Toberas (Actualizado al 21 de Octubre de 1999)

9.3 TOBERAS DE EXPANSION:

La  tobera es el órgano básico que convierte la energía de presión disponible en el vapor en energía cinética. En este párrafo desarrollaremos la teoría básica de la tobera de expansión aplicando el Primer Principio de la Termodinámica a una expansión adiabática. Se tiene que:

Como es expansión adiabática:

 Sea A-B (fig. 9.1) un tubo o ducto por el que circula un fluído compresible. Una vez establecido el régimen permanente, al caudal másico G de fluído que circula por unidad de tiempo a través de una sección cualquiera X-X' de área será constante. Si C es la velocidad media del fluído en la sección X-X' y v su volumen específico, entonces la ecuación de continuidad nos da:

   

 Figura 9.1: Flujo en tobera

Lo anterior es verdadero cuando C se toma como velocidad media y es consecuencia de la equación general de la hidrodinámica:

o sea:

Para régimen permanente,   es independiente de t y si C es paralela al eje x,

entonces Cx = C; Cy = 0 y Cz =0 de donde  , lo que integrando nos da:  ·C = Cte. Como   = 1/v, resulta que C/v = Cte. Esta constante equivale al caudal másico de fluído que circula a través de la tobera por unidad de área, es decir: G/.

Tomando diferenciales logarítmicas para G=Cte tenemos:

                                                               (9.2)En el caso de circulación adiabática de un fluído en una tobera entre dos presiones, se debe determinar cual debe ser la sección  de la tobera para tener valores prefijados de presión. Zeuner resolvió este problema, solución que después utilizó De Laval para la construcción de sus primeras turbinas. El caudal másico de fluído que circula a través de la tobera es:

                                                                (9.3)

Si p1 y v1 son las características del fluído en la sección de entrada y p, v las de una sección cualquiera; y si además suponemos de que el fluído se comporta como gas perfecto, entonces la velocidad queda dada por la fórmula de Weissbach:

                                               (9.4)

Sabiendo que   y Cp - Cv = R, tenemos que la ecuación (9.4) toma la forma:

                                     (9.5)

Reemplazando este valor de C en (9.3) nos queda:

                                  (9.6)como:

sustituyendo el valor de v en (9.6) tenemos:

                        (9.7)La constante K corresponde al primer término de la ecuación precedente,

y   al segundo término. Como Gs es constante, el mínimo

de  corresponderá al valor máximo de la función  , cuya condición de borde es:

Obsérvese que tanto para p = p1 como para p = 0, resulta que  =0, y fuera de estos valores  >0; lo anterior implica que entre p1 y 0 hay, al menos, un

máximo. Llamando pm el valor de p en el máximo de la función  , y derivando la ecuación (9.7) e igualando a 0, tenemos:

luego:

                                                    (9.8)

Esta presión pm es la que en forma simultánea hará máxima   y mínima la sección . Lo anterior implica que, en general, para que la expansión adiabática en una tobera sea completa, esta debe ser del tipo convergente-divergente (Tobera de-Laval, figura 9.2). Eso sí que esta forma se presenta siempre y cuando p2 < pm, o lo que es lo mismo cuando:

De no cumplirse esta condición, y si la presión de salida es p2 > pm, la tobera quedará limitada al trozo convergente. Sean H1, Hm, H2 las entalpías

correspondientes a p1, pm y p2. Se llama salto crítico a la diferencia Hm  =  H1 - Hm; y  velocidad crítica a la existente en el cuello, o sea:

 Fig. 9.2 Tobera de Laval 

(hacer click para ver a tamaño completo)

 

                                                (9.9)

Reemplazando pm y vm en la ecuación (9.5), tenemos:

de donde:

                            (9.10)

que es la velocidad crítica en función de las condiciones iniciales del fluído. Si se calcula esta velocidad en función de las condiciones que tiene el fluído en la garganta de la tobera se llega a un resultado interesante, en efecto:

                           (9.11)

que es la velocidad de propagación de una onda elástica longitudinal en las condiciones que tiene el fluído en la sección mínima.

Las ecuaciones anteriores son aplicables al vapor de agua con solo reemplazar $\gamma$ por el valor correcto, en particular:

 = 1,41 para aire.  = 1,3 para vapor sobrecalentado.  = 1,135 para vapor saturado seco.  = 1,035 + 0,1 x para vapor con título inicial x.

En los dos últimos casos la expansión va acompañada de condensación, lo cual hace variar x al mismo tiempo que la presión p.

Las ecuaciones anteriores nos permiten determinar para un caudal másico conocido de fluído a través de la tobera, sea sus diferentes secciones (suponiendo distribución de caída de presion conocida), o bien la caída de presión conocida a lo largo de la tobera (suponiendo conocida la distribución de secciones).

Las típicas toberas de Laval tienen un perfil semicircular en la zona convergente hasta la garganta y luego una salida cónica con un divergente con un ángulo de vértice de 8 a 10º. Desde el punto de vista de pérdidas por roce, en especial en el caso de compresores, es preferible tratar de obtener una caída de presión lineal. Ambas soluciones se esquematizan en las figuras 9.3 y 9.4.

Fig. 9.3: Tobera de Laval clásica 

(convergente circular, divergente recto)

Fig. 9.4 Tobera con caída presión lineal 

(convergente circular)

9.3.1 Expansión con roce:

Hasta el momento hemos supuesto de que la expansión es sin roce, pero en la realidad no es así. En efecto, el roce entre el fluído y las paredes (además del roce viscoso interno) provoca una pérdida de energía cinética. Esta energía se transforma en calor y queda dentro del fluído, lo cual hace que una fracción del calor así generado no sea recuperable como trabajo.

En caso de expansión sin roce se tiene:

si, durante la expansión infinitesimal dp la masa de fluído pierde por roce la energía dZr, se tiene:

                                                                  (9.12)Si la expansión es adiabática, el calor dZr generado por roce quedará en el fluído. La variación de entalpía que esto produce vendrá expresada por:

                                                                 (9.12')de donde:

que integrada entre dos estados 1 y 2 da:

                                                                   (9.13)

Este resultado es la expresión analítica de la ley de Grashof  la que expresa: "El equivalente térmico del incremento de energía cinética es igual a la caída térmica o pérdida entálpica", independiente de la ley por la que se rija el rozamiento sobre las paredes de la tobera. Así pues siempre se verificará que:

El aplicar lo anterior supone que se conoce la entalpía final H2. Si no se conoce o se puede prefijar, es necesario hacer alguna hipótesis sobre la ley de rozamiento Zr.

Consideremos una expansión adiabática, sin roce, entre los estados A1 y A2', representados en el T-S en la figura 9.5. Suponiendo despreciable la velocidad en A1, entonces la velocidad en A2' estará dada por:

Si consideramos ahora una expansión con roce, partiendo del mismo estado inicial A1 y llegando al estado final A2, que tiene la misma presión final p2 anterior, entonces la velocidad será:

La pérdida de energía cinética Zr será:

                                                       (9.13)

 

Figura 9.5: Expansión con roce en tobera

En el diagrama T-S la energía perdida por roce viene representada por el área achurada Zr, mientras que el otra área achurada R representa la energía recuperada. En efecto, al haber roce y quedar el calor dentro del fluído, este calor generado actúa como fuente de calor interna y parte es recuperado en forma de energía cinética.

Diversas investigaciones han demostrado que el trabajo elemental perdido por roce al circular fluído a lo largo de un elemento de diámetro D y largo dl en un tubo cilíndrico o ligeramente cónico es:

                                                                           (9.14)La experiencia indica que, para el vapor saturado o sobrecalentado, se puede emplear Zr = 0,021, para los valores usuales de D y C. Luego la ecuación (9.12) toma la forma:

                                                            (9.15)Si admitimos que durante toda la expansión el calor producido por roce es una fracción fija del salto térmico total, o sea que:

                                                                             (9.16)siendo  un coeficiente constante, tenemos que si diferenciamos la expresión anterior tenemos:

ya que el calor de roce aumenta a medida que la entalpía del sistema disminuye. Sustituyendo en (9.12'), resulta:

pero según la definición de entalpía H y asimilando el vapor de agua a un gas perfecto:

luego:

cuya integral es la politrópica:

con:

                                                                              (9.17)de modo que si se supone constante el coeficiente  a lo largo de toda la expansión, el proceso real se puede asimilar a una transformación politrópica con exponente dado por la relación (9.17).  

9.3.2 Curvas de Fanno:

En la figura 9.6, que es un diagrama T-S, se da una interesante representación de la expansión de vapor en tubos cilíndricos. Si partimos del estado 1, caracterizado por la entalpía H1, y velocidad inicial despreciable, cuando el vapor al expandirse pase a un estado cualquiera de entalpía H, se

tendrá  , y según la ecuación de continuidad  . Lo anterior independiente de las leyes de rozamiento sobre las paredes del tubo o tobera. Resulta de ambas ecuaciones que:

siendo k una constante si /G lo es. Para cada valor de G/ , o sea del caudal másico por unidad transversal, la ecuación  representará una curva en el plano T-S. Se obtiene así una curva que es la curva de Fanno correspondiente al valor dado de G/. Conviene advertir que dada una entalpía inicial H1, las curvas H=Cte. son también curvas C=Cte. Se puede demostrar que en los puntos tales como a, b,  c,  d en que las curvas de Fanno cortan a aquella para la cual:

las tangentes a dichas curvas son verticales, sin cambio en el sentido de la curvatura.  

Figura 9.6: Curvas de Fanno

Pero como todo proceso adiabático real va ligado a un aumento de entropía, las curvas de Fanno para tubo cilíndrico carecen de sentido físico mas allá de los puntos a, b, c,  d citados. De este modo la máxima velocidad que puede alcanzar el vapor al expandirse en tal tubo es la velocidad del sonido local.