos elementos del conjunto universal que no pertenecen al conjunto:
}{ AxUxAC ∉∈=)(
La Diferencia entre dos conjuntos A y B está dada por: }{ BxAxxBA ∉∧∈=− .
Las sentencias o proposiciones en matemática son enunciados que admiten un valor de verdad, es decir pueden ser verdaderas o falsas: Ej.:
P = “Dos naturales consecutivos no pueden ser ambos par”
P = “Todo número divisible por 3 y por 4 lo es por 12”
Para expresar o conectar sentencias o proposiciones necesitamos además de ciertos símbolos que nos entrega la lógica simbólica.
QP ⇒ Se lee P implica Q (Si P entonces Q)
QP ⇔ Se lee P es equivalente con Q.ó ( P Sí y solo si Q )
QP ∧ Se lee P y Q
QP ∨ Se lee P ó Q.
Además se tienen los llamados cuantificadores:
∀ “para todo” ∃ “existe al menos uno”
!∃ “ existe un único”
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Las siguientes “sentencias” o “proposiciones” las vemos en símbolos:
1.- “Para todos los alumnos del curso existen menores o igual a 20 años”
20≤∃⇒∈∀ aCa .
2.- “El curso está formado por los de edad entre 19 y 21 años”
2119 ≤≤⇒∈∀ aCa
3.- “Todo número natural multiplicado por dos es par”
parxNx 2⇒∈∀ .
Por último acotemos que el cálculo preposicional nos llevará a las llamadas tablas de verdad con que se analizan las proposiciones y que será tema de otra instancia.
Ejercicios:
Defina el conjunto y escriba en símbolos:
1.- “Si un natural es divisible por 2 y por 6 entonces es divisible por 12”.
2.-“Todo número divisible por 3 y por 4 lo es por 12”
3.- “Para dos números consecutivos uno es impar” .
Lea las sentencias:
a) {=A a }NmmaN ∈=∈ ,3 b) }{ 10−≥∈= xRxB
Observación Se reitera aquí que lo señalado es una apretada síntesis de lo que se espera sea un tema conocido.
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1.3.- Caracterización de los reales
El conjunto R de los números reales, protagonista principal y casi único de nuestro quehacer matemático requiere ser identificado con cierta claridad y precisión en aras del rigor que debe acompañar todo nuestro trabajo, del mismo modo son necesarias las caracterizaciones de los otros sistemas numéricos que forman parte de los reales.
Los Reales están provistos de una Estructura Algebraica, es decir un conjunto de Operaciones y de Axiomas que le dan el carácter de un Cuerpo-Ordenado y Completo. Se verá que en el enunciado de estos axiomas faltan muchas propiedades de los reales que son conocidas y con las que hemos convivido desde nuestros primeros años de estudio y es que todas ellas se derivan de estos enunciados y eso es lo notable de esta caracterización.
1.3.1.-Los Reales conforman un Cuerpo:
Es decir “ R esta provisto de la estructura algebraica de Cuerpo” y que admite dos Operaciones llamadas suma y producto entre reales y que satisfacen los siguientes Axiomas de cuerpo:
RyxRyxAx ∈+⇒∈∀ ,:01. Clausura en la suma
xyyxRyxAx +=+⇒∈∀ ,:02. Conmutatividad .03 : , , ( ) ( )Ax x y z R x y z x y z∀ ∈ ⇒ + + = + + Asociatividad .04 : 0 0 0Ax R x R x x x∃ ∈ ∋ ∀ ∈ ⇒ + = + = Neutro aditivo .05 : ( ) ( ) 0Ax x R x R x x∀ ∈ ∃ − ∈ ∋ + − = Inverso aditivo
RyxRyxAx ∈⋅⇒∈∀ ,:06. Clausura en el producto. xyyxRyxAx ⋅=⋅⇒∈∀ ,:07. Conmutatividad
∃:08.Ax RxxxxR ∈∀=⋅=⋅∋∈ ;111 Elemento unitario
1;0:09. 11 =⋅∋∃≠∀ −− xxxxAx ; )1( 1
xx =− Inverso multiplicativo
zxyxzyxRzyxAx ⋅+⋅=+⋅⇒∈∀ )(,,:10. Distributividad.
Debemos entender como una convención notacional que:
x
x 11 =− y que : yxxy =−1 . Además : yxyx −=−+ )( .
Con esto observamos que el cuociente de dos reales es un producto y la resta es una suma, o sea que las llamadas cuatro operaciones son en realidad solo dos.
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Como se decía, de estos axiomas surgen otras propiedades de los reales que son objeto de demostraciones, que denominamos Teoremas y que son aquellas que hemos estado asumiendo en nuestro quehacer cotidiano. Algunos de ellos:
00;:01. =⋅⇒∈∀ xRxTeo . · 0 0 0Si x y x y= ⇒ = ∨ =
:02.Teo RR ∈∧∈ 10 .− son cosúni
zxzyyxRzyxTeo =⇒+=+∋∈∀ ,,:03. zyxzxy =⇒=∧ ; ncancelació 00,:04. ≠⋅⇒≠∀ yxyxTeo . yxyxRyxTeo −−=+−⇒∈∀ )(,:5.0 { } xxRxxxRxTeo =⇒−∈∀∧=−−⇒∈∀ −− 11)(0)(:06. yxyxxxRyxTeo ⋅=−⋅−−=−⇒∈∀ )()(;)1(,:07. ; )()·( xyyx −=− 00.08. 1 ≠⇒≠∀− −xxTeo 11)(0,:09. −− =⇒−∈∀ xxyRyxTeo 111 )()(0,,,:10. −−− ⋅+=+⇒−∈∀ ywzyxwzwxyRwzyxTeo
1 1 1.11: , , , ; , 0 ( ) ( ) ( ) ( )Teo x y z w R y z xy wz xw yz− − −∀ ∈ ≠ ⇒ ⋅ = ⋅ ..12 : , ( )·( ) ( )·Teo x y R x y xy y x y xy∀ ∈ ⇒ − − = − = −
Las demostraciones que se dan solo en algunos casos, dejan al estudiante el desafío de completar el trabajo teniendo como requisito, en nombre del rigor, argumentar con propiedades ya demostradas o los axiomas.
Teorema 1.-
a) 00 =⋅⇒∈∀ xRx .
b) · 0 0 0Si x y x y= ⇒ = ∨ =
Demostración ) ·0 ·(0 0) ·0 ·0 ( .4 .10)·0 ( ·0) ·0 ·0 ( ·0) ( .5)
0 ·0 ( ·0 ·0)0 ·0 00 ·0
a x x x x Ax y Axx x x x x Ax
x x xxx
= + = ++ − = + + −
= + −= +=
b) 1 1 1 1( · ) 0; ·( ) ·0 0 ( · )· 0 1· 0 0Si x o x y x x xy x x x y ó y y− − − −≠ ∧ = ⇒ ∃ ∋ = = ⇔ = = ∴ =
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Teorema 2.-
El neutro aditivo y el elemento unitario son únicos.
Demostración:(indirecta)
a) Supongamos que existen: 0 0y ∗ como dos neutros distintos:
000 =+⇒ ∗ y ∗∗ =+ 000 ∗=⇒ 00 . Esto es una contradicción respecto de la suposición inicial, luego dicha suposición es incorrecta. (Esto está fundado en la tautología: HTTH −⇒−⇔⇒ que fundamenta la demostración por reducción al absurdo)
b) Supóngase que : 1 2e y e , son dos unitarios distintos.
⇒ 11 1 1
2 1 2 1 2, /
xe x y
xe x xe xe x xx e xx e− − −
=
= ∴ ⇔ = ⇒ = ⇒
1 21 1e e⋅ = ⋅ 1 2e e⇒ = ( : 8 :9Ax y Ax )⇒⇐ Esto indica que hemos llegado a una contradicción con la hipótesis de partida, luego el unitario es único.
Teorema 3 .-
Existe la ley de cancelación tanto en la suma como en el producto es decir:
a) zyzxyx =⇒+=+
b) 0; ≠=⇒⋅=⋅ xzyzxyx
Demostración:
Para demostrar que si: zyzxyx =⇒+=+ . se tiene :
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)()()()( xzxxyx −++=−++ la conmutatividad y la asociatividad permiten:
zyzyzxxyxx =⇔+=+⇔+−+=+−+ 00))(())(( .(Ax. 4 y Ax.5 )
Por demostrar que si: zyxzxy =⇒= ,análogamente de: 11 )()( −− = xxzxxy zyzxxyxx 11)()( 11 =⇒=⇒ −− zý =⇒
Teorema 4.-
00, ≠⇒≠∀ xyyx
Demostración (Indirecta)
Si x·y = 0
⇒⇐=⇒==⋅
=⋅=⋅⇒−
−−
001·0)·(00)(
1
11
xxóyyxparteotraporyyxy
Teorema 5.-
yxyxRyx −−=+−⇒∈∀ )(,
Demostración:
Como: 0)()( =+−+ yxyx y por otra parte:
0)()()( =−+−=−−+ yyxxyxyx , al igualar y aplicar cancelación queda:
yxyx −−=+− )(
Teorema 6.-
xxxxRyx =∧=−−⇒∈∀ −− 11)()(, .
Demostración: Como
).())(()()(0))(()(0)(
xxcancelandoxxxxxxxx
−−=−−+−=−+⇒=−−+−∧=−+
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Como 111111 )(1)()(1 −−−−−− ==⋅∧=⋅ xxncancelacióporxxxx
Teorema. 7.-
xyyxyxxRyx =−−−=−∈∀ ))·(()·1(;, . Y xyyx −=− )(
Demostración:
Como: 0·0)·11()·1()·1()·1( ==+−=+−=+− xxxxxx y por otra parte
0=+− xx xx −=−⇒ )·1(
Como { } yypuesyxxyyxyxyxyxxyyx
=−−−=−=−−−=−−−=−+−−
)1(.0))(())(())(1())(()()1()())((
por la primera parte.
Por último si: xyyxxyxyxyxyyx −=−⇒=+−=+−=+− )(0)11()1()(
Teorema 8.-
El inverso multiplicativo de un real no nulo es siempre no nulo es decir: { }1 0 0x x R− ≠ ∀ ∈ −
Demostración.
Si ⇒⇐=∴==⇒= −−− 101·0·0 111 xxperoxxx .
Esto es una contradicción con la hipótesis, por lo que basta para que la proposición esté demostrada en virtud de la ya señalada “tautología”
HTTH −⇒−⇔⇒ Esto se lee que “de la hipótesis se deriva la tesis es equivalente a que de la negación de la tesis se deriva la negación de la hipótesis” cosa que se observa en la respectiva tabla de verdad
Observación:
El estudiante podrá agregar los fundamentos de las acciones seguidas, es decir mencionando los axiomas o propiedades que se han empleado como en los casos anteriores para las demostraciones que siguen.
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1.3.2.- Los Reales son Ordenados:
En términos informales se puede decir que es un conjunto que se alinea ordenadamente en un eje orientado.
Se admite axiomáticamente que existe un sub-conjunto de R denominado de reales positivos señalado por +R que cumplen los Axiomas de Orden:
++ ∈+⇒∈∀ RyxRyxAx ,:01.
++ ∈⋅⇒∈∀ RyxRyxAx ,:02. 0:03. =∨∈−∨∈⇒∈∀ ++ xRxRxRxAx .
De lo anterior podemos deducir que existe el sub- conjunto de R, designado por −R de los
reales negativos: }{ +− ∈−∈= RxRxR )(/
y por lo tanto }{0∪∪ −+= RRR .
Se definen los conceptos que le dan sentido al carácter de ordenado de R.
Definición
1.- )0(;, =−∨∈−⇔≥∈∀ + yxRyxyxRyx Se lee “x mayor o igual a y” 2.- )(;, +∈−⇔>∈∀ RyxyxRyx Se lee “x mayor que y” 3.- )(;, xyyxRyx ≥⇔≤∈∀ . Se lee “x menor o igual a y” 4.- )(;, xyyxRyx >⇔<∈∀ Se lee “x menor que y”
Aquí, como es de suponer, también surgen otras proposiciones derivadas de los axiomas señaladas en los siguientes Teoremas
0:01. >⇔∈∀ + xRxTeo 0<⇔∈−∧ + xRx
:02.Teo ∨∈ +R1 01 >
RzyxzxzyyxSiTeo ∈∀<⇒<< ,,;;:03. yxóyxóyxóRyxTeo =><⇒∈∀ ,:04.
zyzxyxzyxTeo +<+⇔<∀ ;,,:05. 000:06. <⋅⇒>∧< yxyxSiTeo
xzxyzyxSixzxyzyxSiTeo <⇒>∧<>⇒>∧> 0;0:07.
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010:08. >⇒>x
xSiTeo yx
yxSi 110 >⇒<<
:09.Teo vyuxvuyxSi +<+⇒<∧< yvxuvuyxSiTeo <<⇒<<∧<< 000:10.
Con los axiomas y estas propiedades se pueden resolver ahora problemas de desigualdades y de inecuaciones que serán temas de más adelante. Por ahora algunas demostraciones:
Teorema 1.-
Si : 0>⇔∈ + xRx .
Demostración:
El axioma 2 dice ++ ∈⇔∈−⇔> RxRxx 00
Teorema 2.-
En R se tiene que +∈ R1 ,o sea el elemento unitario es positivo.
Demostración.
Si ⇒⇐>⇒=−−>−−∴>−⇒< 011)1)·(1(.0)1)·(1(0)1(01 Pero Por reducción al absurdo la proposición inicial es falsa.
Teorema 3 .-
Si ;x y y z x z< ∧ < ⇒ < .
Demostración. +∈−⇔< Rxyyx +∈−⇔< Ryzzy Sumando ambas: +∈− Rxz zx <⇔
Teorema 7.-
xzxyzyx <⇒>∧< 0 .
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Demostración
(-x) +∈ R ++ ∈+−=−−+⋅−=−−⇒∈−∧ RxzxyzxyxzyxRzy ))(()())·(( xyxz >∴
Teorema 8 .-
Si 00 1 >⇒> −xx y Si 110 −− >⇒<< yxyx .
Demostración.
001· 11 >⇒>= −− xxx . Por otra parte: 0>− xy
Como xy
xyyx
−=−
11= 1))·(( −− xyxy >0 pues ambos factores son positivos se
tiene:yx11
> ó 11 −− > yx
Estos elementos nos permiten además trazar un gráfico de representación de los reales en un eje o recta orientada en que cada real es un punto en la recta y cada punto de la recta un real ;Así a la izquierda del 0 están los reales de −R y a su derecha los de +R , de modo que si “ a < b” ;b se ubica a la derecha de a.
−R a 0 b +R
Algunos subconjuntos notables de R son los intervalos:
(a , b) = }{ bxaRx <<∈ / Abierto [ ] }{ bxaRxba ≤≤∈= /, Cerrado ( ] }{ bxaRxba ≤<∈= /, Semi abierto por derecha [ ) }{ bxaRxba <≤∈= /, Semi abierto por izquierda
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]( }{ bxRxb ≤∈=∞− /, Infinito seme cerrado por derecha
[ ) }{ axRxa ≥∈=∞ /, Infinito semi cerrado por izquierda
1.3.3.- Desigualdades e inecuaciones.
Como resultado de la condición de ordenado de los reales surgen nuevas consecuencias como son las desigualdades relación válida para todos los valores de las variables involucradas y las inecuaciones cuya validez alcanza a ciertos valores a determinar.
Ejemplos de desigualdades:
1.- 02 ≥⇒∈∀ aRa
Solución:
Si 00 2 =⇒= aa
Si ++ ∈⇒∈ RaaRa · ; 02 >⇔ a por Axioma 2 y Teorema 1.-
Si ++− ∈=⋅−⋅−=−⋅−=−−∴∈−⇒∈ RaaaaaaRaRa 22)1()1()1()1())·(()( .
2.- 21≥+⇒∈∀ +
aaRa .
Solución:
Aquí usamos una estrategia novedosa que consiste en reformular lo que se busca demostrar hasta llegar a una forma más accesible o de verdad evidente.
0)1(02121 2 ≥+⇔≥−+⇔≥+a
aa
aa
a .Pero esto último es evidente y por ser
equivalente a lo primero, luego la demostración queda completa ;es lo mismo que partiéramos de esto último obviamente verdadero hasta llegar a lo propuesto.
3.-ba
ababbaRba+
≥≥+
∈∀ + 22
;, .
”El medio aritmético es mayor o igual al medio geométrico y éste es mayor o igual al medio armónico” ( MHMGMA ≥≥ )
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Solución.
Por demostrar que: 0)(022 2 ≥−⇔≥−+⇔≥+ baabbaabba Pero esto es evidente por lo que la demostración podría iniciarse desde este punto y retornar hasta llegar a lo buscado.
Aplicamos lo anterior al par:ba1;1 o sea :
baba1·1)11(
21
≥+ abba
ababab
ba≤
+⇔≥
+⇔
212
.
4.- Probar que: +∈∀ Rcba ,, : .8))()(( abcaccbba ≥+++
Solución:
Como:ba
abab+
≥2
cb
bcbc+
≥2
ca
acac+
≥2 .
Multiplicando:))()((
8 222222
cacbbacbacba
+++≥ .8))()(( abccacbba ≥+++⇔
Ejemplos de inecuaciones.
1.- Resolver: .2417 xx −≤−
Solución: Aplicando teoremas y propiedades:
Por Teorema anterior: 1427 +≤+ xx Por Teorema95
≤⇒ x .ó ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ ∞−∈
95,x
2.- Resolver: 3
945
63 +<
− xx .
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Solución
Amplificando por 15 )94(5)63(3 +<−⇒ xx , desarrollando:
9x-18<20x+ 45 ⇒<−⇒ x11631163
−>x . ó ),1163( ∞−∈x
3.- Resolver: .01832 ≥−+ xx
Solución:
Estas inecuaciones de grado dos o mayor requieren de un tratamiento más cuidadoso. Para las de grado dos, el estudio del trinomio de segundo grado nos indicaba que su gráfico es una parábola y la solución de la inecuación se observa en el gráfico y depende del discriminante y del signo del coeficiente de 2x , se parte de la determinación de las raíces reales, si las tiene,.Así en la figura
y
x
-6 0 3
Como: )6)(3(1832 +−=−+ xxxx ; 3 y -6 son las raíces;el gráfico del trinomio es una parábola que se abre hacia arriba y corta al eje x en los puntos x=3 y x=-6, luego éste será positivo a la izquierda de -6 o a la derecha de 3, luego:
{ )3()6/( ∞<≤∪−≤<−∞∈= xxRxS
] [ )∞∪−−∞= ;36,(S
4.- Resolver: .423
≤−+
xx
Solución:
Téngase cuidado si se tiene la tentación de multiplicar por el denominador ello no es correcto pues puede alterarse el sentido de la desigualdad si el factor es negativo lo que puede ocurrir si x<2 .Luego habría que considerar las dos situaciones por separado.
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O bien:
)020311())020311()
0231104
234
23
<−≥−∨>−∧≤−
⇔≤−−
⇔≤−−+
⇔≤−+
xyxbxxa
xx
xx
xx
.
Nótese la simultaneidad
De a) 3
112 ≥∧> xx3
11≥⇒ x
De b) x<23
11≤∧ x 2<⇒ x ∴S= }
⎩⎨⎧ ≥∨<∈
3112/ xxRx ó S=( ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞∪∞− ,
311)2,
Graficamente:
---------- ) [
2 11/3
5.- Resolver:
a) 0)2)(1)(3( ≥++− xxx ; b) 0)2(
)1)(3(≥
++−
xxx
Solución: Veremos que la modalidad es la misma para las dos situaciones, y consiste en analizar la variación del signo de cada factor en la siguiente tabla dispuesta convenientemente para señalar la variación de signo en cada factor.
312 −−∞− ∞+
X+2 - + + +
X+1 - - + +
X-3 - - - +
signo - +
positivo
- +
positivo
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Luego el conjunto solución es: S= [ ] [ )∞∪−− ,31,2 ó S = ( ] [ )∞−∪−− ;31;2 para el segundo caso
6.- Resolver:
0)2)(2()1)(5(
<+−+−
xxxx
Solución:
Al igual que el caso anterior se trata de analizar el signo de cada factor para determinar los casos que en conjunto dan negativo
∞−−∞− 5212
Luego la solución general es S = )5,2()1;2( ∪−−
Valor absoluto de un real:
Definición:
Para todo real, se define su valor absoluto como el número no negativo:
⎩⎨⎧
<−≥
=00
xsixxsix
x
x+2 - + + + +
x+1 - - + + +
x-2 - - - + +
x-5 - - - - +
Signo negativo negativo
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Ejemplos:
1.- 555 =−=
2.- xx −=
3.- 00 =
Teorema 1.- El valor absoluto de un producto de reales es igual al producto de sus valores absolutos. O sea:
yxxyRyx =⇒∈∀ , .
Demostración:
i) Si x , y +∈R xyyxyyxx =∴==⇒ ·;
como xyxy = yxxy =⇒
ii) Si xyyxyyxxRyRx −=∴−==⇒∈−∈ ++ ;:
Pero yxxyxyxy =∴−= .
iii) Si -x +∈ R ; -y +∈ R xx −=⇒ ; yy −=
xyyxyx =−−=∴ ))(( . Pero xy = xy yxxy =⇒
Corolario:
yx
yx
=
Demostración:
11· −− = yxyxy
x 1=
yx
=
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Teorema 2 .-
Si 0>a entonces a) axyaxax −≥≤⇔≤ o bien: axa ≤≤− .
b) axaxax −≤∨≥⇔≥
Demostración:
a) Lo que se enuncia se ve en el gráfico
-a - -------x--------- 0 --------x---------- a
i) Si axaxxxx ≤⇒≤∧=⇒≥ 0 , y como x es positivo ax −≥
Luego axa ≤≤− .
ii) Si ⇒≤ 0x x a≤ y como axóaxax −≥≤−⇒≤ ,pues xx −= .Por lo tanto axa ≤≤−
b)
-------x -a--- 0 a--------x------------
Si x>0 axax ≥⇒≥ . Si x<0 xx −= , luego -x axa −≥⇔≤
Teorema 3 .-
yxyxRyx +≤+⇒∈∀ , . De la desigualdad triangular.
Demostración:
xxxx ≤≤−∀
yyyy ≤≤−∀ Sumando:- +≤+≤+ xyxyx( y
Por teorema # 2 yxyx +≤+ .
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Inecuaciones con valor absoluto.
1.- Resolver la inecuación:
372 ≤−x
Solución:
Por Teo#2 se tiene: 3723372 ≤−≤−⇔≤− xx ,analizando separadamente cada una de las dos inecuaciones se tiene:
i) 2723 ≥⇒−≤− xx
ii) 5372 ≤⇒≤− xx . Como deben darse ambas soluciones : S= }{ 52/ ≤≤∈ xRx .
[ ]5;2=S
2.- Resolver:
211 >++− xx
Solución. Se debe considerar el cambio de signo de (x-1) y (x+1), lo que se resume en el siguiente cuadro:
∞− -1 1 ∞
x+1 - + +
x-1 - -. +
(a) (b) (c)
Luego debemos considerar tres situaciones:
a) Si ; 2)1()1(2111 >−−+−⇔>−++⇒−≤ xxxxx 122 −<⇔>−∴ xx
Luego )1;( −−∞=aS
b)Si: 222)1()1(21111 >⇔>−−+⇔>−++⇒<<− xxxxx .
Luego φ=bS
c) Si : 12)1()1(2111 >⇒>−++⇔>−++⇒≥ xxxxxx
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Luego: );1( ∞=cS y );1(1;( ∞∪−−∞=TS
3.-Resolver: 123 +>− xx
Solución:
Por resolver: 0123 >+−− xx y como en el caso anterior analizamos los cambios de signos
∞− -1/2 3 ∞
2x+1 - + +
x-3 - - +
(a) (b) (c)
a) Si ⇒−≤21x 3−x =-(x-3) y )12(12 +−=+ xx , luego resolvemos
-(x-3) + (2x+1)>0 ]2/1;4(404 −−=⇒−>∴>+⇒ aSxx
b) Si: -1/2<x<3.- el cuadro nos indica que debemos resolver -(x-3)-(2x+1)>0
o sea: 3x<2 ó x<2/3,considerando la condición : bS )3/2;2/1(−=
c) Para −≥ .3x Según el cuadro el problema se transforma en : (x-3)-(2x+1)>0
o sea: x<-4, luego al no haber intersección común entre la condición y el resultado.
φ=cS por lo tanto : ).3/2;4(−=∪= baT SSS
4.- Resolver: 4≤+ xx
23
Solución:
2420: ≤∴≤⇒≥ xxxSi ; Si: x<0 4≤−⇒ xx ,se cumple para todo x <0.Luego
S= ][ 2;0)0;( ∪−∞ =(- ]2;∞
5.- Resolver:
(x-1)> 1+x .
Solución: Hay que hacer algunas consideraciones previas que le den sentido al problema .por ejemplo
x+1 0≥ y x-1 0> ,lo primero para que exista la raíz y lo segundo por que la raíz es
positiva o nula. O sea la condición es que 1>x .Aplicamos ahora la propiedad que si:
a>b 22 ba >⇒ con +∈ Rba, .Luego: 1)1( 2 +>− xx 0)3( >−⇒ xx .osea 330 >∴>∧> xxx , o bién x<0 y x<3 0<∴ x Luego :S=(3; )∞ considerando la condición que x>1
6.-Resolver:
2x-1> 232 +− xx .-
Solución:
Condiciones: a) 2x-1 0> ; b) 0232 >+− xx ó sea 0)1)(2( ≥−− xx ∴ 12 ≤≥ xóx
Por a) x>1/2, luego la restricción queda: ]1;21( [ );2 ∞∪ .Ahora
resolvemos: 23)12( 22 +−>− xxx 013 2 >−−⇔ xx .Como este trinomio se representa por una parábola abierta hacia arriba con discriminante positivo la solución la definen las raíces:
6131
1−
=r y r =2 6
131+ luego : );();( 21 ∞∪−∞= rrS
);77,0()43.0;( ∞∪−−∞=⇒ S ):77,0( ∞=⇒ TS
0,77
24
1.3.4.-Los reales son un conjunto completo.
Esto es que R cumple el denominado Axioma del Supremo:
Previo algunas precisiones: Se define:
Definición:
i) El conjunto RS ⊂ es Acotado superiormente si:
MxRMSx ≤∋∈∃⇒∈∀ ; ,
M es llamado Cota Superior del conjunto.
ii)El conjunto RS ⊂ se dice Acotado inferiormente si :
NxRNSx ≥∋∈∃⇒∈∀ ,
N es Cota Inferior del conjunto.
iii)El conjunto RS ⊂ es Acotado; si RenM 0>∃ ,tal que
MxMSx ≤≤−⇒∈∀ .
Definición..-
Se llama Supremo del conjunto a la menor de las cotas superiores e Ínfimo del conjunto a la mayor de las cotas inferiores.
Ahora el Axioma del Supremo
Ax. “Todo conjunto infinito y acotado superiormente, tiene supremo”
Observación.
Se deduce que “Todo conjunto infinito y acotado inferiormente, tiene ínfimo”
25
Ejemplos:
1.- Determinar cotas, Supremo e Ínfimo del conjunto: }⎩⎨⎧
∈+=∈= Nnn
xRxS ;11
Solución:
Intuitivamente se observa que: 21 ≤< x ,luego Todo número menor que 1 es una cota inferior y la mayor de ellas es el 1 ,es el ínfimo, y todo valor mayor que 2 es cota superior , la menor de ellas es 2 es el Supremo.
2.- Determinar Supremo e Ínfimo de: }⎩⎨⎧
∈+
−=∈= Nnn
xRxS n ;)1
1()1(
Solución:
Una simple intuición y dando valores a n nos indica que Sup S = 1/3 y el Inf S = -1/2.
Para que el estudiante reflexione cuidadosamente se incluyen algunas propiedades derivadas de este Axioma del Supremo:
1.- yxnNnRyx >∋∈∃⇒∈∀ +, .-Propiedad Arquimediana.
2.- nxRxNn ≥∋∈∃⇒∈∀ .
3.- n
xNnRx 1>∋∈∃⇒∈∀ + .
El objetivo de esta primera parte se verá cumplido cuando el estudiante use adecuadamente este lenguaje y nomenclaturas es su decir y hacer matemático y verá como esta disciplina puede ser llevada a todo su quehacer aún el más doméstico.
1.3.5.-Otros conjuntos numéricos
Además debemos señalar que existen otros conjuntos numéricos dentro de los reales
que están caracterizados por:
1) N el conjunto de los naturales; 1,.2,3,4,5,6,7,…caracterizados por los llamado “Postulados de Peano” que dicen :
a) 1∈N; b) Si n∈N ⇒ n+1∈N.( n+1 es llamado sucesor de n),c) 1 es el único que no es sucesor de ninguno
26
2) Z el conjunto de los enteros, conformado por los naturales el cero y sus negativos: ……-3,-2,-1, 0,1,2,3,…..
3) Q el conjunto de los Racionales, son de la forma x/y con x e y enteros, con y no nulo.
Así se tendrá que : RQZN ⊂⊂⊂ . Donde IQR =− es el conjunto de los Irracionales Además existe otro conjunto y que contiene a los reales y que son Los Complejos , en él está por ejemplo las soluciones de la ecuación: 012 =+x . ___________________________________________________________________
Observación: Aquí concluye la caracterización de los números reales como un elemento indispensable para el trabajo posterior ya que su cabal conocimiento nos permite operar con rigor en lo que viene ,al estudiante se le recomienda un cuidadoso estudio del tema ya que con ello se inicia en un quehacer matemático coherente sistemático y lógico.
27
1.4.- Función real de una Variable Real.
Entendiendo que el alumno está ya familiarizado con el concepto general de relación y de función y con los conceptos y operatorias adyacentes podemos particularizar:
Definición: Se llama función real de una variable real a aquella con dominio en R y recorrido en R y que describimos como:
RRIf →⊆: ∋ )(xfyx =→
.Donde “x” es la pre-imagen e “ y” la imagen de x por f .Abreviadamente denotamos:
)(xfy = .
En que )(xf expresa la ley de formación de imágenes.
{ }( )Domf x R f x R= ∈ ∈ { }Re ( )cf y R y f x= ∈ =
Ejemplos:
1.- Sea ∋⊆ RRDf : 32 −=→ xyx
o simplemente 32)( −= xxf .
Observamos que: Dom. f =R y Rec f. ={ }RxxyRy ∈∀−=∈ ;32 = R.
2.- Sea 14
)( −=xxf . Aquí claramente: Dom. f =
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎭⎬⎫
≥≥−∈ 4014
xóxRx y
28
Rec. f = } +=∴=+⇔⎩⎨⎧
−=∈ RcfxyxyRy Re4414
/ 2 .Entiéndase que cualquiera sea +∈ Ry ,
admite la pre-imagen 44 2 += yx .
3.- Sea
32
2)(x
xf−
= . Dom f. =⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
>−∈ 03
2/ xRx 6<∴ x ó Dom. f = )( 6;∞− .
Rec f=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=∈
32
2/x
yRy ⇔ 2
126y
x −= , 0y∴ >
1.4.1.-Naturaleza de una función:
Ya se señaló que las funciones en general, pueden ser: Inyectivas; Epiyectivas y Biyectivas o invertibles. Naturalmente vale ello también para las funciones reales.
Ejemplos:
1.- Verificar la inyectividad de la función: 5
72)( −=
xxf , comprobar que también es epiyectiva y
señalar su inversa.
Solución:
Sean: .,72725
725
72)()( DomfRyxyxyxyxyfxf =∈∀=∴−=−⇒−
=−
⇔=
Luego es uno a uno o inyectiva.
Como para todo y en R existe una pre-imagen x puesto que: yRyx ∀∈+
=2
75
es decir la función es sobre o epiyectiva y por tanto invertible Así:2
75)(1 +=− yyf es su función
inversa, deducida de despejar x desde 5
72 −=
xy .
29
2.- Encontrar la inversa de 142)(
+−
=xxxf .
Solución:
Podemos observar que Dom f = }{ 1−−R y del hecho que : y
yxxxy
−+
=⇒+−
=2
4142
, se
deduce que Rec f = R-(2) ; Así y
yyf−+
=−
24)(1 con Dom =Recf
3.- Dada la función de dos ramas: f(x)=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<−
≥+
223
213
xSix
xSix
Encontrar su inversa si la tiene. -2
Solución:
La visualización de la inversa se encuentra girando los ejes de modo que la posición y orientación del eje x la ocupe el eje y
Vemos que Dom.f = R. Como 723
113 ≥⇒≥−
=⇒+= yyxxy . Pero si
342)2(32
3−<⇒<+=⇒−= yyxxy .Luego Rec. f = [ ) )⎜
⎝⎛ −∞−∪∞
34;;7 .Por lo tanto:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
−<+=−
73
134)2(3
)(1
ySiy
ySiyyf
2
-2
7
El gráfico muestra la situación en que la inversa en rigor son dos funciones pues su dominio no es un intervalo:
30
1.4.2.-Algebra de funciones:
Definición: Para f(x) y g(x) funciones definidas en ⊆VyU R .Se definen: a ) Función suma a: )()())(( xgxfxgf +=± . b) Función producto a: (f·g)(x)=f(x)·g(x).
c) Función cuociente a : ( 0)(;)()())( ≠= xg
xgxfx
gf
.
Si: Dom.f = U y Dom g = V.
Dom ( VUgf ∩=± ) . Dom VUgf ∩=· . Dom { }0)( =∋−∩= xgxVUgf
)
Definición: Sean RfcgRRIf →∧→⊆ :Re:: .Se define la composición de f(x) con g(x) a la función: ))(())((: xfgxfgRRIfg =∋→⊆ . Observación: Se desprende de la definición que .gffg ≠ Pues mientras en la primera g está definido en el Rec. f. en la segunda es f la que está definida en el Rec. g. Como se aprecia en el diagrama y el ejemplo. :I f RcfD ⊆= Re g R; )(( xfg fg ))(( xfg
fDomfgDomxfgxfgygxfyxRfcgRRIf
⊆∴==→=→∋→→⊆
)())(())(()()(.Re:;:
31
g f I RcgD ⊆= Re R ; ))(( xgf gf ))(( xgf
∋→→⊆ RgcfRRIg Re:;: )(()()( xgfyfxgyx =→=→ ))(( xgf= ( )xgfDom )(∴ Domg⊆ Ejemplos:
1.- Sean :6
3)(45)( +=−=
xxgyxxf Encontrar ))(())(( xgfyxfg )
Solución:
615
63)45(
63)())(())(( −
=+−
=+
==xxxfxfgxfg
6954
6354)(5))(())(( −
=−+
=−==xxxgxgfxgf .
Este ejemplo es suficiente para señalar que la composición de funciones no es conmutativa. 2.-Lograr las composiciones en los dos sentidos si :
3)(
+=
xxxf ; 5)( −= xxg .
Solución:
25
355)5())((
−−
=+−
−=−=
xx
xxxfxgf ;
31545
3)
3())((
+−−
=−+
=+
=xx
xx
xxgxfg
Nótese que los dominios en cada caso son diferentes a los dominios de la función inicial.
DomgfgDomDomfgfDom ⊆⊆ )()( 3.- Sean: [ ] [ ]3;1,2)(6,0,4)( 2 −∈+=∈+= xxxgyxxxf . Encontrar : .fgygf y los respectivos dominios. Solución: Nótese que se han restringido los dominios
32
−+=+= .6)2())(( 22 xxfxgf
O sea g: [ ] →− 3;1 [ ]11;3 f: [ ] [ ]10;26:0 → ][ ] [ ]5;0)(3;2Re =⊆⇒=⊆ fDomgfDomfcgDom
6)4())(( +=+= xxgxfg ⇒ gDomfgDom ⊆)( [ ]2;1− (¿) 1.4.3.-Gráfico de funciones.
Definición: Llamamos el gráfico de la función y = f(x) a la representación geométrica mediante un sistema de ejes cartesiano del conjunto:
y
)(xfy =
}{ )(/),( xfyyxG f ==
a b x
Ejemplos:
1.- 93)( += xxf , la recta
y 9
- -3 x
2.- [ ] enterapartefunciónxxf ,)( = ó f(x) = n : Si 1+<≤ nxn (Se trata del mayor entero contenido en x)
y
-2 -1 x
-1 1 2 3 4
3.- f(x) = 532 2 −− xx , la parábola.
33
y
-1 5/2 x
-5
4.- x
xf 1)( = , hipérbola equilátera.
y
x
y
5.- ,)( 3xxf = parábola cúbica. x
Observación: Por ahora solo podemos graficar algunas funciones, de modo preferentemente intuitivo en particular la función cuadrática general, cbxaxxf ++= 2)( ya que como hemos visto representan una parábola cuya disposición en el gráfico está determinada por el signo del discriminante, o sea las raíces y el signo de a.
a >0;D<0 a> 0 ; D=0 a>0 ; D>0 a<0 ; D<0 a<0 ; D=0 a<0 ¸D>0
Más adelante podremos encontrarnos con funciones multivalentes expresadas en forma implícita entre las que se destacan aquellas que representan a las curvas cónicas algunos ejemplos distintos pueden ser:
34
a) 122 =++ xyyx b) 2=++ yxyx c) xyyx 633 =+ , en que la forma explícita y = f(x) no está algebraicamente garantizada.
1.4.4.- Propiedades de funciones: Definición: Una función real se dice monótona creciente; Si
)()( yfxfyx ≥⇒≥∀
Definición: Una función se dice monótona decreciente ; Si:
)()( yfxfyx ≤⇒≥∀ Definición: Una función real se dice periódica de periodo “p”si cumple:
Zkkpxfxf ∈+= ),()( -2p -p p 2p 3p Definición: Una función definida en un intervalo simétrico donde axa ≤≤− ,se dice que es: a) función par: [ ]aaxxfxfSii ,)()( −∈∀−= ; (Gráfico simétrico con el eje y) b) función impar: [ ]aaxxfxfSii ,)()( −∈∀−−= ;(Gráfico simétrico con el origen).
35
1.4.5.- Clasificación de las funciones reales:
Según la ley de formación de imágenes pueden reconocerse dos tipos de funciones:
1.-) Funciones Algebraicas: 2.-) Funciones trascendentes.
1.- Funciones Algebraicas:
a) Funciones Polinomiales. (Lineales; cuadráticas, cúbicas etc.)
012
21
1 .............)( axaxaxaxaxp nn
nn
nn +++= −
−−
− . Polinomial en x de grado n.
cbxaxxp ++= 2)( . Función cuadrática.
.)( 23 dcxbxaxxp +++= Función cúbica.
b) Funciones racionales: )()()(
xqxpxr = ; p(x) y q(x) polinomiales.
c) Funciones Irracionales: [ ] .,,)()( enterosnmxgxf nm
= Ejemplos. a) 8963)( 24 −+−= xxxf . Función polinomial de grado 4
b) 624
76)( 2 +−−
=xx
xxf Función racional
c) 132)( 2 ++= xxxf Función irracional. Naturalmente que puede darse el caso de funciones que son combinaciones de éstas.
Ejemplo: 6
1)(2
++
=xxxf
36
2.-Funciones Trascendentes: a) funciones circulares o trigonométricas, b) funciones exponenciales, c) función logaritmo, d) funciones hiperbólicas.
1.4.6.- Funciones Circulares.
Entendemos que el estudiante ya está familiarizado con las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, la llamada Trigonometría y las relaciones que existen entre ellas y que fueron deducidas con respaldo del Teorema de Pitágoras.
Abordaremos ahora las funciones trigonométricas o circulares ,como funciones reales con dominio en R, en que las razones antes mencionadas pasan a ser situaciones particulares de ahí que muchas conclusiones son traspasables a éstas.
Medición de ángulos.
Los ángulos se medirán en sentido anti-reloj mediante dos sistemas:
a) Sistema sexagesimal.
El ángulo completo se divide en 360 grados, cada grado en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos. Así el ángulo extendido tendrá 180º y el ángulo recto tendrá 90º.
b) Sistema de la razón arco radio.
El ángulo completo equivale a las veces que el radio está contenido en la circunferencia y se le asimila a π2 unidades. La unidad es el Radián equivalente al arco de longitud de un radio. El cuociente arco /radio es invariante a la magnitud del radio.
37
Así: ( ).2(º360. Radπ= Y como:π
α2º360
º Radx= podemos obtener las fórmulas para reducir unos a
otros. π
α2360·º x
= ó 360
2·. πα=Radx .
Consideremos ahora un círculo de radio unitario y centrado en el origen de coordenadas, llamado Círculo Goniométrico.
P
x
0 R M
Definición:
Llamamos función seno a aquella que asocia a cada ángulo ó valor Rx ∈ la ordenada del punto P generado por el lado libre del ángulo [ ]1;1: −→RSen ∋ PMxSen =)( . 1)( ≤∴ xSen Definición: Llamamos función Coseno a aquella que asocia a cada ángulo Rx ∈ ,la abscisa del punto P generado por el lado libre del ángulo .
[ ] 1)()(1;1:: ≤∴=∋−→ xCosOMxCosRCos M P
x R
38
Definición:
La función Tangente; se define como: { }2
)12()()()( π
−−∈∀= kRxxCosxSenxtg ó
0)( ≠xCos
La función Cotangente, se define como: { }πkRxxSenxCosxCotg −∈∀=)()()( ó 0)( ≠xSen
La función Cosecante, se define como: { }πkRxxSen
xCo −∈∀=)(
1)sec(
La función Secante. Se define como: { }2
)12()(
1)( π−−∈∀= kRx
xCosxSec
Observación:
1.-Es claro que las funciones Seno y Coseno son acotadas como se ha señalado, y no lo son Cosecante y Secante pues: 11 ≤≤ CosxSenx 1)sec( ≥xCo y 1)( ≥xSec
2.- Observando el Círculo Goniométrico las diferentes funciones tienen un signo según el cuadrante en que se encuentre el ángulo.
3.- El recorrido de cada una de las funciones circulares puede observarse en los ejes de cada una como se aprecia en el gráfico: Del mismo modo su periodicidad y la paridad de ellas.
[ ] ] [ );11;(ResecRe1,1ReRe ∞∪−−∞==⇒−== cSeccCoCosccSen );(ReRe ∞−∞== cCotgcTg
Eje de Cotangentes Eje de Tangentes Eje de Senos Eje de Cosenos Ejes de Secantes. y Cosecantes
39
Se puede observar que:
)2()( πkxSenxSen += )2()( πkxCosxCos += tg(x)=tg(x+k )π
)()( xSenxSen −−= )()( xCosxCos −= )()( xtgxtg −−= 4.- Siendo OMP un triángulo rectángulo, en que OM es Sen(x) cualquiera sea el valor de x, podemos deducir también que:
1: 22 =+∈∀ xCosxSenRx .⇒
"
)(sec)(1)
.)()(1)22
22
xCoxCotgb
xSecxtga
=+
=+
Puesto que este es el punto de partida para las identidades trigonométricas Fundamentales ya conocidas para el triángulo rectángulo, se deduce que éstas son también válidas para nuestro caso ,ello nos ahorra reiterarlas al menos en sus fundamentos, pero que sin embargo las incluimos por su utilidad posterior Identidades trigonométricas Fundamentales
αSen αcos αtg αeccos αsec αgcot
αSen
___
α2cos1− α
α21 tg
tg
+
αeccos1
αα
sec1sec2 −
α2cot1
1
g+
αcos
α21 sen−
____ α21
1
tg+
αα
ecec
cos1cos 2 −
αsec1
α
α2cot1
cot
g
g
+
αtg
α
α21 sen
sen
−
αα
coscos1 2−
____ 1cos
12 −αec
α2sec αgcot
1
αeccos
αsen
1 α2cos11
−
αα
21 tgtg+
_____ α
αsec
1sec2 − α2cot1 g+
αsec
α21
1
sen−
αcos1 α21 tg+
1cos
cos2 −α
α
ec
ec ____ α
α2cot1
cot
g
g
+
αgcot
αα
sensen 21 −
α
α2cos1
cos
−
αtg1
1cos 2 −αec
1sec
12 −α
_____
40
5) Como en la fig. : ⇒=∧−= βααπβ cos2
Sen β C
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= απα
2cosSen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= απα
2cos sen pues: βα sen=cos A α B
∴ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= απα
2cot gtg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= απα
2cot tgg
6) Del gráfico
14
=πtg .-
22
21
4cos
4===
ππSen
Fig.21 232
3
321
6 2
2 ====a
a
senSena
a ππ
23
6cos
232
3
6cos ===
ππa
a
Lo que podemos resumir en el siguiente cuadro
4π
4π 2
A B
C
1
1
3π
3π
6π 6π 2
3a
A B
C
a
a
41
α
0 6
π 4π
3π
2π
Sen α 0
21 1
21 2
21 3
21 4
21
Cos α 4
21 3
21 2
21 1
21 0
21
1.4.7.-Identidades trigonométricas:
Se trata de relaciones de igualdad válidas para todo valor del ángulo en que están definidas, pero esto ya es un tema conocido en las razones trigonométricas de ángulos agudos del triángulo. Verificar una identidad implica demostrar la igualdad para todo valor del ángulo en que las expresiones involucradas están definidas y la forma es considerar cada miembro por separado sin admitir previamente la igualdad. Ejemplos; Verificar las identidades elementales a) ααα tgsen =⋅ sec b) 1seccot =⋅⋅ ααα seng
c) αααααα Secec
sensen
−=− coscos
cos
d) αααα seccos
cos
2
=+sen
42
Solución.:
a) αα
ααα tgsensen ≡⋅≡⋅⋅cos
1sec
b) 1soc1socseccot ≡⋅⋅≡⋅⋅ α
αααααα Sen
nesseng
c)
1er. miembro : αααα
ααα
ααααα
cos11
coscoscos
coscos
−≡−≡−
sensensen
sensensen
2º miembro : αα
ααcos
11seccos −≡−sen
ec
d) ααα
ααα
αα sec
cos1
coscoscos
cos
222
≡≡+
≡+sensen
Identidades propuestas. 1.- Verificar las siguientes identidades: a) 2( )Tg Senα α− 2 2(1 ) ( 1)Cos Secα α+ − = − b) 4 2 4sec 1 2Co Cotg Cotgα α α− = +
c) 2 21 1 01 1Sec SenCotg Sec
Sen Secα αα α
α α− −
+ =+ +
d)3 3 2 2
2 21 2
1 1 otTg Cotg Sen Cos
Sen CosTg C gα α α α
α αα α−
+ =+ +
e) 1 21
Sen CosCos Sen Sen
α αα α α
++ =
+ f) 6 6 2 2sec 1 3 secCo Cotg Co Cotgα α α α− = +
g) 21 1 2 ( sec )1 1
Sen Sen Cos Cotg CoSec Sec
α α α α αα α
− +− = +
+ −
43
2.- Resolver :
a) Si 2 2 2 2 22 1.Tg Tg Demostrar que Cos Sen Senα β α β α= − + = .
b) aSen bCosSi bTg a Calcular el valor deaSen bCos
α ααα α
−=
+
c) 815
SenSi Calcular Sen y CosCos
α α αα
=
Nuevas identidades, para recordar por su aplicación en otros tópicos del Cálculo y que se derivan de lo que viene a continuación Funciones de Suma y Resta De acuerdo a la figura: las coordenadas de los puntos A,B,C y D son B C BACDCODAOB =⇒Δ=Δ A D
),();())();(()0,1( ααβββαβα SenCosDSenCosCSenCosBA ==−−== y como ∠ CDBAAOBDOC =⇒∠=−= βα .Luego se tendrá con la igualdad de estas distancias:
22 )()( αβαβ SenSenCosCosCD −+−= y 22 ))(()1)(( βαβα −+−−= SenCosAB . Desarrollando e igualando se llega a :
44
βαβαβα SenSenCosCosCos +=− )(
Y como: ))()2
(())(2
()( βαπβαπβα −−−=−−=− CosCosSen Aplicando lo anterior
)()2
()()2
()( βαπβαπβα −−+−−=− SenSenCosCosSen y como ya se sabe
)( βα −Sen βαβα SenCosCosSen −= Para las siguientes identidades, cambiamos ( )porβ β− y considerando que:
( ) ( )Sen Sen y Cos Cosα α α α− = − − = llegamos a: __________________________________
( )Cos Cos Cos Sen Senα β α β α β+ = − ________________________________
βαβαβα SenCosCosSenSen +=+ )( . Del mismo modo a partir de lo ya obtenido se puede llegar a las identidades: _____________________
βαβαβα
TgTgTgTgTg
−+
=+1
)( βαβαβα
TgTgTgTgTg
+−
=−1
)(
___________________________ __________________________
βαβαβα
CotgCotgCotgCotgCotg+
−=+
1)( αβ
βαβαCotgCotg
CotgCotgCotg−
+=−
1)( .
Como también el alumno podrá lograr similares identidades para:
)( βα +Sec ; )( βα −Sec ; );sec( βα +Co )sec( βα −Co . Más simple aún es obtener haciendo βα = que:
ααα CosSenSen 2)2( =
1221)2( 2222 −=−=−= ααααα CosSenSenCosCos
ααα 21
2)2(TgTgTg
−=
ααα
CotgCotgCotg
212
2 −=
45
Las siguientes, son otro desafío muy simple y que serán de utilidad más adelante.
a)
21
22
2 α
α
αTg
TgSen
+=
21
21
)2
2
α
α
αTg
TgCosb
+
−=
c)2
12
αα CosSen −±= d)
21
2αα CosCos +
±= e)ααα
CosCosTg
+−
±=11
2
De igual modo, y como resultado de las identidades anteriores se pueden deducir:
a) ααα 3433 SenSenSen −= . d) α
ααα 2
3
3133
TgTgTgTg
−−
=
b) ααα CosCosCos 343 3 −= . Ejemplos
1.-Calcular el valor numérico de: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
127πSen
Solución.:
34cos
3cos
434127 πππππππ SenSensenSen ⋅+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
( )6241
46
42
23
22
21
22
+=+=⋅+⋅=
2.-Calcular ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2παSen
Solución.:
2cos
2cos
2παπαπα sensenSen +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
αcos= 3.- Demuestre que ( ) ( ) βαβαβα coscos2coscos =−++
46
Solución.:
( ) ( ) ( )( )⇒+
+−=−++βαβα
βαβαβαβαsensen
sensencoscos
coscoscoscos
a)
De igual forma se puede verificar que:
b)
c)
Nótese que haciendo 22
yxyyx −=
+= βα se llega
_________________________________
a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+2
cos2
cos2coscos yxyxyx
___________________________________
b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+22
2 yxsenyxsenysenxSen
__________________________________
c) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−22
2coscos yxsenyxSenxy
Estas identidades, llamadas fórmulas de prostaféresis son de gran utilidad para estudios posteriores. 1.4.8.- Funciones circulares inversas: Ecuaciones.
Definición Si ,xSeny = con dominio en todo R; la inversa de ella es la relación denotada por:
yarcsenx = con dominio en [ ]1,1− de modo que:
( ) ( ) βαβαβα coscos2coscos =−++
( ) ( ) βαβαβα cos2 sensensen =−++
( ) ( ) βαβαβα sensen2coscos =+−−
47
[ ]: 1,1Sen Rx Senx
→ − ∋
→
[ ]: 1,1( )
arcSen Ry arcSen y
⇒ − → ∋
→
De modo que recordando la relación de inversa y directa se tendrá: xSenxarcSen =)( ó yarcSenySen =)( . Observación: Cuando se tiene la ecuación: 0yxSen = hay infinitas soluciones o valores para x, bastaría con mirar el gráfico de la función de modo que si la solución principal (la que entrega una calculadora) es )( 0yArcSenx = ,la totalidad de ellas se detallan con ayuda del gráfico como πkyArcSenx 2)( 0 += y )( 0yArcsenx −= π luego
)( 0yArcSenkx ±= π Zk ∈∀ ó
01 ArcSenyx = 0y
003
02
..............2 ArcSenynxArcSenyxArcSenyx
n ±=+=−=
πππ
Definición : Para la función xCosy = ,con dominio en R ,su inversa es la relación : )(yarcCosx = , de modo que :
Si [ ]: 1,1
( )Cos R
x Cos x→ − ∋
→[ ]: 1,1
( )arcCos R
y arcCos y⇒ − → ∋
→
De modo que: xCosxarcCos =)( ó yarcCosyCos =)( . Observación. Si se tiene la ecuación 0)( yxCos = , la solución principal se denotará )( 0yArcCosx = , pero la totalidad de las soluciones se detallan con ayuda del gráfico:
48
πkyArcCosx 2)( 0 += ó πkyArcCosx 2)( 0 +−= , luego:
πkyArcCosx 2)( 0 +±= Zk ∈∀ Definición:
La inversa de la función: )(xtgy = con dominio en 2
)12( π−− kR es la relación denotada por
)(yarctgx = , tal que: yyarctgtg =)(( y xxtgarctg =))(( . Observación Dada la ecuación 0)( yxtg = ,sus infinitas soluciones se detallan en el gráfico.
πkyArctgx += )( 0 Observación. 1.- Si se tiene la ecuación 0)sec( yxCo = entonces y como las soluciones se escriben: Pero -
0
1y
arcSenx =⇒ .= )1(0y
ArcSenk ±π
2.- Si la ecuación es 0)( yxSec = Entonces )( 0yarcSecx = , pero si
0
1)(y
xCos = Entonces
______________________________
00
12)1(y
ArcCosky
arcCosx ±== π
3.- para la ecuación 0)(cot yxg = ó bien 0
1)(y
xtg = la solución será:
49
___________________________
)1()1(00 y
Arctgky
arctgx +== π
Ejemplos: 1.- Resolver completamente la ecuación: 2
1)( =xSen .- Solución.
21arcSenx = )
21(ArcSenkx ±=⇒ π
6ππ ±=⇒ kx
2.- Resolver con todas sus soluciones: 1)( −=xtg Solución.
πππ kxkArctgxarctgx +−=⇒+−=⇒−=4
)1()1(
3.- Resolver completamente la ecuación: )()2( xSenxSen = . Solución:
SenxxCosxSen =)()(2 0)1)(2)(( =−⇒ xCosxSen i) Si πkxxSen =⇒= 0)(
ii) Si ππ kxxCosxCos 232
1)(1)(2 +±=⇒=∨= .
Luego l
)3
2()( πππ ±∪= kkx
4.- Resolver: 2)( −=xSec . Solución: ___________________________________________
ππ kxxCosxSec 24
322)(2)( +±=⇒−=⇔−=
50
5.- Resolver: )()3()( xtgxtgxtg =+ Solución:
)()3( xtgxtg = xkx =+⇒ π3 o sea 2πkx −=
Algunas aplicaciones prácticas de estas funciones circulares se pueden ver en los siguientes problemas 1.4.9.- Problemas de aplicaciones.
1.-Un poste colocado a 100 mts. de un punto de observación, el observador ve su cúspide bajo un ángulo de 30º. Hallar la altura del poste.
Solución.:
35023
100º30 =⇒== hhtg
100
2) En la orilla de un canal hay dos personas a 50 mts. una de la otras; en la otra orilla y en un lugar intermedio un observador ve a uno en un ángulo de 30º y al otro en uno de 45º ¿Cuál es el ancho del canal?
Solución.:
_______________23º30
150
º45
==
=−
=
xhtg
xhtg
⇒−=⇒=−=3
2503
2;50 hhhxxh
h
50-x x 45
h
A B 50
30
30º
h
51
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∴=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
321
50503
21 hh
3) Pruebe que en el triángulo ABC su área está dada por
αβα sebabSenacSenbcA21
21
21
===
Solución.:
αα SenbhbhSenhABA =∴=⋅= :
21
.21 αSenbcA=
Los otros resultados se logran del mismo modo (rotando los vértices)
4) Probar el llamado “Teorema del seno”
csen
bsen
asen χβα
−= En un triángulo ABC
Solución.:
⇒== χβα SenabSenacSenbcA21
21
21
abcSenabsenacsenbc :/χβα ==
α B
C
b
c
a
h
A
52
c
senb
sena
sen χβα−=
5) Pruebe el llamado “teorema del coseno·
αcos2222 bcbca −+=
( ) ⇒=+−∧= 222cos ahxcbx α
( ) 22222 2 axbxcxc =−+−+
222 cos2 abcbc =−+ α
_________________________________________________________________________-
A α
B
h
C
b a
x c-x
53
1.5.- Funciones exponenciales y logaritmo.
1.5.1.-Función Logaritmo
Definición :
De un modo informal entendemos la función logaritmo en base b, como aquella función real que asocia a cada x real positivo el real no nulo “ a ” donde
xa blog= si ,
xb a = .en el diagrama clásico:
log :logb
R Rx x
+ → ∋→
Observación:
1.-Los logaritmos más comunes son aquellos de base “10” y los de base “e” que serán denotados por “log(x)” y Ln(x) conocidos también como logaritmo neperiano y logaritmo natural. 2.- Aunque las propiedades son conocidas incluimos aquellas que son de utilidad para el Cálculo:
yxxya aaa loglog)(log) +=
yxyxb aaa logloglog) −=
xxc aa loglog) αα = d)LnaLnbba =log
1.5.2.-Función exponencial.
Definición:
También de un modo informal, definimos la función exponencial:
54
)(
:xExpyx
RRExp
b
b
=→→ +
La función exponencial se entiende como la función inversa ,de la función logaritmo
yxyb bx log=⇔=
en particular : xyLnyex =⇔= )( , es decir que : xeLn x =)( ó xe xLn =)(
Observación Las propiedades como así también la operatoria algebraica con la exponencial y el logaritmo son materia ya conocida.:
1.- 1)(log =aa ; 1)( =eLn aa =1
2.- )()()·( yLogxLogyxLog += ; yxyx aaa ·=+
)()()( yLogxLogyxLog −= y
xyx
aaa =−
3.- )()( xyLogxLog y = yxxy aa )(=
)()(log
yLnxLnxy = yxy
x
aa1
)(=
1.5.3.- Funciones Hiperbólicas.
Definición:
a) 2
)(xx eexSenh
−−= b)
2)(
xx eexCosh−+
= c))()()(
xCoshxSenhxTgh =
55
d))(
1)(secxSenh
xhCo = e))(
1)(xCosh
xhSec = f))(
1)(xTgh
xhCotg =
Observación:
1.- Como es fácil verificar que : 1)()( 22 =− xhSenxhCos , se pueden obtener un número importante de identidades similares a las identidades trigonométricas
)cosh()()()( xxCoshxSenhxSenh =−−=− )(sec)(1 22 xhxtgh =− )()()()()( ySenhxCoshyCoshxSenhyxSenh +=+
)()()()()( ySenhxSenhyCoshxCoshyxCosh +=+ 2.- Del mismo modo el alumno podrá obtener las funciones inversas de estas funciones como una buena ejercitación y que son necesarias para lo que viene. Por ejemplo:
01222
)( 2 =−−⇔−=⇒=−
= −−
xxxxxx
yeeeeyyeexSenhSi ; Ecuación de 2º
)1(2
442 22
yyLnxyy
e x ++=⇒++
= RyyyLnyArcSenh ∈++=⇒ )1()( 2
Análogamente se obtiene:
)1()( 2 −+= xxLnxArcCosh 1≥x ; 1111
21)( <<−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
= xxxLnxArctgh
________________________________________________________________
56
1.6.- Elementos básicos de Geometría Analítica.-
En esta parte del programa, contamos con que el estudiante ya tiene algún manejo de ciertos conceptos de la Geometría Analítica obtenidos en la enseñanza media.
La presentación del mismo comprenderá solo aspectos básicos y a modo de recapitulación en función de los requerimientos del programa.
1.6.1.-Plano Euclidiano
El plano Euclidiano ó plano geométrico está conformado por puntos P, los que son representados mediante un sistema Cartesiano de ejes por pares ordenados de reales (x,y) ,estableciéndose una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de los pares ordenados .Así el punto señalado por P se asocia al par (x,y) donde “x” es la abscisa del punto e “y” la ordenada de él , como lo muestra la fig.
1.6.2.-Distancia entre dos puntos.
Los puntos: ),( 11 yxP y ),( 22 yxQ , según la fig. son vértices del triángulo rectángulo PQR. Y por tanto la distancia d(P;Q) se define como la hipotenusa de dicho triángulo. Como:
12);( xxRQd −= ; 12);( yyRPd −= y de acuerdo al Teorema de Pitágoras:
x x
y
y P
Fig. 1
57
);();();( 222 RQdRPdQPd += .)()();( 212
212 yyxxQPd −+−=⇒
Propiedades:
a) d(P,Q) 0≥
b) d(P;Q)=0 QP =⇔
c) d(P;Q)=d(Q;P)
d ) d(P;Q)+d(Q;R) ≥ d(P;R) .Esto se puede verificar en una figura 1.6.3.-La Recta. La entendemos como un Lugar Geométrico, o sea una colección de puntos sujetos a una ley determinada, expresada en sus componentes. Así:
P
Q
R
Y
X
Fig.
Y
y
y1 – y2
y x1 – x2
x xx
P
Q R
58
Recta por dos puntos:P y Q
),(),( 2211 yxQyyxP⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−
=−=⇒ )()()(
)(),( 212
122 xx
xxyy
yyyxL .
Fig. 27.
En la figura : =m12
12
xxyy
−− , se llama la pendiente de la recta y corresponde a la )(αtg de
modo que la ecuación toma la forma: )( 22 xxmyy −+= . Que corresponde a la recta por el punto ),( 22 yxQ y con pendiente m . Si la escribimos como )( 22 mxymxy −+= , ó bmxy += , Decimos que tiene la forma estándar; siendo b el punto en que corta al eje “y” ó coeficiente de posición y ello se ve cuando hacemos x=0. b
y
x
α
P
Q y2
y1
y
x1 x2 x
α
y2 – y1
x1 - x2 m = tg α
59
Si los puntos fueran: ),0()0,( bQyaP , la recta tomaría la llamada forma de segmentos:
1=+by
ax ,
lo que se consigue haciendo las sustituciones correspondientes en la primera ecuación y que corresponde a los segmentos que ella determina en los ejes coordenados como se ve en la fig: Por lo tanto toda recta tiene la forma General:
0=++ CByAx ,
o sea una relación de primer grado en x e y.
Despejando y : BAm
BCx
BAy −=⇒−−= Pendiente de la recta.
Ejemplos: 1. Dada la recta : 5x +4y = 8. Encontrar: a) pendiente b) intersección con los ejes ;c) verificar si
el punto (3,-2) está en ella ;d) encontrar la ordenada para que (-1,y) sea de la recta.
Solución:
a) 245845 +−=⇒=+ xyyx , luego
45
−=m
b) En 845 =+ yx ; hacemos: 20 =⇒= yx ; 580 =⇒= xy .
c) 87)2(43545 ≠=−⋅+⋅⇒+ yxEn , luego no contiene al punto.
b
a
60
d) En 4
1384)1(5 =⇒=+−⋅ yy .
2. Encontrar la ecuación de la recta con pendiente 32
=m y que contenga al punto (1,1).
Solución:
En 23
32
231
321
32
+=∴=⇒+⋅=⇒+=⇒+= xybbbxybmxy .
3. Determinar la pendiente de la recta que pasa por: )3,1()5,2( −− QyP .
Solución :
Como 38
2153
12
12 −=+−−
=⇒−−
= mxxyym .
1.6.4.-Rectas paralelas y rectas perpendiculares. Entendamos que las rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente, es decir hacen igual ángulo con el eje x; y serán perpendiculares si el producto de las pendientes es -1. α β Lo primero se aprecia claramente en la figura y la perpendicularidad se comprueba teniendo que:
⇒==−
+=−⇒−=⇒=+ 0
2cot1)(
22π
βααβαβαβπβπα g
CotgCotgCotgCotgCotg
101101 −=⇔=+∴=+ αβαβ
αβ TgTgTgTg
CotgCotg
Luego teniendo las rectas:
61
0: 1111 =++ CyBxAL y 02222 =++ CyBxAL con pendientes:
1
11 B
Am −= y
2
22 B
Am −= , Por lo tanto el paralelismo se expresa
por: 21 mm = o sea 01221 =− BABA y la perpendicularidad por: 121 −=⋅ mm o sea 02121 =+ BBAA .
Finalmente el punto de concurrencia de las rectas no paralelas se determina resolviendo el sistema:
:1L 111 CyBxA −=+ :2L 222 CyBxA −=+ .-
Ejemplos: Determinar el punto de concurrencia de las rectas:
:1L 152:;853 2 −=+−=− yxLyx
Solución:
3 5 8
2 5x y
x y− =
− + = −
5137 == yex
L
L
62
1.6.5.-Ecuación Normal o trigonométrica de una recta.
A partir de la forma de segmentos de la recta:
b Fig. 29.-
P ϖ a
ωCosap
by
ax
=⇒=+ 1 y )90( ω−= Cosbp = ωSen
ωCospa =∴ y
ωSenpb =
1=+p
ySenp
xCos ωω ó bien pySenxCos =+ ωω es la forma trigonométrica.
Para llevarla a esta forma a partir de la expresión general: Ax + By + C = 0 y considerando que los coeficientes deben ser proporcionales pues las ecuaciones representan a la misma recta .Entonces:
ωω SenkBCoskA == pkC −=
2 22 2 2 2
1( ) ( ) 1 ; CkA kB k pA B A B
+ = ⇒ = ± =+ +
∓ >0 ;
Luego C y 22 BA + deben ser de signos contrarios . Así se tiene que la forma normal:
002222 22
=−+⇔=+
±±+
±+
pySenxCosBA
C
A
ByBA
AxB
ωω
Ejemplo . Dar forma normal a la recta: 5x -12 y +8 = 0.
63
Solución: Como C>0 131442522 −=+−=+− BA luego la ecuación quedará:
013
8125=
−+− yx , donde
1312
135
=−= ωω SenCos .
1.6.6.-Distancia de un punto a una recta.
Sea ),( 000 yxP el punto y Ax + By + C = 0, la recta, si llevamos el origen al punto 0P La recta tomara la forma : 0)()( 00 =++′++′ CyyBxxA , el término constante será
CByAx ++ 00 , que en la forma normal será
22
00
BA
CByAxp
+
++=′ y por lo tanto esa será la distancia buscada
y y′ P(x,y)= ),( 00 yyxx +′+′ 0y 0P • x′ 1.6.7.-Distancia entre dos rectas paralelas. Si disponemos las rectas en forma trigonométrica.
64
212122
11
),(:
:
ppLLdpySenxCosL
pySenxCosL
−=⇒=+
=+
αα
αα
1.6.8.-Angulo entre rectas concurrentes.
21 αα ySi son los ángulos que forman con el eje x las rectas concurrentes 1L y 2L cuyo ángulo entre ellas esω Entonces:
21
21
21
21
11 mmmm
tgtgtgtgtg
+−
=+
−=
αααα
ω
θ 1α 2α
65
1.6.9.-La circunferencia:
La entendemos como el Lugar Geométrico de los puntos P(x,y) del plano cuya distancia a otro fijo C(a,b),llamado centro ,es la constante R, llamada el radio de ella. La figura que acompaña ahorra más detalles.
De la definición dada y el teorema de Pitágoras se deduce su expresión analítica:
222 )()( Rbyax =−+− (a)
Donde (a,b) es su centro y R el radio ,luego si el centro es (0,0) tomará la forma:
222 Ryx =+
Desarrollando la expresión analítica vemos que es de la forma: 022 =++++ FEyDxyx (c)
R
x-a
(x,y)
y-b b
a
y
0
R
x
66
Sin embargo no toda expresión de esa naturaleza puede representar una circunferencia, pues para que ello ocurra debe poder cumplir con lo demandado al completar los cuadrados de binomio:
22222
22
44
44)
2()
2( RFEDFEDEyDx =
−+=−+=+++
la condición será que : 0422 >−+ FED ;de modo que )2
,2
( ED−− es su centro y
FED 421 22 −+ el radio.
Para identificar la circunferencia necesitamos conocer 3 incógnitas, veamos los Ejemplos: 1. Hallar la circunferencia centro en el origen y contiene al punto P(1,-4). Solución:
Será de la forma (b) ,luego 2 2 21 ( 4) 17R R+ − = ⇒ = 1722 =+∴ yx es la ecuación.
2.- Hallar la circunferencia centro en (3,0) y contiene al origen.
Solución.: En la forma a) 222 )0()3( Ryx =−+− y 222 )0.0()30( R=−+− 3=⇒ R ; y la ecuación será:
9)3( 22 =+− yx . 3.-Encontrar la circunferencia tangente a los ejes y centro en (-3,3). Solución.:
67
En la forma a) 222 )3()3( Ryx =−++ al ser tangente a los ejes: 3=⇒ R ,luego 9)3()3( 22 =−++ yx es la solución buscada ó bien:
096622 =+−++ yxyx · 4.- Determinar la circunferencia que pase por los 3 puntos (0,6);(4,-2);(9,3).
Solución.: La forma c) nos genera el sistema:
039981024416
0636
=++++=+−++
=++
FEDFED
FE
Cuya solución es : 0;6;8 =−=−= FED y la ecuación será: 06822 =−−+ yxyx . 5.-Encontrar radio y centro de la circunferencia : 07822 =+−+ yyx .
3
-3
(0,6)
(4,-2)
(9,3)
5
3
68
Solución.:
Debemos dar la forma a ) para ello completamos el cuadrado de binomio:
9)4( 22 =−+ yx . Centro (0,4) y radio 3 6.-Señalar radio y centro de : .0102422 =−++ yxyx
Solución.:
Para llegar a la forma b) completamos los cuadrados de binomio: 25144)5()12( 22 +=−++ yx ó 222 13)5()12( =−++ yx .
1.6.10.-Tangente a la circunferencia a un punto de ella.
Consideremos la circunferencia: 222 ryx =+ y un punto );( 000 yxP en ella ,la recta tangente en ese punto y la recta por el centro y el punto son ortogonales, como la pendiente de ésta última es
:0
0
xy ,la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto 0P y con pendiente m =
0
0
yx
− tomará la forma: )( 00
00 xx
yx
yy −−=− ó bien:
22
02
0002
002
00 ryxyyxxxxxyyy =+=+⇒+−=− la ecuación será:
200 ryyxx =+
34
69
y ),( 00 yx 0y ·· x por lo que se dice que se obtiene por “desdoblamiento” de la ecuación de la circunferencia .Si ésta toma la forma general 222 )()( Rkyhx =−+− ( que en el fondo es como si fuera 222 Rvu =+ ) el desdoblamiento será: 2
00 ))(())(( Rkykyhxhx =−−+−− Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia. 0102422 =−++ yxyx , en el punto (0,0) ; (0,10) ; (-24,0). Solución: Como es 222 13)5()12( =−++ yx ,Las tangentes son: 169)5)(5(12)12( =−−++ yx 0 bién 0512 =− yx ; otra )169)510)(5(12)12( =−−++ yx o bién 50512 =+ yx , y la última: 169)5)(5()1224)(12( =−−++−+ yx o bién 288512 =−− yx Secciones Cónicas.- La intersección de un plano con la superficie cónica genera curvas que según la inclinación del plano determina el tipo de cónica: Parábola, Elipse o Hipérbola. Una cónica se puede definir como el Lugar Geométrico de los puntos del plano cuya razón de distancias a un punto fijo llamado Foco (F) y a una recta fija o directriz, (L) es constante, razón que se denomina excentricidad (e)
70
1.6.11.-La parábola. Definición: La Parábola es el Lugar Geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo o foco es igual a la distancia a una recta fija o directriz. Observación: Si F(c,0) es el foco y L: x =- c es la ecuación de la directriz, entonces para todo P(x,y) de la figura se da: d(P,F) = d(P,L) ó
1),(),(
== eLPdFPd
y
P c c x F L Para obtener la expresión analítica de la parábola, desarrollamos:
),(),( LPdFPd = ⇒ 222 )()( cxycx +=+− ⇒
222 )()( cxycx +=+− ∴ cxy 42 = . (0,0) es el vértice de la parábola. Si F(0,c) es el foco y L: y = -c , la parábola toma la forma. cyx 42 = . Si el vértice es el punto V(h,k), equivale a un desplazamiento paralelo de los ejes ,como se ve en la figura
71
y′ hxx +′= kyy +′= y
F
c k V x′ h x Luego si : V (h , k) es el vértice y tenemos : xcy ′=′ 42 ⇒ )(4)( 2 hxcky −=− y si: cyx 42 =′ ⇒ )(4)( 2 kychx −=− Así: F(h , c+k) d : y = k-c ó F(h+c , k) d: x = h-c. Son foco y directriz respectivamente como se puede ver en la figura anterior. Se ve además que si c>0 la parábola se abre hacia la derecha o hacia arriba según el caso y lo contrario si c<0 Definición. Se llama Lado Recto de la parábola al trazo que pasa por el foco con extremos en la curva. Entonces se tendrá En cxy 42 = , haciendo cx = cy 2±=⇒ , por lo que el lado recto mide 4c . Lo mismo ocurre si en: )(4)( 2 hxcky −=− hacemos chx += . Observación. Desarrollando: )(4)( 2 hxcky −=− 04422 =+−−⇒ chcxyky ó )(4)( 2 kychx −=− ⇒ 04422 =+−− ckcyxhx , o sea toman la forma :
022 =++++ FDyCxByAx donde ó A=0 , ó B=0 y C 0≠
72
Recíprocamente si se tiene: 02 =+++ FCxDyy ⇒ ))4
4((4
4)2/(2
2
CDFxCDy −
−−=+
2/Dk −=⇒ C
DFh4
4 2−=
lo que significa que “toda expresión en x e y con una sola variable en 2º grado y el coeficiente de la otra variable no nulo , representa a una parábola” Ejemplos: 1.- Hallar foco, directriz y lado recto de la parábola: yx 122 = . Solución: Como es de la forma: cyx 42 = entonces c = 3, el eje de simetría es y ; F(0,3) d : y = -3 · 3 -3 L 2.- Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (0,0) y d : y-5 = 0. Solución: C = -5 y es el eje de simetría⇒ yx 202 −= . Fig.35.- Análoga a la anterior 3.- Hallar la parábola, vértice en (0,0) y F(3,0).
73
Solución. c = 3 y el eje del foco es el eje x ⇒ xy 122 = y 3 x 4.- Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (0,0) eje x como eje focal y que pase por el punto (-2,4). Solución.
cxy 42 = ⇒ 2816 −=∴−= cc , luego la ecuación es xy 82 −= . .5.- Hallar la parábola con vértice en (-4,3) y foco en (-1,3). Solución. Es de la forma )(4)( 2 hxcky −=− con F(h+c , k) V = (h , k) con eje focal paralelo al eje y h = -4 k = 3 como h+c = -1 c = 3 )4(12)3( 2 +=−∴ xy o bién 0391262 =−−− xyy . 6.- Encontrar la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje x y que pasa por los 3 puntos (3,3) ; (6,5) ( 6,-3). Solución. Debe ser de la forma
)3(4)3()(4)( 22 hckhxcky −=−⇒−=−
74
)6(4)5( 2 hck −=−⇒ )6(4)3(( 2 hck −=−−⇒ ______________________ h = 2 ; k = 1 c=1. V(2,1) ; F(3,1) ; d: x= 2- 1 = 1.∴ ).2(4)1( 2 −=− xy y 1 x 0 2 7.- Dada la ecuación: 26 xxy −+= . Pruebe que se trata de una parábola y señale sus elementos. Solución. Debemos darle la forma: )(4)( 2 kychx −=− y así determinar sus elementos:
416)
21(6 22 +−=−⇔−=− yxyxx
)425)(
41(4 −−= y 4/1−=⇒ c ; )4/25,2/1(=V ;
)6,2/1(=F . 8.- Pruebe que la ecuación de la recta tangente a un punto de la parábola se resuelve por desdoblamiento de su ecuación. Solución:
75
Sea ):(4 000
2 yxPconcxy = el punto de tangencia, la recta debe ser: )( 00 xxmyy −=− buscamos la intersección con la parábola exigiendo que sea un solo punto y con ello determinamos la pendiente m .Se tendrá: cxxxmy 4))(( 2
00 =−+ el desarrollo y el ordenamiento da por resultado
: 0)2()422( 20
200
20
200
22 =+−+−−+ xmymxyxcxmxmyxm . Como el discriminante debe ser
nulo, se obtiene la ecuación: 0002 =+− cmyxm
0
0
2xy
m =⇒ y la ecuación quedará:
)(2 0
0
00 xx
xy
yy −=− que desarrollando y ordenando convenientemente queda:
)2
(4 00
xxcyy
+= o sea desdoblando la ecuación de la parábola.
Tarea:¿Cómo construir una parábola tan solo con la regla? 1.6.12.-La Elipse. Definición. La Elipse es el Lugar Geométrico de los puntos del plano en que la sumas de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos en una constante.
aPFdPFd 2),(),( 21 =+ ⇒ aycxycx 2)()( 2222 =++++− , elevando al cuadrado y ordenando: ⇒−=+− )()( 22222222 caayaxca
122
2
2
2
=−
+ca
yax . Como ca > hacemos
y P x
76
222 bca =− para que quede: 12
2
2
2
=+by
ax
Observación. 1.- Al efectuar el traslado paralelo de ejes desde (0,0) al punto (h,k) para el centro de la elipse su ecuación queda:
1)()(2
2
2
2
=−
+−
bky
ahx
Así: ),(1 kahV += ),(2 kahV −= ( )),(1 kchF + ),(2 kchF −= y . k X x h h 2.- Como la elipse centro en (h,k) es: 222222 )()( bakyahxb =−+− , es de la forma general:
022 =++++ FEyDxByAx . Recíprocamente si tenemos una expresión de ese tipo, la pregunta es si ella siempre representa a una elipse. Para verlo tratamos de llevarla a la forma anterior:
022 =++++ FEyDxByAx ⇔ 0)()( 22 =++++ FyBEyBx
ADxA . Completando cuadrados
)4(41
44)
2()
2( 22
222222
2
2
2
222
BAFBAEADBF
BE
AD
BEyB
ADxA −+
=−+=+++ Entonces para que
ello ocurra debe darse que: 04 222222 >−+ FBAEADB 3.- Como la Elipse también se puede entender como el Lugar Geométrico de los puntos del plano en que la razón de las distancias desde un punto P(x,y) del L.G. al foco y a la recta fija o directriz
77
es constante, razón denominada excentricidad, podemos deducir que esa excentricidad ( e ) es menor que uno.
ctedPdFPd
=);(),(
F(c,0) foco. Si definimos d:c
ax2
±= luego la excentricidad será:
e
xc
a
ycx=
−
+−
22
22
)(
)(, Debemos demostrar que e<1 .Siendo ⇒=+ 12
2
2
2
by
ax
2
222222222222222222222 )()()(
axccayxcaayaxcabayaxb +−=+⇒−=+−⇔=+
Así:
ac
caxa
cxa
caxa
cxaxcae
cax
ccxaxcca
cax
ccxyxe
=−
−=
−
−+=
−
+−+−=
−
+−+=
)(
)(
)(
2
)(
2
)(
2
2
22
2
2224
22
2222
2
222
2
y como a>c , entonces. e <1.
Ejemplos:
1.- Un punto P(x,y) se mueve de manera que la suma de sus distancias desde el
punto (4,2) y (-2,2) es 8 ¿Cuál es el L.G. de P?
Solución:
78
19
)2(18
)1(18)2(2)1(0982
8)2()4()2()2(22
2222
2222
=+
+−
⇔=−+−⇒=−+−+
⇒=−+−+−++
yxyxyxyx
yxyx
Elipse centro en (1;-2) semi ejes 323 == ba , c=3 e = 22 .
2.- Un trazo de 12 unidades con sus extremos A y B en cada uno de los ejes coordenados; sea P(x,y) un punto en el trazo de modo que su distancia al extremo A es igual a 8 unidades; se mueve el trazo sin que los extremos se separen de los ejes.¿Cuál es el L:G: del punto P?. Solución.
11664
166464
4864
4
22
222
=+
=−
⇒=−
⇒=
yx
yxyxyAPAM
Se trata de una elipse centrada de semi ejes 8 y 4 3.- Determine todos los elementos del la elipse: .4002516 22 =+ yx
Solución.
11625
125/40016/400
2222
=+⇒=+yxyx , Se trata de una elipse con :
a) Eje focal en eje x. b) a=5 ; b = 4 ; c=3 c) )0;5(2 −V , )0;5(1V ; )0;3(2 −F , )0;3(1F
79
.d) Lado Recto: 5
322 2
=ab e) Diretriz:
3252
±=±=c
ax , Excentricidad: 153
<==ace
4.- Encontrar la ecuación de la Elipse cuyo foco es F(-1;-1),directriz correspondiente
x = 0 y excentricidad 22
=e
Solución:
El eje focal es paralelo al eje x . Si 1)()(2
2
2
2
=−
+−
bky
ahx es la elipse buscada: );(2 kchF −
);(1 kchF + Las directrices son: c
ahxd2
2 : −= ; c
ahxd2
1 : += y ace = y como
222 bac −= Entonces. 11)1;1();( −=+−=⇒−−=+ chkkch
02
=+c
ah si 2222 ah
ca
ace −=∴=⇒== ; 2ca = ch 2−=∴
Y como (h+c) = -1 21 ==⇒ ac h = -2 b = 1 Así: 11
)1(2
)2( 22
=+
++ yx
Es la Elipse con )1;3(2 −−F )1;1(1 −−F centro (-2;-1) 4:0: 21 −== xdxd
)1;22(2 −−V )1;22(1 −−−V y la do recto mide 2 .
5.- Los focos de una elipse son : (-4;-2) y (-4;-6), la longitud del lado recto es 6 :Hallar su
ecuación.
Solución:
La elipse tiene eje focal en el eje y y es de la forma 1)()(2
2
2
2
=−
+−
bky
ahx
Si );(2 ckhF − y );(1 ckhF − h=-4 como k-c = -2 y k+c = -6 k = -4 ; c = - 2
80
Y como 422 −= ab y LR = 62 2
=ab
⇒ 0)1)(4(6)4(2 2 =+−=− aaóaa
a = 4 y b = 12. Entonces la ecuación será : 1144
)4(16
)4( 22
=+
++ yx
6.- Verificar que la expresión : 09183095 22 =++−+ yxyx representa a una Elipse.
Solución.
El proceso parte completando los cuadrados de binomio:
9459)1(9)3(59)2(9)6(5 2222 ++−=++−⇔−=++− yxyyxx ó bien:
.15
)1(9
)3( 22
=+
+− yx
Observación:
1.- El alumno podrá graficar las soluciones anteriores
2.-Para encontrar la ecuación de la recta tangente a un punto ),( 00 yxP de la elipse se obtiene del mismo modo como se hizo con la circunferencia, o sea desdoblando.
1))(())((
1 20
20
20
20 =
−−+
−−=+
bkyky
ahxhx
óbyy
axx
Tarea. ¿Cómo construir una elipse con una cuerda y un lápiz?
81
1.6.13.-La Hipérbola.-
Definición.
La Hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos ó focos es constante. y 2F 1F x Observación:
Sean: )0,()0;( 12 cFycF − y P(x;y) un punto genérico del L.G. Entonces la expresión analítica
de éste será:
aFPdFPd 2);();( 21 =− aycxycx 2)()( 2222 =++−+−⇔ . Elevando al cuadrado y
ordenando se tiene: 11)( 2
2
2
2
22
2
2
2
=−=−
−by
axó
acy
ax
; 222 cba =+
c b
-a a
Observaciones.
1.- Si y = 0 )0,()0,( 21 aVaVax −∴±⇒ .
2.- Como axóaxax
−<>⇒> 12
2
, luego entre a y -a no hay curva.
82
3.- El Lado Recto, es el trazo por el foco con extremos en la curva, luego haciendo x =c
2
2
42
2
2222
2
22 )()1( y
aby
aacby
acb =⇒=
−⇒=− ∴
aby
2
= luego el L:R mide ab22
4.- El eje de los focos se denomina eje real y el otro se llama imaginario.
5.-Si el origen (0,0) se desplaza al punto (h,k) la hipérbola toma la forma.
1)()(2
2
2
2
=−
−−
bky
ahx
Entonces: ),(),( 21 kahVkahV −+ ),(),( 21 kchFkchF −+
6.- Las rectas c
axdc
axd2
2
2
1 :: −== son las directrices, y como a<c ac
a<⇒
2
esto indica
que las directrices se ubican entre el vértice y el centro.
7.- Las Asíntotas, son las rectas por el origen luego si:
222222 bayaxb =− 2
222 1
xa
abxax
aby −±=−±=⇒ ,
Luego en el límite cuando x crece indefinidamente la ordenada tiende a aby ±= x ecuación de las
asíntotas.
Ejemplos.
1.- Dada la Hipérbola 1916
22
=−yx encontrar sus elementos.
83
Solución.
El eje focal o eje real es el eje x y el eje y es el imaginario; a = 4 y b =3, como
222 bac += 5=⇒ c )0,4()0,4( 21 −VV )0,5()0,5( 21 −FF 145
>==ace , las
directrices 5
16:2
1 ==c
axd 5
16:2 −=xd y las asíntotas
2.- Hallar la Hipérbola con vértices en (0,6) y (0,-6) con excentricidad 35
=e
Solución.
El eje focal es el eje y luego es de la forma 122
2
=−bx
ay ; a = 6 y como
8361001035
=−=∴=⇒== bcace Luego 1
6436
22
=−xy es la ecuación de la cónica ,
además )10,0()10,0( 21 −FF 1036:;
2
±=±=c
ayd , mientras que las asíntotas son
: yyabx
34
±=±=
3.- Discutir el L:G. de ecuación: 011385449 22 =++−− yxyx
Solución:
Completando cuadrados:
84
36481113)1(4)3(9
113)2(4)6(922
22
−=−+−=−−−
−=−−−
yxyyxx
14
)3(9
)1( 22
=−
−− xy . Una Hipérbola donde: (h,k) = (3,1) a = 3 b = 2 13=c
)131;3()131;3(
)31,3()31,3(
21
21
−+
−+
FF
VV Lado recto
382 2
=ab y las asíntotas ky
abhx −±=− ()( )
.072301123)1(32)3( =−+∧=−−⇔−±=−⇒ yxyxyx
Observación:
La recta tangente a la curva en un punto de ella se logra por desdoblamiento. Así:
1
))(())((1 2
02
020
20 =
−−−
−−=−
bkyky
ahxhx
óbyy
axx
Serán las ecuaciones en el punto ),( 00 yxP ,la justificación se puede ver más adelante aunque se
desprende por la similitud con el caso de la circunferencia y la elipse.
_________________________________________________________________
_
85
1.7.- Límite y Continuidad en R.
1.7.1.-Límite de una función. El concepto de límite es fundamental en todo el desarrollo del Cálculo pues estará presente en los temas más relevantes de nuestro curso como en la Derivada y la Integral y como es de naturaleza abstracta empezaremos con una aproximación más bien informal. Se tiene una función y = f(x) definida en un intervalo I con “a” un punto en él, decir que el límite de la función cuando x tiende al valor a es el número real l es decir que cuánto más se acerca x al valor a más se cerca f(x) al número l , para ello se usa la notación:
lxfax
=→
)(lim ó axsilxf →→)(
Hay que señalar que aquí hay dos temas muy diferentes, mientras la definición nos señala cuándo un valor conocido es el límite de una función dada en un punto dado; por otra parte está el cómo encontramos ese límite que por lo demás será el tema más relevante para nosotros. En este plano también tenemos dos situaciones la primera cuándo el límite se puede deducir intuitivamente y la otra es cuando nos encontramos con una indeterminación que es a lo cual dedicaremos nuestra mayor atención. Por ejemplo. 1.-Calcular: 4lim 2
2+
→x
x
Solución: Por simple inspección el límite se ve que es 8, pues mientras más cerca está x de 2 más se acerca f(x) a 8. 2.- Calcular:
2
2lim2 −
−→ x
xx
.
Solución : Como se aprecia tenemos una indeterminación al no poder determinar el valor si x=2 y tanto numerador como denominador se acercan a cero luego no podemos predecir el comportamiento límite de la función en ese punto, sin embargo con un poco de habilidad algebraica podemos eludir la indeterminación.
86
22)2(lim)2(
)2)(2(lim2
2lim222
=+=−
+−=
−−
→→→x
xxx
xx
xxx, La cancelación por 2−x no
implica división por cero pues “x tiende a 2” Ahora formalicemos la definición: Definición: Sea y = f(x) una función definida en un intervalo RI ⊆ ,con “a” I∈ ,excepto quizás en x = a, decimos que “ el límite de f(x) en x = a ,cundo x se aproxima al valor “a” es el real “l” si y solo si: εεε <−⇒∂<−<∋∂∃> lxfaxsiaDado )/0),(0 , esto lo denotamos: lxf
ax=
→)(lim
Un diagrama permite una visualización del tema. δδ +− 000 xxx εε +− lll Y y = f(x) o este otro gráfico ε+l l ε−l δδ +− aaa Observación 1.-Como se ve esta definición no provee los mecanismos para hallar el límite sino que describe cuando un valor dado es el límite.
87
2.- Al decir que “ x tiende al valor a” se debe entender que lo hace de las dos formas posibles o sea tanto por izquierda como por derecha, de modo que si la función se comporta de modo diferente según la aproximación y al no cumplirse la definición se dirá que el límite no existe. 3.- De lo anterior se ve que debemos precisar los conceptos de límite por derecha y límite por izquierda o sea cuando la aproximación es por valores mayores que a o por valores menores que a ,lo denotamos. 1)(lim lxf
ax=
+→ 2)(lim lxf
ax=
−→
y a x Ejemplo.1.-
Sea ⎩⎨⎧
>+
<−=
1114
)( 2 xsixxsix
xf Hallar los límites laterales en a = 1 3
2 1 Solución.
=−−→
)4(lim1
xx
3 2)1(lim 2
1=+
+→x
x luego
existenoxfx
)(lim1→
; )1(ftampoconi
Ejemplo. 2
Sea ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+=<+
=111211
)(
2
xxxxx
xf Hallar los 3 límites .en a = 1
Solución. 2)1(lim 2
1=+
−→x
x 2)1(lim
1=+
+→x
x luego se tiene que
2)(lim1
=→
xfx
.
88
1.7.2.-Algebra de límites.- Para este tema se requiere de algunos límites clásicos, una cierta habilidad algebraica además de propiedades derivadas de las definiciones anteriores. Teorema. Si lxf
xx=
→)(lim
0
Entonces la función es acotada en un intervalo.
Demostración.
Si 0xx − < ∂ ε<−⇒ lxf )( y como ε<−≤− lxflxf )()( Mlxf =+<⇒ ε)(
∂<−∋∀ 0xxx luego acotada. Teorema. Si 1)(lim
0
lxfxx
=→
y 2)(lim0
lxgxx
=→
Entonces:
a) 21)(lim)(lim))((lim
000
llxgxfxgfxxxxxx
±=±=±→→→
d) )(lim))(lim(0
0
xfxfxx
xx→
→= λλ
b) .)(lim)(lim))((lim 21
000
llxgxfxfgxxxxxx
⋅=⋅=→→→
e) Si 0)(lim0)(0
>⇒>→
xfxfxx
c) 0;)(lim
)(lim)(lim 2
2
1
0
0
0
≠==→
→
→l
ll
xg
xfx
gf
xx
xx
xx f) 21)()( llxgxf >⇒>
g) Si ⇒> 0)(xf 00
)(lim)(limxxxx
xfxf→→
= h) )(lim
)( 0
0
limxf
xf
xx
xxaa →=→
Demostración. b) 211121 )()()()())(( lllxglxgxgxfllxfg −+−=−
2111 )()()()( lllxglxgxgxf −+−≤
111 )()()( lxgllxfxg −+−≤ como )(xg es acotada con cota M
211 )()( lxgllxfM −+−≤
89
22 1εε lM +≤ *ε= .
Las restantes son un buen desafío para el estudiante. Teorema. Si )()()( xgxhxf ≤≤ y lxgxf
xxxx==
→→)(lim)(lim
00
. Entonces lxhxx
=→
)(lim0
.
Demostración.
Si εε <−∧<−⇒∂<− lxglxfxx )()(0 ó bien
εεεε +<<−∧+<<− lxgllxfl )()( luego
εε +<<<<− lxgxhxfl )()()( o bien
εε +<<− lxhl )( o sea Si ε<−⇒∂<− lxhxx )(0 ó lxhxx
=→
)(lim0
.
Observación.- Hay algunos límites que son de gran utilidad para resolver otros empleando los teoremas anteriores .
1.- Probar que : 1lim0
=→ x
Senxx
Solución.
Observando el círculo goniométrico podemos ver que :xCosxSen
xxtgxxSen 11 <<⇒<< ó
bien 1<<x
xSenCosx Si 0→x por el teorema 1.2.3 .- 1lim0
=→ x
xSenx
2.- Probar que: a) aLnx
a x
x=
−→
1lim0
b) ex xx
=+→
1
0)1(lim c) e
xx
x=+
∞→)11(lim
90
Demostración. (Pendiente) Ejercicios.-
Ya se sabe que los límites más atractivos son aquellos que presentan una indeterminación.(∞∞;
00 )
1.- Calcular: a) xxtg
x 0lim
→ b)
xxArcsen
x 0lim
→
Solución:
a) xCosx
xSenxCosx
xSenxxtg
xxxx
1limlim1limlim0000 →→→→
⋅=⋅= =1·1=1
b) Haciendo el cambio de variables:
00 →⇔→∧=⇒= uxuSenxuxSenArc 1limlim00
=⇔∴→→ uSen
ux
xSenArcux
2.- Calcular: 2/1
lim→x 276
3522
2
+−−+
xxxx .
Solución. Vemos que hay una indeterminación pues tanto numerador como denominador se anulan en x = ½. ó más bien tienden a cero si x tiende a ½..La expresión se escribe:
7)46()62(lim
)2/1)(46()2/1)(62(lim
2/12/1−=
−+
=−−−+
→→ xx
xxxx
xx ( Como x no toma el valor ½, la
Simplificación es posible)
3.- Hallar : 4
16lim16 −
−→ x
xx
.
Solución.
91
8)4(lim)4(
)4)(4(lim1616
=+=−
+−→→
xx
xxxx
4.- Calcular:
.1lim 20 xxCos
x
−→
Solución:
Aquí la trigonometría ofrece posibilidades para la solución. Como 2
21 2 xSenxCos =− Entonces:
41
)2
(
2/2lim2
2
0⋅
→ xxSen
x=2·1·!/4 = ½.
Otra forma sería:
2/1211
11limlim
)1(1lim
)1()1)(1(lim 2
02
2
02
2
020=⋅=
+⋅=
+−
=+
+−→→→→ xCosx
xSenxCosx
xCosxCosx
xCosxCosxxxx
5.- Calcular:
168lim 4
3
2 −+
−→ xx
x
Solución: Nótese como el algebra clásica es importante en ciertos casos. Pues factorizando:
=+−+
+−+−→ )4)(2)(2(
)42)(2(lim 2
2
2 xxxxxx
x8/3
3212
)2)(4()42(lim 2
2
2−=−=
−++−
−→ xxxx
x
6.- Calcular : x
x−
→5lim
5.
Solución:
92
Aquí el tema es que la aproximación a 5 es solo por valores menores que 5, lo que se debe escribir: x
x−
−→5lim
5= 0. Por lo que el enunciado anterior es impreciso. Pues x
x−
+→5lim
5, no tiene sentido
7.- Calcular:
)111(1lim
0−
+→ hhh
Solución: Otra vez la habilidad algebraica señala:
2/1)11(1
lim))11(1
)11)(11((lim)1
11(1lim000
−=+++
−=
++++−++
=+
+−→→→ hhh
hhhh
hhh
hh hhh
8.- Calcular: h
xfhxfh
)()(lim0
−+→
Si:
a) xxf =)( b) xSenxf =)( c) Nnxxf n ∈=)( d) xaxf =)( . Solución.
a) 1)(lim0
=−+
→ hxhx
h
b) )2
)2
2(2(1lim)(lim00
hSenhxCoshh
xSenhxSenhh
+=
−+→→
(identidad trigonométrica)
xCosxh
hSenhxCoshh
=⋅=⋅⋅+
=→→
2/1.cos221
2/2lim
222lim
00
c) h
xhx nn
h
−+→
)(lim0
=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−−
→ h
xhnn
hxn
hxn
xn nnnnn
h
221
0
210lim
93
.)..........
2(1
1lim 121
0
−−
→=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= nnn
hnxh
nn
hn
hx
n
d) Lnaah
aah
aah
aa x
h
hx
hx
h
xhx
h=
−=
−=
−
→→
+
→0
00
1lim)1(limlim .
9.- Calcular 2
lim2
2 −−
→ xee x
x
Solución. Como en muchos casos el cambio de variables salva la situación; Hagamos ux =− 2 , luego
queda: u
eeu
u
22
0lim −+
→ =
uee u
u
)1(lim2
0
−→
= 22 eLnee = .
10.- Calcular 2525
1010lim 1
22
0 −−
+
+
→ x
x
x.
Solución.
Del ejemplo anterior: )125(25
)110(10lim2
0 −⋅
−→ x
x
x
xx
= 252510102
LnLn = 2 10
5LnLn
11.- Calcular x
x xa )
61(lim +
∞→
Solución.
Aplicando Ejemplo 2 e) y adecuándolo quedará: axa
x ax/66/ ))
/611((lim +
∞→= ae /6
1.7.3.-Límites infinito y en el infinito ( Asíntotas)
a) La notación ∞=
→)(lim
0
xfxx
expresa el hecho que la función crece indefinidamente cuando
x se aproxima a 0x , o sea límite infinito, lo que gráficamente define a una asíntota vertical.-
b) La notación lxf
x=
∞→)(lim , o sea límite en el infinito lo que expresa el hecho que la
función se aproxima al valor real l si x crece indefinidamente y que define gráficamente a una asíntota horizontal..
94
Ejemplos.
1.- Calcular: a)3
2 318lim
3 2 6x
xx x→∞ + −
b) 1 2lim3 2
x
xx→∞
++
Solución.
a) Dividiendo por la mayor potencia ambos numerador y denominador :
3
18 18lim 33 2 66x
xx→∞
= − = −+ −
b) Aquí hay que tomar la precaución de si se tiende a + ∞ ó a - ∞ pues:
1 2 1lim33 2
x
xx→−∞
+=
+ pues 2x tiende a cero por el exponente negativo,
en cambio
1 11 2 2lim lim 1
33 2 12
xx
xx xx
→+∞ →∞
++
= =+ +
puesto que 12x tiende a cero.
2.- Calcular: a) 22
1lim4x x→± −
b) 21lim
4x x→±∞ −.
Solución: Si observamos el gráfico de la función que es par, podemos intuir la existencia de asíntotas verticales en a) y horizontal en b). a)
2 2lim ( ) lim ( )
x xf x y f x
− +→ →= −∞ = +∞ b) lim ( ) 0
xf x
→∞= 2x⇒ = ± asíntotas verticales y
0y = Asíntota horizontal.
95
Observación Aún nos queda otro recurso para calcular límite que se verá en las aplicaciones de la derivada.
1.7.4.-Continuidad de una función.
Definición. Una función real de variable real y = f(x) definida en un intervalo I con Ix ∈0 Se dice continua en el punto 0x , Si y Solo Sí: )()(lim 0
0
xfxfxx
=→
.
Y se dirá continua en I si lo es en cada punto del intervalo. Observación :a) La definición establece 3 condiciones: i) Existencia de lxf
xx=
→)(lim
0
ii) Existencia de )( 0xf ; iii) lxf =)( 0 . b) Si la función no cumple la condición i) se dirá de discontinuidad irreparable en el punto
Si no cumple ii) y/o iii) se habla de una discontinuidad reparable en el punto. c) Si la función tiene límites laterales finitos y distintos se habla de una discontinuidad de
salto. d) La continuidad en un intervalo vista en un gráfico se muestra como una curva trazada sin
interrupciones en él. Teorema. Si )()( xgyxf son funciones continuas en el punto 0x . Entonces también lo son allí:
))(( xgf ± ,(Suma de funciones continuas es una función continua)
b) ))(( xgf ⋅ , (Producto de funciones continuas es una función continua)
96
c) ))(( xgf
, (Cuociente de funciones continuas es también continua)
d) ))(( xfλ . (Un escalar por una función continua es una función continua) e) ))(( xgf (Composición de funciones continuas es continua) Demostración. Es la misma del Teorema de algebra de límites. Para el caso e) Siendo g(y) definida en el recorrido de f(x): y g(y) continua en )( 00 xfy =
100 )()( ∂<−<− yySiygyg ε o sea si: 10 )()( ∂<− xfxf pero como f(x) es continua en 0x ,
dado 01 >∂ 10202 )()(0 ∂<−⇒∂<−∋>∂∃ xfxfxx ∴ ε<− )(())(( 0xfgxfg
Observación. Siendo que )()( ctekxf = y xxf =)( son obviamente continuas en todo R, en virtud del álgebra lo serán también: a) Nnxxf n ∈= ;)( b) p(x)= 01
22
11 ........... axaxaxaxa n
nn
nn
n ++++ −−
−− , función polinomial
c)Si )()()(
xqxpxr = 0)( ≠xq , función racional con )()( xqyxp polinomiales. Entonces también
será continua en R, excepto donde 0)( =xq
Teorema.(Valor intermedio) Si )(xf es una función continúa en ][ ba, y c es un número entre
)()( bfyaf .Entonces existe en ( )ba, un punto 0x de modo que cxf =)( 0 . Demostración. La veracidad del teorema se ve evidente en el gráfico. Pues siendo continua su gráfica no experimenta interrupciones en su tránsito desde f(a) hacia f(b) luego en algún momento pasará por c o sea f(x) = c. La demostración formal es algo más complicada.
97
Observación. Las siguientes propiedades se pueden al menos observar en un gráfico a falta de la demostración
a) Una aplicación práctica es que si )()( bfyaf son de signo contrario en algún punto de ( )ba, la función se anula es decir existe una raíz de la ecuación 0)( =xf .Así por ejemplo para probar que la ecuación 023 =+x , tiene una solución en el intervalo ( )2,2− basta observar que 0)2( <−f mientras que .0)2( >f
b) Una función continua en el intervalo cerrado:[ ],a b ,alcanza al menos una vez su máximo
valor y su mínimo valor allí. Es decir
existen : [ ] [ ]1 2 1 2, , ( ) ( ) ( )x y x en a b x a b f x f x f x∋ ∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ c) Una función continua en un intervalo cerrado entonces es acotada allí. O sea [ ], ( ) ;x a b M R f x M+∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∋ ≤ d) Si la función es continua en x = a y f(a)>0 entonces existe un sub-intervalo donde conserva
el signo positivo.
Ejemplos.
1.- Analizar la continuidad de la función: 42)( 2 −
+=
xxxf .
Solución.
20 ≠∀x , la función está definida y )()(lim 00
xfxfxx
=→
luego continua.Como
)2)(2()2(lim
2 −++
→ xxx
x±∞=
−=
→ 21lim
2 xx allí hay discontinuidad irreparable.
Ahora )(lim2
xfx −→
= 2
1 1lim2 4x x→−
= −−
, pero la función no está definida allí ,luego se trata de una
discontinuidad reparable de modo que la función:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
−≠−
+=
24/1
242
)( 2
x
xxx
xf
Es continua en x = -2. y en x = 2 se tiene una asíntota vertical
98
2.- Estudiar la continuidad de la función: f(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
>−
42844
xxxx
Solución. Nótese que la función no está definida en x = 4 luego desde ya es discontinua, pero
04lim4
=−+→
xx
Además 028lim4
=−−→
xx
luego hay discontinuidad reparable.
3.- Analizar la continuidad de x
xxxf35
12)(23
−−+
= .
Solución.
Por tratarse de una función racional es continua en todo punto donde 5-3x 0≠ . Si x = 5/3 ∞=
→)(lim
3/5xf
x luego hay discontinuidad irreparable allí,y el gráfico admite una
asíntota vertical en el punto.
4.- Analizar la continuidad de la función compuesta
xxArcSenxf
−−
=1
)1()( en el punto x = 1.
Solución.
6/21)
)1(1(lim)
)1)(1(1(lim)(lim
111π==
+=
+−−
=→→→
ArcSenx
ArcSenxx
xArcSenxfArcSenxxx
.Nótese que aquí se ha aplicado la propiedad que la composición de dos funciones continuas
también es continua pues Arcsen (f(x)) y xxxf
−−
=1
1)( lo son.
99
1.8.-Guía de Ejercicios
1.- a ) Demuestre que: ba
abab+
≥2 +∈∀ Rba, , y con ello pruebe que :
2244 2 baba ≥+
b) Resuelva la inecuación: .51
6532
2
2
>+−+−
xxxx Resuelva: 0
)6)(3()4)(1(
<−−++
xxxx
Grafique su solución 2.- Resuelva la inecuación: 521 <−++ xx . Escriba su solución como un intervalo y señale Supremo e ínfimo
3.- Resuelva la inecuación: 12 >+− xxx . Escriba su solución como un intervalo y
grafíquela en el eje real.
4.- Resuelva: +12
623
62 +
>++ xxx
. Señale Supremo e ínfimo del complemento del
conjunto solución.
5.- Dado el conjunto: 1(2 ),1
S x R x n Nn
⎧ ⎫= ∈ = − ∈⎨ ⎬+ +⎩ ⎭
Señale supremo e ínfimo,si lo tiene.
6.- Sean: A(2,2) ; B(5,6) ; C(9,9) ; D(6,5): Pruebe que: a) Son vértices de un rombo. b) Sus diagonales son perpendiculares. c) Sus diagonales se cortan en su punto medio. 7.- Si: 01672249 2 =+++ yxx .Se pide: a) Identificar y graficar la cónica. b) Determinar foco y vértice.
8.- Pruebe las desigualdades: a) acbcbba ≥++ ))(( +∈∀ Rcba ,, .- b) 222222 )()()( cbacacbba ≥+++ ; +∈∀ Rcba ,, 9.-Determine los valores de m real para que: 0)1()3(2)31( 2 ≤−−−+− mxmxm Rx ∈∀ .
100
10.- Hallar Supremo e Ínfimo del conjunto: { }24/ 2 <−= xxA ; Exprese la solución como intervalos. 11.- Resuelva las inecuaciones: a) 022 45 >−−+ xxx b) 6213 2 −+<<+ xxx ; 12.- Grafique las soluciones.
13.- Para las funciones: 52)(;
12)(
+−
=+
=xxxg
xxxf :
a) Determinar )())(()(1 xfxhgquetalxh =− .-
b) Verifique que ))()(()()( 111 xfxgxgf −−− = .-
14.- a) Pruebe la identidad: )()(21)(sec 424 ααα CotgCotgCo +=−
b) Resuelva completamente la ecuación: tgxtgxtgx 2)3)(1( =+− .- 15.-Dada la recta: ;060125 =−+ yx a) Hallar la recta que pasa por el punto (17,12) y es perpendicular a ella.- b) Determine la intersección de ambas rectas.
c) Determine la distancia del punto dado a la recta dada.- 16.- a) Pruebe que: babaRba +≤+⇒∈∀ +, . Con ello pruebe que: +∈∀ Rcba ,, .cbacba ++≤++⇒ b) Resuelva la inecuación: .332 <+− xx Señale Supremo e ínfimo, si lo tiene.
17.- a) Si:23)( =αCotg Encuentre el valor de
αααα
CosSenCosSen
2323
+− .
101
b) ) Desde un faro de 20 mts. de alto se observan dos botes hacia el oeste según ángulos de depresión de 45º y 60º respectivamente .Hallar la distancia entre ellos. 18.- Demuestre que : .00·) =⇒∈∀ xRxa y .)·1() xxRxb −=−⇒∈∀
19.- Dada las funciones:1
2)(−
=x
xxf y 12)(
++
=xxxg .
a) Encuentre Dominios y recorridos de ambas. b) Calcule ( 1−gf )(x+1).- 20.- 2.- Resuelva la inecuación, expresando la solución como intervalos:
12
11
11+
>−
+xx
21.- Resuelva completamente: 212 <−+ xx .
22.- Dada las funciones:1
2)(−
=x
xxf y 12)(
++
=xxxg .
a) Calcule ( 1−gf )(x+1).- b)Encuentre Dominio y recorrido de ella. 23.- Desde la base de un poste que mide 30 mts. de altura , el ángulo de elevación de la cúspide de una torre de altura h es de 45º y desde el tope del poste el ángulo es de 30º.Hallar la altura de la torre y la distancia entre poste y torre.
24.- Encontrar las ecuaciones de las siguientes rectas que: a) Contiene a (4,-5) y (1,-2) b) Contiene a (1,-2) y pendiente -1/4. c) Es paralela a 2x - 3y + 4=0 y contiene (1,-2). d) Es perpendicular con 5x –y -15 = 0 y contiene (1,-2). e) Corta al eje x en 3 y al eje y en -8. 25.- Sean los puntos. A(-6,-4) ; B(10,8) ; C(2,7). Hallar.
a) Recta por C y perpendicular con AB.
102
b) Longitud de los lados del triángulo ABC. c) Recta perpendicular desde C hacia AB. d) Área del triángulo ABC.
26.-Hallar la distancia desde el origen al punto de concurrencia de las rectas: x –y +1 = 0 y 3x +2y +8 = 0. 27.- Hallar la recta por el origen y el punto de concurrencia de 2x + y + 1 = 0 y 3x +2y +8 = 0. 28.- Hallar la recta de pendiente ½ que pasa por la intersección de 3x + y +2 = 0 y 2x -5y +7 = 0. 29.- Hallar la recta perpendicular a 3x +2y -5 = 0 y que pasa por el punto común a 4x + y – 5 = 0 y x + y – 5 = 0. 30.- Reducir a su forma normal las rectas:
a) 5x +12y +60 = 0 b) 3x -2y +6 = 0 c) x/3 + y/4 = 1.
31.- Hallar la distancia del punto P(3,-1/2) a la recta 3x -4y +12 = 0 32.- Hallar la distancia entre las rectas: 4x -3y -15 = 0 y 4x -3y +15 = 0. 33.- Una recta es tangente a un círculo centro (0,0) y radio 3 , si el punto de tangencia es )5,2( − hallar la tangente en su forma normal.- 34.-Hallar la recta cuya distancia al origen es 5 y pasa por (1,7).
35.-Utilizando el concepto de pendiente de una recta, determine si los tríos de puntos son colineales: a) (4,1);(5,-2);(6,-5) b) (-1,-4);(2,5);(7,-2).
36.- Determine los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: (3,2);(5,-4);
103
(1,-2).Señale las ecuaciones de las alturas y de las transversales de gravedad. 37.- Encontrar la ecuación de la circunferencia: a) Circunscrita al triángulo anterior b) Tiene como diámetro al segmento que une los puntos (4,7) y (2,-3) c) Pasa por (1,-4) y (5,2) y tiene su centro en la recta : 2x + y - 2=0. 38.-Encontrar la circunferencia con; a) Centro en el origen y radio 3. b) Centro (3,-2) y pase por (_1,1) c) Centro en (0,0) y con tangente x- y =10. 39.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia dada en el punto dado a) 06222 =+−+ yxyx en (0,-6). b) 52422 =+−+ yxyx en (1,4). 40.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: 0474844 22 =−+++ yxyx y con pendiente m = -3/2. 41.- Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia anterior de modo que ésta genere en los ejes coordenados los mismos trazos. 3.- Hallar centro y radio de la circunferencia anterior. 42.- Verificar si representa a una circunferencia: 0144121822 =++−+ yxyx 43.-Determinar vértice, foco, excentricidad, directriz y lado recto de la parábola: a) 0)2(8)1( 22 =++− yx
b) (61
−=y )242 −+ xx
44) Hallar la parábola dados: a) Foco (2,0) directriz x = -2. b) Directriz y = 1 ,lado recto de longitud 8.
104
45). Hallar el centro focos ,vértices de la elipse: 03150322516 22 =++−+ yxyx . 46) Encontrar la excentricidad de la elipse: 03183649 22 =++−+ yxyx .Grafíquela 47) Hallar la ecuación de la elipse con focos (-2,0) y (2,0) y el eje mayor mide 8. 48) Encontrar la ecuación de la hipérbola con vértice en (0,2) y (6,2) asíntotas y = (2/3)x, y= 4- (2/3)x. 49) Hallar focos, vértices, asíntotas, excentricidad, lado recto de las hipérbolas:
a) 255 22 =− yx b) 125
)4(144
)1( 22
=−
−+ yx
50) Hallar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola: 619
22
==− xenyx .Graficarla.
51 a) .-Calcule el límite de las siguientes funciones en el punto 0x , y hacerlas continuas, cuando sea posible.
a) 3,1276)( 02
2
=+−−−
= xxxxxxf
b) ∞=+−
= −
−
0;2222)( xxf xx
xx
c) Senx
xxf 3)( = 00 =x
51 b) .- Calcular los siguientes límites de funciones indeterminadas.
a) 2525
1010lim 1
22
0 −−
−
−
→ x
x
x b)
xx
x
27)3(lim3
0
−+→
c) 2
lim2
0 −−
→ xee x
x d) x
x
x exe−→ 1
lim0
e) 11lim
4
3
1 −−
→ xx
x f)
xeSenx
x
1lim0
−→
g) x xx
xaa −
∞→+lim h) x
x xa )
61(lim +
∞→
i)1
)22(lim 31 −−
→ xxSen
x j) 20
1limx
xCosx
π−→
k) x
Cosxx 3
21lim3/ −
−→ ππ
l) 203
52(lim0 x
xArcTgx→
105
52.- Determine los valores para a y b de modo que la función dada sea continua en todo su dominio.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−≤<−+
−<+=
126123
22)(
xSibxxSibax
xSiaxxf
53.- Determine los valores para a y b de modo que la función dada sea continua en todo su dominio.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−≤<−+
−<+=
126123
22)(
xSibxxSibax
xSiaxxf
54.- Calcular:1
1lim1 −
−+−→ x
xxxxx
55.- Hallar )(lim3/1
xfx→
Si ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=<+
=
3/1123/153/1
)(3
2
xxxxxx
xf
56- Si 8)(lim2)(lim
21==
→→xgxf
xx, Calcular ))((lim
1xfg
x→
57.- Si 3)(xx
xxf
+= , encontrar los límites laterales en 0
58.- Calcular )1(2
lim2
1 xx
x +−→, evaluando los límites laterales.
59.- Pruebe que la función:⎩⎨⎧
−≥−−<+
=1211
)(2
xxxx
xf es continua en todo su dominio.
60.- Pruebe que la función ⎩⎨⎧
>≤−
=1211
)(3
xxxx
xf no es continua en todo su dominio.
61.- Si 59)( −= xxf Hallar 14)(0 <−∋>∂ xf
106
62.- Calcular: 2
2
451021lim
xxxx
x −+++
∞→.
63.- Calcular: 2
3
1 211lim
xxx
x +−+
→.
64.- Calcule los limites: a) )2()3(lim
0 xSenxTg
x→ b)
SenxArcSenx
x 0lim
→ c)
SenxCosx
x
−→
1lim0
d) Senx
aSenx
x
1lim0
−→
e) 1)(lim
1 −→ xxLn
x
65.- Calcular los límites )(lim
0
xfxx→
para:
a) x
xxf )
211()( −= en ∞=0x . b) 0)( 0 =
−= xen
xbaxf
xx
c) ∞=+= 0)( xenbaxf x xx 66.- Analizar la continuidad de la función f(x).
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
−
<=
1)1(81
)( 32
2
xx
xx
xxxf en 0 y en 1. b)
3/2
3
3 18
)(xx
xxf −−
= x∀
67.- Encuentre el valor de a para que exista el límite de
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−−
>−−
=
1
1)(
33
33
xsiaxax
xsiax
ax
xf
68.- Señale los puntos de discontinuidad de las funcionesa) )3)(4(
)( 2 −−=
xxxxf
b) x
xSenxf 1)( =
_____________________________________________________________________________________ UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE. PROF. JORGE ALEJANDRO INOSTROZA LAGOS
107
Capitulo 2.- CALCULO DIFERENCIAL 2.1.- La Derivada de funciones en R Definición: Se llama la derivada en el punto 0x , de la función real de variable real )(xf , al límite; Si existe:
hxfhxf
h
)()(lim 00
0
−+→
y se denota )(' 0xf . Definición: Se llama la función derivada de )(xf a aquella que asocia a cada )( 0xVx ∈ , vecindad de 0x ,el número '( )f x como imagen y se le llama también la derivada de )(xf . Observación: Una función con derivada en 0x se dice también diferenciable en 0x y se dirá que es diferenciable en )( 0xV si existe )(),(' 0xVxxf ∈∀ . Ejemplos: 1.- Calcular la derivada de kxf =)( (función constante).en 0.x Solución:
0lim)()(lim0
00
0=
−=
−+→→ h
kkh
xfhxfhh
. 0x∀
Luego la derivada de la función constante es la función nula. 2.- Calcular la función )(' xf si:
108
a) xxf =)( b) 2)( xxf = c) xxf =)( d) x
xf 1)( = e) 21)(x
xf = .
Solución:
a) 11lim)(lim00
==−+
→→ hh hxhx
b) xhxh
hhxh
xhxhhh
22lim2lim)(lim0
2
0
22
0=+=
+=
−+→→→
c) xxhxhh
xhxhxhxxhx
hxhx
hhh 21
)(lim
)())((limlim
000=
++=
++++−+
=−+
→→→
d) 2200
11
0
1)(
1lim)(
)(limlim −
→→
+
→−=−=
+−
=+
+−=
−x
xxhxxhxhhxx
h hh
xhx
h
e)
3422
2
0
22
22
0220
22
0
22)(
2lim
)()(lim1
)(11lim)(lim
−
→
→→
−−
→
−=−
=+
−−=
++−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
−+
xx
xxhxh
hhx
xhxhhxx
xhxhhxhx
h
hhh
Observación:
Nótese que si 2,,2,1,0,)( 21 −== ααxxf , en todos los casos 1)(' −= ααxxf . ¿Será una regla
general para todo IR∈α ? Por el momento admitiremos que es así. En particular veamos si
IN∈α .
3.- Encontrar )(' xf si INnxxf n ∈∀= ;)( . Solución: Recurriendo al desarrollo del binomio de newton:
109
1221
00 1211lim)(lim −−−
→→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−+ nnnn
h
nn
hx
nh
nn
hxn
hxn
hhxhx ,al dividir por h solo
el primer elemento que da libre de h. Luego 1 1'( )1
n nnf x x nx− −⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
, INn ∈ . Por lo tanto, si
23)(3 xxfn =′⇒=
4.- Calcular la derivada en 0x de )()( xsenxf = .
Solución:
Hagamos xhx =+0 , por lo tanto 00 xxh →⇔→ .y aplicando 1lim0
=→ x
Senxx
)cos(
2
2cos
2lim)()(lim)()(lim 00
00
0
0
0
0
000
xxx
xxxxsen
xxxsenxsen
xxxfxf
xxxxxx=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−−
=−−
→→→.
De igual forma se llega a que para ( ) ( )f x Cosx f x Senx′= ⇒ = −
5.- Usando la definición probar que: Si =′⇒= )()( 2 xfxSenxf SenxCosx2 .
Solución:
( ) ( )
( )
1lim).cos()(2
22cos2))()((lim
cos2))()((lim
))()())(()((lim)()(lim
0
2
2
0
222
0
0
22
0
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++=
++=
−+++=
−+
→
→
+
→
→→
hSenhPuesxxsen
senhxxsenhxsen
hsen
xsenhxsen
hxsenhxsenxsenhxsen
hxsenhxsen
h
h
h
h
hhx
h
hh
110
6.- Si xexf =)( , encontrar ).(' xf
Solución:
.)()1(limlim00
xxhx
h
xxh
heeLne
hee
hee
==−
=−
→
+
→
La derivada de la función xexf =)( es la misma función.
Observación:
Hemos usado el límite conocido: ).(1lim0
aLnx
a x
x=
−→
7.- Si )()( xLnxf = calcular ).(' xf
Solución:
xeLn
xhLn
xhLn
xhxLn
hhxLnhxLn x
xhx
h
h
hhh
11lim1lim1lim)()(lim1
1
0
1
000=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−+
→→→→.
Hemos usado el límite clásico: ( ) .1lim1
0eh h
h=+
→
Observación:
Como se ha encontrado la función derivada entonces podemos encontrar la derivada en un punto
específico y ello se consigue evaluando la función obtenida en el punto pedido y esto es válido
para cualquier función que admita función derivada para un punto de su dominio.
Definición: Para )( xf en [a,b] se llama derivada lateral derecha de )( xf en a y se denota )(' +af al
hafhaf
h
)()(lim0
−++→
,
Entendiéndose que +→ 0h por valores mayores que 0.
Se llama derivada lateral izquierda de )( xf en b y se denota )(' −bf al
hbfhbf
h
)()(lim0
−+−→
.
111
Aquí se entenderá que 0→h por valores negativos, o sea 0<h .
Una función )( xf tiene derivada )(' 0xf si y sólo si )(')(' 00−+ = xfxf .
Ejemplo:
Sea ||)( xxf = , estudiemos )0('f .
Solución
1|0||0|lim0
=−+
+→ hh
h; 1|0||0|lim
0−=
−+−→ h
hh
luego ||)( xxf = no tiene derivada en .00 =x
Teorema:
Si f(x) es diferenciable en 0x , entonces es continua allí.
Demostración:
Si ))()(
()()()()(
lim)(' 0000
00
00 hxfhxf
hxfhxfComoh
xfhxfxf
h
−+=−+⇒
−+=∃
→, luego,
0)()(lim 000=−+
→xfhxf
h ó )()(lim 000
xfhxfh
=+→
, o sea la función es continua en el punto.
Se advierte que la implicación es en un solo sentido o sea que siendo continua en un punto puede
no ser diferenciable allí.
Observación:
1.- Diremos que f(x) es diferenciable en [a,b] si lo es en cada punto de (a,b) y existen )(' +af y
)(' −bf .
2.- El recíproco del teorema no es válido, el ejemplo lo da ( )f x x= , en el punto cero.
112
2.1.1.-Interpretación geométrica de la derivada.-
Rectas tangente y normal.
Sea )(xfy = una función definida en (a,b), cuyo gráfico es la curva de la figura.
Sean ))(,(: 00 xfxP y ))(,(: 00 hxfhxQ ++ puntos en la curva; la recta secante PQ tiene
pendiente
0 0( ) ( )( ) .
f x h f x ftgh h
α+ − Δ
= =
Ahora si 0→h , o sea, PQ → , la recta secante tiende a confundirse en la recta tangente a la
curva en P; cuya pendiente es )(αtg , o sea
)(')()(
lim)( 000
0xf
hxfhxf
tgh
=−+
=→
α ,
Luego, geométricamente la derivada de una función en un punto 0x representa el valor
numérico de la pendiente de la recta tangente a la curva representada por la función en el
punto.
Por consiguiente, la ecuación de la recta tangente será
113
))((' 000 xxxfyy −=− .
La recta perpendicular a la recta tangente en el mismo punto de tangencia se llama recta normal a
la curva en el punto y si su pendiente es )(βtg se tendrá
1)()( −=⋅ βα tgtg ó )(
1)(α
βtg
tg −= ,
por lo que la ecuación de la recta normal a la curva en P 0 será
)()('
10
00 xx
xfyy −−=− .
Ejemplo:
Hallar el punto en la curva 1882 +−= xxy en que la tangente es horizontal.
Solución:
Tangente horizontal equivale a pendiente nula, o sea, 4082)( =⇒=−=′ xxxy ; 2=y ,como se
trata de una parábola el punto P(4,2) es el vértice.
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función 1y xx
= + en el punto 10 =x y
20 =x .
Solución:
114
)2,1(1 =P Pues 2)1( =y ; )5,2;2(2 =P ,
0)(0)1('11)(' 2 =⇒=⇒−= αtgyx
xy ó .0=α
Por lo tanto 2)1(0)1)(1('2 =⇒−=−=− yxxyy recta tangente horizontal.
Por otra parte )2(435,2
43)2(' −=−⇒= xyy o bién 0434 =−− xy
que es la ecuación de la tangente.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 63 2 += xy en 10 =x .
Solución:
Si 91 00 =⇒= yx ; 6)1(',6)(' 00 == yxxy , luego la recta ))((' 000 xxxyyy −=− es de ecuación
)1(69 −=− xy ó .036 =−− xy
Ejemplo:
Determinar los puntos en que las tangentes a la curva 95132 23 +++= xxxy pasan por el origen
de coordenadas.
Solución:
Sea: 5266' 2 ++= xxy ; Como mxy = , es la ecuación de la recta tangente por el origen; como m
es la pendiente, entonces 5266 02
0 ++= xxm , por lo tanto xxxy )5266( 020 ++= ; rectas
tangentes.
Se trata ahora de encontrar tales puntos 0x . Para ello consideremos en las rectas tangentes el punto
de tangencia, o sea, hacemos 0xx = , luego
115
020
3000
200 5266)5266()( xxxxxxxy ++=++=
este punto debe coincidir con aquel de la curva cuando 0xx = , también
09134951325266 20
300
20
300
20
30 =−+⇒+++=++ xxxxxxxx ;
10 −=x , es una raíz encontrada por inspección, por lo tanto
)1)(994(9134 0020
20
30 +−+=−+ xxxxx ,
luego, 0)1)(994( 0020 =+−+ xxx , resolviendo el paréntesis se tiene que
( ) 0)1()3( 043
00 =+−+ xxx .
Por lo tanto hay tres puntos 30 −=x ; 43
0 =x y 10 −=x , una de esas tangentes es en )57,3(0 −P ;
19−=m por lo tanto xy 19−= .
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangente a :
53 += xy en: a) 0=x ,
b) 3=x , c) el punto 0x , en que sea paralela a 1712 −= xy .
Solución:
a) 23)(' xxy = ; 0)0(' =y , luego la recta es horizontal. Si 50 =⇒= yx es la tangente
horizontal.
b) 27)3(' =y ; 32)3( =y por lo tanto )3(2732 −=− xy .
c) Ambos pendientes deben ser iguales, por lo tanto 2312 0
20 ±=⇒= xx , luego son los
puntos (2,13); (-2,-3).
116
Ejemplo:
En la curva 151232)( 23 +−−= xxxxf encontrar los puntos en ella en que la recta tangente sea
horizontal.
Solución:
¡Condición 0)(' =xf !
0)1)(2(02
01266)(2
2'
=+−=−−
=−−=
xxxx
xxxf
por lo tanto 12 −=∧= xx ; 5)2( −=f y 22)1( =−f , por lo tanto )5,2(1 −P y )22,1(2 −P .son los
puntos buscados
Ejemplo:
Pruebe que la curva xxy 25 += no tiene tangentes horizontales, ¿cuál es la pendiente mínima
entre todas ellas?
Solución:
⇒⇐−=⇒=+=52025)(' 44 xxxy , luego no hay solución real y como xxy ∀≥ 2)(' .Entonces
2)(' =xy sería el valor mínimo
117
Ejemplo:
Hallar las ecuaciones de la recta normal a la curva 53 += xy en el punto en que sea paralela a la
recta .1712 −= xy
Solución:
La pendiente de la recta es 12=m , luego la normal deberá ser
)()('
10
00 xx
xyyy −−=− ,
por lo tanto,
,36112
31
)('1 2
0200
−=⇒=−=− xxxy
por lo tanto IRx ∉0 , luego no hay tal punto.
Ejemplo.
Verificar que la recta tangente a cada una de las cónicas se obtiene por desdoblamiento.
Solución:
Sea la circunferencia: 2 2 2x y r+ = y el punto 0 0( , )x y en ella, como
2 2 00 2 2
0
( )x
y r x y xr x
′= ± − = −± −
, así tangente será
00 02 2
0
( )x
y y x xr x
− = − ⇒−
∓
2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )y y r x x x x o y y y x x x− − = − − = −
2 2 20 0 0 0 0 0 0 0( ) ( )y y y x x x yy xx x y r∴ − = − − ⇒ + = + = ,
en definitiva la recta tangente queda: 2
0 0yy xx r+ = ,
118
Lo que significa un desdoblamiento de la ecuación original para lograrla.
Si la ecuación fuera 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = con un cambio de variable queda: 2 2 2X Y r+ = el
desdoblamiento nos da la recta tangente : 20 0XX YY r+ = ,regresando a las variables originales:
20 0( )( ) ( )( )x h x h y k y k r− − + − − = , es el
desdoblamiento buscado.
Esto lo podemos extender a las elipses e hipérbolas:
2 2 2 2 2 2( ) ( )b x h a y k a b− ± − =
En que las tangentes a un punto 0 0( , )x y de ellas el desdoblamiento nos da las rectas tangentes:
2 2 2 20 0( )( ) ( )( )b x h x h a y k y k a b− − ± − − = .
Para el caso de la parábola: 20 04 ( ) 8y px y x px′= ⇒ = luego la tangente es de ecuación:
20
0 0 0 0 0 00( ) 8 ( ) 4 4 4
2y y
y y px x x pxx px pxx y−
− = − ⇒ = − = −
Desarrollando esto se tiene:
004
2y y
pxx+
= ,
Siendo esto la forma desdoblada de la ecuación. Para la forma desplazada de la parábola el recurso
ya está dado.
Otra interpretación de la derivada es en física, donde si )(tf es la función posición de una
partícula en el tiempo t; la razón de cambio instantánea del espacio recorrido y el tiempo en que
ello ocurre, define la velocidad de ésta,
htfhtftftV
h
)()(lim)(')(0
−+==
→.
De igual modo la aceleración es la razón de cambio instantánea de la velocidad respecto del
tiempo
htvhtvtVta
h
)()(lim)(')(0
−+==
→.
119
Ejemplo:
Un móvil se desplaza según la ley 225)( tttS −+= . Hallar la velocidad y aceleración en 2=t .
Solución:
ttvtS 41)()(' −== ; 7)2( −=v y 4)()(' −== tatv ; 4)2( −=a .
También pueden mencionarse otras significaciones de la derivada de una función en el campo de la
ingeniería, de la economía, la medicina etc.
2.1.2.- Álgebra de derivadas.
Teorema:
Sean f(x) y g(x) funciones definidas en (a,b) y diferenciables en ),(0 bax ∈ ; entonces son
diferenciables allí las funciones
1. ),)(( xgf ±
2. );)(( xgf ⋅
3. )0)((),( 0 ≠⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xgx
gf
y además,
a) )(')(')()'( 000 xgxfxgf ±=±
b) )(')()()(')()'( 00000 xgxfxgxfxgf +=⋅
c) )(
)(')()()(')(
02
00000
'
xgxgxfxgxf
xgf −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ .
Demostración:
120
a).- Sea ⇒±= ))(()( xgfxh
.)()()()(
))(())(()()(
0000
0000
kxgkxg
kxfkxfk
xgfkxgfk
xhkxh
−+±
−+=
±−+±=
−+
Si )(')(')()'()('0 0000 xgxfxgfxhk ±=±=⇒→ “La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de éstas”
b).- Sea ⇒= ))(()( xfgxh
.)()(
)()()(
)(
)()()()()()()()(
)()()()(
))(())(()()(
000
000
00000000
0000
0000
kxfkxf
xgk
xgkxgkxf
kxgxfxgkxfxgkxfkxgkxf
kxgxfkxgkxf
kxfgkxfg
kxhkxh
−++
−++=
−+−++++=
−++=
−+=
−+
Si ).()(')(')()()'()('0 000000 xgxfxgxfxfgxhk +==⇒→ “La derivada de un producto de funciones es igual a la derivada de la primera por la
segunda función más la primera por la derivada de la segunda”
De aquí se deduce que 0 0( ( )) ' '( ),f x f xλ λ= siendo λ una constante.
c).- Sea
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= )()( x
gfxh
[ ] [ ]
[ ] [ ].
)()()()(
)()()()()()()()(1
)()()()()()(1
)()(
)()(1
)()()()(
00
)()(0
)()(0
00
000000
00
0000
0
0
0
0
0000
0000
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+−−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
=
−+=
−+
−+−+
xgkxgxfxg
xgkxgxgkxgxfxfkxfxg
k
xgkxgkxgxfkxfxg
k
xgxf
kxgkxf
k
kxkx
kxhkxh
kxgkxg
kxfkxf
gf
gf
121
Si )(
)(')()()(')()('0
02
00000
'
0 xgxgxfxgxf
xgfxhk
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒→ .
“La derivada de un cuociente de funciones ,es el cuociente entre la derivada de la primera
por la segunda menos la derivada de la segunda por la primera funciones y el cuadrado de la
segunda en el denominador”
De aquí se deduce como caso particular que .)()('
)(1
02
00
'
xgxg
xg
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Con este teorema y el hecho que 1)'( −= nn nxx se deduce que:
a) Si .32)(')( 12321
2210
−++++=⇒++++= nn
nn xnaxaxaaxpxaxaxaaxp
b) Si )()()(
xqxpxr = función racional ⇒
.)(
)(')()()(')(' 2 xqxqxpxqxpxr −
=
Ejemplo:
Calcular )(' xf aplicando álgebra de derivadas: a) )()( xtgxf = , b) )sec()( xxf = y c)
)(cos)( xecxf = .
Solución:
a) 2 2
22
( ) cos ( ) ( )( ) '( ) sec ( ).cos( ) cos ( )sen x x sen xf x f x x
x x+
= ⇒ = =
b) ).sec()()(cos)(0)('
)cos(1)( 2 xxtg
xxsenxf
xxf =
+=⇒=
c) ).(cos)()()cos(0)('
)(1)( 2 xecxctg
xsenxxf
xsenxf −=
−=⇒=
122
Ejemplo:
Aplicando álgebra de derivadas hallar )(' xf si: a) xxxf
−+
=11)( , b) )()( xtgexf x= y c)
)cos(3)( 3 xxxf −= .
Solución:
a) .)1(
2)1(
)1)(1()1()(' 22 xxxxxf
−=
−−+−−
=
b) ).(sec))'(()()'()(' 2 xextgextgexf xxx =+=
c) ( ) ).(33
1))((331))'(cos(3)('
32
32
31 '
xsenx
xsenxxxxf +−−−=−= −
Ejemplo:
Calcular )(' xf para: a) )()ln()( xsenxxf = y b) .1
1)(1x
xf+
=
Solución:
Manejando las funciones y aplicando algebra:
a) .1)()ln()cos()(')ln()()(x
xsenxxxfxxsenxf +=⇒=
b) .)1(
1)1(
)1()('1
)( 22 +=
+−+
=⇒+
=xx
xxxfx
xxf
Observación:
Con lo aquí logrado se puede construir una importante y necesaria tabla de derivadas para el uso
posterior.
123
2.1.3.- Regla de la cadena
Se busca calcular la derivada de una función compuesta es decir de una función cuya variable es
otra función de una variable, por lo que se le denomina “función de función” lo que se describe
mediante el siguiente diagrama:
f g
I Rec f R
: : Re( ) ( ) ( ( )) ( )( )
f I R R g c f Rx y f x g y g f x g f x
⊂ → →→ = → = =
Como se puede observar no es lo mismo g f que f g , es decir la composición no es
conmutativa como ya se señaló en una oportunidad anterior
Teorema: (Regla de la cadena)
Sean f y g funciones reales tales que fcgDom Re⊂ y que además f es diferenciable en
),(0 bax ∈ y g es diferenciable en )( 00 xfy = Entonces ).(')(')()'(),('))((')()'( 000 xfygxfgxfxfgxfg ⋅=⇔⋅=
Demostración:
Sea entonces ))(()( xfgxF = ; )( 00 xfy = ; kyhxf +=+ 00 )( ,
,)()()()())(())(()()(
0000
0000
kxfhxfygkygxfghxfgxFhxF
=−+⇒−+=−+=−+
.)()()()(
)()()()(
0000
0000
hxfhxf
kygkyg
hk
kygkyg
hxFhxF
−+⋅
−+=
⋅−+
=−+
124
Si ),(')(')()'()('0;0 0000 xfygxfgxFkh ==⇒→→ luego
).('))((')))'((( xfxfgxfg =
Observación:
Como 0( ) '( ) '( )· '( )g f x g f f x= , o sea, se deriva la función g respecto a la variable f que es una
función y ésta respecto a la variable x, de ahí el nombre de la Regla de la Cadena.
Por extensión se deduce que ( ) '( ) '( )· '( )· '( )g f h x g f f h h x= .
Ejemplo:
Calcular )(' xf con Regla de la Cadena si:
a) 5))(()( xsenxf = b) 21
2 ))(3()( xxxsenxf −=
c) 33)( xexf = d) )ln()( xxf =
e) xaxf =)( f) xxxf =)(
g) 1
)(3
+=
xxxf h) ))(cos()( xgxf =
i) ))(ln(sec)( 2 xxf = j) ( )23)( xetgxf =
k) xxxf +=)( l) IRxgxf ∈= αα ;))(()(
m) 5))()( xsenxf = n) ))(()( xsengxf =
Solución:
a) 5))(()( xsenxf = es una función compuesta, pues 55 ))(()( xsenyyxsenx gf =⎯→⎯=⎯→⎯ ,
luego )('))((')()'( xfxfgxfg = , pero como 5)( yyg = , 45)(' yyg = y como
4))((5)('),( xsenygxseny == , ahora ),cos()(' xxf =
125
).cos())((5)()'( 4 xxsenxfg =
b) 1
2 21'( ) (3 ( ) ) (3 ( ) 3 cos( ) 2 )2
f x xsen x x sen x x x x−
= − + − .
c) Aquí debemos derivar la función uey = ,
23 9)(')(')('3
xexuuyxy x== .
d) x
xx
xf21
211)(' 2
1
=⋅=−
, también si
.211
21)(')ln(
21)(
xxxfxxf =⋅=⇒=
e) Aquí aplicamos primero logaritmo para luego usar la regla de la cadena;
)ln())(ln( axxf = , derivando,
).ln()ln()()(')ln(1)(')(
1 aaaxfxfaxfxf
x==⇒=
f) Con el mismo recurso:
)ln())(ln( xxxf = , derivando,
).1)(ln()1))(ln(()('1)ln()(')(
1+=+=⇒+= xxxxfxf
xxxxf
xfx
g) Si ))1ln()ln(3(21))(ln(
1)(
3
+−=⇒+
= xxxfxxxf , por lo tanto,
.)1(2
321
)('
)1(32
21
113
21)('
)(1
3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
xxx
xxxf
xxx
xxxf
xf
h) Si ))(cos()( xgxf = la regla de la cadena da ).('))(()(' xgxgsenxf −=
j) Aquí la regla tiene mas de 2 componentes,
( ) .6sec)('22 332 xeexf xx=
126
l) )('))(()(' 1 xgxgxf −= αα .
m) Aquí )(xg no se da, por lo tanto ).('))(cos()(' xgxgxf =
n) )cos())((')(' xxsengxf = . Se ve que no son iguales estos dos últimos ejemplos.
Ejemplo:
Hallar 2
3 22
1( ) 2.1
uy x si y donde u xu
−′ = = ++
Solución:
La regla de la cadena señala: 2 2
2 2 2 22 ( 1) 2 ( 1) 4( ) ( )· ( ) ( )
( 1) ( 1)u u u u uy x y u u x y u
u u+ − −′ ′ ′ ′= ⇒ = =
+ + y
2 2 / 31( ) ( 2) 23
u x x x−′ = + 2 2 2 2 / 34 ·2( )
3( 1) ( 2)u xy x
u x′⇒ =
+ +, si lo que se busca en representar todo
con respecto a la variable x bastará reemplazar la función ( )u x
Ejemplo:
Un punto se mueve a lo largo de la curva: 3 3 5y x x= − + , donde 32tx = + , (t es tiempo) ¿Qué
velocidad alcanza si t = 4?.
Solución:
127
La regla de la cadena y entendiendo que la velocidad es la derivada de la trayectoria respecto del
tiempo se tendrá: 2 1( ) ( ) ( )· ( ) ( ) (3 3)·4
v t y t y x x t v t xt
′ ′ ′= = ⇒ = − .Si t = 4 , x = 4, luego
1(4) (45)·8
v = .
Ejemplo:
Usando logaritmo. y regla de la cadena calcular )(' xf si:
a) )()( xsenxxf = b) xxxxf =)(
c) )()( xxsenxf = d) )())(()( xhxgxf =
e) 3
22
)1()2()(
−+
=xxxxf .
Solución:
Aplicando logaritmo natural en cada caso y luego derivando con la regla de la cadena:
a) x
xsenxxxfxfxxsenxf )()cos()ln()()(')ln()())(ln( +=⇒= , por lo tanto,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
xxsenxxxxf xsen )()cos()ln()(' )( .
b) x
xxxxfxfxxxf xxx 1)ln()'()()(')ln())(ln( +=⇒= , pero en ejemplo
anterior )1(ln)( +=′ xxx xx , por lo tanto,
1ln))1(ln()( −++=′ xxx xxxxxxfx
.
c) ))1(ln()( +=′ xxxCosxf xx .
128
d) )(')(
1))(ln()(')()('))(ln()())(ln( xg
xgxgxh
xfxfxgxhxf +=⇒= .
e) ( ) ( ))1ln()2ln(2)ln(231)1ln())2(ln(
31))(ln( 22 −−++=−−+= xxxxxxxf , por lo tanto,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−−−+
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
++=
)1)(2(342
1)2()('
11
222
31
)()(' 2
322
xxxxx
xxxxf
xxxxfxf .
Ejemplo:
Si IRxxf ∈= αα ,)( , hallar ).(' xf
Solución:
Recordemos que esto estaba pendiente,
1)()(')()(')ln())(ln( −=⇒=⇒= xxfxf
xxfxfxxf ααα
ó .)(' 1−= ααxxf Ahora si )12(2 2)(')( −=⇒= xxfxxf .
Observación:
La regla de la cadena nos permite las siguientes conclusiones:
1.- ( ) ( ) )()()( 1 xfxfxf ′=′ −αα α 4.- ( ) )()( )()( xfee xfxf ′=
′
2.- ( ) ( ) )(·)(()(( xvxvCosxvSen ′=′ 5.- ( ) )()()()((· xvxvgfgfxvgf ′′+′=′
3.- )()(
1))((( xfxf
xfLn ′′=′ 6.- ( ) )()()( )()( xfLnaaa xfxf ′=′
129
2.1.4.- Derivada de funciones inversas.-
Si IRIRDf →⊂: y )(1 yf − es su inversa Iff =⇒ −1 , es decir
( ) yyff =− )(1 ó xxff =− ))((1 .
Para calcular ( ) )('1 yf − derivamos respecto a y en ( ) yyff =− )(1 ⇒ aplicando la regla de la
cadena :
( )[ ] )())(()( 11 yfxfyff ′′=′ −− Pero
( ) ( ) ( ) .)('
1)(1)(' '1'1
xfyfyfxf =⇒=⋅ −−
Ejemplo:
Calcular la derivada de )ln(xy = , considerada como inversa de la función exponencial.
Solución:
)()ln( xyexxy =⇔= su inversa, luego derivamos respecto a x,
∴′=⇒′= )(1)(1 )()( xyexye xLnxy
xxy 1)( =′
Ejemplo:
Calcular )(' xy si: a) )()( xarcsenxy = , b) )arccos()( xxy = y c) )()( xarctgxy = .
Solución:
a) )()( ysenxxarcseny =⇔= , por lo tanto )(')cos(
1)(')cos(1 xyy
xyy =⇒⋅=
130
o aplicando directamente la fórmula,
.1
1)(1
1)cos(
1))'((
1))'((22 xysenyysen
xarcsen−
=−
===
b) )(cos)arccos( xyxxy =⇔= , derivando respecto a x, ⇒⋅−= )(')(1 xyysen
211
)(1)('
xysenxy
−−=−= ,
pues 22 1)(cos1)( xyysen −−−= .
c) ))(()( xytgxxarctgy =⇔= , derivando respecto a x, ⇒⋅= )(')(sec1 2 xyy
,1
1)(sec
1)(' 22 xyxy
+==
pues .1)(1)(sec 222 xytgy +=+=
Ejemplo:
Si 2 1( )2
xy xx
−=
+,Calcular ( )x y′ o sea la derivada de la inversa 1( )f y−
Solución:
a) Aplicando la fórmula: 2 2
1 1 ( 2) ( 2)( ) ( ) ( )( ) 2( 2) (2 1) 5
x xf y x yf x x x
− + +′ ′= ⇒ = =′ + − −
2
2
)('
11
)(')(1
1
( )21
1x
ArcSenx−
=′⇒ xyx
xyysen
=
−
=−
⇒
131
b) Encontrando la inversa y derivar.
2 22 1 2 1 2(2 ) (2 1) 5( )
2 2 (2 ) (2 )x y y yy x x y
x y y y− + − + +′= ⇒ = ∴ = =
+ − − −.
Para comparar reemplazamos ( )y x en esta última.
Ejemplo:
Calcular la derivada de las funciones hiperbólicas inversas.
Solución:
a) Recordemos que )(21)( xx eexsenh −−= ; )(
21)cosh( xx eex −+= y
)cosh()()(
xxsenhxtgh = , luego se
ve fácilmente que )cosh()(' xxsenh = , )()(cosh' xsenhx = , ).(sec)(' 2 xhxtgh =
b) Si )()( yarcsenhxxsenhy =⇒= , derivando respecto a x,
.)cosh(
1))'((
1))'((1xxsenh
yarcsenh ===
Pero 1)()(cosh 22 =− xsenhx , por lo tanto .1
1))'((2y
yarcsenh+
=
c) Si )()( yarctghxxtghy =⇒= , derivando,
.1
1)(1
1)(sec
1))'((
1))'((1 222 yxtghxhxtghyarctgh
−=
−====
2.1.5.- Funciones paramétricas.
Una curva, cuya representación cartesiana se da como RIxxfy ⊆∈= )( ,también puede ser expresada considerando tanto la abscisa como la ordenada del punto función de una nueva variable o parámetro tomando la forma:
132
x = x(t)
y = y(t) ; bta ≤≤ y es lo que llamamos la forma paramétrica de la función o la curva. Un tema interesante es llevarla de una forma a la otra. Ejemplos:
1.- Expresar la curva paramétrica: 1
22
+=−=
tyttx
Rt ∈
En la forma cartesiana: Solución: Se trata de eliminar el parámetro t de las ecuaciones paramétricas.Por tanto :
34)1(2)1( 22 +−=⇒−−−= yyxyyx que es una parábola.
2.- Expresar la elipse: 12
2
2
2
=+by
ax ,en forma paramétrica.
Solución. Aquí el tema es la elección del parámetro, que en este caso será un ángulo para hacer
bSentyaCostx
==
De modo que se cumple la relación cartesiana. 3.- Parametrizar la curva cartesiana: 24 3yyx −= . Solución. Si tomamos como parámetro la variable y, cosa que es aceptable, la expresión será:
ty
ttx=
−= 24 3
4.- La cicloide es una curva que describe un punto fijo en la circunferencia de radio a cuando rueda sobre un eje.Si el parámetro es el ángulo que se muestra en la figura ,las ecuaciones paramétricas se pueden deducir de ello.
133
Solución.
)cos1()(
taySenttax
−=−=
2.1.6. Derivada de funciones paramétricas
Siendo )(),()( tyytxxxfy ==⇔= es su forma paramétrica, luego ))(()( txfty = , derivando
con regla de la cadena, )(')(')(' txxfty ⋅=⇒ , por lo tanto
.)(')(')('
txtyxf =
Ejemplo:
Si la curva es
0);()cos(
>==
ytasenytax
la derivada será )()()cos(
)()cos()(' tctg
tsent
tasentaxf −=−=
−= , en forma cartesiana es 22 xay −=
).()()cos(
)()cos()('
22tctg
tsent
tasenta
yx
xaxxy −=−=
−⇔−=
−
−=⇒
Ejemplo:
Sean las funciones
)();()cos(
xfytbsenytax
===
su forma cartesiana, ¿cuál es )(' xf ?.
134
Solución:
Como: 1)()()(;)( 22 =+⇒==by
axtSen
bytCos
ax 2)(1)(
axbxy −±=∴
)()(
)cos()(')(')(')(' tctg
ab
tasentbxf
txtyxf −=
−=⇒= .
Ejemplo:
Si la función )(xfy = está dada paramétricamente como
)2(34)2cos(32
tsenytx
+=+=
a) Hallar su forma cartesiana y b) Su derivada.
Solución:
a) ),2(cos9)2( 22 tx =− ),2(9)4( 22 tseny =− por lo tanto 9)4()2( 22 =−+− yx circunferencia
centro (2,9) y radio 3.
b) .42
)2()2cos(
2)2(32)2cos(3)('
−−
−=−=−=yx
tsent
tsentxy Por otro lado vemos que
.)4()2(
)2(9)2()(')2(94
2
2
−−
−=−−±
−−=⇒−−±=
yx
xxxyxy
Ejemplo:
Un punto se mueve en el plano de acuerdo con la ecuación: 2 32 2 6 .x t t y t t= + = − Hallar ( ) 0; 2; 5y x si t t t′ = = = .
Solución.
Como 2( ) 6( 1)( ) ,
( ) 2( 1)y t ty xx t t
′ −′ = =′ +
luego evaluamos en los puntos- (0) 3; (2) 3; (5) 2y y y′ ′ ′= − = =
135
2.1.7.- La Diferencial de una función.
Si )(xf diferenciable en 0x
0;)(')()(
)(')()(
lim 000
000
0→∋+=
−+⇔=
−+⇒
→ηηxf
hxfhxf
xfh
xfhxfh
si 0→h ; por lo
tanto hxhfxfhxf η+=−+ )(')()( 000 o si xhx =+0
00000 0);()(')()()( xxsixxxfxxxfxf →→∋−+−=− ηη
⇔ si 0xxx −=Δ ó hx =Δ y ).()()( 00 xfxfxf −=Δ
0 0( ) '( ) 0 0.f x xf x x si xη ηΔ = Δ + Δ ∋ → Δ →
Definición:
Se llama diferencial de una función en 0x a la expresión
)(' 0xxfdf Δ= ó )(')( 00 xfxxdf −= ó )(' 0xhfdf = .
Observación:
Si )(xfy = y si
xxfxdfdxdfxxf
Δ=⋅Δ==⇒=
)(')(
implica que xdx Δ= . Luego dxxfdf )(' 0= y hacemos dydf = ,
dxxfdfdxxfdy )(')(' 00 =⇔= ,
por lo tanto
)(' 0xfdxdf
= (Notación de Leibnitz para la derivada).
Luego al final queda:
xxdfxf Δ+=Δ η)()( 00 o como )()()( 00 xfxfxf −=Δ ,
xxdfxfxf Δ++= η)()()( 00 ,
136
por lo tanto: )()()( 00 xdfxfxf +≈ , o sea, el valor de f en un punto cercano a 0x es
aproximadamente el de )()( 0 xdfxf + y esto nos permite hacer cálculos aproximados de
funciones.
Ejemplo:
Computar 2)05,3( aproximadamente.
Solución:.
)()())((')()(
00
000
xdfxfxxxfxfxf
+≈−+≈
Si 2)( xxf = ; 30 =x ; 5,00 =− xx ,
3,1905,0329
)305,3)(3(2)3()05,3( 2
≈⋅⋅+≈
−+≈ xf
Ejemplo:
Calcular la diferencial de xxxf 2)( 3 += para 1=x , 2,0=h .
Solución:
Como hxfdf ⋅= )(' 0 ,
1)2,0(5213)(';23)(' 20
2 =⋅=⇒+⋅=+= dfxfxxf
Ejemplos:
Calcular la diferencial df en
a) )()( xtgxf = d) 2
1)(xxxf +
=
b) xaxf =)( e) )()( xarcsenxf =
137
c) )ln()( xxf = f) )cos()( xexf x +=
Solución:
a) dxxdfxdxdfxxf )(sec)(sec)(sec)(' 222 =⇒=⇒=
b) dxaadfaadxdfaaxf xxx )ln()ln()ln()(' =⇒=⇒=
c) dxx
dfxdx
dfx
xf 111)(' =⇒=⇒=
d) 12
4312
4312
)1(412)('
34
2
4
2
412
12
++
−=+
−−=
++−
=+−
= +
xxx
xxxx
xxxxx
x
xxxxf x
dxxx
xdf12
433 +
+−=⇒
e) 22 11
1)('x
dxdfx
xf−
=⇒−
=
f) dxxsenedfxsenexf xx ))(()()(' −=⇒−=
Observación:
Si )(xf es una función, entonces como dxxfdf )('= , se tendrá:
a) ,0)( =kd k constante.
b) dxnxxd nn 1)( −=
c) dxxgxfdgdfgfd ))(')('()( +=+=+
d) dxgffggdffdggfd )''()( +=+=⋅
e) 2gfdggdf
gfd ⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
f) )()()( xdggdfgfd ⋅=
138
2.1.8.- Derivada de funciones implícitas.
Sea 0),( =yxF una ecuación que define en forma implícita la función )(xfy = , es decir,
.0))(,( ≡xfxF
Para calcular )(' xf sin expresar en forma explícita la función )(xfy = , lo hacemos usando la
regla de la cadena aplicada a la ecuación.
Ejemplo: 222 ryx =+ , si existe )(xy calcular ).(' xy
Solución:
Sea 222 )( rxyx =+ , ⇒dxd )()(22 xyxyx ′+
yx
dxdyó
yxxy −=−=′∴ )(
Si expresamos en forma explícita a la función se tendrá
.22
22
yx
xrx
dxdy
dxdxry
−=−
−=
−=
Ejemplo:
Sea )1()3( 2 +=− xy , aceptamos que existe la función )(xfy = y )(ygx = . Encontrar y’(x) y
x ´(y).
Solución:
Para encontrar )(' xy :
139
)3(211)3(2
)1()3( 2
−=⇒=−
+=−
ydxdy
dxdyy
dxdxy
Para encontrar :)(' yx
dydxy
dydxy
=−
+=−
)3(2
)1()3( 2
como se puede ver: · 1dy dxdx dy
=
Ejemplo:
Demostrar que si c es una constante cualquiera, entonces cxyyx =− 22 satisface la ecuación
diferencial
0)2()2( 22 =−+− dyxyxdxyxy
en el sentido que la expresión para dy y dx obtenidas de la ecuación primera al sustituirse en la
ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad.
Solución:
Diferenciando la ecuación dada, cxyyx =− 22 se tiene:
.0)2()2(022
22
22
=−+−
==−−+
dyxyxdxyxydcxydydxydyxxydx
Es lo mismo que cxyyx =− 22 satisface
.0)2()2( 2 =−+−dxdyxyxyxy
140
2.1.9.- Derivadas de orden superior
Definición:
Si )(xf es una función que admite derivada en )(xV (vecindad del punto x), la función derivada
de )(' xf se llama la segunda derivada de )(xf y se denota
)('' xf ó 2
2
dxfd .
Observación:
De igual modo se define la n-ésima derivada de )(xf , o sea
.)()( )1()(n
nnn
dxfdxf
dxdxf == −
Ejemplo:
Encontrar 2
2
dxfd para )()( 2 xsenxxf += .
Solución:
)(2))cos(2(
)cos(2
2
2
xsenxxdxd
dxfd
xxdxdf
−=+=
+=
Ejemplo:
141
Encontrar 2
2
dxfd para la función xyxsen =+ )(
Solución:
Se trata de función implícita. Derivando la ecuación
0)cos('')()'1(0)''0)(cos()'1)('1)((
1)'1()cos(
2 =++++−
=++++++−
=+⋅+
yxyyxsenyyyxyyyxsen
dxdyyx
como ⇒−+
= 1)cos(
1'yx
y al sustituir en
)(cos)(''
1)cos(
11)cos()(''
)()'1()cos(''
3
2
2
yxyxseny
yxyxyxseny
yxsenyyxy
++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
++
=
++=+
Ejemplo:
Si nxy = , calcular )()( xy n .
Solución:
!1)2)(1()(
,)1()('')('
)(
2
1
nnnnxy
xnnxynxxy
n
n
n
=−−=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=
=−
−
luego !)( ny n = si nxxy =)( . Por lo tanto: 0)()1( =+ xf n si nxxf =)( .
Ejemplo.
Si f(x) = Sen (x) . Hallar n-ésima derivada.
142
Solución:
SenxxfCosxxfxfxfxfxf
SenxxfCosxxfSenxxfCosxxf
nn
nnviv
iv
)1()()1()()()()()(
)()()()(
)2(
1)12(
−=
−=⇒′′=′=
=−=′′′
−=′′=′
+−
Ejemplo:
Si 1c y 2c son constantes, entonces )(4)( 12
2 cxacy −=− satisface la ecuación diferencial:
0)(')(''2 2 =+ xyxay .
Solución:
)(4)( 12
2 cxacy −=− si derivamos queda aycy 4')(2 2 =− , si derivamos de nuevo resulta
0'')(2'2 22 =−+ ycyy , como
222
2
2 )(2'''2'cya
cyyy
cyay
−−
=−
−=⇒−
=
luego .0)(
4)(
4'''2 22
2
22
22 =
−+
−−=+
cya
cyayay
Ejemplo:
Sea xxxf =)( . Demostrar que )(' xf existe para todo IRx ∈ ; que )('' xf existe si 0≠x pero
)0(''f no existe. Aproxime gráficos de )(xf , )(' xf y )('' xf .
Solución:
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥=
00
)(2
2
xsixxsix
xf
luego
143
xxsixxsix
xf 20202
)(' =⎩⎨⎧
<−≥
=
⎩⎨⎧
<−≥
=0202
)(''xsixsi
xf
Según problema anterior se tiene que no existe ).0(''f
Teorema (Leibnitz):
.)(0
)()()( ∑=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅
n
k
kknn fgkn
gf
Demostración:
Inducción: .1=n
.1
'')'(1
0
)1(∑=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+=⋅
k
kk fgk
gffggf
Hipótesis:
)()()1()1()1()()(
1'
10)( kknkknnnn fg
kn
fgk
nfg
ng
ngf −−+−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅
Tesis:
∑+
=
−++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⋅
1
0
)()1()1( 1)(
n
k
kknn fgk
ngf .
Al derivar la hipótesis, el término en )()1( kkn fg −+ se logra en una parte de la derivación de
)()()1()1(
1kknkkn fg
kn
fgkn −−+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
y su coeficiente es ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− k
nkn
kn 1
1.
144
2.2.-Guía de Ejercicios
1.- Calcule la derivada de
a) )()12()( xsenxxf +=
b) )(12)(xsen
xxf +=
c) 22
)(ax
xxf+
=
2.- Encuentre dxd si
a) xyx 222 =+ b) 2)( =yxxsen
c) 1=xy d) xyxy =+ )3cos(
e) 12625
22
=−yx f) 32 =+ yx
3.- Encuentre la pendiente de la recta tangente al gráfico de la ecuación dada en el punto señalado:
a) 4;1622 −==− xyx , 2do. cuadrante.
b) .2;102 −== yxy
c) .1;1 −=−= xxy
4.- Demostrar que si c es una constante, entonces:
a) cxy
yx=
+2
22
satisface 02)( 322 =−− dyxdxyxy .
b) cyyxax =++ 434 4 satisface .0)()3( 332 =+++ dyyxdxyaxx
c) cxx
xseny+=
+)cos(
))(1( satisface .0)cos())(1( =−−− dyxdxxseny
5.- Demostrar las fórmulas:
145
a) 1)()(
)('))(sec(2 −
=xuxu
xuxuarcdxd
b) 1)()(
)('))((arccos2 −
−=xuxu
xuxuecdxd
c) 0;112 >
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ac
caxcaxarctg
acdxd
d) 22
11xaa
xarctgadx
d+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
e) cbxaxbac
baxarctgbacdx
d++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+
−222
142
42
f) )()(2
)(4
114
2
222 axxarcsenaxarcsenxaxarcsen
axa
ax
dxd
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−
6.- Encuentre )(' xf para:
a) )()( xarctgxf =
b) ))(arccos()( xsenxf =
c) )(cos
)(arccos)(xec
xecxf =
d) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 3
223
)( xarcsenxf
e) )2arccos()arccos()( xxxf =
f) ))cot(()( xarctgxf =
7.- Determinar )(' xf para:
a) ( )21log)( xxxf ++=
b) )1log(1)( 2 += xx
xf
c) )(log)( xarctgxf =
146
d) )))g(log(log(lo)( xxf =
e) xxxxf =)(
8.- Use logaritmo para obtener:
a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++3 3
22
11)32(
xxx
dxd
b) ( ))(10 xarctg
dxd
9.- Calcular:
a) )( xarcsenhdxd
b) ))((arccos xsenhhdxd
c) )))((log( xsenhdxd
d) ))())((cosh( xsenhxdxd
e) ))())(arccos(arccos( xhxdxd
10.- Sea hgf = ; 6)2( =h ; 10)2(' −=h y .21)6(' −=g Encuentre ).2('f
11.- Si 12)( −= xxf encuentre directamente la derivada de su inversa.
12.- Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de 12
5
4
+−
=xxy en .0=x
13.- Sea )1)(2(
3+−
=xx
xy . Pruebe que la derivada en todo punto es negativa.
14.- Considere una tangente a la curva nnn ayx =+ , 1≠n , 0≠n . Suponga que dicha tangente
intersecta al eje x en (p,0) y al eje y en (q,0). Muestre que
147
1
1
1
1
1
1
−
=
−
+
− nna
nnq
nnp
.
15.- Calcule ))(( 22
2
xarcsenhxdxd
16.- Calcule ))2((cosh32
2
xdxd
17.- Si ))(( xarcsenmseny = , probar que satisface a la ecuación 0''')1( 22 =+−− ymxyyx .
18.- Si ( )naxxy 22 ++= , probar que satisface .0''')( 222 =−++ ynxyyax
19.- Si )(1 2 xarcsenxy −= mostrar que 22 1')1( xxyyx −=++ y cuando 2≥n
.0)1()12()1( )(2)1()2(2 =−−+−− ++ nnn ynxynyx
20.- Encontrar la cuarta derivada de .232
312xx
xy−−
+=
21.- Sea )()( 3 xhxxk = , 3)1( =h , 21)1(' =h , 4)1('' =h , encontrar )1(''k .
22.- Sea 1)( −= xxf . Encontrar .),()( INnxf n ∈
23.- Si xaxxf 2)( = , encontrar ).()( xf n
______________________________________________________________
148
2.3.- Aplicaciones de la derivada En la interpretación geométrica de la derivada, encontramos una primera aplicación, como así también el concepto de velocidad y aceleración en Física
2.3.1.- La derivada como Razon de Cambio.
La derivada de una función puede entenderse como “la razón de cambio instantáneo entre la
función y la variable”, puesto que
0
0
0
)()(lim)()(lim)('
0 xxxfxf
hxfhxfxf
xxh −−
=−+
=→→
,
Donde )()( xfhxf −+ ó )()( 0xfxf − es la Variación de la Función y h ó( x- 0x ) es la
Variación de la Variable. Esta visión de la derivada nos lleva a resolver problemas de diferente
naturaleza. Comenzando por recordar que si S(t) es el modelo matemático de un fenómeno cuya
variable es el tiempo la “razón de cambio instantánea “ es la velocidad de variación del fenómeno
con la variación del tiempo en un momento determinado.
Ejemplos.
1.- Una piscina con V galones de volumen en un momento “t” está dado por
: 2250(40 )V t= − ;está siendo evacuada. Encontrar la velocidad con que disminuye el volumen
luego de 5 minutos del proceso.
Solución.
Siendo :
2( ) 250(40 ) 500(40 )( 1)
(5)5 500 35 ( 1) 17.500 / min
dVV t t tdt
dVsi t galldt
= − ⇒ = − −
= ⇒ = ⋅ ⋅ − = −
2.- Un estanque tiene la forma de un cono invertido con 16 pié de altura y con un radio de 4 pié.
¿Qué tan rápido cae el nivel cuando el agua lleva 5 pié de profundidad y fluye a razón de
2pié/seg.?.
149
Solución.
Se pide la razón de cambio de la altura en relación al tiempo, en t = 5
)()(31)( 2 thtrtV ⋅= π . Según la fig. )(
41)(
164
)()( thtr
thtr
=⇒=
)(48
)( 3 thtV π= )(')(
483)(' 2 ththtV ⋅⋅=⇒π . Cuando t = 5
segpiéhh /2532)5(')5('25
162
ππ
=⇒⋅⋅= .
3.- Una escalera de 25 pié de largo, se apoya contra un muro vertical, si la base de ella se desplaza
a razón de 3pié/seg.¿Cuál es la velocidad de disminución de la altura cuando la base se encuentra a
15 pié del muro?
Solución.
Se trata de encontrar )(ty sabiendo que por la fig. ⇒=+ 222 25)()( tytx
∴−= )(625)( 2 txty)(625
)(')()('2 txtxtxty
−
⋅−= como ( )( )153)(' xttx = 25
.49
225625315)(' 0
−=
−⋅
−=ty
4.- Una bola de nieve se va formando de modo que su volumen aumenta a razón de
min/8 3pié .Encontrar la razón de cambio instantánea del radio en el tiempo cuando el radio mide 2 pié.
150
Solución.
)(34)( 3 trtV ⋅= π ⇒ )(')(4 2 trtr
dtdV
⋅⋅= π ⇒ )(·4·48 tr ′= π
min/21)( piétrπ
=′
5.- Un hombre de 6 pié de altura camina hacia un muro a 5pié/seg. Si existe un reflector en el piso a 50 pié del muro. ¿Con qué velocidad se acorta la sombra del hombre al momento que está a 30 pié del muro? Solución.
650 hx
=)(
300)(tx
th =⇒ )(')(
300)(' 2 txtx
th ⋅−=⇒
segpiéth /355
30300)(' 2 −=⋅−= .
6.- Una cubeta inicialmente con 10 galones de agua, gotea ; el volumen en el tiempo t está dado
por: 2)100
1(10)( ttV −= .¿Con qué velocidad disminuye el volumen luego de 1 minuto?
Solución:
seggalttV /198,0)100
1)(10099(20)1(V)
1001)(
1001(20)( '' −=−=⇒−−=
7.- Un globo meteorológico se eleva en forma vertical y es observado desde un puesto a 300 mts. del punto de elevación .¿Con qué velocidad se está elevando cuando el ángulo del observador es de 45º y aumenta un grado por segundo? Solución:
300
)())(( tyttg =θ . derivando300
)()(')·('
2 tyttSec =⇒ θθ
151
y(t) θ 300
segmtstyty /.600)(')('30011·)2( 2 =⇒=∴
2.3.2.-Monotonías de una función.-
Recordemos las definiciones de monotonía:
a) f(x) creciente en )()( yfxfyxRI ≥⇒>∀⇔⊂ b) f(x) decreciente en )()( yfxfyxRI ≤⇒>∀⇔⊂
Teorema. Si f `(x) >0 en una vecindad de x, entonces la función es creciente allí. Demostración.
Se tiene que: IhxxxIxfh
xfhxfh
∈+∋∂+∂−=∃∴>=−+
→)(),(0)('
)()(lim 0000
00
0
y si h>0 0)()( 00 >
−+h
xfhxf luego Ihxyhxfhxf ∈+>∀>+ )(0)()( 000
o sea la función es creciente. Observación. 1.- De modo análogo, si f ‘(x)<0 ,la función es decreciente, en la vecindad en que ello ocurra 2.- Recuérdese que si ,0)(lim
0
>=→
lxfxx
existe un intervalo donde la función cuando es continua
mantiene ese signo. 3.- La condición es suficiente pero no necesaria, en el sentido que no se cumple el recíproco, como es el caso de 3)( xxf = , la función es creciente en una vecindad del cero sin embargo 0)0(' =f . 4.- Se tiene además el caso de 3)( xxf = , que es creciente sin embargo no existe la derivada en 0.
152
Ejemplos.
1.- Determinar el intervalo de crecimiento de la función : 211)(
xxxf
++
= .
Solución:
0120)(')1(
12)1(
)1(2)1()(' 222
2
22
2
<−+⇔>∴+
+−−=
++−+
= xxxfx
xxx
xxxxf
Recordando que la figura es una parábola que abre hacia arriba, la parte negativa se encuentra entre las dos raíces, si es que existen.
)21(2
820122 ±−=±−
=⇒=−+ xxx .Luego la función crece en )21;21( +−−− y por lo
tanto decrece en el complemento de su dominio. 2.- Estudiar las monotonías de la función: 53 53)( xxxf −= . Solución.
54
32
)('−−
−= xxxf = )11(152
32
xx −
− como 0110)('0 15
232
≠>∴>⇔>⇒>−
xyxxxfx .
Luego la función crece en ).1()1,( ∞∪−−∞ y decrece si )1,1(0 −∈≠ xyx y el cambio de monotonía ocurre en x =1 y x = -1.
3.- Sea ,)3()( 31
23 xxxf −= Encuentre los intervalos de decrecimiento. Solución.
020)3()2()(' 3/223 ><⇒<
−−
= xyxxx
xxxf , luego decrece si )2,0(∈x .
2.3.3.- Concavidades. Diremos de un modo informal que una gráfica presenta una concavidad hacia arriba cuando ,la tangente en todo punto queda más abajo que la curva, y habrá concavidad hacia abajo cuando la tangente está sobre la curva en todo punto en que aquello ocurra
153
De un modo igualmente informal podemos decir que:
a) Si f ′′ (x)>0 en (a,b) ,entonces )(xf ′ es creciente en el sentido que la recta tangente tiene
pendiente en crecimiento cuando se avanza desde a hasta b o que la recta tangente va
girando en sentido anti-reloj es decir el gráfico está bajo la tangente y por lo tanto hay
concavidad hacia arriba.
b) Si 0)( <′′ xf en (a,b), entonces )(xf ′ es decreciente es decir que la recta tangente lleva una
pendiente en disminución desde a a b y las rectas van girando en sentido del reloj lo que
implica que la curva está bajo las tangentes es decir hay concavidad hacia abajo.
c) Si )(xf ′′ cambia de signo en un punto, allí se produce un punto de inflexión o sea cuando
0)( =′′ xf ,luego es punto de inflexión donde hay cambio de concavidad.
Ejemplos.
1.- Determinar las concavidades y encontrar el punto de inflexión en el gráfico de 3)( xxf =
154
Solución.
0)0(6)(3)( 2 =′′∴=′′⇒=′ fxxfxxf . Como 00)( >∀>′′ xxf hay concavidad hacia arriba en
).,0( ∞ Como 00)( <∀<′′ xxf , luego hay concavidad hacia abajo y el punto 0 es punto de
inflexión, por lo demás el gráfico es bastante familiar para confirmar lo dicho.
2.- Determinar las concavidades de 66
2)(3xxxf −−= .
Solución.
)2
1(61
663
61)(
22 xxxf +−=−
−−=′ ⇒<>−=′′ 006
)( xSixxf Concavidad hacia arriba
⇒><′′ 00)( xSixf Concavidad hacia abajo, luego x
= 0 es un punto de inflexión de la curva.
3.-Determinar concavidades en las curvas:
a) 2 3 4 221( ) 6 1. ) ( ) 12 1 ) ( )
3f x x x x b f x x x x c f x
x= − + − = − + − =
+
Solución:
a) 2'( ) 12 3 ''( ) 12 6 0 2f x x x f x x x= − ⇒ = − > ⇒ < luego hay concavidad hacia arriba en (2,∞ )
3 2 2) '( ) 4 24 1 ''( ) 12 24 0 2 2 2b f x x x f x x si x x c= − + ⇒ = − > > ⇔ > ∨ < − luego la concavidad
hacia abajo se produce en el intervalo (-2,2)
c)2
2 2 22 3
2 6'( ) 2 ( 3) ''( ) 0 3 3 3( )
xf x x x f x x ó x ó xx x
− −= − + ⇒ = > ⇒ > > < −
+
la concavidad hacia abajo se produce en ( 3, 3)−
155
2.3.4.- Asíntotas para una curva.
Recordemos que las Rectas Asintóticas o simplemente Asíntotas de una curva, es toda recta que
tiende a encontrarse con la curva sin que logren punto en común, es decir si f(x) es la curva y l(x)
la asíntota debe darse que: 0)()(lim =−→
xlxfax
donde a puede ser infinito.
1) kykxfx
=⇒=±∞→
)(lim , es una Asíntota horizontal
2) ⇒±∞=→
)(lim xfax
x = a es una Asíntota Vertical.
3) ;nmxy += es una Asíntota oblicua cuando:xxfm
x
)(lim∞→
= y ))((lim mxxfnx
−=∞→
Asíntota horizontal Asíntota Vertical Asíntota Oblicua
Fig.
Ejemplos.
1.- Analizar asíntotas para la curva: 22
2
)(ax
xxf−
= .
156
Solución.
a) ∞=−
=∞=−
=−−++ →→→→ 22
2
22
2
lim)(limlim)(limax
xxfax
xxfaxaxaxax
luego tenemos asíntotas
verticales ax ±= considerando que f(x) es una función par por lo tanto simétrica respecto al eje y
b) 11
1lim)(lim
2
2 =−
=±∞→±∞→
xa
xfxx
, por lo tanto y = 1 es Asíntota horizontal.
2) Pruebe que la curva: 3/123 )3( xxy −= Admite una asíntota oblicua.
Solución.
Sea nmxy += con 1)31(lim)3(lim 3/13/123
=−=−
=∞→∞→ xx
xxmxx
1))()3((lim 3/133/123 −=−−=∞→
xxxnx
, luego la asíntota será 1−= xy
Observación:
))(( 2233 babababaquesabeSe ++−=− , luego hacemos: 3/123 )3( xxa −= 3/13 )(xb = Así
23/13/53/23/4
2
22
33
)3()3(3lim´lim)(lim
xxxxxx
babababa
xxx +−+−−
=++
−=−
∞→∞→∞→=
11)31()31(
3lim3/13/2
−=+−+−
−∞→
xxx
.
Observación. Con los elementos anteriores se puede abordar el problema del trazado de una curva, que puede tomarse como un necesario ejercicio aunque la calculadora puede hacerlo también; las dos acciones son útiles. Para lograrlo ha de considerarse por lo menos: a) Dominio de la función b) Intersección con los ejes c) Monotonías. d) Concavidades, puntos de inflexión e) Asíntotas
157
2.3.5.-Trazado de una curva: 1.- Analizar la curva : 2 412 2y x x= + − .y lograr su gráfico aproximado. Solución:
• La función es par, por lo que su gráfico es simétrico respecto del eje oy • Dominio de ella es todo R • Intersección con ejes: 2 2 2 2 1/ 2
10 12 0 ( ) 2( ) 12 0 (1 3) (1 3) 2,1x y y x x x x= ⇒ = = ⇒ − − = ⇒ = + ∴ = + ≈ • Monotonías:
2 2 2'( ) 4 (1 ) '( ) 0 0 1 (0,1) 0 1 ( , 1)f x x x f x x x x óx x x= − ∴ > ⇒ > ∧ < ⇒ ∈ < ∧ > ⇒ ∈ −∞ − Luego es creciente en la unión de estos intervalos, y decreciente en el complemento.
• Concavidades: 2 1 1''( ) 4(1 3 ) 0 ( , )3 3
f x x si x −= − > ∈ ,hay concavidad hacia arriba.
La concavidad hacia abajo se produce en el complemento del dominio y los puntos de inflexión
son 13
x = ±
-2.8 -1 -33 0
33 1 2.8
2) Analizar la curva 3/1)21()(
−−
=xxxf y graficar
Solución:
}{ 2;10)2()1(3
1)( 3/43/2 −∈∀<−−
−=′ Rx
xxxf .luego es siempre decreciente.En x = 1 se observa
que la tangente tiene la pendiente infinita.
158
Como : =′′ )(xf ⎟⎟⎠
⎞⎜⎝⎛
−+
−−− 22
11
)2()1(9/2
3/43/2 xxxxel signo lo define el factor:
22
11
−+
− xx )2)(1(43−−
−⇔
xxx
, mediante el análisis de estor tres factores ,la desigualdad
arroja: ),2()34,1(0)( ∞∪∈⇒>′′ xxf , luego concavidad hacia arriba, por lo tanto
como: )2;3/4()1,(0)( ∪−∞∈⇒<′′ xxf la concavidad es hacia abajo así el punto de inflexión se produce en 3/4=x y 1=x . Siendo: −∞=
−→)(lim
2xf
x y ∞=
+→)(lim
2xf
x, en x = 2 se tiene una asíntota vertical .Por otra parte
al tener que : 1)(lim =±∞→
xfx
, entonces y = 1 es asíntota horizontal.
El gráfico queda como desafío para el computador. 2.4.-Teoremas del valor medio.-
Teorema: (Rolle) Sea f(x) una función real definida en [ ]ba, a) Continua en [ ]ba, b) Diferenciable en (a,b) c) f(a) = f(b). Entonces existe al menos un ),(0 bax ∈ donde .0)( 0 =′ xf Demostración. (Se omite) a b La continuidad en el intervalo cerrado: [ ]ba, con f(a) = f(b) permite visualizar en un gráfico que la tangente es horizontal en por lo menos un punto luego 0)( 0 =′ xf . De un modo sencillo: Si la función parte de f(a) y no es constante y si es creciente ,luego deberá ser decreciente esto sucederá al menos una vez y recíprocamente ,es decir la derivada pasará de positiva a negativa o recíprocamente , luego será nula al menos una vez
159
Observación Dadas las condiciones anteriores, la curva de las derivadas )(xfy ′= corta al menos una vez en (a,b) al eje x. pues al anularse tiene cambio de signo De esta manera la ecuación : '( ) 0f x = tiene al menos una raíz en (a,b). Teorema: ( Valor medio) Sea f(x) definida en [ ]ba, ,tal que a) f(x) continua en [ ]ba, b) Diferenciable en (a,b) Entonces existe ),(0 bax ∈ , tal que :
)()()(0xf
abafbf ′=
−−
Demostración: Asumiendo que )()( afbf ≠ ( De lo contrario se reduce a Rolle) y definiendo la nueva
función xab
afbfxfxF ))()(()()(−−
−= )()()( bafabfbF −=⇒ y 0)()()( xbafabfaF ∃⇒−= del
teorema de Rolle donde 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) 0 ( )f b f a f b f aF x f x f x
b a b a− −⎛ ⎞′ ′ ′= ⇒ − = ∴ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠
F(b) – f(a) a b Ejemplos.
1.- Si 2( ) 9.f x x= + Encontrar todos los puntos 0 (0,4)x ∈ ,del Teorema del Valor Medio. Solución.
( ) 1/ 220 0 0 0 0
(4) (0) 5 3 1 1 1( ) ( ) 9 2 34 0 4 2 2 2
f ff x f x x x x−− −′ ′= = = = + = ⇒ = ±
−
2.- Probar que si una función es continua en [ ],a b y [ ]`( ) 0; ,f x x a b= ∀ ∈ Entonces
( ) ( )f x k Cte= .
160
Solución.
Como [ ]0 0( ) ( ) '( ) 0 ( , ) ( , ) ,f x f y f x x x y x y a b
x y−
= = ∈ ∀ ∈−
( ) ( ) ,f x f y x y⇒ = ∀ ,luego es una
función constante. Con esto se puede sostener que “la condición necesaria y suficiente para que f(x) sea constante es que su derivada sea nula” 3.- Aplicando el Teorema del Valor Medio , probar la desigualdad:
1 1 ; 02xx x+ < + >
Solución. Si tomamos como ( )f x x= y escribiendo el Teorema como:
( ) ( ) ( ) 0 1 1f a h f a hf a h con a h xθ θ′+ − = + ≤ ≤ = = ,se tendrá: 1 1 1 11 1 1 1 0
2 1 2 1 1 1x x x Si x
x x x xθ θ θ+ − = ⋅ ⇔ + = + > ⇒ > ∴
+ + + +1 x⇔ + >1
+2 1
xx+
1 12xx x⇔ + > + + o bién :1 1
2x x+ > +
4.-Probar la desigualdad: (1 )1 n
x L x xx
< + <+
Solución.
Si ( ) ,nf x L x= continua y diferenciable en R.- 1( ) 1 1f x b x ax
′ = = + =
5.- Un automóvil marca 80 km/h al pasar por un portal ,4 minutos más tarde pasa otro portal a 8 km a 90 km/h. Demostrar que en ese lapso sobrepasó los110k/h en algún momento.
161
Solución:
Si t = 1/15 hrs. 12015/18
015/1)0()15/1(
==−−
⇒ss
, esta es la velocidad media,
El teorema del valor medio nos dice que existe un tiempo t en que la velocidad )(ts′ es de 110 Km./h. pues 110 está entre 0 y 120
6.- Demostrar que la ecuación: 03105 =++ xx , tiene un a sola raíz real. Solución: Considerando que la función es continua y diferenciable Como: ,0105)( 4 xxxf ∀>+=′ la función es siempre creciente y como además: 0)1(0)1( ><− fyf , la curva corta al eje x en un punto intermedio de (-1;1) . La unicidad se confirma con el Teorema de Rolle ,pues si suponemos que hay dos a y b con
0)()( == bfaf se tiene que existe 0)(),( =′∋∈ cfbac , pero esto es imposible pues xxxf ∀>+=′ 0105)( 4 .
7.- Demostrar que si ),()( xgxfx ′=′⇒∀ ambas funciones difieren en una constante. Solución: Si definimos 0)()()()( =′⇒−= xFxgxfxF ,por problema 2) )()( CtekxF =
2.5.- Máximos y Mínimos.
Definición: Sea f(x) un función real definida en un intervalo I en R , 0 1;x x puntos en I..Se dice que la función alcanza un valor máximo en 0x , si y solo sí:
0( ) ( )x I f x f x∀ ∈ ⇒ ≥ Y se dice que ella alcanza su valor mínimo en 1x , sí y solo sí: 1( ) ( )x I f x f x∀ ∈ ⇒ ≤ . Si tal situación se cumple en todo el dominio de la función se habla de un punto extremo absoluto de lo contrario se trata de un punto extremo local.
162
Observación. 1.- Según la interpretación geométrica de la derivada, en un punto extremo, la recta tangente será horizontal. 2.- También pueden darse puntos extremos donde no exista derivada a todos se les llama puntos críticos. 3.- Donde la tangente es horizontal no necesariamente se da un punto de máximo o de mínimo. Teorema. Para un función continua en un intervalo cerrado[ ],a b , entonces f(x) alcanza al menos una vez un valor máximo y un valor mínimo allí Demostración. Argumentando en forma intuitiva y con ayuda de un gráfico se ve evidente pues la continuidad significa un trazado de curva sin interrupciones. Teorema.(Condición necesaria) Para una función continua y derivable en un intervalo I con 0x I∈ .Si 0x es un punto de máximo ó mínimo local: Entonces: 0( ) 0f x′ = . Demostración. Si 0x es un punto de mínimo entonces
0 0( ) ( )0 0
f x h f xsi h
h+ −
≥ > 0 0( ) ( )0 0
f x h f xsi h
h+ −
∧ ≤ < y como existe
0 0
0
( ) ( )lim ,h
f x h f xh→
+ −Entonces necesariamente debe ser cero.
Análogo razonamiento si el punto es de máximo. Observación. 1.-La aplicabilidad del teorema es en el sentido que allí donde la derivada no se anule no puede haber punto de máximo ni de mínimo, por lo que la búsqueda de éstos debe hacerse entre todos aquellos que hagan cero a la derivada. Además por ser condición solo necesaria, debemos saber que si la derivada es nula en un punto allí no necesariamente es de máximo o de mínimo, recuérdese el punto en que hay cambio de concavidad, allí se puede tener un punto de inflexión.
163
2.- Aplicado lo anterior, la identificación de máximo o de mínimo puede hacerse según la naturaleza del caso, como lo muestran los ejemplos. 3.- En estas mismas circunstancias, y en forma intuitiva podemos determinar el siguiente criterio:
0 0) ( ) 0 ( ) 0a Si f x para x x y f x para x x′ ′< < > > 0x⇒ Es punto de mínimo pues la función cambia de decreciente a creciente.
0 0 0) ( ) 0 ( ) 0b Si f x para x x y f x para x x x′ ′> < > > ⇒ Es punto de máximo por el cambio de las monotonías, Ejemplos. 1.- Analizar la función: a) 2( ) 4 5f x x x= − + b) 3 2( ) 3 3 5f x x x x= − + +
c) 9( )f x xx
= + d) 3 2( ) 2 3 36 7f x x x x= − − +
Solución. a) ( ) 2 4 0 2f x x x′ = − = ⇒ = , único punto crítico, como:
( ) 0 2 ( ) 0 2 2f x si x y f x si x x′ ′< < > > ⇒ = es de mínimo por el cambio de la monotonía.(También se deduce viendo que se trata de una parábola con vértice en el punto x = 2) b) 2 2( ) 3 6 3 0 3( 1) 0 1f x x x x x punto crítico′ = − + = ⇔ − = ⇒ = ,como la derivada es siempre positiva no hay cambio en la monotonía, , pero la tangente es horizontal; la segunda derivada nos confirma que se trata de un punto de inflexión por el cambio en la concavidad.
c) 2
9( ) 1 0f xx
′ = − = ⇒ 3x = ± anula la derivada, el cambio de monotonía va desde
decreciente si 3≤x ,pues así 091)( 2 <−=′x
xf ,y por consiguiente es creciente en
),3()3,( ∞∪−−∞
164
d) 2( ) 6 6 36 0 6( 3)( 2) 0f x x x x x′ = − − = ⇔ − + = ⇒ 3 2x y x= = − puntos críticos , los cambios de signo de la derivada se produce en ellos en x = -2 el cambio es de positivo a negativo luego punto de máximo mientras que en x = 3 el cambio es de negativo a positivo por lo tanto es punto de mínimo local. 2.- Problemas aplicados: 1) Se desea cerrar un corral rectangular con capacidad de 200 metros cuadrados contando para ello con una muralla como para que se pueda cerrar solo 3 lados,¿Cuál es la cantidad mínima de malla para alcanzar el cercado?. Solución. Según el gráfico ,la longitud será : yxL += 2 ,pero lleva la condición : 200=xy , al incorporarla la función para el estudio queda:
x
xxL 2002)( +=
201002002)( 2 =∴=⇒=−=′ yx
xxL , y la mínima cantidad de malla será: 40
mts.(¿Porqué es mínima y no máxima?, pues porque sería máxima si uno de los lados fuera infinitamente pequeño para que así el otro debería ser muy grande para alcanzar el área requerida) 2) Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que pueda inscribirse en un círculo de radio R. Solución.
yxA 22 ⋅= y la condición: 222 Ryx =+ ,La función deberá ser:
165
A(x) =4x 22 xR − ∴=−
−−=′⇒ 044)(22
222
xRxxRxA
Luego 2
2Rx = ,la razón para sostener que este valor entrega un área máxima ,está en que sería
mínima cuando uno de los lados fuera infinitamente pequeño. 3) Se dispone de 100mts. de alambre para que dividido en dos partes formar un circulo y un cuadrado,¿cómo debe cortarse para que la suma de las áreas sea máxima? Solución Sean x el lado del cuadrado y r el radio del círculo,.luego se estudiará la función suma
: 22 rxA π+= , con la condición que 10024 =+ rx π ,donde π2
4100 xr −= ,así la función para el
estudio queda: ( )22 410041)( xxxA −+=π
0)4)(4100(212)( =−−+=′⇒ xxxAπ
4100200)82()4100(22
+=∴=+⇒−=
ππππxxxx
)4(23100+
+=
πππr ..
Teorema.(Criterio de la 2ª derivada). Sea f(x) función con derivada en una vecindad de x = 0x Si.
0 0 0
0 0 0
) ( ) 0 ¨( ) 0 ´) ( ) 0 ¨( ) 0 .
a f x y f x x punto de m nimob f x y f x x punto de máximo
′ ′′= > ⇒′ ′′= < ⇒
Demostración.
0¨( ) 0 ( )f x f x creciente′′ ′> ⇒ en torno del punto, luego
si: 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) 0 ( ) . ( , )( ) ( ) 0 ( ) ( , )
x x f x f x f x decreciente en x xx x f x f x f x creciente en x x x punto de mínimolocal
′ ′< ⇒ < = ∴′ ′> ⇒ > = ∴ ⇒
De modo análogo se prueba la otra parte. Ejemplos. 1.- Encontrar máximos y mínimos de la función. 3 2( ) 3 3 4f x x x x= + − + .
166
Solución. Puntos críticos:
2( ) 0 3 6 3 0 1 2
¨( ) 6 6 ¨( 1 2) 0,
¨( 1 2) 0, .
f x x x x
f x x f punto de mínimo
f punto de máximo
′ = ⇒ + − = ⇒ = − ±
′′ ′′= + ∴ − + >
′′ − − <
2.- Determinar los puntos extremos de la función: 2( )1
xf xx
=+
.
Solución:
2
2 21'( ) 0 1
(1 )xf x xx
−= = ⇒ = ±
+
2
2 32 ( 3)''( )(1 )x xf x
x−
=+
, ''(1) 0f < ,punto de máximo y ''( 1) 0f − > ,punto de mínimo. Agregamos el
siguiente razonamiento El signo de la segunda derivada depende del numerador; 0 3 3x x x≥ ∧ ≥ ⇒ ≥ hay concavidad hacia arriba al igual que si 3 0x− ≤ ≤ ; 0 3 3x x x≤ ∧ ≤ − ⇒ ≤ − , hay concavidad hacia abajo al igual que si (0, 3)x ∈ . 3.- Hallar máximo y mínimo de la función : ( )f x Sen x Cos x= + . Solución:
'( ) 0 / 4 5 / 4f x Cosx Sen x x y xπ π= − = ⇒ = =
''( )f x Sen x Cos x= − − , ''( / 4) 2 0f punto de máximoπ = − < ⇒ ''(5 / 4) 2 0f punto de mínimoπ = > ⇒ 4.- Hallar punto de inflexión de:
2 2( ) , 0axf x a bx b
= >+
167
Solución:
2 2 3 2
2 2 2 2 2 32 6'( ) ''( ) 0 3
( ) ( )ab ax ax ab xf x f x x bx b x b
− −= ⇒ = = ⇒ = ±
+ + y x = 0,son los puntos de
inflexión. Además se puede agregar que los puntos críticos salidos de 2 2 0ab ax− = son x b= ± Por lo que ''( ) 0f b < es punto de máximo y ''( ) 0f b− > da punto de mínimo,luego allí hay concavidad hacia arriba,y en torno de x= b hay concavidad hacia abajo. 5.- Expresar el número 18 como la suma de dos positivos de modo que del primero por el cuadrado del segundo sea máximo. Solución. Sean x e y los números con x + y =18.la función por analizar será: 2( ) ·f x x y= Pero y = 18 – x, luego la función es: 2( ) ·(18 ) '( ) (18 )(18 3 ) 0 6f x x x f x x x x= − ⇒ = − − = ⇒ = ,el otro valor se descarta, de modo que el producto da 72,¿máximo?.Si x<6 la función es creciente en 6 cambia a decreciente . 6.- Hallar el rectángulo de mayor área cuya base está en el eje ox y los vértices superiores están en la parábola 2.27y x= − . Solución: Si x es la abscisa de un vértice la ordenada deberá ser: 227 x− ,por estar en la parábola y por la simetrá de la figura el área debe ser
:4
2 4( ) 2 (27 ) '( ) 54 0 108 3.2 16.76 1082xA x x x A x x x y y A= − ⇒ = − = ⇒ = ≈ ≈ ≈ -
7.-Al mediodía un barco A está a 50 millas al norte de otro B.A avanza al sur a 16m/hora y B lo hace al oeste a 12m/hora, ¿A qué hora están a la distancia mínima y cuál es esa distancia? Solución. En un sistema de ejes rectangulares B se ubica en el orígen mientras que A se ubica el el eje vertical y su posición en el tiempo t será (50-16t) ,mientras que B se aleja del orígen a una distancia de 12t. La distancia o su cuadrado por el teorema de Pitágoras nos entrega la función: 2 2 2(50 16 ) 144 ( ) '( ) 800 1600 0 2 .d t t f t f t t t hrs= − + = ⇒ = − = ⇒ = y la distancia al hacer el reemplazo da 30 millas.
168
2.6.-.Regla de L`Hospital.
Esta aplicación de la derivada está destinada a resolver problemas de límites, de funciones cuándo éstas presentan las dificultades llamadas indeterminaciones.
A) Indeterminación 00 ó ∞
∞.-
Teorema. Dadas las funciones f(x) y g(x) definidas y continua en [ ],I a h a h= − + , derivable en (a-h ,a+h)
a) ( )lim( )x a
f x lg x→
′=
′
b) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0f x y g x si x a o bién f a→ → → = , ( ) 0g a = ó bien ( ) ( )f x y g x si x a→ ∞ → ∞ →
Entonces:
( )lim( )x a
f x lg x→
= .
Demostración.
limx a→
( ) ( )lim( ) ( ) ( ) ( )lim lim( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )lim
x a
x a x a
x a
f x f af a f x f a f xx a
g x g ag a g x g a g xx a
→
→ →
→
−′ −−= = =
−′ −−
Teorema. Si ( ) ( )f x y g x funciones continuas y derivables x K∀ > con: a) lim ( ) lim ( ) 0
x xf x g x ò
→∞ →∞= = ∞
b) ( )lim .( )x
f x lg x→∞
′=
′Entonces:
( )lim( )x
f x lg x→∞
=
169
Demostración:
Haciendo el cambio de 1x port
podemos repetir las argumentación anterior.
Observación: Esta es una demostración un tanto débil, que no cubre todas las situaciones sino que se da a modo de ejemplo. Ejemplos. 1.- Calcular los límites en un punto finito ó infinito
a) 0
limx
Senxx→
b)3
lim n
x
L xx→∞
c) 0
lim1x
SenxCosx→ −
d) lim( )x
x Cotg xπ
π→
−
Solución.
a) 0 0
0lim lim 10 1x x
Sen x Cos xx→ →
= = = b) 2 / 3 1/ 33
1/ 3lim lim lim 01/ 3
n
x x x
L x xx xx −→∞ →∞ →∞
∞= = = =
∞
c) 0
lim1x
Sen xCos x→ − 0
limx
Cos xSen x→
= , el límite es infinito, más bien, no existe.
d) ( ) 0lim lim 10x x
x Cos x Cos x Sen xSen x Cos xπ π
π π→ →
− += = =
B) Indeterminación ( 0 0( ); 1 ; 0 ; 0 0∞ ∞∞ − ∞ ∞ ⋅ ∞ ) En estos casos las situaciones se llevan a la forma anterior, lo que se verá mediante los ejemplos. Ejemplos. 1.- Resolver:
a) / 2
lim ( )x
Sec x Tg xπ→
− b) 1
0lim(1 ) x
xx
→+ c) 1lim(1 )x
x x→∞+ d)
1
lim xx
x→∞
170
e)
0lim nx
xL x→
.
Solución.
a) / 2 / 2
1 0lim ( ) lim0x x
Sen xSec x tg xCos xπ π→ →
⎛ ⎞−− = =⎜ ⎟
⎝ ⎠ / 2lim 0
x
Cos xSen xπ→
−= =
−
b) Como f(x) = ( )nL f xelim ( )( )lim ( ) lim nn x a
L f xL f x
x a x af x e e →
→ →⇒ = = luego como
1/
0 0 0
(1 ) 0 1lim (1 ) lim lim 10 1
x nnx x x
L xL x
x x→ → →
++ = = = =
+ y 1 1/
0lim(1 ) x
xe e x e
→= ⇒ + =
c) Al igual que en b) calculamos límite de : ( )Lnf xe
21/1 1(1 ) (1 )1 0 1lim (1 ) lim lim lim 1
2 11/ 0 1/ (1 )
x
Ln x xxLn x xx x x xxx
−
+ ++ = = = = =
→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞− +
1lim (1 )x
xe
x→∞∴ + =
d)
11lim lim 0
1nx x
xL xx→∞ →∞
∞= = =
∞ como 0 1e =
1
lim 1xx
x→∞
⇒ =
e) 0 0 0
2
1
lim lim lim 011/n
nx x x
L x xxL xx
x→ → →
∞= = = =
∞ −.
___________________________________________________________________________
171
2.7.- Guía de Ejercicios 1.- Demuestre que la razón de cambio del área de un cuadrado con respecto a la longitud de su lado es la mitad de su perímetro y que la razón de cambio del volumen de un cubo respecto a la longitud de su arista es la mitad de su área superficial. 2.- Un estanque contiene 5000 litros de agua , la cual se escurre por el fondo en 40 minutos, entonces la ley de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el estanque después de t minutos como:
400)40
1(5000 2 ≤≤−= ttV .
Encuentre la razón de escurrimiento luego de a) 5min b)20 min. 3.- La arena al vaciarse a razón de 10pié/seg. forma un cono cuya altura es el doble del radio basal.¿a qué razón aumenta el radio de la base cuando su altura es de 5 pié?. 4.-¿En qué razón aumenta el área de un triángulo equilátero si su base mide 10 cm. Y aumenta a 5cm/seg.? 5.- Dos carreteras rectas se cruzan perpendicularmente.Un auto pasa a las 10 a.m..por el cruce hacia el este a 30 km./h .A las 11 pasa por la intersección otro con rumbo al norte a 40km/h. ¿A que razón cambia la distancia entre ellos a las 13 hrs.
6.-.Determine los intervalos de crecimiento de la función:1
1)(2
−++
=x
xxxf .
7.- Señale las concavidades de la función, anterior y determine los punto de máximo y el de mínimo..Pruebe que tiene una asíntota oblicua. 8.- Determine las concavidades de las curvas:
8 / 3 2 / 3 1/ 3 39) ( ) ) ( ) 20 ) ( ) 2 ) ( ) ( 4)a f x x b f x x x c f x x x d f x x xx
= + = − = + = −
9.- La función : 2
2
)1(2
−−+
=x
xxy ,tiene asíntotas vertical y horizontal, ¡determínelas!.
10.-.Grafique la función xxxf 27)( 3 −= , señalando puntos de máximo y de mínimo estudiando los cambios de concavidades.
172
11.- Pruebe que la función 2
2
11)(
xxxf
+−
= en [ ]1,1− ,satisface el teorema de Rolle, encontrando los
puntos . 12.- Pruebe que la función 563)( 2 −+= xxxf , en [ ]1,2− , cumple el teorema del valor medio ,señalando los puntos. 13.- Pruebe que la ecuación ,0325 =+− xx tiene una raíz en [ ]1,0 14. Determine dos números cuya diferencia es 20 y su producto es mínimo. 15.-Una caja rectangular cerrada de 576 3cm de volumen, se construirá de modo que el fondo sea un rectángulo con longitud el doble del ancho, determinar las dimensiones que minimicen el área total de la superficie. 16.-.Un tanque cilíndrico de 1000 3cm con fondo plano y tapa semi esférica; encontrar las dimensiones que hagan mínimo el gasto de material 17.- Calcular los límites:
a)xCosxLx n
x π++−
→ 11
lim1
b) 20
1limx
xe x
x
−−→
c)xSenxCos
x 2121lim
2−+
→π
d)0
)11lim(→
−x
Senxx
e) 2
1
0lim
x
x xSenx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ f) ( ) x
xx 3/1
021lim +
→ g)
n
n nx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∞→1lim h)
3
503!lim
x
xx Senx
x→
− −
i) 4
2 2
0limx
x Sen x
x→
− j) ( )1
2
0lim 1 xx
x x→
+ +
____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE. PROF. JORGE ALEJANDRO INOSTROZA LAGOS
173
Capitulo # 3.- Cálculo Integral.-
3.1.-.-La Integral Indefinida, Antiderivada ó primitiva
Definición.-
Para una función real de variable real, y = ƒ(x) definida en el intervalo I [ ],a b= ⊆ R, se define la primitiva de ƒ(x) como aquella función real F(x) tal que: F’(x)=ƒ(x) Observación
La primitiva de una función recibe también el nombre de antiderivada; ó integral indefinida
Ejemplo.-
1.- Si ƒ(x) = x .3
)(3
2 CxxF +=⇒
2.- Si ƒ(x) = ⇒xSen CCosxxF +−=)(
3.- Si ƒ(x) = CArctgxxFx
+=⇒+
)(1
12 .
El alumno podrá agregar más ejemplos, de acuerdo a su dominio del tema de la derivada. Teorema.
Si F(x) y G(x), son primitivas de una misma función ƒ(x) ;entonces éstas difieren en una constante.
Demostración. Como:
F´(x) = ƒ(x) y G´(x) = ƒ(x)⇒F´(x) - G´(x) = 0
.))((0))´(( ctexGFxGF =−⇒=−∴ (Por Teorema del valor medio),
luego: ( ) ( )F x G x C− = .
Observación: Por lo anterior, para las primitivas se adopta la notación:
174
∫ += CxFdxx )()ƒ(
Propiedades
a) ∫ dxxfdxd )( = )(xf ⇔ por definición: ( ) ( )d F x f x
dx=
b) ∫∫ == )())(()( xfxfddxxfdxd . Para verlo mejor:
Como: )()( xfxF =′ ⇔ ( ) ( )F x dx f x dx′ =∫ ∫ ⇔
dF dxdx∫ = ∫ = )()( xFdxxf , esto por definición, luego
( ( ))d F x∫ = F(x) o lo que es lo mismo
dxxfd∫ )(
dx = ∫ d (f(x)) = f(x)
Nota: Lo anterior se entiende como:
“La diferenciación y la integración de una función son operaciones, una la inversa de la otra.”
c) ∫ (f ± g) (x) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx. Pues: por a)
dxd ( )dxxg ))((f∫ ± = (f ± g) (x) = f(x) ± g(x)
dxd ( )∫ ∫± dx g(x)dx (x) f = f(x) ± g(x)
Si las derivadas son iguales las funciones difieren en solo una constante
d) ( )∫ fλ (x) dx = λ ∫ f(x) dx; λ cte.
e) ∫ f(ax) dx = a1 ∫ f(ax) d(ax)
Con estas propiedades y las definiciones de primitiva ya podemos enfrentar los dos tipos de problemas que se originan en este tema
175
a) Verificar una primitiva dada b) Determinar primitiva para algunas funciones dadas .
Ejemplos
(a) Verificar las primitivas:
1) ∫ + 22 xadx =
a1 Arctg c
ax
+
Solución:
Si F(x) = Arctg ⇒+ cax F´(x) =
dxd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + c
a axArctg1 =
a1
aax
1·1
1
2
2
+ = 22
1xa +
= )(xf
2) ∫ Sec t dt = Ln ecS t + Tg t + c Solución:
dxd Ln Sec t + Tg t =
1ec tS t Tg+
(Sect Tgt + Sec 2 t) = Sect
Para que el alumno actualice su dominio de las derivadas, verificar::
3) ∫ − 22 xadx =
a21 Ln
axax
−+ + C
4) ∫+ 22 xa
dx = ln 22 xax ++ + C
5) ∫ + 22 xa dx = 21 x 22 xa + +
2
2a ln 22 xax ++ + C
6) ∫ − 22 xa dx = 21 ( 22 xax − +
2
2a arc sen ax ) +C.
Observación: Para más verificaciones se puede abordar el listado que aparece en las tablas del libro H:D Larsen (Cap.13).
176
(b) Encontrar las primitivas siguientes:
1) a) ∫ 3
32 x dx b) ∫ dxxn , n N∈ c) dxx n∫ − , n N∈
Solución:
a) Como F´(x) = CxxFx +=⇒6
)(32 4
3
b) Si F´(x) = 1
)(1
+=⇒
+
nxxFx
nn , c)
c) Si F´(x) = ⇒nx1 F(x) =
nx n
−
+−
1
1
2) Calcular
a) ∫ x dx b) ∫ dxx n1
n N∈ c) 1nx dx
−
∫
Solución:
a) F´(x) = x ⇒ F(x) = 2/3
2/3x +C
b) F´(x) = )(1
xFx n ⇒ =
1 1
1 1.
nx C
n
+
++
c) F´(x) = 1
( )nx F x−
⇒ =
n
x n
11
11
−
−
+C
Todo esto porque como se sabe: 1−= αα α xxdxd ∈α R
1
1xx dx C
αα
α
+
= ++∫ …….α ≠ -1 y lndx x C
x= +∫
177
3) Calcular:
I = ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
xxx 235 23 dx
Solución:
Según las propiedades señaladas
I = 5 ∫ − 33dxx ∫ + 22dxx ∫ xdx
= 5 4
4x - 23
3 2
+x ln x
4) Calcular
I = )21x dxx
⎛ +⎜⎝∫
Solución: Desarrollando el binomio y aplicando las propiedades
I = ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 2
12xx
x dx
I = ∫ x dx + 2 ∫ ∫+ 2xdx
xdx = xx 4
2
2
+ - Cx
+1
5) Calcular
∫ Sen 2 x dx; ∫ Cos 2 x dx
Solución:
I = ∫ Sen 2 x dx = 1 os 22
C x−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ dx
= 12
dx +∫1 22
Cos xdx∫
178
= 21 x -
21
21
⋅ ∫ Cos(2x) d (2x),
41
2−
x Sen 2x +C
21 (x - Sen x Cos x) + C. Análogamente el otro ejemplo.
6) Calcular:
2ecS∫ x dx ; 2osC ec∫ x dx
Solución:
I = ∫ Sec 2 x dx = Tg x + C; 2secI Co x Cotgx C= = − +∫ (inmediatas) 7) Calcular:
∫ Tg 2 x dx ; ∫ Cotg 2 x dx
Solución:
I = 2Tg∫ x dx = ∫ (Sec 2 x – 1) dx
= ∫ Sec 2 x dx - ∫dx = Tg x – x + C
8) Calcular:
∫ −+ 342 xxdx
Solución:
I = ( )∫ −+ 72 2x
dx = ∫ ( ) ( )22 72 −+x
dx ; Si u = x+2 ⇒ du = dx, según lo visto
anteriormente
179
I = ( )∫+
22 7u
du = 7
1 arctg 7
17
=u arctg
72+x + C
Observación:
1) Este ejemplo reseña la forma en que puede emplearse una tabla de integración. 2) De este modo se puede confeccionar una tabla básica de primitivas como la que se agrega. 3) Nótese como importan las habilidades algebraicas y trigonométricas en este trabajo. 4) Es oportuno acotar que no siempre es posible determinar una primitiva.
180
Tabla básica de primitivas
1.- ∫ kdx = kx + c ; k,c ctes
2.- ∫ x α dx = cx+
+
+
1
1
α
α
, ∈α R ; ≠α -1
3.- =∫ xdx Ln x + c
4.- ∫ Senx dx = - Cos x + c 5.- ∫ Cos x dx = Sen x + c 6.- ∫ Sec 2 x = Tg x + c 7.- ∫ Cosec 2 x dx =-Cotg x + c
8.- ∫ a x dx = a ln
xa + c
9.- ∫ e x dx = e x + c
10.- ∫ aaxdx 1
22 =+
Arc Tg ax + c
11.- ∫ aax
dx21
22 =−
Ln axax
+− + c
12.- ∫ 22 xadx
− = Arc Sen
ax + c
13.- ∫ 22 axxdx
− = Arc Sec
ax + c
14.- ∫ 2 2
dx
a x+ = Ln 22 xax ++ + c
181
15.- ∫ Sen h (x) dx = Cos h (x) + c 16.- ∫ Cos h (x) dx = Sen h (x) + c 17.- ∫ Ln x dx = x ( )n 1L x − + c 18.- ∫ Sec x dx = Ln Sec x Tg x+ + c 19.- ∫ Cosec x dx = Ln os x - Cotg xC ec +c 20- ∫ Sec x Tg x dx = Sec x + c 21.- ∫ Cosec x Cotg x dx = -Cosec x + c
22.- ∫ Sen 2 x dx = 21 (x - Sen x Cos x) + c
23.- ∫ Cos 2 x dx = 21 (x + Sen x Cos x) + c
Y otras más que podrán agregarse por ser de uso frecuente y que en su momento serán deducidas o verificadas.
3.2.- Métodos de Integración
Método de integración directa. Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de derivadas la aplicación de la tabla básica como ya se ha visto en los ejemplos, considerando además algunos recursos algebraicos y las propiedades señaladas. Ejemplos.
1.-I = 4 3 2
43 5x x x x dx
x+ + + −
∫
Solución.
182
I = 1 2 3 4(1 3 5 )x x x x dx− − − −+ + + −∫
I = 32 3 4 2 3
1 1 53 52 3
dx dx dx dxdx x Lnx Cx xx x x x x
+ + + − = + − − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2.- I = 2( 3)u du
u−
∫ .
Solución.
I = 2
3/ 2 1/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 2 1/ 26 9 ( 6 9 ) 6 9u u du u u u du u du u du u duu
− −− += − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
I = 5 / 2 3/ 2 1/ 22 4 185
u u u C− + +
3.- I = 2 6
2t t dt
t+ −−∫ .
Solución.
I = 2( 2)( 3) ( 3) 3
( 2) 2t t tdt t dt t C
t− +
= + = + +−∫ ∫
4.- I = Sec x dx∫ .
Solución. Aquí usamos un recurso algo elaborado, como esta amplificación.
2( )
( )( ) ( )
( ) n n
Sec x Sec x Tg x Sec x Sec xTg xdx dxSec x Tg x Sec x Tg x
d Sec x Tg x dudx L u L Sec Tg xSec x Tg x u
+ += =
+ ++
= = = ++
∫ ∫
∫ ∫
Método de sustitución o cambio de variables.
183
Si se tiene ∫ )(xf dx, una integral no inmediata; se trata de hacer el cambio: x = g(t) ⇒ dx = g´(t)
dt para llegar a : ( )( )∫ tgf g´(t) dt , de modo que sea inmediata.
Ejemplos:
1) ( )∫ −12xsen x dx:
Solución:
Hacemos x xt 212 ⇒=− dx = dt ∴
I = ( )∫ =21
2dttsen ∫ sen t dt
= - 1 os2
C t + c, retomando la variable original,
= 21 ( 1)2
Cos x c− − +
2) ∫ − x3 x 2 dx :
Solución: Hacemos ; 3 – x = u ; x = 3 – u ; dx = - du I = - ( ) duuu ⋅−⋅∫ 22/1 3 I = -
3 / 21/ 2 5 / 2(9 6 )u u u du− +∫
= - 6u5
122/3 + u cu +− 2/72/5
72 , retomando la variable original,
= ( ) ( ) ( ) cxxx +−−−−− 2/72/32/5 372363
512
También puede hacerse: 3 – x = u 2 : 2 2 2(3 ) ; 2x u dx udu⇒ = − = − etc,etc.
3) ∫ + 3dtt
t
184
Solución:
Hacemos el cambio, t +3 = u 2 pudiendo hacerse (t + 3 = u). luego dt = 2u du t = u 2 - 3 ∴
I = ( )∫
−u
uu du 232
= 2 ( )∫ − duu 32
= 2 3
( 3 )3
u u c− +
= ( ) ( ) ctt++−
+ 2/12/3
36332
4) ∫ sen xdx cos3 x
Solución:
Haciendo senx = u 2
cos x dx = 2 u du⇒
I = ( )∫ x
dxcosx xcos2
sen = ( )( )
∫−
xdx cos1 2
senxxsen
= ( )∫
−u
uu du 21 4
= 2 ( )∫ − 41 u du
= 2u - cu+
52 5
= 2 ( ) ( ) csensen +− 2/52/1 x52 x
5) ( )∫ + :12 32/12 dttt
185
Solución:
Al no existir una regla fija para la sustitución, solo la práctica suele dar cierta soltura para ello; aquí la necesidad de eliminar la raíz cuadrada aconseja hacer:
u 2 = ( ) ut 212 2 ⇒+ du = 4t dt
t ( )121 22 −= u y como : I = ∫ ( ) ttt ⋅+ 22/12 12 dt ⇒
I = ( )∫ =⋅−⋅41
2du 1
21 2 uuu ( )duuu∫ − 24
= 5 3
20 12u u c− +
= ( ) ( ) ctt+
+−
+12
1220
12 2/322/52
6) ∫ x3 e x dx :
Solución:
∫ xx e3 dx = ( )∫ xe3 dx ⇔ ( )xa∫ dx =
eec
aa xxx
3ln3
ln=+ +c, ¡tabla!
I = cexx
++13ln
3
7.- a) ∫ .Tgxdx b) ∫ xdxCosec
Solución.-
a) ∫ ∫ +=+=−=−== − CLnSecxCosxLnLnCosxCosxCosxd
CosxSenxdxI 1)()(
b) I= LnSenxSenxSenxd
=∫)( +C
Método de integración por partes.
Puesto que: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ))d u x v x v x d u x u x d v x⋅ = + integrando:
186
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))u x v x v x d u x u x d v x⋅ = +∫ ∫ o bien
( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ))u x d v x u x v x v x d u x= −∫ ∫
Esta es la llamada formula de “Integración por partes”, y la idea es cambiar la integral ( ) ( ( ))u x d v x∫ , por el segundo miembro en la que se espera que resulte una integral abordable
lo que depende de la elección del u(x) y el v(x) en la descomposición del integrando.
Obsérvese que la tarea es obtener a partir de udv∫ ; la función v(x) por integración y la diferencial du(x) para hacer aplicable la formula.
Ejemplo:
1) ∫ xxe dx
Solución:
Sea u ( ) dxduxx =⇒= ;
( ) ( )x xdv x e dx v x e= ⇒ =
∴ ( ) ( )u x dv x∫ ( ) ( ) ( )u x v x v x= − ∫ ( )du x ⇔
∫ xxe ∫−= dxexedx xx cexe xx +−=
¡Intente otra descomposición del integrando para verificar que no da lo mismo!
2) ( )( )∫ dxsenax bx
Solución:
Elegimos : 1 cos
u ax du adx
dv senbx v bxb
= → =
= → = −
187
I = (ax) ( - cos1b
bx) + cosa bxdxb ∫
= - cosbax sen
babx 2+ b x + c.
Observación:
Nótese que la otra elección : ( )u sen bx y dv axdx= = , nos lleva a una situación poco clara
de resolver.
3) ln xdx∫ ; x > 0
Solución:
lnu x=dxdux
⇒ = ;
dv dx= v x⇒ =
¡Aquí no había más que una opción para la elección!
I = x ln - ∫ dx
= x ( ln x – 1 ) + c
4) ∫ (arc tg x ) dx Solución:
Solo admite: u = arctg x → 21dxdu
x=
+
dv dx v x= → =
Luego:
I = x arctg x - ∫ + 21dx x
x
188
= x arctg x - ∫ +:
1dx 2
21
2xx (Usando la sustitución 1 + x u=2 2xdx du⇒ = )
= x arctg x - 21 ∫ u
du
= x arctg x - 21 ln ( ) cx ++ 21
De modo análogo se integran:
∫arc Sen x dx ; ∫arc Cos x dx ; ∫arc Sec x dx
∫arc Cosec x dx ; ∫arc Cotg x dx . ¡Hágalos!
5.- a) 2 2 2)x n xx e dx b x e dx∫ ∫
Solucion:
La experiencia del ejemplo 1) aconseja u = x 2 ⇒ du = 2x dx
dv = e x2 dx ⇒ v = 21 e x2
¡En la búsqueda del v(x) obviamente se espera un proceso de integración menos complejo que el problema mismo!
∫−= 2x2x2
e e 2
xxI ; Se reitera el método
u = x → du = dx
dv = xe2 dx → v = 21 e x2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= ∫ dxxxI 2x2x
2x2
e21e
22e
cxxI ++−= 2x2x2x2
e 41
2e
2e
189
b)
∫= 2xe nn xI dx;
u = x →n du= nx 1−n dx
dv = e x2 dx v = 21 e x2
I n = ∫ −− dxxnx nh
2x12x
e 22
e ; Si 1 2x1 en
nx dx I−−= ⇒∫
2x
1 e2 2
n
n nx nI I −= −
A esto se le llama una “formula de reducción” en el sentido que se va rebajando el exponente hasta llegar por reiteración a la integral 2xxe dx∫ que es abordable, como se aprecia en el siguiente ejemplo.
6) 3 2xx e dx∫ .
Solución.
Aplicando la fórmula: ∫= 2x33 e xI dx = 2
2x3
23
2e Ix
− ; Pero 2 2x2 eI x= ∫ dx,
Reiterando la fórmula con 2 2
22 2
xxx eI xe dx= − ∫
3 2x 2 2 3 2 2 2
23 1
e 3 x 3 32 2 2 2 4 2
x x xxx x e e x eI I xe dx
⎛ ⎞= − − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
3 2 2 2 2 2
33 3 3
2 4 4 4
x x x xx e x e xe eI c= − + − +
Hay muchas otras formulas de reducción que se generan aplicando el método de integración por partes como se puede observar en las tablas de integrales y al final de este fascículo.
190
7) ( )∫ dxsen xln
Solución: Es conveniente escoger:
( ) ( ) dx ln x cos du ln xsen x
u =→=
x vdx =→=dv
( ) ( )∫−= dx ln x cosln xsen x I ; Se reitera el método
( ) ( ) dx ln xsen - du ln x cos x
u =→=
x vdx =→=dv ( ) ( )( ) x sen ln x - x cos ln x lnI Sen xdx= + ∫ , se repite la integral
( ) ( ) ( )12 x sen lnx - x cos ln x I ln cos ln2
I xsen x x x= ⇒ = − .
8) ∫ 2
3
x-1dx x
Solución:
2 x du = 2x dxu = →
2 2
x dx x dx v 1-x 1-x
dv = → = ∫ 21 x= − − , aplicando una sustitución
2 2 2 - x 1-x 2 x 1-x dx ; I = + ⋅∫ otra vez sustitución
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
2du- u 2 1 x- 22 xI
191
( ) c x-1 32 - x-1 x- 3222 +=I
Observación.
También opera la sustitución: 221 ux =− con - duu dx =x , y es un camino más efectivo, con ello se muestra que no hay una forma única de abordar el problema, siendo más meritorio el que sea más breve y elegante.
8) dx x sec3∫ Solución: La separación es lo ideal:
( )∫= dx x sec x sec 2I dx x x tgsec du x sec =→=u x tg vdx x sec 2 =→=dv dx x x tgsec- x x tgsec 2∫=I ( ) dx 1 - x sec x sec - x x tgsec 2∫= ∫ ∫+= dxsecx dx x sec - x x tgsec 3I dx x se x x tgsec 2 cI ∫+=
( )1 secx tg x + ln sec x tgx c2
I = + +
192
Método de descomposición en fracciones parciales.
Se trata de expresar una función racional r(x) = ( )( )xqxp ; sin factores comunes, en una suma de
fracciones cuyos denominadores son los factores lineales o cuadráticos, repetidos o no de q(x). Para ello se requiere que el grado de q(x) sea mayor al de p(x) ; de lo contrario se hace necesaria la división primero .
Para los efectos prácticos se distinguen 4 casos; que se presentan mediante ejemplos, donde la separación en fracciones parciales es tema que vamos a obviar por ser conocido.
Caso 1)
q(x) solo tiene factores lineales, no repetidos:
Ejemplo:
a) dx 612165
23
2
∫ −+−+
xxxxx
Solución:
Se sabe que la descomposición debe ser.
( ) ( ) ( ) ( )
25 16 122 x 3 3 2
x x A B Cx x x x x
+ −= + + ⇔
− + + −
( )( ) ( ) ( )233212165 2 ++++++=−+ xCxxBxxxAxx
Ordenando el segundo miembro
( ) ( )2 25 16 12 2 3 6x x A B C x A B C x A+ − = + + + − + − Igualando coeficientes de potencias iguales
A + B + C = 5 A - 2B + 3C = 16 6A = 12 ⇒ A = 2 ; B = -1 ; C = 4
193
Luego la descomposición queda:
2 1 43 2x x x
−+ +
+ −, por lo tanto la integral se expresa como:
∫∫ ∫ ++
=2-x
dx4 3x
dx - x
dx2 I . Como son inmediatas.
42 ln x - ln x 3 ln x-2 CI = + + +
( )
( )
42x x 2 ln C
x 3+
= ++
Observación: Nótese que todo problema de este caso terminan en integrales del tipo
ln x a cdxb bx a
= + ++∫
Caso 2)
q(x) tiene factores lineales repetidos:
Ejemplo:
( )∫
++ dx 1-xx
1 2x 33
2x
Solución:
Aquí la descomposición debe ser.
( ) ( ) ( ) ( ) 1111-xx
12x 3233
2
−+
−+
−+=
++xD
xC
xB
xAx .Resuelto el sistema a
que da origen cuando se ordenan el 2º miembro e igualando coeficientes se tiene:
194
A = -1;B = 6 ; C = 2 ; D = 1 Luego
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫+++=1-x
dx 1-x
dx 2 1-x
dx 6 x
dx- 23I
3 21 du du ln 6 2 ln x-1x u u
= + + +∫ ∫ . Como son inmediatas escribimos:
( ) ( ) c
1-x2 -
1-x3 -
x1-xln 2 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Aquí lo nuevo son las integrales del tipo
( )
( ) 1-n 1
n
x adu u c1 1-nu
n
ndx
nx a
− ++ += = = +
− ++∫ ∫
Caso 3)
q(x) tiene factores cuadráticos irreductibles y no repetidos.-
Ejemplo:
( )( )∫ ++++−
321-x145x
2
2
xxx
Solución:
Nótese que x 3 2x 2 ++ tiene discriminante negativo: por lo que no es factorizable en factores lineales; por ello la descomposición es:
195
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
22
2 2
5x 14 A / x-1 2 3x-1x-1 2x 3 2x 3
Bx Cx x xx x
+− + += + + + ⇒
+ + + +
( ) ( )( ) ⇒−++++=++− 132xA 145 22 xCBxxxx ( ) ( ) ( ) ⇒−++−++=++− cAxCBAxxx 32BA 145 22
A = 3; B = -4; C = -5
Luego
13
2 1-xln dx 3 2x
5 4x - 1-x
dx 3 Ix
I −=++
+= ∫ ∫ Aquí 1I es lo nuevo
∫ +++
= dx 3 2x x
5 4x 21I ;
Se resuelve en los pasos:
i) Completando la diferencial del denominador y separando: ii) Una resulta inmediata como un logaritmo.
iii) La segunda demanda la completación de un cuadrado de binomio para llegar a la forma
: ∫ + 22 uadu que está en tabla.
( )( )
( )( )∫ ∫ ∫ ∫ +=+=
+++
+++
=+
++= 222221 I u ln2I
udu2
3 2x xdx
32x xdx 2 2x 2 dx
32x x21 2 2
2 x
I
( )( ) ( )
221 22
dx ln x 2x 3 x 1 2
I = + + ++ +
∫ Aquí se ha completado cuadrado de
binomio
Tomando la forma ( )
∫+
==+ 2
1x arctg 2
1 au arctg
a1 22 au
du
=1I ( ) ( ) c 21x arctg
21 32x ln 22 +
++++ x Finalmente
196
3 2 2 1 ( 1ln x-1 ln( 2 3)
2 2xI x x arctg c+
= − + + − +
Observación. Aquí la integral nueva es la de una función racional cuyo denominador es un polinomio de 2º y
de discriminante negativo por lo tanto no factorizable que se abordan de la misma forma excepto que el numerador sea la diferencial exacta del denominador en cuyo caso da un logaritmo .Por ejemplo:
22 2
2 3x dx
x x+
+ +∫ = 2( 2 3)n ndu L u c L x x cu
= + = + + +∫ .Pero no es lo más común. Resumiendo
para una integral como:
23
2 5x dx
x x+
+ +∫ .
a) Construimos en el numerador la diferencial del denominador: 2 2x +
b) 21 (2 2) 42 2 5
x dxx x
+ ++ +∫
c) Separando las integrales: 2 21 2 2 42 2 5 2 5
x dxdx dxx x x x
++
+ + + +∫ ∫
d) La primera es de la forma inmediata:
21 1 ( 2 5)2 2
du Ln x x cu
= + + +∫
e) La segunda, si es que la hay se le da la forma:
2 2 214 4 2 ( ) 2 ( )
2 2( 1) 4 2dx du u xArcTg ArcTg c
x u+
= = = ++ + +∫ ∫ .
f) Finalmente se juntan ambos resultados :
23
2 5x dx
x x+
+ +∫ = 21 1 1( 2 5) ( )2 2 2
xLn x x ArcTg c++ + + +
Caso 4)
q(x) contiene factor de 2º grados repetido
Ejemplo:
197
( )∫
++22 332
9xxx
dx
Solución:
Primero observemos que 2x 2 + 3x + 3 es no factorizable o de discriminante negativo; luego separamos de la forma conocida.
( ) ( ) ( )
⇒++
++
++
++=
++222222 332
E 3 3x 2x
C 332
9xx
DxBxxA
xxx
A=1;B=-6;C=-9;D=-2;E=-3 Luego se generan las siguientes tres integrales
( )( )
( )( )∫ ∫∫ ++
+
++
+=
332xdx 32x -
3 3x 2xdx 96 -
xdx 222 x
xI
(a) (b) (c)
La integral (a) es inmediata; (c) es del tipo ya resuelta en el ejemplo anterior y (b) es la novedad por lo que la abordaremos del siguiente modo
( )( )
( )( )
33x 2x
dx 3 2x 3 33x 2x
dx 962222 ∫∫
++
+=
++
+x Completamos la difencial, para separar
( )( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+++=
++
++= ∫ ∫∫ 22222 332
3udu
23 dx
332334
23
2
xxdx
xxx
u
du
( ) 22 2
( )
3 9 dx - 82 2x 3 3 3 9 3x
4 16 2
d
x= +
+ + ⎡ ⎤⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
(d) ∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
22
1615
43x
dx Es de la forma:
198
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+=
+= ∫ a
u tgArc 12a1
udu 2222222 aau
ua
I (Según tabla)
Resumiendo:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )22 2
32 33 9 8 4 4x 34ln arctg
8 15 15 152 2x 3 3 2 3 33 154 16
x x dxI a b c x
x x xx
⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ ++⎝ ⎠⎜ ⎟= + + = + − ⋅ + −⎜ ⎟+ + + +⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
Para esta última ya se sabe
( )
( )∫ +++
=∗ 33232
2 xxdxxI Completando diferencial
( )( )2 2
4 3 31 1 33 32 2 22 3 3 2 x 2 2
x dx du dxux x x
+ += = +
⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
( ) ∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++=
1615
434
3332x ln21
22
x
dxx
( )15
34154
43332ln
21 2 +
⋅+++=xarctgxx
Observación.
Para resolver en general la nueva integral de la tabla: 2 2 2( )du
u a+∫ , podemos recurrir al método
de integración por partes; pero aplicándolo a : ( )∫ ∗=+ 122 I
audu
En efecto: 2 2 2 2 21 2
( )uv dv du
u a u a= → = −
+ +
dw du w u= → =
199
( )∫+
++
=∗222
2
221u
du 2a
uau
uI
( )
( )
2 2 2
1 2 2 22 22
u a auI duu a u a
∗+ −
= ++ +
∫ ; Separemos
= ( ) ( )∫∫+
−+
++ 222
22222 22
audua
audu
auu Pero se sabe que
⇒=∗
au Arctg 1
1 aI
( )∫ ⇒
+−+
+= ∗∗
222
21221 2I 2
audua
auuI
( )
⇒++
=+
∗∫ 122222
22 Iau
uau
dua
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+=
+∫ a
u Arctg 121
222222 aauu
aaudu Luego
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+=
au Arctg 1
21
2222 aauu
aI luego, para nuestro ejemplo:
d)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∫ 15434
154
1615
43
43
158
1615
43
222
xArctg
x
x
x
dx
Observación: El fundamento de esta separación en fracciones parciales se encuentra en el curso de algebra I.,
por lo que es oportuno actualizarlo.
200
Método de sustitución trigonométrica. Esta destinado a integrales que contienen expresiones de la forma 22 xa ± o 22 ax − de
suerte que para: a) 22 xa − Hacemos x = a sen t ⇒ dx = cos t d t
b) 22 xa + Hacemos x = a tg t ⇒ dx = a sec 2 t dt
c) 22 ax − Hacemos x = a sec t ⇒ dx = a sec t tg t dt
Ejemplos:
1) ∫ − dx 9 2x
Solución: Tipo a)
x = 3 sen t ; dx = 3cost dt ⇒ t = Arc Sen ∴ 3x
∫ −= tI 2sen 99 3 cos t dt = 9 ( )2 9cos dt · t sent · cost c2
t = + +∫
= 29 cArc +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
9x-1
3x
3xsen
2
cxxArc +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= 29
93xsen
29
2) ∫− 49 2xx
dx
Solución:
Tipo c)
Sea 3x = 2 sect ; dx = 32 sect tg t dt ⇒
201
∫ ∫ +==−
= cdtt
I2t
21
4sec 4sect 2/3dtt sect tg 3/2
2,en la variable original:
1 3x arc sec 2 21 2 cos 2 3x
c
arc c
= +
= +
3) ∫ + dx 22 xa Solución:
Tipo b) Sea x = a tg t ; dx = a sec 2 t dt ⇒
( )∫ +=2/1222 tg taaI a sec 2 tdt
( ) dtt sec 1 22/122 ∫ += tga
∫= dt sec a 32 t (Por partes ya fue resuelta)
( ) c t tg t secln - t tg2
2
++= seta
cax
aax
axa
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−+= 2
2
2
22 x1 ln12
cxxaa
xaxa+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−
+= aln ln
222
2
222
k ln 2
a - 2
22222
++++
= xaxxax
De igual modo puede deducirse las formulas para:
∫ ∫ ∫ ∫ −−−+
dx ; 'a
dx ; 'x
dx ; '
22
222xa
xaxadx
202
Otras sustituciones. 1) Integrales del tipo: ( ) ;dx / qpnm bxax +∫ con m, n, p, q, { };0 - Ζ∈
Hacemos: a) a+bx Ζ∈+
= n
1m si ;qn u ó
b) Ζ∈++
=+
n1m si ;
qpv
xbxa qn
n
Ejemplo: 1) ( ) ( )dxxx∫
−+
2/135 1
Solución:
Ζ∈+
=+
3151
nm luego hacemos ( ) 231 ux =+
du2u dx 3x ; 1 223 =−= ux
( ) ( ) ( ) duu 3211 1222/133∫ ∫ −−
−=+= uudxxxxI
( ) cuu +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−= ∫ 3
u 32 du 1
32 3
2
( ) ( ) cxx +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+=
2/132/33 1131
32 .
Para el otro caso: 2) I = ∫ + .)1( 3/134 dxxx Solución:
203
Debemos
hacer: 33
31 vx
x=
+⇒ ∫= dxxvxI )(4 ,como: 3331 vxx =+
11
33
−=⇒
vx luego: ∫= dxxvxI )·(4 ,pero
23
22
)1(33
−−=
vdvvdxx dv
vvxI 23
33
)1( −−=∴ ∫ , como
dvv
vIv
x ∫ −−=⇒
−= 33
3
33
)1()1(1
dvvv
))1(
1)1(
1( 3323 −+
−−= ∫ , fracciones parciales
2) Integrales del tipo : ( )∫ ;dx xcos ,sen x f f(x) función racional, hacemos
uxtg =2
y por lo tanto como se sabe por algunas identidades conocidas:
sen x = 2
2 2
x x2 tg 1- tg2 2 ; cos x ;
x1 tg 1 tg 2 2x
=+ +
2
2 2 22u 1-u 2du sen x ; cos x ;Si x = 2Arctgu dx
1 u 1 1 uu= = ⇒ =
+ + +
Ejemplos:
1) ∫ + senxdx
1
( )
( ) cu
uu
I ++−=+
=
++
+= −∫ ∫ 12
2
212
u1du 2
121
u1du 2
.
Para retornar a la variable original
2 -2 c cx 1-cos x1 12 1 cos x
Itg
−= + = +
+ ++
2 1 cos x c1 cos x 1-cos x
I − += +
+ +. Racionalizando:
( ) c x2cos
xcos-1 xcos1 xcos12+
−++−=I
204
x
senxxIcos2
)cos1(2 −+−=
2.- dxSenx Cosx+∫ .
Solución:
2 2 222
2 2
2 2 2 21 2 2 ( 1) 22 1(1 )
1 1
du du du dvIu u u vu uu
u u
= = = =⎛ ⎞ + − − − −−
+ +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
fracciones parciales o ver tabla
:1 2 2 2 1 2 2 1 ( / 2)2
2 22 2 2 2 1 2 1 ( / 2)n n nv u tg xI L L Lv u tg x
+ + − − += = =
− − + + −
I
1 cos2 12 1 cos2 1 cos2 1
1 cos
n
xxLxx
−− +
+=−
+ −+
+C
I ( )( )( 2 1) 1 1 cos2
2 ( 2 1) 1 cos 1 cos
cosx xLn
x x
− + + −=
+ + − −+C
3) Integrales del tipo: ( )/ r/s qs c, x dx ; hacemos x u o x up qf x = =∫ (c mínimo común denominador
entre q y s)
Ejemplo:
dx 1 2/1
3/2
∫ +=
xxI
Solución:
Hacemos dx du u 6 ; 56 == xu
205
4
5 3 6 u du
1uI
u=
+∫ .Fracciones parciales pero primero la división.
1 u u1 : u 1
6 36393
9
+−=++
= ∫ uu
uI y resto -1
( ) ∫∫ ++−= 3
36
16 -du 16
uduuuI
( )( )∗
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∫ 2
47
116
476
uuuduuuuI Nos ahorramos el detalle
( )( ) ∫∫∫ +−−
−+
=+−+
=∗
12
31
131
11 22 uuu
udu
uuuduI
( )∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−−⋅−+=∗
2
22
21
31221
311ln
31
u
duuuI
( ) ( )( ) ∫∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++−
−−+=∗
2223/1
23
212
11
1261u1ln
u
duuu
uI
( ) ( ) ( )3
21/2-u arctg 3
2211ln1ln 6/122/1 ⋅
⋅++−−+=∗ uuuI
I ( ) ( ) ( )∴++−−+=
31-2u arctg
311ln1ln 6/123/1 uuu
( )( )
( ) cuuuuuuI +−+−
+−+−=
31-2u arctg
66
11ln66
23
76
6/12
3/147
( )( )
cxxx
xxxxI +−
−+−
+−+−=
312x arctg
361ln66
23
76 1/6
6/16/13/1
3/16/16/13/26/7 .
206
Observación: Como se puede apreciar la laboriosidad de algunos ejemplos ponen a prueba la paciencia y la sangre fría entre otras cualidades del alumno Integrales trigonométricas.
Aquí se incluyen aquellas cuyos integrando son de la forma:
a) mx cos x dxnsen∫
b) msec tg dxn x x∫
c) mx cosn x dx sen∫ y otras
Aunque muchas de estas pueden ser resueltas por los métodos ya señalados; veamos algunos casos:
a) (i) ∫ ⇔impar n dx; xsenn
( )2 1 2m dx - sen d cos xmsen x x+ =∫ ∫
( ) ( )21 cos x d cos xm
= − −∫ Que es de la forma:
( )21 du;m
u= − −∫ Luego es inmediata por ser polinomial.
(ii) ∫ parn dx; x nsen
Si el exponente es relativamente pequeños, por Ej. :
( ) ⇒== ∫ 2x cos-1 21 sen hacemosdx x 24 xsenI
( )∫ −= dx cos141 22 xI
( )2x d2x cos 2x cos 2181 2∫ +−=I
( ) c 2x cos2x 221 2x sen 2 -2x
81
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= senxI
207
c 2x co2x sen 161
8x x cossen x
21
83
+++−=xI
Para exponentes mayores habrá que usar una “formula de reducción” que ya se verá.
(iii) ⇒∫ impar n o mcon ;dx xcos mn xsen
( )22 1 m m cos dx sen cos cosxdxnnI sen x x x x+= =∫ ∫
( ) ( )2 m1 cos cos d cos xn
x x= − −∫
( )2 m1 u du ; n
u= − −∫ es inmediata, por ser polinomial.
(iv) par ny mcon dx cos m∫ xxsenn
Aquí también hay una “formula de reducción”que se verá y si el exponente es pequeño recurriremos al mismo expediente anterior o la tabla.
Ejemplos:
a) 2 4cos dxI sen x x= ∫
Solución:
dx 2
2x cos12
2x cos1 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= ∫I
( )∫ += ;dx 2x cos -2x cos -2x cos181 32 Todas ellas ya conocidas
b) (i)
208
dx sec ;dx m∫ ∫ xxtg n para ambos hay las formulas de reducción. Si por ejemplo:
( )∫ ∫∫ ++
+ =⋅= du u-1 dx senx cossen dx 12
2
12
2n12
n
n
nn
uxxxtg , luego de haber hecho Cosxu = .
Directa pues es polinomial
∫ ⇒= dx 5 xtgI Cada vez que el exponente sea impar:
( ) ( ) ( ) du 2u-1 du u-1 cos
xcos d 5
42
5
22
5
4
∫∫∫+
==−=u
uux
xsenI ó
( ) c cosxln cos22
4cos1- 24 24
135 ++−
−=+−∫ −−−
xxduuu
También:
( ) dx 1sec tg dx 235∫ ∫ −= xxxtg
( )∫ ∫−= dx 22 xtgtgxdtg (Aquí hay reducción)
( ) dx 1sec x 4
24
∫ −−= xtgxtg
( ) ∫∫ =−= dx x tgx d x 4
4
tgtgxtg
∫+−= xcosdx x
24
24 senxtgxtg
( )∫=−=
xcos xcos
24
24 dxtgxtg
c xcosln24
24
+−−=xtgxtg
Igual cosa ocurre si el exponente es par:
En cambio para 2sec dxn x∫ tenemos solución inmediata:
209
( )dx sec x sec 222 xI n∫ −= ( ) ( ) xtg d 1 12∫
−+=
nxtgI
( )∫−
+= du, 1 12 nuI Que se inmediata.
Igualmente si el exponente es impar hay reducción.
;dx sec 12∫ += xI n ( ) xxu n 2-2n12 sec 1-2ndu sec =→= − sec x tg x dx
x tgu dx sec2 =→= xdu
(ii) ∫ ⇒+ dx tgsec 12n xxm ( )∫ −= dx x x tgsec tgsec 2n1 xxI m ( ) ( )∫ −= xsecd 1- x sec sec 21 nm xI
( )∫ −= − du 121 nm uuI o bien cuando se tiene
(iii) ( )dx sec x tgsec dx tgsec 22-2mn2 xxxxI m∫ ∫== ( ) ( )∫
−+= xtgd x 1 12 tgxtg m
( )∫
−+= du 1 12 uu m Que es inmediata en cambio para:
(iv) ( )∫ += dx tgsec 2m12 xxI n Habrá que deducir una formula de reducción
(v) I = ∫ dx x m cosn x sen I = ∫ dxmx sen nx sen
210
I = ∫ dxmx cosnx cos Para ello basta considerar lãs identidades:
( ) ( ){ }βαβαβα −++= sensensen 21 cos
( ) ( ){ }βαβαβα +−= cos- cos21sen sen
( ) ( ){ }βαβαβα −++= coscos21 cos cos
Ejemplo:
∫ ∫ ∫= dx x 21 -dx 5x
21dx 2x sen 3x cos sensen
c x cos 2
1 5x cos101
++−=
Formulas de reducción.-
1) parn ;dx ∫ xsenn Solución:
∫= dx; 2 xsenI n Por partes
( ) dx x cos 1-2n du 222 xsenxsenu nn −=→= xcos - vdx sen x =→=dv ( ) ∫+−= − dx cos sen 1-2n cox 22-2n12
2 xxxsenI nn
( ) ( ) dx sen-1 sen 1-2n x cos 22-2n1-2 xxsen n ∫+−=
211
( ) ( ) ∫∫+= dx sen 1-2n - sen 1-2n x cos sen- 2nx2-2n1-2n x ( ) ( ) 2n2-2n
122 I 1-2n - I 1-2n x cos +−= − xsenI n
n ( ) ( ) 2-2n
1-2n2 I 1-2n x cos sen 2 +−= xnI n
( )[ ]dx 1-2n x cos 21 2212
2 xsenxsenn
I nnn ∫ −− +−=
2) ∫ dx cos 2m2 xxsen n Solución: ( ) dx x cos 1-2n du 2212 xsensenu nn −− =→=
12
cos vdx sen x cos12m
2
+=→=
+
mxdv m
dx cos sen
1212
12 cos 22m2-2nn
12m12
∫ ++−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
++
−= xxmn
mxxsenI
n
( ) dx cos xsen-1 sen 1212
12mcos 222-2n
12m12
xxmnxxsenI m
n
∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
++
−=+−
I 12m
1-2n -dx cos sen 12m
1-2n 12
cos 2m2-2n12m12
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+−=
+−
xxm
xxsenIn
∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
++
dx cos sen 12m
1-2n 12m
cos sen - I 12121 2m2-2n
12m1-2n
xxxmn
( ) ( ) ∫⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
⋅++
−+
dx cos sen nm2
1-2n 12
cos sen nm212m 0 2m2-2n
12m1-2n
xxm
xxI
3) ∫ dx xtg n
212
Solución:
( )∫ −= dx 1 - sec 22 xxtgI n
n ∫ ∫−= dx tg - x)(tg d 2-n2 xxtg n
2-n
1
I 1
−−
=−n
n ntgI
4) ∫ dx sec xm Solución:
( ) dx x x tgsec sec 2-m du sec 3-m2 xxu m =→= −
x tg vdx sec2 =→= xdv
( )m-2 m-2 2 x sec - m-2 sec tg x dxmI tg x x= ∫
( ) ( ) dx 1 - sec sec 2-m - sec x 22-m2-m xxxtgIm ∫=
( ) ( ) ∫∫ += dx sec 2-m dx sec2-m - sec x 2-m2-m xxxtgI mm
2-m
2-m
I 1-m2-m
1sec x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=
mxtgI m
Finalmente, una buena preparación en este tema requiere de una amplia ejercitación para ello es la guía anexa; agregamos a ella la necesidad de un uso hábil de las tablas de integración; por tal razón este capítulo debe considerarse solo como una introducción u orientación al tema.
213
3.3.-Guía de Ejercicios.
1.- Verificar aquellas primitivas señaladas en la tabla básica de integrales 2.- Verificar que:
a) 0 4b si b-4acb2ax tgarc
42 2
222 <−+
−=
++∫ acbaccbxax
dx
b) ( ) ( )2b-3ax bax 15a
2 dx 22 +=+∫ baxx
3.- Calcular en forma directa
a) 2 dxsen x∫ e) ∫ xdx
b) ∫ dx 2 xtg f) ( )x
dx 3
∫ + xx
c) ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + dx 1 2
xx g) ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ dx 1
32
xx
d) ∫−+++ dx 53
4
234
xxxxx h) ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− dx
333
2c
x
4.- Mediante una adecuada sustitución calcule:
a) ∫ dx 2 xsen j) ∫ + t3dx t
b) ∫ dx x tg5xsen k) ∫ = dx x
cos3
senx
c) dx x3 2∫ + x l) ( ) dr 23 2
3/1
∫+
rr
d) ( )∫ + dx 3 54/13 xx m) ∫ dx lnx
e) ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + dt 1t 1
2
22/3
ttt n) ( )
∫ +++
32dx 1
2 xxx
214
f) ( )∫ − dx x1 22/3x ñ) ( )∫ + ttg1dt t sec2
g) ∫ dx e 3 xx o) ∫ u cosduu sen
h) dx e cosec 3x3∫ xe p) ∫ dx x cos x 3sen
i) ∫ dx x x tgsec5 q) dx 13 4
∫+
xx
5.- El método de integración por parte le permiten resolver
a) ∫ dxsen x arc e) ∫ dx x 2sen
b) dx x ln∫ f) ∫ dx x
x cotg arc
c) ( ) dx ln x ∫ sen g) ∫ dxln x 2x d) ∫ dxx 2sen h) ∫ dx x bsen xeα
i) dx rsen 22
∫−r
xarc
6.- Obtenga una formula de reducción para:
( )2 2
n ndxI
x a=
−∫
Aplicando integración por parte a 1nI −
7.- Igual para
215
( )2 2
n ndxI
x a=
+
8.- Calcular:
a) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −−
=+−
2222 2365 xxdx
xxdx
b) ( )∫ ∫⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=++
32232
23
211
x
dxxx
dx
9.- Con el algoritmo de las fracciones parciales; encuentre las primitivas:
a) ∫ − 22 axdx d)
( )∫−
22 1xxdx
b) ∫ ++ 23xdx
2
2
xx e) ∫ +1x
dx 3
4x
c) ( )∫ +122 xxdx f) ( )
( )( )∫ +−+
21257
22
2
xxxx
10.- El método de sustituciones trigonometricas es aplicable para obtener las formulas
a) ∫− 22 xa
dx b) ∫+ 22 xa
dx c) ∫− 22 ax
dx
d) ∫ − dx 22 xa e) ∫ + dx 22 xa f) ∫ − dx 22 ax
11.- Resolver:
a) ∫+− 62
22 xx
dx b) ∫ −− 2436 xx dx
216
12.- Para integrales de la forma:
( ) ( )∫ Ζ∈+ 0 - q p, n, m, ;dx / qpnm bxax
Es aplicable
i) ( ) Ζ∈+
+= n
1m si : nq bxau
ii) Ζ∈++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
n1m si :
qp
xbxav n
nq
Con ello resuelva:
a) ( )∫−
+ dx 1 2/135 xx b) ( ) dx 52 3/133∫−
+ xx 13.- En el caso de primitivas que contengan raíces / r/s, x :p qx ya se sabe que opera el cambio: ( )sq; m c, m, c ; xo === cqs zzx Resolver:
a) ∫ +dx
1 2/1
3/2
xx b) ∫ + xx
dx
14.- Las funciones racionales de sen x, cos x admiten la sustitución:
2
2
2 1u-1 x cos ;
u12u x
2 usenuxtg
+=
+=⇒=
2u1du 2
+=dx
Resuelva con ello:
a) 1 xSenx dx
sen+∫ b) ∫ xcotg-1dx x cosec
217
15.- Obtenga una formula de reducción para:
∫ parn ;dx cos xn
Y calcule ;dx cos6∫ x usando 2
2x cos1cos2 +=x
16.- Calcule
dx 7∫ xsen 17.-calcule
∫ par; n, m, ;dx cos m xsenn obteniendo formula de reducción.
18.- Calcule
dx cos 65∫ xxsen 19.- Haga un análisis de las integrales
∫∫ dx tg ; dx sec m xxn ∫ dx tgsec m xxn
Señalando en que caso tiene solución inmediatamente y en que caso admites una formula de reducción.
20.- Resuelva
dx sec ;dx sec ;dx sec 532∫ ∫∫ xxx ∫ ∫∫ dx tg ;dx tg ;dx 354 xxxtg Ahora el alumno podrá enfrentar sin complejos las siguientes primitivas (223)
218
Integrales inmediatas
1) ( ) dx
5
∫ a x
2) dx 3
33
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
xxx
3) ∫ 5 xdx
4) ( )∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+xx
dx 3
xx
5) dx 15
32∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
xx
6) dx 536
234
∫−+++
xxxxx
7) ∫ dxx cos x 3sen Integración por sustitución 8.- ∫ dx 5xe 9.- ∫ dx5x cos
10.- ∫ dx....x sen 11.- ∫ xdx x ln
12.- ∫ 3x 2sendx 13.- ∫ 7x cos2
dx
14.- ∫ − 73xdx 15.- ∫ − x
dx1
16.- ∫ − xdx
25 17.- ∫ dx2x tg
18.- ( )∫ dx 7-5x cot g 19.- ∫ 3y cot gdy
20.- ∫ dx 3x cot g 21.- ∫ dz z sec z 2tg
219
22.- ( )∫ dx e e cot xxg 23.- ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ds
4s cotg - 4s tg
24.- dx x cos 2∫ xsen 25.- ∫ dxsen x cos3 x
26.- dx x 12∫ +x 27.- ∫+ 32x
dx 2
x
28.- ∫+1x
dx 3
x 29.- z
∫ xsendx x cos
2
30.- ∫ x3cosdx x sen 31.- ∫ dx
x cos x2
tg
32.- dx xsen xcot
2∫g 33.- ∫ 1 - x tg cos
dx x cos2 x
34.- ( ) dx 1
1x ln∫ +
+x
35.- 1sen x 2
dx x cos+∫
36.- ( )∫ + 22x cos1
dx2x sen 37.- ∫+ xsen1
dx2x 2
sen
38.- xcos
1 x 2
+∫
tg 39.- ( )∫ + 2xsen 32
dx2x cos
40.- ∫ 3 4 3x cosdx3x sen 41.- ( )∫ + 2xsen 32
dx x ln
42.- ∫− 21
dx x x
arcsen 43.- ∫ + 2x1dx x arctg
44.- ∫ 2
2
x-1 xarccos 45.- ∫ + 21
xcotxgarc
46.- ∫ +1xdx
2
x 47.- dx 32
3∫ ++
+xx
x
220
48.- ∫ + 3 sen x 2dx x cos 49.- ∫ ln x x
dx
50.- ( ) dx 12
42∫ +xx 51.- ∫ dx x 4tg
52.- ( )∫ + xarctg 1 2xdx 53.- ( )∫ + 1 x tg3 x cos2
dx
54.- dx xcos
x2
23
∫tg 55.- ∫
− arcsen x 1 2xdx
56.- ∫ +dx
2xsen 322x cos 57.- ( )
xdx
∫ ln x cos
58.- ( )∫ + dx cos bxa 59.- ∫ dx 2xe
60.- dx zx
e∫ 61.- dx x cos x∫ sene
62.- dx x 2xa∫ 63.- dx a
x
e∫ 64.- ( )∫ dx 22 xe 65.- dx e 3 x∫ x 66.- dx 2∫ − xe 67.- ( ) dx 55∫ + xx ae
68.- ( )∫ +++ dx 2342
xe xx 69.- ( ) dx b
2
∫−
xx
xx
aba
70.- dx 4e3
dx a x
x
∫ +
xe 71.- ∫ + 2x
2
e2dx xe
72.- ∫ + xedx43
73.- ∫ − 2 x31dx
74.- ∫− 2916 xdx 75.- ∫
+ 29 xdx
221
76.- ∫ + 24 xdx 77.- ∫ + 49 2x
dx
78.- ∫ − 294 xdx 79.- ∫
+ 92xdx
80.- ∫ 222 a - xbdx 81.- ∫
+ 222 xabdx
82.- ∫− 41 xdx 83.- ∫ − 65 x
dx
84.- ∫ 4x-1dx x 85.- ∫ + 44x
dx a
x
86.- ∫− xedx
21 87.-
2 x53 −∫
dx
88.- ∫ + xsen adx x cos
22 89.- ∫−x
dx xln1 2
90.- ∫ dx x-1
x- xcos2
ar 91.- dx 1
x2∫ +
−x
arctgx
92.- dx x
xln1∫
+ 93.- ∫+ dx 1
xx
94.- ∫+ x1 x
dx 95.- ∫ +− dx 1
x2x
arctgx
96.- dx2x sen xcos 31 2∫ + 97.- ∫+ xcos 1
dx2x 2
sen
98.- ∫ 3 2 xdx x cos
sen 99.- ∫ dx
xsen xcos
4
3
100.- dx cos2
3 2
∫ xxtg
101.- ∫ + xcos 3 x sen2 22
dx
222
Integrales del tipo dx 2∫ +++
cbxaxbax
102.- ∫ ++ 522 xxdx 103.- ∫ +− 423 2 xx
dx
104.- ∫ ++ 132 xxdx 105.- ∫ +− 562 xx
dx
106.- ∫ +− 122 2 zzdz 107.- ∫ +− 223 2 xx
dx
108.- ( )
( )∫ +−−
113dx 76
2 xxx 109.- ( )
∫ +−−
22523
2 xxx
110.- ∫ +−− dx
113
2 xxx 111.- ( )
∫ −++
1617
2 xxdxx
112.- ∫ +−− dx
212
2 xbxx 113.- ∫ +−
+− dx 12456
2
234
xxxxx
114.- ∫ ++ xsen x cossen x x cos 2 22
dx
Integrales del tipo: ∫++
+ dx 2 cbxax
bax
115.- ∫−− 2432 xx
dx 116.- ∫++ 21 xx
dx
117.- ∫+ 22 sas
dx 118.- ∫− 23x 75 x
dx
119.- ( )∫ + 53xxdx 120.- ∫
+− 232 xxdx
121.- ∫−− 15 2 xx
dx 122.- dx 22∫
++
+
cbxaxbax
223
123.- ( )∫
++
+
344dx 3
2 xxx 124.- ( )
∫+
−211x-66x3
dx 3x
125.- ( )∫
−+
+2443
dx 3xx
w 126.- ( )∫ −
+ dx 12
53xx
x
Integración por parte 127.- dx e x∫ x 128.- ∫ dxln x x 129.- ∫ dxsen x x 130.- ∫ dx x ln 131.- ∫ dx x arcsen 132.- ( )∫ − dx 1ln x 133.- ∫ dxln x nx 134.- dx x arctg x∫ 135.- ∫ dxarcsen x x 136.- ( ) dx 1x ln 2∫ +
137.- ∫ dx x arctg 138.- dx x
x ∫
arcsen
139.- dx 1x
x +∫ arcsen 140.- ∫ dx x cos 2x
141.- ∫ 2x-1arcsen x x 142.-
( )∫+
dx 1x
xarctg 22
x
143.- dx 1x actg 2 −∫ x 144.- dx xsec2∫ x
arc
Integración por sustitución trigonométrica
147.- ∫− dx 2
22
xxa 148.- ∫ dx x-4 22x
224
149.- ∫+ 22 1 xx
dx 150.- dx 22
∫+x
ax
151.- ( )∫+
322 xa
dx
Integración de funciones racionales
152.- ( )( ) dx 21
12∫ −−
−xx
x 153.- ( )( )( )∫ +++ 531xdx
xxx
154.- ∫ −−+ dx
48
3
45
xxxx 155.- ( )( )∫ +− 21x
dx 2
4
xx
156.- ( ) ( )∫ −− 21 2 xx
dx 157.- dx 44
823∫ +−
−xxx
x
158.- ( )∫ ++
123
xxx 159.-
( ) ( )∫ ++ 22
2
42xdx x
x
160.- ( )∫ +dx
xxdx
12 161.- ( )( )( )∫ +−−
−− dx 521
3322
2
xxxxx
162.- ∫ ++−
86624
3
xxx 163.- ∫ +13x
dx
164.- dx 473
23∫ +++−
xxxxx 165.- ∫ +1
44xdx
166.- dx 13
5
∫ +xx 167.- ( ) dx
2122
3
∫+
−+
xxx
168.- ( )( ) ( )∫
+
−222
2
11-xdx 84
xxx 169.-
( )( )∫+−−
222 1xxxxdx
225
Integración de funciones irracionales
170.- dx 14 3∫
+xx 171.- dx
x 6 4
33
∫− xx
172.- ∫+
+4 56 7
6 1xx
x 173.- ∫ ++++
12
36
3
xxxx
174.- 2xdx
11
⋅+−
∫ xx 175.-
xdx
11
⋅+−
xx
Integrales del tipo : ( ) dx , 2 cbxaxxR ++∫ :
178.- ∫+− 32 xxx
dx 179.- ∫−+ 22 xxx
dx
180.- ∫+− 32 xxx
dx 181.- ( )∫
−322 xx
dx
182.- dx 22
∫+x
xx 183.- ∫ − dx 2 2xx
184.- ∫−− 12xx
dx 185.- ( )∫
+++ 211 xxxdx
186.- ( )( )∫
+++
+ dx 121
22 xxxxx 187.- dx
111
2
2
∫++
++−
xxxxx
188.- ∫+ dx 42
2
xxx
Integrales binomiales
189.- dx 13 2
3
∫+
xx 190.- ( ) dx 2 4/13/23/1
xx +∫
226
191.- ( )∫+
2/321 xdx 192.-
( )∫+
2/322 1 xxdx
193.- ( ) dx 14 32/1∫ ⋅+ xx 194.- dx 23
3
∫−x
x
195.- ( ) dx 1 3 235∫ + xx
Integración de funciones trigonométricas
196.- ∫ dx x 3sen 197.- ∫ dx x 5sen
198.- ∫ dx x sen x cos 24 199.- ∫ dx cos4
3
xsenx
200.- dx cos2 x∫ 201.- ∫ dx 4 xsen
202.- dx cos6∫ x 203.- dx cos 44∫ xsen
204.- dxx 3∫ tg 205.- dx cot 5∫ xg
206.- ∫ dx cot 3xg 207.- dx sec8∫ x
208.- dx x sec 44∫ xtg 209.- ∫ xcos4
dx
210.- ∫ dx sen
xcos2 x
211.- ∫ 3 4
3
cosdx x
xsen
212.- ∫ dx3x sen x sen 213.- dx7x cos x 4 cos∫
214.- ∫ dx4x sen 2x cos 215.- ∫ dx x 43cos x
41sen
216.- ∫ − sen x 54dx 217.- ∫ − xcos 35
dx
227
218.- ∫ + sen x 1dx sex 219.- ∫ + xcos1
dx x cos
220.- ∫ +dx
sen x cos x4
sen 221.- ( )∫ + 2 xcos1
dx
222.- ∫ + x tg 2 2xsendx
___________________________________________________________________- BIBLIOGRAFÍA 1.- Cálculo Larson Hostetler Edwards 2.- Calculo con Geometría Analítica. Earl W Sowokowsky. 3.- Cálculo. James Stewart 4.- Cálculo Diferencial e Integral, Frank Ayres Elliot Mendelson. 5.- Cálculo com Geometria Analítica Edwards y Penney _____________________________________________________________________________________ UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE. PROF. JORGE ALEJANDRO INOSTROZA LAGOS
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