República Bolivariana de VenezuelaI.U. Politécnico Santiago Mariño

Barcelona 22/05/2015

Definición, propiedades, ejemplos, procesos y gráficas de funciones

Profesor: Alumno:

Pedro Beltrán Richard Ivimas C.I. 26.146.424

Función Racional:

En matemáticas,   una función racional  de   una   variable   es   una función que   puede   ser expresada de la forma:

Donde P y Q son polinomios y x una   variable, siendo Q distinto  del  polinomio  nulo.   Las   funciones racionales   están   definidas   o   tienen   su dominio   de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador. Obviamente   esta   definición   puede extenderse   a   un   número   finito   pero   arbitrario   de variables, usando polinomios de varias variables.La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los   coeficientes   de   los   polinomios   pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en  el   campo  del análisis   numérico para interpolar o   aproximar   los   resultados  de  otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos:Función homográfica:

Si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.

Propiedades:

Toda   función   racional   es   de clase   en   un dominio   que   no   incluya   las raíces del polinomio Q(x).

Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Función racional de grado 2:

Función racional de grado 3:

Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo forman un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo. El cuerpo de funciones racionales forma un subcuerpo del cuerpo de series de potencias formales.

Integración de funciones racionales:

Dada una función racional:

Si   el   denominador   es   un   polinómico   mónico   con k raíces diferentes,   entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

Si   entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

Por  lo que la  integral  de  la función   es una combinación  lineal  de funciones de  la forma   :

Obsérvese  que   lo  anterior   implica  que   las   funciones   racionales  constituyen  un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.

Función exponencialSe llama así a la función y= f(x) = ax, cuando a>0, es decir una potencia donde la variable independiente es el exponente, siendo la base una constante positiva.Tendremos,   por   ejemplo,   f(3/2)=   a3/2.   Tomando   la   raíz   aritmética,   la   función  queda unívocamente definida para todo x racional, y su variación en este campo resulta de lo siguiente:Las potencias de exponente racional de los números positivos mayores(menores) que uno, son mayores(menores) que uno si el exponente es positivo, y son menores(mayores) que uno si es negativo. En ambos casos crecen(decrecen) al crecer el exponente.Si   a=1,   se   reduce  a   la   función   constante   f(x)  =1  y  no   la   consideramos   como  función exponencial.Con  lo  establecido anteriormente,  podemos enunciar   las  siguientes  propiedades  de  la función exponencial:  Para todo x es ax>0. En particular, la función exponencial no se anula nunca.  f(0) = a0 =1. [Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1)]  f(1) = a1 = a.  Para a>1 (es decir, b>0) es monótona creciente desde 0 hasta ð; para a<1(es decir, b<0) es monótona decreciente desde ð hasta 0, tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð bð .lim ax = + ð (a>1) lim ax = 0 (0<a<1)x →ð ð x →ð ð   La curva se aproxima asintóticamente al eje x(para b>0 a la izquierda, para b<0 a la derecha), tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð bð .lim ax = 0 (a>1) lim ax = +ð (0<a<1)x →ð ð x →ð ð

Representación gráfica de la función exponencial

Ejemplos de funciones exponenciales:

1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función, f: R R, son:

                                         

                                             

                                                                

2. La función y= 1/2x es una función exponencial de base 1/2. Algunos de los valores que toma esta función son:Exponenciales expresadas como potencias de eLa  ecuación   funcional E(a  +b)  =  E(a)E(b) tiene  muchas  consecuencias   interesantes.  Por ejemplo podemos utilizarla para demostrar que(1) E(r) = erPara todo número racional r.Tomamos primero b= -a en la ecuación funcional obteniendo(2) E(a)E(-a)=E(0)=1,y por lo tanto E(-a)=1/E(a) para todo a real. Tomando b= a, b= 2ª, . . ., b= na en la ecuación funcional obtenemos, sucesivamente, E(2 a)= E(a)2, E(3 a)= E(a)3, y, en general,(3) E(na)= E(a)npara todo n entero positivo. En particular, cuando a=1, obtenemos(4) E(n)= enMientras que para a= 1/n, se obtiene E(1)= E(1/n)n. Puesto que E(1/n)>0, ello implica(5) E(1/n)= e1/n.

Por consiguiente, si ponemos a= 1/m en (3) y aplicamos (5), encontramos  E(n/m)= E(1/m)n= en/mPara m y n enteros positivos cualesquiera. Dicho de otro modo, hemos demostrado (1) para cada número racional positivo. Como E(-r)= 1/E(r)= e-r, también es válida para todo r racional negativo.

Definición de ex      para x real cualquiera   :

En el apartado anterior se ha probado que ex = E(x) cuando x es un racional cualquiera. Ahora se definirá ex para x irracional por(7) ex = E(x) para cada x real.La máxima justificación que se puede dar de esta definición es que con ella la ley de los exponentes  eaeb= ea+bes   válida  para   todos   los  números   reales   a   y  b.   Cuando   se   toma   la   definición   (7),   la demostración de (8) es trivial puesto que (8) no es más que la misma afirmación de la ecuación funcional.Se ha definido la función exponencial de manera que las dos ecuacionesy= ex y x= ln y signifiquen exactamente lo mismo.

La gráfica de la función exponencial y= ex la obtenemos de la del logaritmo y=L (x) por una simetría respecto a la recta y= x.Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponencialesLas   ecuaciones   en   las   que   la   incógnita   aparece   como   exponente   son   ecuaciones exponenciales.

No existe fórmula general alguna que nos muestre cómo resolver todas las ecuaciones exponenciales.   Sólo  a   través  de   la  práctica  podremos  determinar,   en   cada   caso,   qué camino tomar.Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades que ya se han descrito anteriormente.Ejercicio: resolución de ecuaciones exponenciales

1. Resolver

Resolución:

Expresando 1/8 como potencia de 2:

Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado: 1 - x2 = -3 → x2 = 4 → x = ± 22. Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320Resolución:

En  algunas  ecuaciones  es  necesario  hacer  un   cambio  de   variable  para   su   resolución. Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:

4 · 4x + 23·2x = 320 → 4 · 4x + 8·2x = 320Expresando 4x como potencia de dos, 4 · 22x + 8 · 2x = 320Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 22x = y2) y se obtiene: 4y2 + 8y = 320Basta ahora con resolver esta ecuación: y2 + 2y - 80 = 0

Se deshace ahora el cambio y = 2xy1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición (2x es siempre positivo)y2 = 8 = 2x → x = 3La solución es, por tanto, x = 3

3. Resolver 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651Resolución:  Aplicando   las  propiedades  de   las  potencias,   la  ecuación  se  puede  escribir como5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651Sacando factor común 5x:5x (1 + 52 + 54) = 651 5x·651 = 651 → 5x = 1 → x = 0

Función logarítmica:

Se llama así a la función inversa a la exponencial, que existe en base a lo demostrado anteriormente:

x = ð (y) = loga y, definida para 0<y<+ð, si a>0 y að1.

Escribamos ahora la función de otra forma:

y = ð (x) = loga x,

Donde llamamos de nuevo x a la variable independiente e y a la función, y obtenemos de la gráfica de la función exponencial, la gráfica de la función logarítmica por simetría de primer y tercer cuadrantes.Por las propiedades de los logaritmos vistas previamente enunciamos las siguientes:

La función logax sólo está definida para x>0.

logaa =1 y loga1=0. [Todas las gráficas pasan por el punto (1, 0)]

Para a>1 (es decir, b>0) es monótona creciente desde -ð hasta +ð; para a<1 (es decir,  b<0) es monótona decreciente desde +ð hasta -ð,  tanto más  lentamente cuanto mayor sea

ð loga xð .lim logax = + ð (a>1) lim logax = ðð (0<a<1)x →ð ð x →ð ð   La curva se aproxima asintóticamente al eje y(para a>1 hacia abajo, para a< 1 hacia arriba), tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð logaxð .lim logax = ðð (a>1) lim logax = +ð (0<a<1)x →0ð x →0+

Representación gráfica de la función logarítmica:

Función a trozos:

En matemáticas,   una función   definida   a   trozos (también   denominada función   por partes, función seccionada o  función definida por tramos) es una función cuya definición (la   regla   que   define   la   dependencia),   llamada regla de correspondencia,   cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En Análisis Convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de subderivada para funciones definidas a trozos. 

Definición

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y f una función

Definida entre ellos. Supongamos que A puede representarse como una unión de conjuntos disjuntos Ai

y que, para cada uno de los Ai, existe una función fi

Entonces

f es una función definida a trozos si  .En otras palabras, f es definida a trozos si su regla de asignación es diferente para al menos dos valores de la variable independiente.

Notación e interpretación:

Gráfica de la función valor absoluto, y = |x|.Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a subconjuntos del dominio.Por ejemplo, la función valor absoluto

Puede definirse así

En este caso, el dominio fue dividido en los conjuntos

los cuales son disjuntos y cumplen

Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática de la definición de abs(x) debe ser utilizada. Como esta expresión es –x, el signo del valor que asignamos a la variable independiente se invierte. De modo similar, para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.

A continuación, se presenta una tabla con valores de abs(x), en algunos puntos x del dominio.

x abs(x) Expresión utilizada

−3 3 −x

−0.1 0.1 −x

0 0 x

1/2 1/2 x

5 5 x

En  general,   para  evaluar  una   función  definida  a   trozos   en  un  determinado   valor  del dominio,  seleccionamos  la  expresión matemática cuyo subdominio contiene el  valor  a evaluar.

Continuidad:

Una función definida a trozos con diferentes funciones cuadráticas a cada lado de   .

Una   función  definida  a   trozos  es continua en  un intervalo dado  si  está  definida  por  el intervalo,   las   expresiones  matemáticas   apropiadas   que   constituyen   a   la   función   son continuas  en  ese   intervalo,   y  no  hay  discontinuidad  en  ningún  punto  extremo de   los subdominios en ese intervalo.

La función que está a la derecha, por ejemplo, es una función definida a trozos continua en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un salto de discontinuidad (un agujero) en   .

Función trigonométrica:

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender   la   definición   de   las razones   trigonométricas a   todos   los   números   reales   y complejos.Las   funciones   trigonométricas   son   de   gran   importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones,   la   representación   de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

Conceptos básicos:

Identidades trigonométricas fundamentales.

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de  un triángulo   rectángulo asociado   a   sus   ángulos.   Las   funciones   trigonométricas   son funciones  cuyos  valores   son  extensiones  del   concepto  de   razón  trigonométrica  en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales,   permitiendo   su   extensión   a   valores   positivos   y   negativos,   e   incluso   a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)

Seno sen, sin

Coseno cos

Tangente tan, tg

Cotangente

ctg (cot)

Secante sec

Cosecante csc (cosec)

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo:

Para   definir   las   razones   trigonométricas   del   ángulo:  ,   del   vértice A,   se   parte   de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será:

La hipotenusa (h)   es   el   lado   opuesto   al   ángulo   recto,   o   lado   de  mayor   longitud   del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo  .

El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo  .

Todos  los  triángulos  considerados se encuentran en el  Plano Euclidiano,  por  lo que  la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo   rectángulo   los  ángulos  no   rectos   se  encuentran  entre  0  y  π/2   radianes.   Las 

definiciones   que   se   dan   a   continuación   definen   estrictamente   las   funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo   , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

La tangente de  un  ángulo  es   la   relación  entre   la   longitud  del   cateto  opuesto  y   la  del adyacente:

La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

Funciones trigonométricas de ángulos notables:

0° 30° 45° 60° 90°

sen 0 1

cos 1 0

tan 0 1

Definición para un número real cualquiera: No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de   para valores de   menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida   radianes. Para definir los valores de   estas   funciones   para   valores   comprendidos   entre   0   y   2π,   se   utilizará   entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán   las   funciones  trigonométricas  seno y  coseno como  la  abscisa  y   la  ordenada, respectivamente,  de un punto P perteneciente a  la  circunferencia,  siendo   el  ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x está fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor  entre 0  y  2π.  Se  asignará  a  x   los  mismos valores  de  seno y  coseno que  los 

asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.Representación gráfica

Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Funciones trigonométrica de ángulo doble

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que 

Para   la   fórmula  del   coseno  del   ángulo  doble   se   pueden  presentar   otras   dos   formas alternativas   con   el   uso   de   las   identidades   pitagóricas:   Convirtiendo   a   términos de  , o convirtiendo   a términos de  :

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

Y para el caso alternativo:

Definiciones analíticas:

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que   la derivada del   seno  es  el   coseno  y   la  derivada  del   coseno  es  el   seno  con   signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes).

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

Esta   definición   analítica   de   las   funciones   trigonométricas   permite   una   definición   no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.

Series de potencias:

A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

Estas   identidades   son   a   veces   usadas   como   las   definiciones  de   las   funciones   seno   y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Relación con la exponencial compleja:

Existe   una   relación   importante   entre   la exponenciación de números   complejos y   las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler:

Esta   relación   puede   probarse   usando   el   desarrollo   en serie   de   Taylor para   la función exponencial y   el   obtenido   en   la   sección   anterior   para   las   funciones   seno   y   coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

A partir de ecuaciones diferenciales:

Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

Es  decir,   la  segunda derivada de cada función es   la  propia   función con signo  inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,la función seno es la única solución que satisface la condición inicial   yla función coseno es la única solución que satisface la condición inicial  .Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes,   juntas pueden formar   la   base   de V.   Este   método   para   definir   las   funciones   seno   y   coseno   es 

esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir  al  seno y al  coseno,  con ella  también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.Además,   la   observación   de   que   el   seno   y   el   coseno   satisfacen y   =   −′′ y implica   que son funciones eigen del operador de la segunda derivada.La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

Satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

Funciones trigonométricas inversas:

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.

La función arcoseno real es una función  , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

Arcocoseno es   la   función   inversa   del   coseno   de   un   ángulo.   El   significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

Arcotangente es   la   función   inversa  de   la   tangente  de  un  ángulo.  El   significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

Representación gráfica:

Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Función inversa:

En matemáticas,  si f es  una aplicación o función que  lleva  elementos  de I en  elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.

Definiciones formales:

Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en elconjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, lafunción recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

 y

.

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas:

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

1.  y

2. ,

Entonces:

Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.

Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.

Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.Este último punto se usa como definición de función inversa.

Notación alternativa

La notación tradicional   puede ser confusa, ya que puede dar a entender   . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:

.

Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.

La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,

La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:

   y  .

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable:

Continuidad:

f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

Gráfica de la función inversa:

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.

Derivabilidad:

f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos:

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" con dominio los reales no negativos,   Es decir, las dos funciones siguientes son una recíproca de la otra:

Más generalmente, la raíz positiva de orden n de un número positivo es la recíproca de la potenciación  .También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo natural.Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:

Para  ,  , y 

utilizando   se 

obtiene: 

Para  ,  , y 

utilizando   se obtiene:

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no pude escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función  f:

Aunque la función recíproca se puede aproximar como serie de Taylor: