Título original:

LA COMUNICACIÓN MATEMÁTICA, UN PROCESO DE DOBLE VÍA

Autor: PhD. ELISEO RAMÍREZ RINCÓN

ISBN: 978-1-945570-26-1

SELLO Editorial REDIPE (95857440)

Red de Pedagogía S.A.S. NIT: 900460139-2

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Carlos Arboleda A. Investigador Southern Connecticut State University (USA)

Rodrigo Ruay Garcés. Pedagogo chileno

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Los Editores no se pronuncian, ni expresan ni implícitamente, respecto a la exactitud de la información contenida en este libro, razón por la cual no puede asumir ningún tipo de responsabilidad en caso de error u omisión.

Red Iberoamericana de Pedagogíaeditorial@rediberoamericanadepedagogia.comwww.redipe.org

Impresión : 500 ejemplares

© 2017

Tabla de Contenido

IntroduccIón..........................................................................................Pag: 9

Estructura dEl lIbro

Capítulo I

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN.......................................PAG: 15

1.1 asPEcto EstudIado En la (Id).

1.2 dImEnsIonEs dE la (Id).

1.3 FasEs dE (Id)

Capítulo II.

2. GENERALIDADES DE LOS RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN.........................................................................PAG: 19

2.1 ¿cuálEs son los conFlIctos sEmIótIcos quE aParEcEn En El ProcEso comunIcatIvo dE los Puntos crítIcos?

2.2 objEtIvo gEnEral.

2.3 objEtIvos EsPEcíFIcos.

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Capítulo III.

3. FASE 1: ANÁLISIS PRELIMINARES, PLANEACIÓN, SELECCIÓN DE VARIABLES............................................................PAG: 21

3.1 EstudIo dE caso (PruEba dIagnóstIca)

3.2 valIdacIón dEl cuEstIonarIo

3.3 cuEstIonarIo dE PrEguntas, FasE 1.

3.3.1 Análisis de la Pregunta 1

3.3.2 Análisis de la Pregunta 2.

3.3.3 Análisis de la Pregunta 3.

3.3.4 Análisis de la Pregunta 4.

3.3.5 Análisis de la Pregunta 5.

3.3.6 Análisis de la pregunta 6

3.3.7 Análisis de la pregunta 7

3.3.8 Análisis de la pregunta 8.

3.3.9 Análisis de la pregunta 9

3.3.10 Análisis de la pregunta 10

3.3.11 Análisis de la pregunta 11

3.4 conclusIonEs dE la FasE 1.

Capítulo IV.

4. SEGUNDA FASE: CONCEPCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS.......................................................................................PAG: 39

4.1 dIsEño y análIsIs a PrIorI dE sItuacIonEs dIdáctIcas

4.1.1 Generalidades de la fase 2.

4.2 asPEctos gEnEralEs dE la sItuacIón dIdáctIca

4.3 PrImEra sItuacIón dIdáctIca ProPuEsta Para la FasE 2.

4.3.1 análasIs dE la PrImEra sItuacIón dIdáctIca, FasE 2.

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4.3.2 Análisis de respuestas

4.3.3 Condición 1. (Situación 1, de la fase 2).

4.3.3.1 Función lineal: (67.5%)

4.3.3.2 Un punto: (13.5%)

4.3.3.3 Función inversa PQ=I: (5.4%)

4.3.3.4 Línea recta con pendiente negativa: (4.0%).

4.3.3.5 Recta con pendiente cero: (2.7%)

4.3.3.6 Función inversa de la forma “I = aT” (con a constante y T tiempo en meses): (1.3%).

4.3.4 Condición 2. (Situación 1, de la fase 2).

4.3.4.1 Curvas de grado mayor o igual a 3: (32.4%)

4.3.4.2 Función lineal: (23.0%)

4.3.4.3 Recta: constante, con pendiente cero o infinita: (16.2%)

4.3.4.4 función inversa: I=PQ, con I constante: (4.0%).

4.3.4.5 Relaciones que no son funciones: (5.4%)

4.3.5 Conclusiones: primera situación didáctica de la fase 2.

4.4. sEgunda sItuacIón dIdáctIca ProPuEsta Para la FasE 2.

4.4.1 Análasis de la segunda situación didáctica, fase 2.

4.4.2 Teorema 1:

4.4.3 Generalidades de la situación dos, fase 2.

4.4.3.1 Muestreo aleatorio estratificado.

4.4.4 Análisis de respuestas al primer punto de la fase 2.

4.4.4.1 Conflictos semióticos debidos al lenguaje matemático:

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4.4.4.2 Conflictos semióticos generados por el saber matemático de los puntos críticos de una función de variable real:

4.4.4.3 Conflictos semióticos generados por los usos (pragmática) de los puntos críticos de un función:

4.4.5 Análisis de las respuestas al segundo punto de lafase 2 (situación 2).

4.4.6 Conclusiones de la situación dos, fase 2.

Capítulo V.

5. TERCERA FASE: EXPERIMENTACIÓN, DESARROLLODE LA INVESTIGACIÓN.....................................................................PAG: 65

5.1 ExPErImEntacIón y PráctIcas asocIadas.

5.1.1 Generalidades de la fase 3.

5.2 sItuacIón dIdáctIca, dE ExPErImEntacIón.

5.3 análIsIs dEl tallEr como sItuacIón ExPErImEntal.

5.4 análIsIs contablE dE la sItuacIón ExPErImEntal.

5.5 análIsIs matEmátIco dE la sItuacIón ExPErImEntal.

CAPÍTULO VI

6. IDEAS PREVIAS. CONCEPTOS GENERADORES DE

CONFLICTOS EPISTEMOLÓGICOS, COGNITIVOSY DIDÁCTICOS.........PAG: 75

6.1.1 El sIgno Igual (=)

6.2.1. númEros racIonalEs (q), y númEros IrracIonalEs (I).

6.2.2. númEros algEbraIcos y númEros trascEndEntEs.

6.2.3. cuadratura dEl círculo

Descripción del problema de la cuadratura del círculo.

ProPuEsta dIdáctIca Para construIr un cuadrado, dE árEa EquIvalEntE a la dE un círculo.

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Objetivo General

Específicos

· solucIón dEl ProblEma

· construccIón 2, cuadratura dEl círculo

· conFlIctos sEmIótIcos En la solucIón dE la cuadratura dEl círculo.

6.3 la rEcta:

6.3.1 rEctas ParalElas:

la gEomEtría EuclIdEana:

gEomEtría hIPErbólIca:

gEomEtría ElíPtIca:

la tangEntE En la matEmátIca grIEga:

métodos algEbraIcos Para hallar tangEntEs:

métodos InFInItEsImalIstas Para dEtErmInar tangEntEs:

ProcEsos dE varIacIón:

concEPcIonEs cInEmátIcas Para El trazado dE tangEntEs:

la dErIvada como cocIEntE dE dIFErEncIalEs:

ProcEsos dE varIacIón:

BIBLIOGRAFÍA................................................................................PAG: 117

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No podemos resolver problemas usando el mismo tipo de pensamiento que usamos cuando los creamos. Albert Einstein (1879-1955).

Introducción

Este libro presenta el resultado de la investigación “La comunicación de los puntos críticos de una función de variable real, como un proceso de doble vía”, realizada en la facultad de Ciencias Económicas, Administrativas y Contables de la universidad Libre de Bogotá, entre 2012 y 2014. En los primeros cinco capítulos se recogen las conclusiones de dicha investigación y en el sexto se proponen algunos conceptos matemáticos fundamentales, como ideas previas de la propuesta investigativa, cuyo desarrollo histórico-epistemológico revela algunas dificultades sufridas por los matemáticos de diferentes culturas y épocas. La importancia de estos conceptos (sexto capítulo) para la investigación, radica en que hacen parte de los fundamentos curriculares, tanto de estudiantes de la Básica y Media1, como de los primeros semestres de la universidad, y las ideas que sobre ellos hayan construido estos, contribuyeron en la configuración de los conflictos semióticos2 que se manifestaron en la investigación.

1 Según Estándares Básicos de Competencias (EBC), 2006 y Lineamientos Curriculares (LC), 1998 del MEN.2 Conflicto semiótico, entendido como: la diferencia de significados que tienen dos o más personas o instituciones sobre un conocimiento matemático, Godino y Batanero 1994, Ramírez 2012.

La Comunicación matemática,un proceso de doble vía

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El libro presenta una relación entre la conformación de ideas previas como conceptos fundamentales desarrollados por los estudiantes en los años de colegio, como por ejemplo la relación de equivalencia, los números racionales e irracionales, rectas…, que como ideas básicas contribuyeron para la comprensión de las estructuras algebráicas y el análisis (cálculo), al que pertenece el concepto tratado en la investigación. En este sentido en el sexto capítulo se intenta llamar la atención sobre la importancia de los significados ligados con sus representaciones y usos de conceptos matemáticos escolares.

La investigación consideró importante que todo proceso comunicativo de las matemáticas escolares requiere por lo menos de dos lenguajes distintos: el lenguaje cotidiano del estudiante (vernáculo, español en este caso) y el lenguaje matemático disciplinar. Éste último como función semiótica, en el que se consideran tres “aspectos” estrechamente relacionados entre sí, desde la perspectiva de D´Amore (2005): la sintáctica (representantes, significantes), la semántica (significados, representados) y la pragmática (usos, contexto cultural). La forma como se propongan las relaciones entre/con ellos en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas, determina niveles diferenciados en el proceso comunicativo3, respecto a los procesos generales de las matemáticas, tales como: escribir; razonar, modelar, comunicar, resolver problemas, leer, comprender textos matemáticos y científicos (Referentes de Calidad MEN4).

Lo anterior se sustenta a partir de los significados textuales y contextuales que del saber matemático escolar se puedan hacer, verbigracia el uso de algunos símbolos matemáticos que cambian sus significados dependiendo del dominio matemático en el que se encuentren, como el símbolo “=”, en aritmética es un resultado; 2+3=5, en álgebra puede ser una relación de equivalencia x+1 = z, y en cálculo puede ser una aproximación ∆x→0 (infinitésimo). Lo anterior puede generar conflictos semióticos de índole cognitivo en los estudiantes, que pueden estar asociados a conflictos didácticos (enseñanza) o epistemológicos (desarrollo histórico del conocimiento matemático) enmarcados en la relación tríadica entre el estudiante, profesor y saber matemático.

En dicha relación tríadica (profesor, estudiante, saber matemático); dentro de un

3 Esta fue la hipótesis de la investigación.4 Los referentes de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media, según el MEN; cuentan con documentos como: Orientaciones Pedagógicas, Lineamientos Curriculares (1998) y Estándares Básicos de com-petencia (2006).

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entorno cultural en el que se inserta el conocimiento matemático, con un lenguaje riguroso y formal, más preciso que cualquier otro, pero más limitado también (Bogomolny, 2010). Vale la pena subrayar que la escritura y la lectura de las matemáticas no corresponde al marco cultural de nuestros estudiantes (idioma español), porque los números se escriben de izquierda a derecha como el alfabeto, pero la lectura y significado en las operaciones se hace de derecha a izquierda. Los números racionales se pueden escribir como fracciones (quebrados), decimales finitos o periódicos infinitos; sin embargo, de acuerdo con algunas investigaciones locales y globales (ver trabajos en la Socioepistemología, y la Ontosemiótica,…), estas representaciones de los números racionales generan conflictos semióticos cuando en los estudiantes intentan diferenciarlos de los números irracionales; entre otras razones porque en ocasiones en los textos o en las clases se les indica que: tomen “π=3.14” o “g=10m/seg2”, pero no se les hace una aclaración previa de la aproximación que se está tomando para este caso particular, Ramírez (2012), Ospitaletche et al (2012). Los anteriores ejemplos son muestra de una comunicación parcial (una vía), que no favorece el aprendizaje de los estudiantes.

La comunicación como proceso a partir de Peirce (1986), desde la semiótica pragmática, permite entender el lenguaje desde la construcción tríadica de la sintaxis, semántica y pragmática, desbordando la otrora noción del mensaje o código, meramente estructural y sintáctico, cuyo efecto comunicativo en la enseñanza de las matemáticas ha repercutido en una excesiva carga en la enseñanza de estructuras algorítmicas (sintaxis) en detrimento de los significados y usos del saber matemático Ramírez (2012). La comunicación en Peirce es una teoría que dota de sentido al signo, como elemento fundamental de ésta, para la que además, no puede haber comunicación sin signo, así como tampoco puede existir alguna interpretación comunicativa sin ellos. Entre otras razones, porque como dice la teoría semiótica pragmática (de Peirce), el hombre también es un signo, ver por ejemplo Santaella (2001).

El presente libro no constituye un tratado sobre cómo enseñar, ni cómo aprender matemáticas; más bien propone articular la comunicación como campo semiótico, en un contexto cultural con la historia y la epistemología de algunos conceptos matemáticos fundamentales pero conflictivos, críticos y complejos que circulan en las aulas tanto de colegios como de universidades; algunas veces distorsionados o confusos como ideas previas, por ejemplo, la relación de equivalencia, los números trascendentes y algebraicos que como conceptos

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previos y fundamentales llaman la atención desde la comunicación a establecer entre el saber matemático, la educación como institución formadora, el profesor, los estudiantes y el lenguaje matemático; revisando (explorando) la evolución conceptual D´Amore (2006), asumiendo además que todo acto comunicativo puede generar intereses y necesidades por lo menos en lo cultural.

Estructura del libro

De acuerdo con la propuesta el libro consta de seis capítulos, como se dijo. Los cinco primeros se dedican a los resultados de la investigación. En el capítulo VI se proponen algunos conceptos fundamentales que, según los resultados de la investigación y su desarrollo histórico-epistemológico, son generadores de conflictos semióticos.

En el primer capítulo se presenta la ingeniería didáctica (ID) como metodología de la investigación (compuesta por cuatro fases), población, instrumentos, técnicas,y validación de pruebas de investigación. En el segundo se presentarán las generalidades de la investigación, el problema y los objetivos. En el tercero se exponen los resultados de la primera fase de la investigación (selección de variables), los resultados de la segunda fase (análisis a priori). En el cuarto capítulo la fase tres (de experimentación) de la investigación. En el quinto se propone la fase cuatro, en la que se articulan los resultados de las tres fases anteriores a través de un análisis aposteriori o conclusiones de la investigación.

En el capítulo cinco del libro se establecieron algunas relaciones de dependencia del saber enseñado (función derivada: puntos críticos); como resultado de las fases 2 y 3, de los saberes previos (fases 1 y 2). Las relaciones establecidas permitieron concluir que los conceptos matemáticos en general se asemejan a una red en la que los puntos de unión de la red (nodos) generan dependencias entre conceptos, y en la investigación realizada se pudo inferir que la dependencia que tuvo el saber enseñado “puntos críticos de una función” respecto a conceptos previos como sistemas numéricos, relaciones de equivalencia, rectas (función lineal),… influyó en los resultados. A partir de esto se pudo establecer que se presentó una fisura en la comunicación entre el saber a enseñar (saber institucional: Puntos críticos de una función) y el saber enseñado (lo que comprendió el estudiante) que generó conflictos semióticos a los estudiantes.

El capítulo sexto del libro, como ya se dijo, se articula con el análisis aposteriori o conclusiones de la investigación y en consecuencia está dedicado a conceptos

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matemáticos que fueron estudiados en el colegio (Educación Básica y Media), como referentes curriculares según los (EBC y LC) 5, siendo por lo tanto ffundamentales para el desarrollo de la investigación, como ideas previas de los estudiantes, las que además fueron generadoras de conflictos semióticos, por lo que vale la pena hacer una revisión histórica epistemológica a algunos de estos conceptos previos con el fin de establecer una ruta posible para entender sus relaciones y dificultades respecto a los puntos críticos de una función.

Es importante aclarar que no se profundizará en ninguno de los conceptos tratados en este capítulo, y más bien queda como un incentivo para que el lector interesado en ello lo haga. Así pues, se hará una breve recapitulación de algunos conceptos previos que fueron fundamentales en el desarrollo de la investigación, tales como: el signo, desde la teoría semiótica de Peirce (1986), como ejemplo matemático de estos, se escogió al signo = (“igual”), por su historia, importancia y confusión en el uso de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, en diversos dominios matemáticos como el aritmético, algebraico, geométrico, cálculo,…, que van desde la educación básica hasta la universitaria inclusive. También se propuso como concepto previo a los números irracionales por su complejidad y dificultad para entenderlos, particularmente los trascendentes como π (pi). Seguidamente, se revisa el concepto de recta, la cual no se ha podido definir rigurosamente y cuya complejidad ha dado apertura a las geometrías no euclideanas; se ilustrará su importancia a partir del V postulado de Euclides (s. III a. C.). Así mismo, a partir de lo anterior se contextualiza la recta tangente por su complejidad, importancia y aporte histórico en el desarrollo del cálculo o análisis, en donde confluyen las nociones de infinitésimos y variables. Por último, se hace una revisión breve de la derivada en un punto y la función derivada, que por su complejidad y dificultad ha sido objeto de diversas investigaciones como las de Artigue (1998), Cantoral y Farfán (2005), Ramírez (2007), Díaz et al (2008),…, y en las que muestran que los dos conceptos son vistos por los estudiantes como equivalentes.

De otra parte, es relevante que este libro resultado de investigación, historia y epistemología de las matemáticas, cumpla con el objetivo principal de establecer una comunicación entre el autor y el lector sobre los referentes matemáticos tratados, de acuerdo con la investigación realizada. Es evidente también que las posturas epistemológicas que subyacen a cada concepto tratado han permitido

5 Estándares Básicos de competencias (2006) y Lineamientos curriculares (1998), documentos emana-dos por el Ministerio de Educación Nacional (MEN).

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su construcción social. En todo caso, lo que se escribe en este libro corresponde a una interpretación del autor a partir de evidencias de la investigación y de la historia de algunos conceptos fundamentales de las matemáticas en lo escolar, recabada de fuentes primarias y secundarias.

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Metodología de la investigación

CAPÍTULO

I

Resultados de la investigación: “La comunicación de los puntos críticos de una función de variable real, como un proceso de doble vía” 6

La investigación se propuso con una ingeniería didáctica (Artigue, 1995), como metodología de investigación, compuesta por cuatro fases. Cada fase se trabajó en un semestre académico, con grupos diferentes de estudiantes a partir del primero, porque, los estudiantes que integraron los grupos (cursos de matemáticas) siempre se cambiaron en cada semestre, ya fuera por decisión propia o por disposición administrativa de horarios de la facultad. Por lo tanto, en el diseño de la ingeniería didáctica, se adoptó cuando fue necesario, un muestreo probabilístico aleatorio simple estratificado o no probabilístico estratificado por conveniencia, en cada caso se explicará la situación, en el capítulo correspondiente. Las muestras se eligieron de acuerdo con la fase y con los objetivos de la investigación, en un tema que de acuerdo con investigaciones como las de Artigue et al (1995), Artigue (1998), Cantoral y Farfán (2000), Ramírez (2012) y otros; ha sido y es conflictivo tanto para enseñarlo como para aprenderlo y que por lo tanto en esta investigación fue importante también revisar las ideas previas de los estudiantes, por ser parte de la problemática estudiada.

1.1 Aspecto estudiado en la (ID).

El papel de las prácticas investigativas en clase, orientado por el registro de los

6 Investigación realizada en el grupo de investigación DIMATES-FCEAC (Facultad de ciencias Económi-cas, Administrativas y contables).

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estudios de caso y por la validación que es esencialmente interna, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori, a través de la triangulación Estudiante-Profesor-Investigador y de éstos a su vez, con un investigador externo. En cada fase se hizo esta confrontación, que permitió depurar la información procesada y los resultados, en cuestión, además se validaron los cuestionarios con grupos homólogos de estudiantes.

La (ID) se centró, tanto en las propuestas pedagógicas basadas en investigaciones previas sobre este referente, como en las metodologías específicas de dichas investigaciones. Esto permitió que la (ID) se la pudiera asumir en sí, como una metodología de investigación, dado que toda ingeniería didáctica, se caracteriza por: a) procurar un sistema experimental basado en las realizaciones didácticas en clase y b) llevar un registro de estudios de caso cuya validación se base en la confrontación de análisis a priori y a posteriori, cuyos objetivos puedan ser diversos (Artigue et al, 1995).

1.2 Dimensiones de la (ID).

1. Dimensión epistemológica: asociada a las características del saber a comunicar, en este caso, el de los puntos críticos de una función y su lenguaje en las prácticas de la matemática escolar, de igual manera a las ideas previas como; relación de equivalencia, función, rectas, derivada y función derivada, que conforman parte de la red conceptual del saber de estudio.

2. Dimensión cognitiva: asociada a las características cognitivas de los estudiantes a quienes se dirigió la enseñanza, es decir a la persona que aprende, en sus dimensiones ética, social, cultural y psicológica. En este caso particular, los estudiantes de los diferentes grupos que hicieron parte de la investigación, estaban matriculados en la FCEAC, en el programa de Contaduría, y según registros de la facultad el nivel socioeconómico correspondía a los estratos 2 y 3. Otro aspecto relevante a destacar es el puntaje obtenido en las pruebas de estado, en el área de matemáticas (ICFES-SABER PRE), las cuales estaban en el nivel básico.

3. Dimensión didáctica: asociada a las características del funcionamiento del sistema de enseñanza. En este sentido se propuso en la (ID) que la comunicación de significados, representaciones y usos de los puntos críticos de una función; debían corresponder a un proceso comunicativo de doble vía: profesor-estudiante y estudiante-profesor mediados por la cultura, que en este

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caso correspondió a la de la facultad. Los estudiantes, asistían a cuatro horas de clases presenciales de matemáticas en la semana y a tutorías, como disposición curricular del programa en esta área (fundamentos y cálculo).

1.3 Fases de (ID)

La investigación basada en una (ID) propone 4 fases (Artigue et al, 1995), que para efectos del trabajo se reconocieron así:

1. Planeación: contempló el análisis de cuestiones epistemológicas, curriculares, contextuales en el ámbito social, escolar, económico, institucional,... con el fin de determinar las variables de la investigación. En este caso se tuvo en cuenta las ideas previas de los estudiantes según los (EBC y LC)7, como marco legal institucional de referencia.

2. Diseño de las situaciones didácticas: Se propusieron dos situaciones específicas y con ellas se obtuvo una visión a priori del quehacer del estudiante en el desarrollo del saber, sobre el que se quería indagar; de los puntos críticos de una función de variable real, así como de las posibles variables que intervendrían en el proceso. Las dos situaciones didácticas fueron, en su orden: 1. El ingreso mensual obtenido por una empresa en el año 2012, en la que debían graficar, según los datos y preguntas dadas 2. Medir los ingresos máximos de una empresa a partir de una información dada en una gráfica.

3. Desarrollo o experimentación. Se puso en juego lo planeado en las dos fases anteriores, al tiempo que se procuró observar y detallar el proceso educativo de los estudiantes de la facultad de la mejor manera posible. En este sentido se eligió un grupo de estudiantes de sexto semestre, para verificar qué y cómo aplicaban los conceptos de puntos críticos (máximos, mínimos,…) de una función en el área contable, “ASIGNATURA: NORMAS INTERNACIONALES Y ARMONIZACION CONTABLE”

4. Evaluación. Se realizó un análisis entre lo planeado y lo obtenido con el fin de encontrar la forma de validar la investigación en sí. En este referente se revisaron algunos conceptos fundamentales, de acuerdo con (EBC y LC) que como ideas previas de los estudiantes pueden incidir en el aprendizaje de nuevos conceptos matemáticos como el de los puntos críticos de una función.

7 Estándares Básicos de competencias y Lineamientos Curriculares, según el MEN.

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La ingeniería didáctica, en cada una de las tres primeras fases, tuvo en cuenta un instrumento de planeación de las actividades correspondientes, con el fin de reconocer las características del grupo de estudiantes, a partir de cuyo conocimiento se pudo lograr un diseño metodológico más pertinente y ajustado; por el aporte sobre el saber situado, la consideración de la integralidad del ser que aprende y la posibilidad que permitió para hacer el seguimiento y evaluación de resultados.

El trabajo se enmarcó en una estrategia de investigación cuantitativa-cualitativa, de acuerdo con las variables de investigación en cada fase, como un estudio de caso, porque interesaba determinar de una parte; cómo se afecta el proceso comunicativo en los procesos de enseñanza y aprendizaje de los puntos críticos de una función de variable real, en los estudiantes de la facultad ya descrita, teniendo en cuenta la incidencia de los saberes previos, lenguaje, intereses,… en el aprendizaje del conocimiento matemático en cuestión. Se prestó atención a la posible incidencia que en los conflictos semióticos de los estudiantes tuviera la relación entre el lenguaje materno (español) y el lenguaje matemático (formal y riguroso) como eje central de la comunicación del saber matemático en el aula y, a pesar de no poder hacer el estudio con una población fija, por las características ya descritas de la investigación, la cual exigió hacer seguimiento a estudiantes en semestres diferentes (fundamentos, primer semestre; cálculo, segundo semestre y aplicaciones sexto semestre). Respecto a la posibilidad de revisar la comunicación desde la postura del profesor fue muy difícil, porque la mayoría no permitió la observación directa, así como tampoco el sometimiento de cuestionarios talleres de trabajo a un análisis riguroso desde el punto de vista de esta investigación. Por lo anterior la información que se recabó respecto a este referente comunicativo, fue limitado y escaso.

La (ID), con la cual se hizo el trabajo correspondió al nivel de micro-ingeniería porque la investigación centró su atención en un concepto único, a pesar que se revisaron conceptos previos y situaciones de aplicación, además porque la investigación fue local y se tuvo en cuenta la complejidad de los fenómenos en el aula. De acuerdo con las cuatro fases que la caracterizaron, se presentó el proceso investigativo así.

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Generalidades de los resultados de la investigación

CAPÍTULO

II

Asumiendo la complejidad de los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas, en los que la comunicación es fundamental pero puede ser conflictiva, por la naturaleza de su lenguaje (español – matemático y viceversa) y los mediadores culturales (saberes previos, costumbres, usos, intereses personales, motivación,…), en la investigación se propuso estudiarla (la comunicación) como un proceso que vincula tanto al profesor como al estudiante, en el sentido del diálogo que se establece entre ambos en un marco cultural, para compartir un saber matemático como el de los puntos críticos de una función de variable real y que por lo tanto requiere de unos saberes previos básicos, a partir de los cuales se pueda establecer un marco común de partida. Este marco común, correspondió a conceptos fundamentales propuestos por los Estándares Básicos de Competencias (2006) y los Lineamientos Curriculares (1998) del MEN. En la investigación se encontró que los estudiantes cuyas ideas previas (números racionales e irracionales, relaciones, recta, funciones,…) eran parciales (presentaban errores conceptuales), manifestaron conflictos semióticos en la investigación.

En la investigación se expuso la problemática ligada al título, la cual se exploró a través de una revisión bibliográfica de antecedentes globales, nacionales y locales con el fin de ubicar la problemática en estos contextos, así como sus metodologías de investigación. Dicha exploración evidenció algunas dificultades que tuvieron los estudiantes con el lenguaje matemático, lo cual motivó a esta investigación a centrar la atención en la comunicación en dos sentidos; el de

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enseñar y el de aprender, de acuerdo con la consideración, que la comunicación del saber matemático tiene por lo menos dos lenguajes diferentes el matemático y el del estudiante.

En la investigación se tuvo en cuenta el lenguaje (matemático y del estudiante) como una función semiótica en el proceso comunicativo. A partir de esta exploración de antecedentes, en la que se evidenció que la comunicación del saber matemático genera conflictos (al enseñar y aprender), por su lenguaje formal, por deficiencias en los saberes previos, por factores culturales,… De otra parte, como no era posible hacer una revisión exhaustiva, sobre los saberes previos, así como tampoco sobre el saber a enseñar (para un semestre), se eligió un concepto, el de “puntos críticos de una función de variable real” muy complejo y reportado en diversas investigaciones como conflictivo, alrededor de éste (como una red conceptual), se formuló una pregunta de investigación, la cual fue.

2.1 ¿Cuáles son los conflictos semióticos que aparecen en el proceso comunicativo de los puntos críticos?

Para dar solución a la pregunta se plantearon los siguientes objetivos.

2.2 Objetivo General.

Determinar los conflictos semióticos generados por el lenguaje de los puntos críticos de una función de variable real, que dificultan el proceso comunicativo, en los procesos de enseñanza y aprendizaje.

2.3 Objetivos Específicos.

2.3.1. Identificar los conflictos semióticos que el lenguaje matemático de los puntos críticos, genera a los estudiantes.

2.3.2. Identificar los conflictos semióticos que se generan en el cambio de lenguaje matemático a natural (español), en los puntos críticos de una función.

2.3.3. Caracterizar los conflictos semióticos hallados en 2.3.1 y 2.3.2.

2.3.4. Proponer una solución como alternativa para minimizar los efectos de los conflictos semióticos en el proceso comunicativo de los puntos críticos.

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Los saberes previos considerados por la investigación, correspondieron a los contemplados en la asignatura fundamentos de matemáticas, que es un curso del primer semestre y está contemplada en el plan de estudios, antes que la de cálculo (segundo semestre). De acuerdo con el programa oficial de la asignatura, para la primera fase de la investigación8 se preparó un cuestionario de preguntas con ítem cerrado, que vincula algunos de los procesos generales (comunicación, razonamiento, resolución de problemas, algoritmación y modelación) contemplados por el MEN, en los Estándares Básicos de Competencias (EBC) y en los Lineamientos Curriculares (LC) para el área de matemáticas de la Educación Básica y Media (colegios), con el fin de determinar el nivel de desempeño de los estudiantes, respecto a los saberes previos.

El cuestionario tuvo 11 preguntas, cada una con cuatro (4) opciones de respuesta, una de ellas respondía a la pregunta en cuestión. El cuestionario fue validado con un grupo de estudiantes de otra universidad del programa de contaduría, que cursaba una asignatura equivalente a la de fundamentos de matemáticas y después de analizar los resultados del grupo que sirvió para validar la prueba, se hicieron los ajustes a la prueba, para ser aplicada al grupo objeto de la investigación (un curso de Fundamentos, elegido al azar de cuatro posibles) y en consecuencia se propuso arbitrariamente a uno de ellos como 8 Segundo semestre de 2012.

Fase 1: Análisis preliminares,planeación, selección de variables

CAPÍTULO

III

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estudio de caso, para explorar en el segundo semestre en cálculo el impacto de estos saberes previos, particularmente en el tema de los puntos críticos y poder realizar un muestreo por conveniencia; dado que algunos estudiantes pierden la asignatura de fundamentos, tienen que aplazar el semestre o simplemente quedan en grupos diferentes en cálculo. El seguimiento en cálculo se hizo con algunos de los estudiantes ubicados en tres grupos diferentes.

3.1 Estudio de caso (prueba diagnóstica)

Dada la dificultad de conocer la población total de estudiantes (por ser inicio de semestre académico) y teniendo en cuenta el tiempo limitado para realizar la prueba diagnóstica, se optó por aplicar el cuestionario a un grupo (curso) de estudiantes de fundamentos.

3.2 Validación del cuestionario

El cuestionario fue validado a través de un grupo de referencia con estudiantes en condiciones similares al de esta investigación y por tres expertos en didáctica de la matemática. Los resultados obtenidos del grupo de referencia evidenciaron dificultades similares a las del grupo base de esta fase de la investigación.

3.3 Cuestionario de preguntas, fase 1.

Las once preguntas incluyeron al proceso general de comunicación (en lenguaje matemático) y otros de los procesos generales (EBC y LC) que se describirán según el análisis de cada pregunta. Otro aspecto a tener en cuenta en el análisis de cada pregunta e ítem de respuesta, corresponde a que en una tabla se presenta en general el comportamiento de las respuestas dadas por los estudiantes a cada pregunta y los procesos generales asociados. En una gráfica se detalla el comportamiento de las respuestas dadas por los estudiantes a cada pregunta, según las opciones e inclusive si no marcaron ninguna de ellas, en alguna pregunta.

El cuestionario respondió a la primera fase de investigación llamada, planeación de la ingeniería didáctica, con el fin de ubicar las variables y el contexto de los saberes previos de los estudiantes, que permitieron responder los objetivos planteados en el estudio investigativo.

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Teniendo en cuenta la complejidad del proceso comunicativo de los puntos críticos de una función como red conceptual; desde las implicaciones cognitiva, didáctica, cultural y epistemológica. Se eligieron las variables para ser estudiadas en la investigación, a partir de los conocimientos con los que ingresan los estudiantes a la universidad y que por ende hacen tránsito en la institución en los primeros semestres, desde la estabilidad de estos saberes previos en diversos contextos (matemáticas, otras ciencias, otras disciplinas y cotidiano). Los conocimientos con los que ingresan los estudiantes a la universidad, hacen tránsito en la institución en los primeros semestres, estabilizándose como saberes previos. De acuerdo con el análisis hecho al cuestionario, se encontraron las siguientes variables para este estudio: Lectura de textos matemáticos (Símbolos, modelación matemática) y comprensión de significados (conjuntos numéricos, propiedades, operaciones,…). A partir de estas dos variables, se construyó la segunda fase de la investigación, llamada “diseño y análisis a priori de situaciones didácticas”.

3.3.1 Análisis de la Pregunta 1

Si p es un número impar y q es un número par. La opción que determina un número impar, es: A. pq B. 5pq + q C. p + 5q D. 3pq – q

Esta pregunta se propuso para revisar las ideas que sobre números pares e impares tienen los estudiantes asociadas, a las operaciones básicas. Así, las opciones A, B y D determinan números pares indistintamente, porque el producto entre pq es siempre par y la suma o resta de dos números pares es siempre par.

La opción C, responde a la pregunta y el razonamiento debe incluir que si a un número par se le suma (o resta) un impar, su resultado será siempre impar.

Tabla 1 Análisis pregunta 1.CORRECTAS INCORRECTAS % CORRECTAS PROCESO GENERAL14 10 58 RAZONAMIENTO

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Según los porcentajes de las opciones de respuesta en la gráfica 1, se observa que, en general hubo acierto y por lo tanto los procesos de comunicación y razonamiento (intuitivo, inductivo, deductivo y lógico) permitieron a los estudiantes deducir la respuesta. Sin embargo el 42%, tiene dificultades con el proceso de razonamiento y esto puede ser porque no hay claridad sobre los significados de los números pares e impares o porque el proceso de comunicación entre el lenguaje matemático y español no fue posible por la dificultad para entender los símbolos matemáticos.

3.3.2 Análisis de la Pregunta 2.

Entre 100 personas se reparten fichas azules, blancas y rojas. 45 personas reciben rojas, otras 45 reciben blancas, 60 personas reciben azules, 15 reciben rojas y blancas, 25 reciben blancas y azules, 20 reciben rojas y azules y 5 reciben de los tres colores. Las personas que no reciben fichas son A. 5 B. 10 C. 20 D. 30

Los conceptos que se propusieron en esta pregunta fueron tomados de las nociones básicas de la teoría de conjuntos (diferencia, unión e intersección) y se pretendía en este sentido presentarlos a través de un contexto cotidiano, para determinar las inferencias que al respecto hacían los estudiantes. Además del proceso general de comunicación, se enfatizó en los de razonamiento (intuitivo, inductivo, deductivo y lógico) y en el de modelación de las estructuras de unión, intersección y diferencia de conjuntos finitos. Las opciones A, B y D se propusieron a partir de algunas formas arbitrarias de operar con los datos dados.

Tabla 2 Análisis pregunta 2.Correctas Incorrectas %

correctasProceso general

6 18 25-Razonamiento-Modelación-Resolución de problemas

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En la tabla 2, se puede observar que el 75% de los estudiantes marcaron una opción diferente a la que respondía a la pregunta planteada en la situación y esto ratifica que, a pesar que los programas oficiales de estudio contemplan a los conjuntos como un contenido importante, éste no es comprendido por los estudiantes en contextos como el planteado, en la situación propuesta. El 21% no marcó ninguna opción de respuesta y esto contribuye a reflejar la complejidad del tema (conjuntos) para los estudiantes.

Es importante señalar, que la complejidad de la teoría de conjuntos tiene que ver con el desarrollo y ruptura epistemológica de esta teoría en el s. XIX, a través de los trabajos del matemático alemán Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), con el que se logró eliminar las paradojas de los conjuntos, como la famosa paradoja de Bertrand Russell (1901), quien propuso la siguiente: El único barbero de una ciudad, dice que afeitará a todos los hombres que no se afeiten a sí mismos. La pregunta es ¿Quién afeitará al propio barbero?, porque si no se afeita a sí mismo, será uno de los hombres de la ciudad que no se afeita a sí mismo, por lo tanto podría afeitarse dado que él es el barbero, pero al afeitarse así mismo, no podría afeitarlo el barbero, es decir él. Las paradojas son aquellas que se enuncian como ciertas, pero conducen a falacias, porque se contradicen.

3.3.3 Análisis de la Pregunta 3.

Si se duplica la expresión 24 se obtiene A. 25 B. 28 C. 45 D. 48

La situación está planteada a partir de un contexto numérico, para revisar las ideas que sobre potenciación tenían los estudiantes.

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Tabla 3 Análisis pregunta 3.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

3 21 12

-Razonamiento

-Modelación

- Algorítmico

Según tabla y gráfica de la pregunta 3, se puede observar que en general hubo dificultades para responder esta pregunta, sobre potenciación de números naturales, que pretendía evaluar un producto entre bases iguales (21 y 24), así como los significados asociados a los elementos que la componen; base, exponente (potencia) y potenciación. El 88% no respondió adecuadamente esta pregunta y en este sentido se puede decir que la comunicación entre el lenguaje matemático y el lenguaje español de los estudiantes presentó conflictos semióticos. De otra parte, las propiedades y los significados de ésta operación, también fueron conflictivos para ellos. El contexto matemático, pudo también influir en estas dificultades y en general los procesos propuestos para evaluar la pregunta; comunicación, razonamiento, modelación y algorítmico estuvieron ausentes según las respuestas dadas.

En la gráfica 3, se observa que el 67% consideró como verdadera la opción (D), es decir que al duplicar la expresión se duplicaba tanto la base como el exponente, lo cual refleja que la operación hecha, fue como un producto usual de números naturales.

3.3.4 Análisis de la Pregunta 4.

Si se sabe que x es un entero múltiplo de 3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un múltiplo de 3?

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I. x3

II. 12x

III. x + 27

A. I y II B. II y III C. I y III D. I, II y III

La situación se presenta en un contexto de la matemática básica, que pretendía evaluar el concepto de múltiplo de un número (natural o entero positivo).

Tabla 4. Análisis pregunta 4.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

13 11 54

-Razonamiento

-Modelación

- Algorítmico

En la tabla 4, se deduce que para el 46%, hubo dificultad para responder adecuadamente a la pregunta. El lenguaje de la pregunta generó conflictos semióticos a los estudiantes, porque su estructura algebraica exigía deducir la respuesta a partir de razonamientos (intuitivo, inductivo y deductivo); el modelo matemático en el que se expresaron las opciones (I, II y III), pudo dificultar su lectura. De otra parte, se observa que en general el concepto de múltiplo de un número fue generador de conflictos cognitivos, ya sea porque no recordaron su significado o porque no lo sabían; pero se refleja también la dificultad para elaborar un razonamiento que les permitiera hallar una respuesta, por ensayo y error por ejemplo.

En la gráfica 4, se establece la relación de respuestas en porcentaje a cada ítem.

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Los cuatro ítem son ciertos, pero el que mejor responde a la pregunta es el ítem del numeral D. Para el (46%) fue conflictivo, 11 estudiantes. Por alguna razón descartaron una de las opciones válidas (I, II o III). En particular la opción de mayor dificultad para analizar como un múltiplo de 3, fue x3

3.3.5 Análisis de la Pregunta 5.

Si al producto de 3 por -3 se le resta el producto de 5 por -5. El resultado es

A. -34 B. -16 C. 34 D. 16

La situación describe la diferencia entre dos productos de números enteros. A partir de estas dos operaciones básicas, se pretendía que los estudiantes las realizarán y establecieran el orden en cada una de ellas a través del proceso de razonamiento (inductivo-deductivo), para encontrar la respuesta.

Tabla 5. Análisis pregunta 5.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

7 17 29

-Modelación

-Razonamiento

- Algorítmico

En la gráfica y tabla de la pregunta 5, se observa que menos del 30% de los estudiantes contestó acertadamente a esta pregunta y se evidencian las dificultades en situaciones que como esta deben atender a dos estructuras distintas (multiplicativa-aditiva) siguiendo un orden.

Se detallan las respuestas a cada ítem; de éstas se observa que las opciones

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A, B y D fueron las de mayor interés y a partir de esto se puede decir que para determinar la opción A, sumaron los dos productos (positivos); para la opción B, diferenciaron los productos de las dos estructuras, pero invirtieron el orden (9-25=-16) y la D, que es la opción correcta, multiplicaron y diferenciaron los productos en el orden indicado.

3.3.6 Análisis de la pregunta 6

Se reparten m, artículos entre p y q. A p, le corresponde el doble de lo que recibe q. La tercera parte del total de los artículos es 27. El número de artículos que recibió p, es

A. 27 B. 54 C. 81 D. 108

La situación está planteada en un contexto cotidiano de la fracción como parte de todo y en ese sentido hay que modelar la situación con fracciones; para ello deben poner en juego los procesos generales con los conocimientos básicos de los números racionales.

Tabla 6. Análisis pregunta 6.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

13 11 54

-Modelación

-Razonamiento

- Algorítmico

-Resolución de problemas

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En la gráfica y tabla de la pregunta 6, se presentan los resultados de las respuestas dadas. En ellas se observa, que el 54% respondió acertadamente a la pregunta; sin embargo fue significativo el porcentaje de estudiantes que tuvo dificultades para hacerlo y pudo ser a causa del lenguaje matemático, a deficiencias en saberes previos sobre los significados de la fracción, a la representación numérica de los números racionales y a la forma como afrontaron la situación respecto a los procesos generales, por ejemplo el 34% dio como cierta la opción C (81 artículos), sin percatarse que no podía ser el doble de lo que recibió el otro, porque se está hablando de artículos. Se evidencian también dificultades para interpretar y modelar la situación.

De la gráfica 6, se deduce que las opciones B (correcta) y C fueron las más marcadas. Esto pudo deberse a que en C, restaron del total de artículos (108- 27=81) los 27 que eran la tercera parte de ellos.

3.3.7 Análisis de la pregunta 7

Si a = 22, entonces también lo es

I) a2 = 2a

II) a2 / 2 = a

III) (a + 1)2 = 10

A. I B. II C. III D. I, II y III

La situación propuesta para esta pregunta, corresponde a un contexto matemático, sobre la relación de equivalencia entre una letra como incógnita (único valor) y la segunda potencia de 2. Se pretendía evaluar en la pregunta la forma como se asumía la equivalencia dada, para encontrar la mejor solución. En este sentido debían deducir de la situación dada el valor de la letra, para luego buscar en las opciones dadas su equivalente o también verificar la igualdad dada, en cada una de las tres opciones (I, II o III)

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Tabla 7. Análisis pregunta 7.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

7 17 29

-Razonamiento

- Algorítmico

-Comunicación

De acuerdo con la gráfica y tabla de la pregunta 7, el 71% de los estudiantes tuvo dificultades al responder la pregunta y estas pudieron presentarse por el lenguaje matemático que dificultó su lectura y comprensión; por la falta de significados asociados a los saberes previos sobre la potenciación como operación y la relación de equivalencia.

De acuerdo con la gráfica 7, en la que se discriminan las respuestas dadas a cada ítem de la pregunta; se observa la tendencia en general de marcar la opción B; de acuerdo con ella, asumieron que a=4, (2x2) y que 42 = 8, (4x2) de donde 8/2= 4; lo que indica que la potenciación fue entendida por este grupo de estudiantes como un producto usual. Algo similar ocurrió con el grupo de estudiantes (4) que marcaron la opción C, porque entendieron que (a+1)= 5 y 52=10, (5x2). Se hacen evidentes las dificultades en la estructura multiplicativa, particularmente en los fundamentos de ésta.

3.3.8 Análisis de la pregunta 8.

Una máquina produce artículos así: de lunes a viernes m, por día; el sábado n, y el domingo p. La expresión que representa la producción de dos semanas es

A. 2(m + n + p) B. 2(5m + n + p) C. 5m + 2n +p D. 10m + 2n + p

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La situación de la pregunta se propuso en un contexto cotidiano. En ella se pretendía evaluar la forma como los estudiantes interpretaban un enunciado del que debían modelar el evento a partir de variables.

Tabla 8. Análisis pregunta 8.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

14 10 59

-Razonamiento

-Modelación

-Algorítmico

En la gráfica y tabla de la pregunta 8, se detalla el comportamiento general de las respuestas dadas por el grupo de estudiantes. El 41%, marcó una opción distinta a la que modelaba el problema. Se refleja el comportamiento de marcación de los ítem, en los que la tendencia de elección fue en su orden B y A. El ítem B, corresponde a la respuesta que modela el problema propuesto y el ítem A, determina que no fue entendida la indicación de que m, representa un día de la semana de lunes a viernes (5 por cada semana).

3.3.9 Análisis de la pregunta 9

Entre los números 8, 1/6, 4, 3/4, 5, 1/2, 7, 1/9. El que ocupa el quinto lugar en orden decreciente es.

A. 5 B. 3/4 C. 1/2 D. 4

La situación estaba propuesta en un contexto matemático, sobre el orden de los números racionales positivos. Se quería determinar cómo ordenaban algunos números racionales de mayor a menor, en los que había fracciones con

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denominadores distintos, así como números enteros.

Tabla 9. Análisis pregunta 9.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

8 16 33-Razonamiento

-Modelación

En la gráfica y tabla de la pregunta 9, se infiere que fue muy conflictiva, dado que el 67% marcó una opción que no respondía a la pregunta. Es clara la tendencia de marcar los ítem B y C; siendo el B el correcto (8) y el C el más marcado por el grupo en cuestión (10); lo que indica que para este grupo de estudiantes es mayor ½ que ¾, lo cual refleja la dificultad de leer y asignar equivalencias a las fracciones como parte de la unidad. 3, estudiantes marcaron la opción A y tres la D, las cuales determinan números enteros (5 y 4) respectivamente, lo que evidencia una mayor dificultad para comparar números racionales o porque confundieron la indicación decreciente con creciente o porque no reconocieron la relación de orden de estos números, por ejemplo a través de la relación numerador- denominador, tampoco intentaron ubicarlos en una recta numérica (relación de equivalencia) para determinar su orden.

3.3.10 Análisis de la pregunta 10

De un colegio el 84% de los estudiantes salieron, y se quedaron en él 20 alumnos. El número de estudiantes que salió del colegio fué

A. 16 B. 105 C. 100 D. 84

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La situación corresponde a un contexto cotidiano, en ella se quiso evaluar las ideas que sobre proporción simple directa tenían los estudiantes. Se planteó con dos partes, una en porcentaje y la otra con un número entero. A partir de ellas se esperaba que los estudiantes relacionaran los datos a través de una proporción simple directa de la forma (regla de tres).

Tabla 10. Análisis pregunta 10.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

11 13 46

-Razonamiento

-Modelación

-Algorítmico

-Resolución de problemas

Según la gráfica de la pregunta 10, para el 64% del grupo hubo dificultades al responder correctamente a la pregunta planteada y esto pudo deberse a los saberes previos sobre razones y proporciones, en los que los significados no son claros para ellos, otro aspecto a tener en cuenta fue la dificultad para hacer la interpretación a través de la lectura de la situación, que les permitiera razonar mediante un proceso intuitivo y lógico, para establecer la relación de porcentajes.

En la gráfica 10, se observa que el grupo que marcó la opción A, no tuvo en cuenta que el porcentaje de estudiantes que salió fue mayor que el de los que se quedaron en el colegio y por ende el número de alumnos que salió debió ser mayor de 20. El grupo que marcó la opción C, asumió que el 84% era 5 veces más que el 16%, con lo que determinaron que 5 veces 20, fueron los estudiantes que salieron del colegio.

X 20___ = ___ 84 16

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3.3.11 Análisis de la pregunta 11

El valor de x en la ecuación (1 + x)2 = (1 – x)2 es

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

La situación está planteada en un contexto matemático sobre ecuaciones y se pretendía evaluar la forma como los estudiantes encontraban el valor de la incógnita x, para que la relación de equivalencia se cumpliera, ya sea reemplazando los valores dados como solución en ambas partes de la ecuación o usando propiedades para ello.

Tabla 11. Análisis pregunta 11.Correctas Incorrectas % correctas Proceso general

14 10 59-Razonamiento

-Algorítmico

En la tabla y gráfica de la pregunta 11, se observa que la situación presentó dificultad para el 41%, dado que el 59% respondió otra opción diferente a la correcta. Se infiere que en general hay dificultades con los saberes previos para resolver ecuaciones, ya sea porque la lectura en lenguaje matemático se les dificultó, por falencias en las propiedades de potenciación, reemplazamiento de valores, la ecuación como una relación de equivalencia,… o porque el nivel de razonamiento es deficiente.

En la gráfica 11, se discriminan las respuestas dadas por el grupo a cada ítem; en ésta se lee que las opciones A y B fueron las más marcadas, siendo A la correcta y B proponía que x=1, resolvía la ecuación; al marcar esta opción no se reemplazó el valor de x en la ecuación y por ende se asume que fue resuelta

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únicamente la parte derecha de la ecuación (ecuación como resultado) y no se interesaron por la igualdad, con lo que se evidencian dificultades con la relación de equivalencia; o se determinó la opción B arbitrariamente. Este hecho (marcar B) refleja la dificultad para comprender que la división por cero es una indeterminación, dado que si en ambas partes de la igualdad se divide por (x-1), siendo x=1, su resultado es cero y es un conflicto semiótico producido al entender las ecuaciones parcialmente, es decir asumir la parte derecha de la ecuación como un resultado.

3.4 Conclusiones de la fase 1.

En este trabajo se consideró de gran importancia el proceso general de comunicación según (EBC y LC), a partir del cual se observaron los conflictos semióticos de los estudiantes, porque los significados y la sintaxis de las expresiones o textos presentados en las once situaciones del cuestionario, reflejaron vacíos en la lectura comprensiva hecha. Dado que la comunicación de las situaciones se propuso a través de algunos contextos (matemático, cotidiano, de otras ciencias), se observó que los de contexto matemático presentaron mayor dificultad en el proceso comunicativo de saberes previos y resolución de situaciones, debido a su simbología (sintaxis) y al poco reconocimiento respecto a los significados asociados, así como a los usos o aplicaciones de estos.

Las once situaciones propuestas, estuvieron enmarcadas en saberes previos como ideas básicas de: conjuntos numéricos (N, Z y Q) y algunas propiedades de estos, nociones de conjuntos (unión, intersección y diferencia), potenciación, números pares e impares, ecuaciones, propiedades del producto entre enteros, múltiplo de un número entero, orden de los racionales, relaciones de orden y equivalencia, recta numérica,…. A partir de las respuestas dadas por el grupo, se detectó que dichos saberes previos están constituidos como ideas vagas y carentes de significados en general, que por lo tanto no permitieron al grupo, desarrollar estrategias en torno a los procesos generales (razonamiento, modelación, resolución de problemas y algoritmación) y los conceptos fundamentales propuestos en el cuestionario, que al ser básicos en la educación escolar de los colegios, se deberían reflejar (en un nivel aceptable) en las respuestas dadas.

Cada pregunta, su respectivo contexto, los procesos generales y saberes previos que circulan a través de ellas fueron previamente analizados para

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elaborar el cuestionario que se propuso en la primera fase y además se tuvo en cuenta también el programa oficial del área de matemáticas de la facultad de Ciencias Económicas Administrativas y Contables de la universidad, los Estándares Básicos de Competencias y Lineamientos Curriculares del MEN de acuerdo con la vigencia de estos en el año 2012 segundo semestre (aplicación de este cuestionario). Sin embargo, se evidenció una ruptura en la comunicación entre saberes-contextos y procesos generales, lo cual puede ser debido a que los estudiantes no incorporan los significados, las representaciones (gráficas, expresiones matemáticas como símbolos, signos,…) y los usos culturales (aplicaciones) a sus saberes previos, por ende estos saberes quedan simplemente como recuerdos aislados del trabajo hecho en clase en alguna ocasión.

Se infiere de esta primera fase de investigación que las variables: Lectura de textos matemáticos (fórmulas, modelación matemática) y comprensión de significados (conjuntos numéricos, propiedades, operaciones,…) fueron generadoras de conflictos semióticos en los estudiantes de este grupo. Además de lo anterior, también se pudo inferir otra dificultad; el poco interés individual de los estudiantes por el saber matemático, la escasa motivación por aprender matemáticas teniendo en cuenta que los conceptos propuestos en el cuestionario, se ven en el colegio, según (EBC y LC) y se proponen en la asignatura de Fundamentos de Matemáticas en el primer semestre de la facultad.

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Una Situación Didáctica, es aquella en la que el profesor a través de un medio se propone enseñar a los estudiantes, un saber matemático, que inclusive, ya ha sido dado explícitamente. El propósito del profesor, no es detectado por los estudiantes, sin embargo toda situación didáctica establece un contrato didáctico entre estudiantes y profesor, en el que cada uno sabe lo que quiere del otro. En el caso particular de la investigación se plantearon dos situaciones didácticas de control, porque se quería determinar la aplicación (usos) del saber matemático de proporcionalidad (como saber previo) y de los puntos críticos de una función particular, como saber matemático enseñado.

En las situaciones didácticas propuestas en esta fase, para indagar por los puntos críticos de una función, se determinaron dos medios, los cuales fueron; gráficas y expresiones algebraicas. En cada medio se plantearon situaciones adidácticas, por ejemplo en la situación uno, se propusieron dos condiciones a partir de las cuales debían hacer una gráfica que resolviera la situación propuesta. En la segunda situación se plantearon en el primer punto, expresiones algebraicas, de las que debían seleccionar la que resolviera la situación y en el punto dos, lectura de una gráfica con un punto máximo. Para los estudiantes no era 9 Una situación didáctica, es aquella en la que el profesor proporciona un medio didáctico con el que el estudiante construye su propio conocimiento, en interacción con una situación adidáctica (no explicita qué hay que hacer o qué quiere el profesor), Brousseau (1997).

Fase 2: Concepción y análisisa priori de las situacionesdidácticas

CAPÍTULO

IV

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explícito lo que había que hacer, es decir que sus decisiones debían guiarse por razonamientos (lógico, deductivo, inductivo) y una estrategia que interactuara con el medio respectivo propuesto, con el fin de encontrar exitosamente las respuestas que dieran solución al saber matemático cuestionado en cada una de las dos situaciones (Brousseau, 1986,1997).

4.1 Diseño y análisis a priori de situaciones didácticas

Esta fase, se desarrolló en el primer semestre de 2013, a partir de una muestra aleatoria estratificada de estudiantes que tomaron el curso de cálculo. En esta fase se conoció la población y a partir de ella se propusieron los estratos, siendo estos los cursos de cálculo designados por la facultad.

El proceso comunicativo de los puntos críticos desde la perspectiva de la (SE10), está mediado por los usos, por la estabilidad del conocimiento en cuestión y tal como se ha encontrado, tanto en los antecedentes como en la justificación, este aprendizaje es tortuoso y difícil para los estudiantes y para los docentes al enseñarlo. En este caso las situaciones didácticas, se diseñaron para estudiantes en proceso de formación como contadores, y éstas permitieron identificar algunos conflictos semióticos que limitan el proceso comunicativo a partir del lenguaje (Español-matemático y viceversa).

4.1.1 Generalidades de la fase 2.

De acuerdo con lo propuesto en el diseño metodológico del proyecto, diseño y análisis a priori de situaciones didácticas. Esta parte de la fase se centró en uno de los pilares fundamentales de la (SE), la cual determina que el conocimiento matemático al ser cultural, está mediado por los usos y por la estabilidad del conocimiento en cuestión, en este caso la función derivada, para lo cual se realizaron dos observaciones durante el primer semestre de 2013 a los mismos grupos de cálculo (3 grupos). En la primera parte se propuso una situación con dos preguntas, para revisar la estabilidad de la función como conocimiento matemático, y en la segunda parte de la fase 2 , se propuso una situación con dos preguntas, para evaluar la estabilidad del conocimiento llamado; puntos críticos de una función de variable real (derivada en un punto y función derivada).

10 (SE) La Socioepistemología, corresponde a un acercamiento teórico que como corriente de pensa-miento en Didáctica de la Matemática propone estudiar, no los objetos de conocimiento matemático, sino lo que hace que los seres humanos los produzcan y reproduzcan.

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En esta fase, se tuvo en cuenta el avance y desarrollo del programa académico de matemáticas propuesto por la facultad para el período en cuestión, por ello, metodológicamente el trabajo de observación y estudio con los grupos de cálculo, se dividió en dos momentos. A partir de este supuesto teórico en la primera parte, se propuso una situación general para evaluar la estabilidad de la función como una proporción (inversa-directa), teniendo en cuanta la ecuación de ingreso I=QP, en la que intervienen las variables I: ingreso, Q: oferta, P: demanda y donde una de ellas, era constante en un tiempo dado (6 meses), de acuerdo con las dos condiciones asignadas a la situación 1, propuesta. El ingreso I, fue de $60 millones y 2. Q, se consideró constante. El tiempo como variable independiente, se propuso para dar temporalidad a la acción de la situación didáctica.

Para responder a las dos condiciones de la situación didáctica propuesta, se pidió a los estudiantes, que graficaran en el plano cartesiano cada caso de la situación propuesta, de acuerdo con la condición asignada. Con estas condiciones se buscó determinar; de una parte la estabilidad del conocimiento matemático llamado función (lineal-no lineal)11, la que, según los Estándares Básicos de Competencias (2006) y los Lineamientos Curriculares (1998) del Ministerio de Educación Nacional (Colombia), lo ubican desde el grado séptimo de la Básica hasta el grado once de la Media (último año de colegio). En segundo lugar, la situación se propuso para determinar los conflictos semióticos de los estudiantes, que subyacen al conocimiento matemático (función) y que tiene que ver con el lenguaje (español-matemático) y con los procesos generales propuestos por el MEN, tanto en el aprendizaje como en la enseñanza12.

Para esta fase, se tuvo en cuenta también que la población de estudiantes de cálculo objeto de esta investigación no era grande y por lo tanto se determinó realizar un censo. En la tabla 12., se discriminó la población de acuerdo con los tres cursos adscritos a la facultad cuyos registros oficiales sobre el número de estudiantes (columna 2 de la tabla 12.), permitieron determinar el total; además en la tabla 12., aparece el número de estudiantes que respondieron a una o a las dos condiciones de la situación propuesta y el total de estudiantes que presentaron el cuestionario, con la situación didáctica propuesta.

11 Lineal: la función como una proporción directa. No lineal: la función como una proporción inversa.12 Los conflictos semióticos suscitados por el enfoque del lenguaje matemático formal y riguroso. 1112

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Tabla 12. Generalidades fase 2.

4.2 Aspectos generales de la Situación didáctica

Se propuso teniendo en cuenta el marco cultural de los contadores, para quienes la ecuación de ingreso es fundamental (proporcionalidad, marginalidad, razón de cambio, elasticidad,...).

4.3 Primera situación didáctica propuesta para la fase 2.

De acuerdo con la siguiente situación, haga una gráfica en el plano cartesiano que ilustre cada una de las condiciones 1 y 2.

El ingreso mensual obtenido por una empresa en el año 2012 que fabricó Q artículos al mes, está dado por la ecuación; I=PQ, donde:

I: ingreso, Q: cantidad de artículos producidos, P: precio de la demanda de Q artículos.

1. El ingreso que la empresa obtuvo durante los primeros 6 meses, fue de $60 millones de pesos.

2. Q fue constante e I y P variaron durante el primer semestre.

4.3.1 Análasis de la primera situación didáctica, fase 2.

La situación se ubica en un momento determinado (segundo semestre de 2012), con dos relaciones distintas entre las variables I, Q y P; una escalar (constante)

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y la otra funcional (variable).

Las condiciones, se propusieron en un lenguaje distinto para determinar la incidencia (en conflictos semióticos) de algunas expresiones o símbolos en el momento de leer e interpretar la situación, además, a los estudiantes se les aclaró verbalmente en el momento de responder el cuestionario, que las condiciones 1 y 2 eran independientes. Así pues, en la situación con la primera condición había una relación escalar; el ingreso como producto PQ (60 millones) y una relación funcional entre P y Q, las cuales determinaban que la situación correspondía a una proporción simple inversa, entre P y Q, de la forma k=xy (no lineal); en donde k, es llamada la constante de proporcionalidad (en este caso el ingreso I=60 millones), y en donde además Q y P deben ser diferentes de cero, porque no está definida la división por cero (despejando una variable: y = k/x ó x=k/y). Las siguientes son las relaciones que se pueden establecer en la situación propuesta.

Una relación escalar: producto PQ. (constante: I=60)

Una relación funcional: 60=PQ (P, Q: variables)

Las relaciones anteriores, determinaron una función inversa, con I, como la constante de proporcionalidad, P variable dependiente y Q variable independiente.

El lenguaje de la condición dos se propuso con palabras escritas, cuyos significados se asumieron que se entendían (constante, variable) y simbólico (Q, I y P). En la condición dos, también había dos relaciones una escalar entre Q y el cociente de I/P, para el que P y Q, deben ser distintos de cero (porque no está definida la división entre cero).

La otra relación (para la condición dos) es funcional entre las variables I y P; de la forma y=kx (lineal) en donde, y corresponde a I, k corresponde a Q (pendiente de la recta) y la variable independiente (x) es P.

Las siguientes son las relaciones que se establecieron en la situación con la condición del punto dos.

Una relación escalar cociente entre: I/P (constante).

Una relación funcional: I = QP (función lineal que no contiene el origen).

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Las relaciones anteriores, determinaron una función lineal con pendiente Q, variable dependiente I y variable independiente P.

4.3.2 Análisis de respuestas

Se hizo teniendo en cuenta solo la población que presentó el cuestionario: 74 estudiantes de los 82 posibles (según lista oficial): 90.2%, lo cual reflejó un porcentaje alto en el nivel de confianza.

4.3.3 Condición 1. (Situación 1, de la fase 2).

“El ingreso que la empresa obtuvo durante los primeros 6 meses, fue de $60 millones de pesos.”

Las respuestas con esta condición dada, se presentan en seis categorías (4.3.3.1-4.3.3.6), de acuerdo con el tipo de gráfica realizado por los estudiantes, salvo quienes no graficaron esta condición (5.4%). A continuación se presentan las gráficas, en algunas categorías sin el nombre dado a los ejes, porque en este sentido hubo variaciones que se detallarán en cada una de ellas, según corresponda.

4.3.3.1 Función lineal: (67.5%)

En esta categoría, el 18.9% de las respuestas establecieron como variable independiente a Q (eje horizontal), y como variable dependiente a P (eje vertical), los demás propusieron los ejes como t-I, t-P, t-Q, PQ-I, P-I, Q-I, P-Q; siendo la primera letra la componente del eje horizontal y la segunda, del eje vertical. En esta categoría la covarianza de las variables se realizó a través de una proporción simple directa, entre las variables (de acuerdo con los nombres dados a los ejes). El razonamiento proporcional establecido, determinó que se hizo a través

Gráfica 12.

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de una relación analógica13 entre la oferta y la demanda (a mayor cantidad mayor precio y por lo tanto mayor ingreso), lo que además permite determinar que no se interpretó la ecuación de ingreso, en el sentido de las relaciones entre las variables (P y Q) y la constante (I), de acuerdo con la condición dada.

4.3.3.2 Un punto: (13.5%)

En esta categoría, establecieron los nombres de los ejes (horizontal, vertical) como Q-P, t-I, I-t, Q-I, P-I, t-Q; siendo la primera letra el nombre del eje horizontal. En general en las gráficas determinaron por lo menos que el punto tenía el valor de 60, a través de los valores asignados a los ejes o nombrando el punto en cuestión, esto significa que los (las) estudiantes tuvieron en cuenta únicamente el valor de los ingresos, como un punto en el plano, pero no determinaron la relación variable entre la oferta y la demanda; de lo que se deduce que apenas interpretaron la relación escalar (constante: I) y no la relación inversa entre variables (P y Q). Esta categoría establece a partir de las respuestas dadas que el razonamiento proporcional utilizado o puesto en juego, fue el de una razón constante que no trascendió a la proporcionalidad entre razones variables y por tanto no fue vista como un proceso de cambio.

13 La relación analógica, entendida como aquella que no es directa, ni tampoco inversa.

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4.3.3.3 Función inversa PQ=I: (5.4%)

Sólo en una respuesta se invirtió el nombre de los ejes de Q-P por P-Q. En general las respuestas de este ítem, determinaron que la constante de proporcionalidad era I=60 (millones). El 2.7% de estas respuestas, consideraron además las gráficas de la relación Q-I, como una función lineal. En esta categoría se estableció el razonamiento proporcional a partir de las dos relaciones escalar y variable, además se evidenció la interpretación hecha de la ecuación contable a partir de las relaciones que se establecieron entre los elementos de la ecuación de ingreso y también asumieron que la división por cero no está definida con lo cual generaron la covarianza entre las variables P y Q como una proporción inversa cuya constante de proporcionalidad es I.

De otra parte, las respuestas en las que además se graficó la relación Q-I como una función lineal de la forma I=mQ, (con m la pendiente de la recta) permiten determinar que el razonamiento proporcional hecho corresponde al razonamiento analógico, en el sentido que si la cantidad aumenta los ingresos también y además asumieron que el precio era constante en ese proceso, lo cual contradice la respuesta dada a través de la gráfica como proporción inversa.

4.3.3.4 Línea recta con pendiente negativa: (4.0%).

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En las respuestas dadas, apareció el nombre de los ejes; horizontal Q, vertical P y además en ellas se hizo evidente la relación entre el tiempo y los ingresos 60 millones como un punto de la recta graficada. Se observa que la relación establecida es lineal, con pendiente negativa, luego el razonamiento proporcional fue analógico (si Q aumenta entonces P disminuye y viceversa), es claro que el razonamiento proporcional no fue directo ni inverso y además se encontró también que se interpretaron las relaciones entre las razones; escalar y variable, como un proceso de depreciación, por lo que se pudo afirmar que el tipo de razonamiento usado no permitió generar el de la proporcionalidad directa o inversa. De otra parte el tiempo como variable independiente ubicó temporalmente la situación didáctica y a partir de ésta fue que se pudieron establecer las relaciones entre las razones escalar y variable, las cuales determinaban una proporción simple inversa.

4.3.3.5 Recta con pendiente cero: (2.7%)

El 2.7% de las respuestas nombraron los ejes como aparece en la gráfica, una de ellas estableció que la recta constante cortaba el eje vertical en 60 millones y la otra respuesta, en 10 millones, quizá indicando el valor de los ingresos en cada mes. Otro aspecto de resaltar es que el eje horizontal lo dividieron en seis meses, desde enero hasta Junio, dando a entender que el tiempo era la variable independiente en la situación, con esta condición. Sin embargo no establecieron ninguna relación escalar ni variable con los ingresos, precio y cantidad de artículos, por lo que los asumieron como constantes de la situación. Estas respuestas, respondieron parcialmente a la condición propuesta en la situación.

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4.3.3.6 Función inversa de la forma “I = aT” (con a constante y T tiempo en meses): (1.3%).

En esta respuesta, se escribió lo siguiente: “Para hacer una gráfica bien considero que necesitamos más información, valor unitario, los valores recibidos anterior mente, y el costo, o bueno lo que queremos analizar en el plano!”. De la gráfica se pudo interpretar que los ingresos crecen, son variables respecto al tiempo; sin embargo llama la atención que la ecuación escrita para realizar esta gráfica fue la de ingreso, la cual fue dada en la situación I= PQ, 60=PQ y en este sentido la lectura e interpretación de la gráfica no es equivalente con la ecuación contable de ingreso, evidenciándose conflictos semióticos en este aspecto.

4.3.4 Condición 2. (Situación 1, de la fase 2).

“Q fue constante e I y P variaron durante el primer semestre.”

Las respuestas dadas a la situación didáctica propuesta con esta condición, se clasificaron en 5 categorías diferentes. Todas las gráficas presentadas como respuesta a este ítem, se hicieron en el primer cuadrante. Un hecho notorio fue que el 18.9% de los estudiantes, no respondieron la situación con esta condición y es posible que haya influido en este aspecto el cambio de lenguaje, dado que esta condición se presentó en lenguaje simbólico y con palabras como “constante”, “variaron”. Otra posible causa de conflictos semióticos para interpretar la situación con esta condición, pudo deberse a que uno de los factores del producto PQ era constante y en la relación de igualdad I=PQ, se les dificultó establecerla y asumirla en una gráfica.

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4.3.4.1 Curvas de grado mayor o igual a 3: (32.4%)

En esta categoría, la tendencia de nombrar los ejes fue diferente, entre ellas están: P-I, I-t, Q-y, Q-I, Q-P, t-I, x-y, I-Q e I-P; siendo la primera letra la que designa al eje horizontal y la segunda al vertical. Otro aspecto de resaltar fue la tendencia en algunas gráficas de presentar la situación como una función senoidal, este aspecto puede deberse a la forma como se quería representar la periodicidad de la función de cantidad de artículos respecto al precio o al tiempo,… En este sentido es posible inferir las dificultades que tuvieron los (las) estudiantes al interpretar y graficar la situación con esta condición; por ejemplo, en las gráficas se presentan intervalos donde la función crece y decrece, pero este aspecto evidencia que la interpretación se hizo aislada de la lectura de la ecuación correspondiente según la condición, para Q= I/P, en la que son evidentes dos relaciones una escalar Q (constante de proporcionalidad o pendiente de la recta) y otra variable I, P. Este conflicto semiótico corresponde a la falta de significados asociados al razonamiento proporcional directo, generado por una función lineal de la forma I=QP (que pasa por el origen).

4.3.4.2 Función lineal: (23.0%)

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Se presentaron tres tendencias al nombrar los ejes; P-I, Q-P y P-Q.

Todas las gráficas de esta categoría marcaron un punto en la recta, algunos asignándole valores y otros, simplemente lo dejaron dibujado. Esta categoría describe la interpretación hecha a la ecuación de uso contable I=PQ, en la que Q es constante con lo cual describe una recta con pendiente Q, cuyo valor puede ser mayor, igual o menor a cero, sin embargo en las respuestas de esta categoría las gráficas denotaron una recta con pendiente positiva. Un aspecto que llamó la atención fue el que, dos respuestas contemplaron en la gráfica dos rectas que parten del origen, con pendientes distintas y positivas; una de ellas la describieron para “I:>” y la otra para “I:<”, sin embargo de acuerdo con la gráfica hecha por el estudiante, la recta que tiene mayor pendiente corresponde a la nombrada con I:<.

En general en esta categoría se evidenció de alguna manera un tipo de equivalencia entre las variables de la ecuación propuesta con su respectiva gráfica; también se observó un conflicto semiótico en algunas respuestas que nombraron los ejes de la forma P-Q o Q-P, dado que no diferenciaron las variables (P, I) de la constante (Q) y por ende tampoco la variable independiente (P) de la dependiente (I), en la situación didáctica propuesta con la condición dada, dejando entrever que la interpretación de variables es conflictiva también.

4.3.4.3 Recta: constante, con pendiente cero o infinita: (16.2%)

En esta categoría, la tendencia de nombrar los ejes fue Q-P y P-Q, siendo la primera letra para el eje horizontal. Se presentaron tres interpretaciones distintas de la ecuación de uso contable I=PQ, en la que Q era constante. De una parte está la que consideró a Q con valor tendiente al infinito y por lo tanto en este caso I también tiende al infinito, de otra parte está la que consideró a P constante durante el semestre y por lo tanto el ingreso fue constante también. Esta

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categoría refleja algunos conflictos semióticos, que tuvieron los estudiantes al interpretar la situación con la condición dada. Entre ellos están; el razonamiento establecido, el cual en esta categoría fue únicamente intuitivo, no trascendió al deductivo porque se asumió un valor constante para la ecuación, sin tener en cuenta la relación de variables y la constante de la situación, de acuerdo con la condición dada para ésta. Otro conflicto semiótico correspondió a la gráfica, porque no recogió los significados de la situación y de ello se desprendió otro conflicto semiótico debido a la falta de significados de la proporcionalidad como razonamiento directo o inverso y a la falta de significados de los elementos que componen una función en matemáticas.

4.3.4.4 Función inversa: I=PQ, con I constante: (4.0%).

En esta categoría los ejes se nombraron: P-Q, Q-P e I-P; donde la primera letra representó el nombre asignado al eje horizontal. Es evidente que para este caso la relación dada por la ecuación contable I=PQ, con la condición Q: constante, no correspondió con la gráfica asignada y se evidenciaron algunas dificultades o conflictos semióticos para interpretar los significados de las letras de la ecuación contable en la situación propuesta, porque al ser Q constante, la ecuación es lineal y Q debe ser la pendiente de la recta, cuyos ejes deben ser P (horizontal, variable independiente) e I (vertical, variable dependiente); se hace visible también el conflicto con las variables Independiente-dependiente y por ende también el conflicto generado por los significados asociados a ellas en la situación didáctica.

Se deduce de esta categoría que el razonamiento realizado fue intuitivo, no se evidenció el razonamiento proporcional, a pesar que la gráfica realizada correspondió a una proporción simple inversa; también se encontró ruptura entre

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la equivalencia del lenguaje de la representación gráfica con el de la ecuación contable, de acuerdo con la condición asignada. De lo anterior se desprende que hay conflictos semióticos entre los significados y los significantes de la función, en este caso como una proporción simple directa; así mismo, entre la relación de equivalencia de la ecuación contable con la gráfica asignada.

4.3.4.5 Relaciones que no son funciones: (5.4%)

En esta categoría no se presenta gráfica, porque todas son diferentes; puntos en el plano, signo de interrogación (¿), y una x en el plano cartesiano. Los nombres de los ejes tampoco presentan similitud; P-I, I-P, Q-P. Esta categoría, evidencia conflictos de significados de la función, por la contradicción con la definición como una relación que no puede tener dos o más pares ordenados de puntos, con valores iguales en su primera componente, además se hicieron evidentes los conflictos semióticos con el tipo de razonamiento empleado, el cual no correspondió con el razonamiento proporcional; con los significados de la gráfica y la ecuación de uso contable; con las relaciones escalar y variable de la situación.

4.3.5 Conclusiones: primera situación didáctica de la fase 2.

En general se detectaron conflictos semióticos, en el cambio de lenguaje español-matemático y viceversa en cada situación propuesta, siendo el matemático el que presentó más dificultades, por su simbología, y algunas palabras como “constante” y “variaron”.

El razonamiento empleado por los estudiantes en las respuestas dadas a la situación particular, en general se quedó en lo intuitivo, analógico y pocos alcanzaron el proporcional (inductivo o deductivo).

Las relaciones escalar y variable determinadas en la situación con cada condición, generaron conflictos semióticos, por la falta de significados asociados a los elementos de la ecuación de uso contable (ingreso = oferta por demanda: I=PQ).

En las respuestas dadas a la situación didáctica, se manifestaron conflictos semióticos entre los significados de los elementos de la ecuación contable (Q, P, I) de acuerdo con la condición dada y las gráficas asignadas respectivamente.

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Son notorios los conflictos en la conceptualización de la función como proporción directa o inversa, hay carencia de significados a partir de las relaciones de covarianza y en algunos casos son incompletos o confusos; a pesar que este concepto está propuesto en los (EBC y LC) y hace parte del saber matemático escolar, desde grado séptimo en adelante. Además en éstos documentos se proponen los procesos generales como el de razonamiento, desde grado 1° de la Básica primaria (niños de 6-7 años).

4.4. Segunda situación didáctica propuesta para la fase 2.

El siguiente texto es copia del contenido del cuestionario dos de la fase 2.

Los ingresos de una empresa se pueden medir a través de la ecuación I=PQ, donde I: ingresos, P: precio por artículo y Q: número de artículos.

De acuerdo con la información anterior, en cada caso, marque una sola opción de respuesta.

1. Los ingresos tienen un máximo único, cuando se cumple para todo k, número, que

a. P=k(Q-100), para k negativo

b. P<kQ, para k negativo

c. P>kQ, para k positivo

d. P=k(Q+100), para k positivo

2. La siguiente gráfica representa los ingresos en un tiempo dado.

Según la gráfica, los ingresos tienen un máximo en el punto M, donde se cumple que

a. Se incrementan los artículos y su precio.

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b. Se incrementan los artículos, pero no su precio.

c. El cociente entre el incremento del precio sobre el incremento de los artículos es positivo.

d. El cociente entre el incremento del precio sobre el incremento de los artículos es cero.

4.4.1 Análasis de la segunda situación didáctica, fase 2.

En esta segunda parte de la fase 2, se propuso una situación con dos puntos, como en la parte uno, para indagar sobre el máximo como punto crítico, de la función de ingresos.

El primer ítem (numeral 1), de respuesta cerrada con opción múltiple y única respuesta, planteaba reemplazar la demanda P, en la función de ingresos por una expresión que contenía una constante k, que podía ser mayor o menor que cero, para luego derivar I (ingresos) en función de Q (oferta). En este punto interesaba observar la elección de la expresión que reemplazaba a P, dado que contenía dos letras, una constante K y la otra Q, variable independiente, pero solo una respondía adecuadamente al punto y a la situación.

El segundo punto, de ítem cerrado con opción múltiple y única respuesta, se propuso a partir de la gráfica de una función de ingresos, desde la cual se planteó un argumento en cada opción de respuesta, para ser considerada como la posible respuesta; al por qué en el punto M, los ingresos eran máximos. En esta situación, interesaba saber si se asumían los ingresos como equivalentes con el valor de la ordenada (coordenada del eje vertical) de M, que por lo tanto generaban una recta tangente en M, con pendiente cero y que además se podía determinar la ecuación de ingresos como una recta constante de la forma: y=mx+b, en la que, y, es equivalente a I=M (ordenada de M), con m=0=I(Q)’=(I(Q)/Q)’ (ingreso marginal = ingreso promedio marginal)=∆P/∆Q (cociente entre el incremento del precio sobre el incremento de los artículos).

Para demostrar la solución de la situación planteada a partir de la gráfica de la función de ingresos (segundo punto), se tuvo en cuenta que el punto M, está en un intervalo [a, b] de la función I (ingresos), la cual es continua allí y diferenciable (derivable) en el intervalo (a, b).

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4.4.2 Teorema 1:

Si M es un punto crítico; máximo absoluto de I, entonces allí se cumple que:

Demostración: Sea I=PQ, de la gráfica de I (gráfica 22), se puede determinar que M, tiene coordenadas (q, I(q)), como I(q)=PQ, y Q= q (q, constante) entonces (q, I(q))= (q, Pq).

Derivando15 I(q)=Pq respecto a Q, se tiene que: 0 = Pq’ + P’q, y dado que q es constante entonces: P’q =0 de donde y como M es punto crítico, se cumple que ,que es lo que se quería demostrar.

4.4.3 Generalidades de la situación dos, fase 2.

Las respuestas de los dos puntos, propuestos en la segunda prueba de esta fase, fueron dadas por 52 estudiantes de cálculo de la facultad. El número de estudiantes que respondió la prueba, correspondió a la totalidad que asistieron a la universidad el día (el mismo para todos) en que se les propuso el cuestionario.

En el análisis, se tuvo en cuenta el hecho que la población de estudiantes que estaba cursando cálculo, estaba distribuida en tres grupos A, B y C respectivamente. Además es importante aclarar que cada grupo contó con un profesor de matemáticas diferente y que la comparación de respuestas se hizo únicamente para determinar los conflictos semióticos asociados a las situaciones planteadas en cada cuestionario. Se aclara también, que la población de estudiantes de cálculo, estimada por la facultad al inicio del semestre fue de 84,

Gráfica 22.

14 P’: derivada de P con respecto a Q. q’ : derivada de q, respecto a Q.

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dP ___ dQ

P’ = = 0

P ___ = Q 0

dP ___ dQ

P ___ = Q

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según registro oficial, y de acuerdo con este dato en esta segunda fase de la investigación se propuso hacer un censo, teniendo en cuenta además los retiros y otros factores ajenos a la investigación, que incidieron para que el número de estudiantes estimado de 82 bajara a 74 en la primera parte de la fase II, y luego a 52 en la segunda parte de la misma fase. De acuerdo con la aclaración anterior, en ésta segunda parte de la fase II, se hizo un análisis como si se hubiese tomado una muestra aleatoria simple estratificada de los grupos en cuestión, para determinar el nivel de confianza de las conclusiones y la representatividad del grupo que respondió el cuestionario 2.

Para el tamaño de muestra con factor de corrección para poblaciones finitas, y estimación de la proporción de estudiantes que lograron la comunicación de los puntos críticos de una función de variable real como un proceso de doble vía; se definieron los siguientes elementos.

Proporción estimada, P = 0.5

Nivel de confianza, 1-α = 0.95

Margen de error, e = 0.0745

El estudio de esta segunda parte de la fase 2, se debió asumir con una muestra aleatoria de 52 estudiantes, de los 74 de la población. Esta muestra se trabajó con un nivel de confianza del 95% y un margen de error del 7.45%, de acuerdo con el grupo al que pertenecía cada estudiante que respondió la prueba, ya que cada grupo fue considerado como un estrato de la muestra, la cual fue representativa. Así pues, de cada subpoblación se determinó un tamaño para cada submuestra, teniendo en cuenta la variabilidad en cada uno de los estratos, de la siguiente forma.

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Tabla 13. Generalidades de la situación dos, fase 2.

GRUPOTotal de

estudiantes en cada estrato

Tamaño de cada Submuestra en cada

estrato

Tamaño porcentual de cada

submuestra

2A 32 19 70%2B 30 22 76%2C 20 11 58%

El cuestionario, se le propuso a cada estudiante de la muestra aleatoria estratificada, en la que cada estrato se asumió como una submuestra aleatoria simple, según las tablas 15 y 16; grupo 2A n1= 19 estudiantes; grupo 2B, n2=22 estudiantes y grupo 2C n3=11.

Se seleccionó el tamaño de muestra con factor de corrección para poblaciones finitas. Esta selección determinó la proporción de estudiantes que fue exitosa en comprender la comunicación de los puntos críticos de una función de variable real, como un proceso de doble vía.

Tabla 14. Tamaño de Submuestra

Numerador 71,0696Denominador 1,36556825N 52

El factor de corrección fue de 0,548971641

Tabla 15. Muestra-submuestra

GRUPO estudiantes Submuestra2A 25 192B 30 222C 19 11Total 74 52

4.4.3.1 Muestreo aleatorio estratificado.

De acuerdo con el tamaño de muestra estimado, se asumió la muestra aleatoria estratificada, considerando que cada uno de los grupos era diferente respecto

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a las variables de convivencia, salón de clases, horario, edad y profesor de matemáticas. Dado que cada submuestra era más homogénea, a partir de las variables ya enunciadas. De cada estrato se seleccionó una submuestra aleatoria de tamaño especificado, teniendo en cuenta la variabilidad en cada estrato.

Tabla 16. Muestreo aleatorio estratificado.

GRUPO Total de estudiantes

Submuestra

tamaño

Porcentaje

submuestra2A 25 19 70%2B 30 22 76%2C 19 11 58%Total tamaño 74 52

El cuestionario 2 de la segunda fase, se aplicó a una muestra equivalente al 70% del total de la población de cálculo de la carrera de Contaduría, debido a la disminución de estudiantes, las causas que disminuyeron la muestra fueron diversas, y todas ellas ajenas a la investigación en cuestión y por lo tanto, el porcentaje de estudiantes que respondieron, fue el descrito en cada estrato o grupo (A, B o C). .

En el cuestionario se presentaron; una instrucción, la situación y dos puntos sobre la situación, cada uno con cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una, respondía correctamente al punto. El análisis de respuestas se presenta en tablas y con gráficas, que muestran el comportamiento de cada grupo o estrato.

4.4.4 Análisis de respuestas al primer punto de la fase 2.

La situación planteaba una función de ingresos I, y el punto pedía determinar la opción de un k número, que hacía que I tuviera un máximo absoluto. Las cuatro opciones se plantearon para generar una función cuadrática, como una expresión matemática para P, que permitía hallar en la función de ingresos una vecindad del punto crítico, un mínimo o un máximo absoluto respectivamente de la siguiente forma; ítem A, como la opción correcta que permite determinar los ingresos máximos para un k<016, a través de la derivada de I, respecto a Q,

15 k<0: léase k menor que cero.

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Las opciones B y C, se descartan como respuestas posibles del punto uno porque, la cuadrática generada para I=PQ, con P<kQ o P>kQ, independientemente del signo para k, no contienen el punto máximo, sino la vecindad de éste o un punto mínimo. La opción D, se descarta porque el punto crítico para I, es un mínimo, dado que el coeficiente de la cuadrática para Q es positivo o la segunda derivada de I, es positiva, lo cual significa que la curva de I, abre hacia arriba o es cóncava hacia arriba.

Otros aspectos importantes para observar en las respuestas dadas a este punto están ligadas a la intención de proponer a P en función de Q y de una constante k que podía ser positiva o negativa, determinar la idea de punto máximo y entorno máximo como vecindad de un punto crítico, y el lenguaje matemático (significados, sintaxis y usos) asociados a la situación de ingresos como referente importante de la contabilidad.

En la tabla 17., se presenta una comparación de respuestas a cada ítem del punto uno, de acuerdo con las dadas por los estudiantes de los tres grupos. En ella aparece entre paréntesis la palabra (correcta), al lado de la opción que responda la pregunta, con el fin de facilitar al lector dicha comparación. Además, en la parte inferior de la tabla, aparece la gráfica 23, que describe las curvas en porcentajes, según las respuestas de los estudiantes a cada opción de respuesta. Debe tenerse en cuenta que el número de estudiantes por grupo, que respondió este cuestionario fue diferente (A: 11, B: 22 y C: 19 estudiantes).

sabiendo que I=PQ y además que P=k(Q-100). Resolviendo se tiene que I’=P’Q + Q’P, de donde P’=k, como k es menor que cero y además I es una cuadrática (parábola) que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo), dado que el coeficiente de la cuadrática para Q es negativo o la segunda derivada de I, es negativa; al igualar I’=0, se tiene que: P’Q+P=0, que al reemplazar P’ y P de donde kQ + k(Q-100)=0 y despejando Q=50, por lo tanto I=-2500k, para k<0; luego los ingresos, I >0.

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De acuerdo con la tabla 17 y la gráfica 23, solo el 5%, de los 52 estudiantes que respondieron el cuestionario, acertaron con la respuesta correcta y en este sentido se observa que se presentaron dificultades, las cuales generaron conflictos semióticos a los estudiantes, que de acuerdo con la configuración de las opciones del punto y sin pretender minimizar la complejidad de la problemática, se estudiaron en tres aspectos: el primero, los conflictos semióticos del lenguaje matemático; el segundo, los conflictos semióticos generados por el saber matemático de los puntos críticos de una función de variable real; y el tercero, el de los conflictos semióticos generados por los usos o aplicaciones de los puntos críticos (pragmática-usos) en la función de ingresos, como una relación de la oferta y la demanda.

4.4.4.1 Conflictos semióticos debidos al lenguaje matemático:

La situación correspondió a la ecuación de ingresos I= PQ, en donde la demanda P, se propuso en función de una constante k, y de la variable independiente Q (oferta). De acuerdo con las respuestas de los estudiantes con mayor porcentaje de aceptación, opciones C y D, para las que k es positivo, se considera que la información proporcionada por la constante, se definió a partir del lenguaje literal (español) y no desde la lectura matemática de la relación de los símbolos propuestos para definir a P. De otra parte, de la frase propuesta para responder al primer punto “Los ingresos tienen un máximo único cuando se cumple para todo k número, que”, se tuvo en cuenta únicamente la última parte de la frase

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“…se cumple para todo k número, que”. En este sentido se hizo evidente que las expresiones matemáticas dadas para definir a P, además de lo dicho sobre la constante k no fueron leídas adecuadamente y por lo tanto sus significados tampoco hicieron parte en la elección de la respuesta.

4.4.4.2 Conflictos semióticos generados por el saber matemático de los puntos críticos de una función de variable real:

Este aspecto, entroncado en el saber matemático llamado función, tiene relación con la exploración que se hizo en el cuestionario de la primera situación, en el sentido que se propuso una situación con la misma ecuación de ingresos, intentando observar las ideas en torno al razonamiento proporcional, importante para el trabajo propuesto sobre el pensamiento variacional de esta segunda parte de la fase. Las opciones de respuesta centradas en lo variacional, en la vecindad de un punto (entorno), en las ideas sobre la función cuadrática (elementos, gráfica, expresión algebraica,…) y en los puntos críticos de una función (función derivada) permiten decir que no hay estabilidad de la función como conocimiento matemático, referenciado en la matemática escolar y que el conocimiento de los elementos básicos de una función cuadrática, como en este caso; una parábola (vértice, raíces, eje,…) fue deficiente y no se usó para reconocer la opción de respuesta correcta. Además el concepto de marginalidad de una función no se asoció con el punto máximo de la gráfica propuesta.

4.4.4.3 Conflictos semióticos generados por los usos (pragmática) de los puntos críticos de un función:

En este referente se ubica el 95% de las respuestas dadas a este punto, porque si bien es cierto que la ecuación de ingresos es un referente importante de la contabilidad, trabajado por los estudiantes en diversas áreas del saber contable y económico, como parte del dominio del quehacer de los contadores; también lo es el hecho de que su comprensión es parcial y se ajusta a situaciones en las que su uso está relacionado con teorías económicas o contables, para el que los fundamentos teóricos permiten resolver el problema en cuestión. Es claro en esta categoría, que los procesos de marginalidad son complejos y dificultosos para los estudiantes, en el sentido de los significados y usos generados a partir de la matemática de los puntos críticos de una función, como la de ingresos.

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4.4.5 Análisis de las respuestas al segundo punto de la fase 2 (situación 2).

En este punto la situación de ingresos, se planteó desde una gráfica, a partir de la cual, se pedía argumentar la afirmación que decía “Según la gráfica, los ingresos tienen un máximo en el punto M, donde se cumple que”…, y se dieron cuatro opciones de respuesta para ello. Las opciones “a, b y c” determinaban, que la pendiente de la recta tangente que pasa por M, es distinta de cero, lo cual no es cierto; la opción “d” corresponde a la correcta y su argumento se explica a través del teorema 1, con el cual se puede demostrar este resultado.

En este segundo punto, un aspecto importante también, corresponde a que la situación presentaba tres variables I, Q y P; sin embargo el punto M (máximo), estaba determinado por las coordenadas (Q, I(Q)), en donde Q era constante y por lo tanto I, también lo era. La anterior interpretación se hizo desde la gráfica y la definición dada para M. En este sentido, para responder correctamente a la situación con esta condición, era necesario usar los significados de par ordenado, y de las variables (independiente-dependiente), constante y la relación de dependencia de P e I, respecto a Q. Además de lo anterior, los significados de pendiente de la recta tangente en M, y su equivalencia con los ingresos marginales.

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La tabla 19, presenta la comparación de respuestas dadas por los tres grupos al punto dos, en este sentido para conservar el rigor metodológico, se optó por realizar una muestra estratificada por grupos.

De acuerdo con la gráfica 25 y la tabla 19, se infiere que el 75% de los estudiantes que contestaron el punto dos, tuvieron dificultades para responder correctamente. Estas dificultades corresponden a conflictos semióticos de naturaleza semántica y sintáctica entre las representaciones gráfica y algebraica de la función de ingresos. Además se corrobora que hay conflictos semióticos ligados a la naturaleza de la función y a sus elementos como por ejemplo; la ubicación y asignación de pares ordenados en una curva, la relación de la pendiente de una recta con la recta tangente en un punto de una curva, la relación entre diferencia y diferencial en un proceso variacional. Otro aspecto que llama la atención corresponde al hecho que el 40% de las respuestas marcaron la opción (a) como la correcta: “a. Se incrementan los artículos y su precio.”; dado que la pregunta hace referencia directa a un punto crítico (M), se deduce entonces, que no se tuvo en cuenta que en todo punto crítico, la pendiente de la recta tangente es cero y por lo tanto, los incrementos tienden a cero. Se puede también deducir que estas respuestas consideraron básicamente el intervalo donde la curva crece e inclusive consideraron que la pendiente de la recta tangente era positiva.

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4.4.6 Conclusiones de la situación dos, fase 2.

Los conflictos semióticos que evidenciaron los estudiantes en esta segunda fase, sobre el saber matemático de los puntos críticos de una función de variable real, estuvieron relacionados con la estabilidad del cambio como proceso variacional en el que el lenguaje (significados, gráficas, símbolos, conceptos y usos) fue un obstáculo comunicativo que fluyó en un sentido lineal unidireccional saber-profesor-estudiante, porque el lenguaje matemático propuesto en la situación fue un obstáculo generador de conflictos semióticos.

Un segundo conflicto semiótico observado en las respuestas de los estudiantes en las dos pruebas de la fase 2, fue el referido a la función como saber previo, porque hubo dificultades en la interpretación de los elementos de la función (dominio, rango, significados, representaciones, puntos en el plano cartesiano…) y los usos en el lenguaje de las ciencias económicas como por ejemplo función de ingresos, que como saber también hace parte de la formación de los contadores.

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Fase 3: Experimentación,desarrollo de la investigación

CAPÍTULO

V

Esta fase fue realizada en el segundo semestre de 2013, con una muestra de estudiantes de sexto y octavo semestre. El muestreo fue de tipo no probabilístico por conveniencia, dado que no se podía contar con la participación de todos los estudiantes de los grupos escogidos, por sus diversas actividades; tanto académicas como personales. Otro elemento importante en este sentido correspondió, a que la investigación fue de acción no participativa, porque se diseñó la fase para observar en semestres avanzados, la dinámica de las prácticas14 en las que se aplicaban las matemáticas, y así mismo los conceptos que circulaban en dichas prácticas, sin intervención del investigador, en donde además, se tomó como referente de esta fase, un taller realizado por un profesor de contaduría, sobre arrendamientos, según las normas internacionales vigentes para Colombia a partir de 2014.

5.1 Experimentación y prácticas asociadas.

De acuerdo con la metodología de la investigación, esta fase se propuso como de experimentación y desarrollo de la Investigación. El trabajo experimental se realizó como un estudio de caso, con estudiantes en proceso de formación como contadores; en cuyo plan de estudios habían visto ya, fundamentos de matemáticas, cálculo, estadística (descriptiva e inferencial), investigación de operaciones y matemática financiera; como parte de su formación básica, en el componente curricular. Es importante aclarar que los estudiantes conocieron los 16 En esta fase, las prácticas se asocian con la actividad de experimentación.

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aspectos básicos de la investigación y que su participación fue voluntaria.

5.1.1 Generalidades de la fase 3.

Para el desarrollo de esta fase, se realizó una encuesta con estudiantes de sexto a octavo semestre de contaduría de otra institución reconocida por su alta calidad académica y en dicha encuesta se pidió a los estudiantes que respondieran las siguientes tres preguntas sobre el valor futuro, propuesto en la NIIF 13, como parte del desarrollo del tema llamado valor razonable y que de acuerdo con el plan de estudios del programa contiene fundamentos importantes como la medición, concepto contable que requiere de la modelación matemática.

1. ¿Conoce la diferencia entre valor futuro y valor histórico de un bien mueble o inmueble? Si respondió afirmativamente, por favor conteste 2 y 3. 2. Qué determina el valor futuro (describa brevemente) 3. Proponga algunos ejemplos sencillos sobre la aplicación del valor futuro.

Menos del 50% de los estudiantes respondieron afirmativamente la pregunta uno, y de los que respondieron afirmativamente, en el numeral dos escribieron que “la medición de bienes o acciones proyectada en un tiempo futuro” en el numeral tres (ejemplos) propusieron las transacciones como acciones y arrendamientos.

En este sentido, la encuesta sirvió para ubicar un referente para la experimentación de situaciones, y los arrendamientos parecían ser un tema común para ellos, según sus prácticas. De todas formas, cualquier tema que se eligiera para éstas prácticas debía cumplir algunos requisitos porque la NIIF 13, define el valor razonable, pero no dice nada sobre cómo medirlo y en el caso de los arrendamientos, es la NIC 17, la que regula dicha medición. La revisión de esta encuesta permitió direccionar las actividades propuestas para la fase, dado que en primer lugar se quería involucrar un tema trascendente y de actualidad como lo era el valor futuro – el valor histórico, contemplado en la NIIF 13, de acuerdo con el perfil profesional de la carrera y en segundo lugar, por la inminente aplicación en Colombia de las normas internacionales, a partir de 2014. En este sentido se verificó que los estudiantes de esta fase de la investigación, hubiesen realizado acercamientos teóricos sobre las NIIF (para el desarrollo de esta fase 3), para lo cual hay evidencias en la facultad, que esta población (6° semestre en adelante) había trabajado sobre el valor presente, el valor futuro NIIF 13, y arrendamientos

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según la NIC 17.

Después del análisis de las encuestas, aplicadas a los estudiantes de sexto a octavo semestre (grupo de validación15), sobre el valor razonable según la NIIF 13, se organizó la actividad con los estudiantes (grupo experimental) de 6° semestre de FCEAC, para lo cual en primer lugar, se hizo una breve exposición de los tópicos de interés para esta fase de la investigación, en ella se ilustró brevemente la investigación, su interés eminentemente académico, la petición de participar a través de una situación aplicada a las ciencias contables sobre el valor futuro (teniendo en cuenta la NIIF 13) con ejemplos cuyos datos podían ser reales o hipotéticos de una situación posible. En el caso de los estudiantes de 6J, el profesor de Normas Internacionales y Armonización Contable, propuso al curso un proyecto sobre arrendamientos (NIC 17) en Colombia, como parte de las actividades de la asignatura durante el segundo semestre de 2013.

Esta actividad sobre arrendamientos fue tenida en cuenta para esta fase de la investigación, previa aceptación del profesor y de los estudiantes que voluntariamente quisieron compartir sus trabajos. De otra parte, a cada estudiante que participó en esta fase se le presentó un formato para que lo diligenciara, con el fin de garantizar la idoneidad y el debido respeto por las personas y por las normas institucionales, para ello, en la exposición de apertura de esta tercera fase de la investigación, se habló de la importancia de la participación de ellos en la investigación, del valor agregado, dado que en el 2014 entraba en vigencia la aplicación de las NIIF en Colombia. En el formato de participación se propuso básicamente el título de la investigación, la fecha, si conocía o no sobre la investigación, si estaba enterado (a) de la libertad de participar en el trabajo y si aceptaba o no hacerlo.

A partir de lo anterior se dialogó con los estudiantes que manifestaron su intención de participar en esta fase experimental de la investigación, así como también con el profesor del curso 6J, con el fin de viabilizar la apertura o acercamiento teórico sobre las NIIF, sin embargo en (6j) dado el énfasis de la asignatura, este tema fue parte fundamental del mismo.

5.2 Situación didáctica, de experimentación.

Para el grupo de estudiantes de esta muestra, se propuso como práctica, el taller de ejercicios sobre casos hipotéticos de Arrendamientos, tema expuesto 17 Grupo con el que se validó la encuesta y la actividad experimental de la fase.

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en la norma internacional NIC 17. En el taller propuesto se hizo una idealización de una situación particular, la cual se expresó al final de página: “NOTA: PARA FACILITAR LA CONTABILIZACIÓN DE LAS OPERACIONES EN ESTOS EJERCICIOS, PARTIMOS DEL SUPUESTO QUE NO HAY RETENCIONES NI IMPUESTOS POR NINGÚN CONCEPTO.” (La cursiva y mayúscula es del autor del taller, las comillas de la transcripción de la investigación).

5.3 Análisis del taller como situación experimental.

En el taller se propusieron 6 ejercicios diferentes, cada grupo debía escoger uno y resolverlo usando Excel, según las indicaciones dadas.

De acuerdo con el interés de esta fase, centrado en revisar el valor razonable como una medición cuantitativa, particularmente de los arrendamientos en Colombia, desde los cuales se presentan16 diversas dificultades tanto para arrendadores como para arrendatarios, a pesar de la normatividad legal vigente para regularlos, entre ellas la NIC 17, emitida el primero 1° de Enero de 2012, la cual “incluye las NIIF con fecha de vigencia posterior al primero de enero de 2012 pero no las que serán sustituidas”, Fundación IFRS (2013)17.

El objetivo de la NIC 17 como norma, corresponde a prescribir tanto para arrendatarios como para arrendadores las políticas contables, pertinentes para contabilizar y tener en cuenta la información referente a los arrendamientos. La clasificación que tiene en cuenta esta norma sobre arrendamientos, está fundamentada en el nivel de los riesgos o ventajas, de propiedades o activos que afectan al arrendador o al arrendatario.

Un arrendamiento se clasificará como financiero cuando transfiera sustancialmente todos los riesgos y ventajas inherentes a la propiedad. Un arrendamiento se clasificará como operativo si no transfieren sustancialmente todos los riesgos y ventajas inherentes a la propiedad. (NIC 17).

Los arrendamientos, particularmente requieren de modelos matemáticos tales como el interés compuesto, continuo, logístico,… en condiciones no estáticas, es decir a partir de procesos variacionales que se incrementan o decrementan en un tiempo o período de tiempo, que por lo tanto exige modelos matemáticos

18 Por lo menos durante el tiempo de esta investigación.19 Trabajo hecho por el equipo técnico de la Fundación IFRS que no había sido aprobado por la IASB en el transcurso de esta fase investigativa.

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más formales para su medición y valoración. Para el caso del taller propuesto y dada la versatilidad de excel, el cual permite resolver situaciones con este tipo de expresiones, se privilegió su uso por la facilidad, rapidez y seguridad al hallar los resultados, pero en un dominio estático. Estas expresiones matemáticas hacen parte de los conceptos trabajados en fundamentos de matemáticas, corresponden al saber matemático específico llamado función, cuyo estudio centra la atención en los procesos de variación, azar, probabilidad y cambio, tanto en dominios estáticos como dinámicos.

De otra parte la medición está prescrita o mejor normada a través de la NIIF 13, la cual no establece las condiciones para el uso del valor razonable, sino que garantiza un marco de referencia, a partir del cual, se pueden tener en cuenta los factores para determinar dicho valor. La norma sí incluye descripciones de algunas técnicas y enfoques de valoración, pero no determina cómo realizar dicha medición, ni valoración. La NIIF 13 (2013), define valor razonable como:

El precio que se recibiría por vender un activo o que se pagaría por transferir un pasivo en una transacción ordenada entre participantes en el mercado en la fecha de la medición, es decir, un precio de salida.

De acuerdo con lo anterior, por ejemplo en términos de arrendamiento; se podrán reconocer como propiedades de inversión, los activos tomados en arrendamiento operativo, por un arrendatario, siempre y cuando el activo cumpla con los requisitos para reconocerse como propiedad de inversión y se contabilice como un arrendamiento financiero; es decir, se deberá contabilizar el activo y el pasivo de acuerdo con lo establecido en la NIC17.

5.4 Análisis contable de la situación experimental.

Para este caso se le pidió al profesor proponente del taller, que hiciera un análisis contable de las respuestas dadas por los estudiantes. Dado que todas las respuestas fueron similares, se tomó al azar una respuesta, la cual se transcribe aquí.

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CONTRATOS DE ARRENDAMIENTO SEGÚN LA NIC 17 ARRENDAMIENTOS

Ejercicio No. 4: Utilizando la NIC 17 registre las operaciones del ejercicio No. 1

Registrar las siguientes operaciones en la contabilidad del arrendador y del arrendatario.

a) Junio 1° de 2010: La CIA ABC LTDA compró un terreno de contado en $ 500.000.000, con el fin de arrendarlo. El objeto social de esta Sociedad es la compra de inmuebles para arrendarlos.

ARRENDADOR (CIA ABC LTDA)

CODIGONOMBRE SUBCUENTA DEBE HABER

Activo /Terrenos Urbanos

500.000.000

Activo/ Bancos Moneda Nacional 500.000.000

ARRENDATARIO (LUIS BERMUDEZ)

CODIGONOMBRE SUBCUENTA DEBE HABER

ANÁLISIS PARA EL ARRENDADOR:

- Párrafo 23 de la NIC 16 –Propiedades, planta y equipo, “El costo de un elemento de propiedades, planta y equipo será el precio equivalente en efectivo en la fecha de reconocimiento…”

- Párrafo 49 de la NIC 17 –Arrendamientos, “Los arrendadores presentarán en su estado de situación financiera, los activos dedicados a arrendamientos operativos de acuerdo con la naturaleza de tales

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bienes …”

b) Agosto 1 de 2010: Arrendó el anterior terreno al Señor LUIS BERMUDEZ por la cuantía de $ 6.000.000 mensuales y recibió cheque por el primer mes. Periodo del contrato: 1 de agosto de 2010 al 31 de julio de 2011.

ARRENDADORCODIGO NOMBRE SUBCUENTA DEBE HABER

Activo/ Cuentas por cobrar Clientes

6.000.000

Ingresos / Arrendamiento Bienes Inmuebles

6.000.000

Activo /Caja General 6.000.000

Activo /Cuentas por cobrar Clientes

6.000.000

ARRENDATARIOCODIGO NOMBRE SUBCUENTA DEBE HABER

Gastos /Arrendamientos 6.000.000 Pasivo/ Arrendamientos por pagar

6.000.000

Pasivo/ Arrendamientos por pagar 6.000.000 Activo /Bancos Moneda Nacional

6.000.000

ANÁLISIS PARA EL ARRENDADOR:

-Párrafo 50 de la NIC 17 –Arrendamientos, “Los ingresos procedentes de los arrendamientos operativos se reconocerán como ingresos de forma lineal a lo largo del plazo del arrendamiento, salvo que resulte más representativa otra base sistemática de reparto, por reflejar más adecuadamente el patrón temporal de consumo de los beneficios derivados del uso del activo arrendado en cuestión”.

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ANÁLISIS PARA EL ARRENDADATARIO:

-Párrafo 33 de la NIC 17 –Arrendamientos, “Las cuotas de derivadas de los arrendamientos operativos se reconocerán como gasto de forma lineal durante el transcurso del plazo del arrendamiento, salvo que resulte más representativa otra base sistemática de reparto, para reflejar más adecuadamente el patrón temporal de los beneficios del arrendamiento para el usuario”.

c) Agosto 1 de 2011: El Sr. Bermúdez devuelve a su propietario el referido terreno

ARRENDADOR

CODIGONOMBRE SUBCUENTA DEBE HABER

ARRENDATARIO

CODIGONOMBRE SUBCUENTA DEBE HABER

ANÁLISIS PARA EL ARRENDADOR Y PARA EL ARRENDATARIO: Como en este arrendamiento operativo no hubo transferencia de los riesgos y ventajas inherentes a la propiedad, tanto el arrendador como el arrendatario no hacen ningún registro contable.

-Párrafo 8 de la NIC 17 –Arrendamientos, “…Un arrendamiento se clasificará como operativo si no transfiere sustancialmente todos los riesgos y ventajas inherentes a la propiedad”

OTROS TEMAS A TENER PRESENTES:ANÁLISIS PARA EL ARRENDADOR:

- Párrafo 51 de la NIC 17 –Arrendamientos, “Los costos incurridos en la obtención de ingresos por arrendamientos, incluyendo la depreciación del bien, se reconocerán como gastos…”

- Párrafo 54 de la NIC 17 –Arrendamientos, “Para determinar si el activo arrendado ha visto deteriorado su valor, la entidad aplicará la NIC 36 –Deterioro del valor de los activos.”

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5.5 Análisis matemático de la situación experimental.

Hecha la revisión de las respuestas dadas por los estudiantes a las preguntas del taller propuesto, se encontró que en general éstas corresponden a desarrollos generales y estáticos (las variables son incógnitas: un solo valor posible), realizados con la ayuda de excel de acuerdo con las indicaciones del profesor, dando respuestas numéricas únicamente, las cuales se dejaron como resultados en tablas de este procesador (excel), pero no se concluyó lo que pedía cada punto del taller, en el sentido de tomar una decisión o interpretación de dicha respuesta. De acuerdo con esta consideración se optó por elegir un resultado parcial (un punto) del taller de los estudiantes o grupos que lo presentaron resuelto, con el fin de hacer un análisis detallado. Las preguntas del taller y las respuestas se sustentan en la proporcionalidad, particularmente en los modelos de interés compuesto, sin embargo dado que excel no solo los propone, sino que los desarrolla y arroja la respuesta numérica y su respectiva gráfica de ser necesario, para cada caso.

Se tomó un taller en cuestión, todos similares en su contenido y desarrollo para dar respuesta a cada pregunta. El análisis hecho para esta pregunta se puede generalizar a las demás del taller revisado, así como para los otros talleres de los demás estudiantes o grupos. El ejercicio 4, fue elegido del taller para ser analizado, se transcribe del numeral 4.4, por lo tanto sólo se harán los comentarios del análisis respectivo.

Uno de los aspectos importantes en este análisis, es delimitar los desarrollos de la contabilidad desde el punto de vista social como: Contabilidad axiomática y contabilidad normativa; la primera intenta generar teoría contable desde la investigación como una construcción axiomática, que en general siguen todas las disciplinas de naturaleza científica ver (Mattessich, 1964-2002) y García Casela (2000 y 2001) y la segunda está centrada en la aplicación de normas internacionales, tales como las NIFF y las NIC, desde las cuales se da respuesta a situaciones generales, que como las propuestas en el taller objeto de este análisis se presentan. En este sentido se puede inferir que tanto el taller como las respuestas se hacen desde la postura de la contabilidad normativa y no se presentó ningún interés por hacer uso de modelos matemáticos que permitieran hallar soluciones equivalentes o diferentes a las dadas por excel. Es decir analizar la situación hipotética desde una realidad dinámica, en la que las variables, son eso, cambiantes y que para ser resueltas en una realidad social contable, requeriría de los procesos de diferenciación enseñados en cálculo.

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Ideas previas.Conceptos generadores deconflictos epistemológicos,cognitivos y didácticos

CAPÍTULO

VI

En este capítulo, se propone realizar un acercamiento conceptual de algunos conceptos básicos, que influyeron en los conflictos semióticos de los estudiantes según la investigación reportada en los capítulos anteriores. En este sentido se presentan como conceptos fundamentales, aquellos que han sido propuestos tanto en los Estándares Básicos de Competencias (2006), como en los Lineamientos Curriculares (1998) por Ministerio de Educación Nacional, en la Educación Básica y Media (colegios).

En este capítulo, se establece una relación epistemológica entre algunos conceptos que fueron propuestos como saberes previos en las fases 1 y 2, que conforman la red conceptual del saber matemático que definió el título de la investigación: “La comunicación de los Puntos críticos de una función de variable real, como un proceso de doble vía”. La relación desde una red conceptual, fue establecida en consideración a que los conceptos matemáticos no son entes aislados, sino que más bien conforman redes de asociación entre conceptos que vinculan definiciones, significados, representaciones, usos,... como parte del saber matemático cuyo lenguaje formal puede ser conflictivo para los estudiantes. A partir del análisis hecho a una de estas redes conceptuales (fases 1 y 2), fue

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posible inferir algunas implicaciones de los conflictos semióticos asociados a la propuesta investigativa.

La propuesta de este libro, no intenta hacer un análisis en profundidad de ningún concepto en particular, por lo que se aconseja a quienes así lo requieran consultar trabajos de investigación que hagan referencia a alguno de estos conceptos. El interés fundamental de esta segunda parte, es servir de conector entre los resultados presentados en la primera parte (cinco primeros capítulos) y algunos conceptos previos, que al ser fundamentales y no estar bien cimentados, pueden incidir en el desempeño de los estudiantes e inclusive en el desarrollo de una propuesta didáctica.

6.1 El signo:

“Un signo o representamen es algo que está para alguien por algo en algún aspecto o capacidad”. (Peirce, 1986).

Es aquel que toma el lugar de otra cosa llamada objeto, pero solo la representa parcialmente, a través de un interpretante. Por lo tanto éste requiere ser entendido desde la relación triádica desarrollada entre el objeto, su signo y el interpretante; en una dependencia absoluta entre ellos, sin la cual el signo no podría ser signo, por ejemplo el signo que representa al número 8, es un objeto abstracto, cuyo signo (8), evoca significados en cada interpretante, pero de ninguna manera este signo puede contener la totalidad de características, significados,… del objeto, solo puede hacer referencia a una parte de él, la que el interpretante evoque.

Un ejemplo importante para este libro, es el signo igual (=), porque el objeto que representa, corresponde a la construcción que sobre él se ha realizado y aceptado en cada uno de los dominios de las matemáticas; 2=2, 3+1=4, x=3, x=y,… En este sentido, la representación en cada caso es parcial, porque la igualdad puede referirse a una identidad, una equivalencia, un resultado o un infinitésimo.

6.1.1 El signo igual (=)

Respecto a este signo se destaca el aporte hecho por Robert Recordé (1510-1558) matemático inglés, quien en 1557 escribió un libro sobre álgebra, titulado The Whetstone of Witte (“La piedra de afilar el ingenio”) y en él aparece el símbolo (=) que hoy usamos para la “igualdad”. La importancia de la obra de Recorde,

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radica en que antes que él propusiera en su obra el símbolo de igualdad, éste se escribia con palabras como: aequales, aequantur, esgale, faciunt o gleich,…; algunas veces se abreviaba como aeq.

En la revista Suma (2008), aparecen varios significados asociados para el signo igual (=), los cuales hicieron parte del desarrollo de éste en el continente europeo y que se aplicaban a relaciones diferentes a la de igualdad.

• Francisco Vieta, en 1591, en su obra In Artem Analyticem Isagoge (“Introduction to the Analytic Arts”), utiliza el signo =, para mencionar a la diferencia (resta) aritmética.

• Descartes, en 1638, usa el signo =, para nombrar el doble signo ± (más o menos).

• Johann Caramuel, lo usaba para separar la parte entera de la parte decimal de un número, por ejemplo 21, 34 lo escribía como: 21 = 34.

• Dalaurens y Reyher ellos lo usaron para indicar el paralelismo de dos rectas.

Así mismo se han encontrado signos para la igualdad, como en el papiro del Rhind que uso ╤, en Grecia Diofanto, a mediados del s. III a. de C., la representaba por ί, en el renacimiento, Luca Pacioli (1445-1517) la representaba por æ, al igual que Francisco Vieta (1540-1571), como diminutivo de la palabra “aequalis”, otros físicos y matemáticos como, Kepler, Galileo, Pascal y Fermat la escribían con expresiones como “aequales, aequantur, esgale, facinut ghelijck, gleich”, Regiomontano la representaba como (-) una raya horizontal, y finalmente el matemático inglés Recorde, asignó el signo que actualmente se mantiene para la igualdad =, sin embargo este signo por ese entonces tenía por lo menos cinco significados diferentes, de acuerdo con cada autor, se dice que éste fue un motivo por el cual casi no se elige este signo para la igualdad. (Boyer 1999).

Símbolos empleados para representar la igualdad en matemáticas

Símbolo Representante

[ Johannes Buteo (1492-1564/1572?)

|| Whilhelm Holtzmann (1532-1576))=( Leonard (1515-1559) y Thomas Digges (1546-1595)| Samuel Reyher (1635-1714)

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2|2 y Џ Pierre Hérigone (1580-1643)_∧_ Hugo de Omerique (1634-1698)

≏ˆ Tomás Vicente Tosca (1651-1723)Æ Francisco Vieta (1540-1603)

|| y Rene Descartes (1596-1650)

Tabla 20.

Una de las dificultades, generadoras de conflictos semióticos en los niños de primaria, en la aritmética y que se trasladan al campo del aprendizaje del álgebra, corresponde a la comprensión del signo igual. Según estudios hechos por Carpenter et al. (2003) y Molina (2006), en aritmética el signo igual, es percibido por un alto porcentaje de los niños como el resultado de una operación particular (suma, resta,…), lo cual genera en ellos significados parciales que no les permite comprender el signo igual como una relación de equivalencia numérica entre dos expresiones que se encuentran a ambos lados del signo (=).

Algunos resultados, del estudio hecho por Behr, Erlwanger y Nichols (1980), con niños de 5 a 8 años de edad sobre los errores que cometen cuando tienen una construcción parcial del signo igual, es decir cuando lo interpretan como un resultado (como operador) fueron:

Como ecuación: Cuando se presentan como ecuaciones de la forma 8 = 3+5, consideran que han escrito al revés.

Como una suma: Cuando se escribe 7=7, consideran que están mal escritas y las corrigen como 7+0=7.

Sentido unidireccional: Otro tipo de expresiones que no tenían sentido para los niños eran 2+5= 3+4, porque tendían a ignorar en la segunda parte de la expresión el “+4”. Lo anterior da cuenta de que el signo de igualdad no se ha comprendido en un sentido bidireccional, es decir su lectura no se hace de derecha a izquierda y de izquierda a derecha.

Los anteriores casos fueron analizados con un grupo de estudiantes de primer semestre de Administración, a través de lecturas científicas, reportes de investigación y un ensayo crítico. A partir de lo anterior se hizo una puesta en común, se explicó la relación de equivalencia al grupo de estudiantes, y se analizaron las propiedades que la definen (reflexiva, simétrica y transitiva), como

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aplicación de esto se les pidió a los estudiantes presentar por escrito y exponer una relación de equivalencia en Administración de Empresas. El 75% presentó una relación de equivalencia en situaciones sencillas, bien argumentadas, con las condiciones exigidas para ser una relación de equivalencia. En el parcial que evaluaba el tema en cuestión se les propuso la siguiente situación:

“La relación: 4(2r + 1) + 7 = 35 es equivalente con la relación 4x + 7 = 35. Si__ No__, (argumente, a través de las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva).” Entre las respuestas dadas se destacan las siguientes.

El 60% del grupo contestó que “sí, y escribieron porque 4x = 2r+1”. El 25% Contestó que no, y sus argumentos fueron, “el valor de r es diferente del de x”; “falta otra expresión para que sean transitivas”, “r =3 es diferente de x=7” y el 15% restante marcó la opción sí, pero no argumentó nada. Una de las respuestas, dada por una estudiante fue la siguiente18:

20 Se escaneó para conservar la originalidad del escrito.

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Llama la atención la forma ordenada e ingeniosa de la estudiante, para argumentar su respuesta (si). Nombra las dos ecuaciones que escribe como A y B, respectivamente, A: 4(2r + 1) + 7 = 35 y B: 4x + 7 = 35. Luego despeja en cada una de ellas la incógnita respectiva (r en A y x en B), encontrando su valor, el cual reemplaza en la misma ecuación y comprueba que es una igualdad. Es decir que ella está interesada en mostrar que las dos componentes de la izquierda de A y B (4(2r + 1) + 7= 4x + 7) son equivalentes, para r = 3 y x =7.

En general, las respuestas de los estudiantes a esta pregunta, permiten decir que; a pesar que todos tuvieron la posibilidad de ser confrontados con diversas situaciones sobre la relación de equivalencia, se evidencian dificultades para responder a la que fue planteada en el parcial para el 40%, lo que puede significar también que el nivel de comprensión (interés, motivación, trabajo,…) no fue el mismo para todos y que las ideas previas sobre la relación de equivalencia son resistentes al cambio.

6.2. Los números reales R:

Debemos admitir con humildad que, mientras el número es puramente un producto de nuestra mente, el espacio tiene una realidad fuera de nuestra mente, de modo que no podemos prescribir completamente sus propiedades a priori.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Después del s. XVIII, se inició la formalización de los conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales, irracionales, algebraicos, trascendentes, reales y complejos) con el rigor actual, a través de la lógica y la axiomatización presentes en los dominios de la aritmética y el álgebra elemental. Fueron los trabajos de matemáticos como: Peano, Peirce, Bolzano, Cantor, Weierstrass, Cauchy, Gauss, Euler, Krônecker, Dedekind y otros con los que se construyó lo que hoy se conoce de estas dos ramas de las matemáticas (aritmética y álgebra), así como la formalización del cálculo o análisis, el cual fue posible cuando se definieron los números irracionales, en términos de variables y no de infinitesimales como hasta ese entonces se hacía.

Es pues importante resaltar, que fueron necesarios más de veinte siglos, para determinar la naturaleza de los números irracionales, así como su definición rigurosa y formal en las matemáticas, por ende se pueden inferir los obstáculos o conflictos semióticos de orden epistemológico, sufridos por los matemáticos que

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intentaron infructuosamente entender los números que no se comportaban como una razón (número racional) y que al hacerlo, dieron origen al saber matemático en el que se encuentra los puntos críticos de una función de variable real.

Los números reales R, pueden ser clasificados en dos categorías distintas: 1. La unión entre los números racionales (Q) con los números irracionales (I). 2. La unión entre los números algebraicos (A) con los números trascendentes (T). La primera categoría, es la que se enfatiza y privilegia en la enseñanza de las matemáticas del colegio y la universidad, sin embargo, esta categoría es confusa y conflictiva para los estudiantes, al intentar diferenciar los números racionales de los irracionales, más aún cuando se sabe que los números racionales tienen decimales (finitos y periódicos infinitos) y los irracionales tienen decimales infinitos. Es habitual por ejemplo, que se diga que “π = 3,14” o que “√2 = 1,4142”. La segunda categoría, es una alternativa para enseñar los números reales como números algebraicos y números trascendentes. En los que se cumple que, todo número racional es algebraico, pero todo número algebraico no es racional, por ejemplo √2 es algebraico pero no es racional, mientras que todo número trascendente (π, e,∅ ) es irracional, pero no se cumple lo contrario, por ejemplo √2 es irracional, pero no es trascendente.

6.2.1. Números racionales (Q), y números irracionales (I).

Con los trabajos hechos por matemáticos de culturas como las de Babilonia, Egipto y Grecia (a. C.) se consolidó en occidente, después del s. XVIII, que los números racionales son ordenados, densos19 y se pueden escribir de la forma:

21 La densidad en los Q y en los I, está determinada porque entre dos números racionales hay infinitos números racionales y entre dos irracionales hay infinitos números irracionales también.

21

Los números que no se pueden escribir como un número racional, son conocidos como números irracionales (tienen infinitos decimales), por ejemplo π, e, √2 e infinitos números más, los cuales también son ordenados y densos. Otro aspecto interesante, es que al ubicar el conjunto de los números racionales (Q) o el de los irracionales (I) en la recta numérica, no se completa o llena (quedan huecos

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A continuación se presentan equivalencias entre puntos de la recta real y números racionales. Entre cada par de racionales seguidos hay infinitos números irracionales, por ejemplo entre 0.25 y 0.5. Otro aspecto importante es que esta representación de los números racionales (igual si fuera con los irracionales) deja huecos o espacios entre un número raional y el siguiente.

6.2.2. Números algebraicos y números trascendentes.

La segunda categoría establece que, los números algebraicos son aquellos números reales que son solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales:

Números racionales, por ejemplo, el trinomio de grado dos,con coeficientes a, b y c constantes.

Todos los números algebraicos son computables20 y por tanto definibles, de donde se deduce que todos los números reales no computables son trascendentes y se les conoce como números aleatorios. El conjunto de números algebraicos es numerable, y por ende el conjunto de números aleatorios no es numerable. Importante aclarar que el número imaginario “i = (√-1)” es algebraico, porque es solución de la ecuación cuadrática x2 + 1 = 0, pero no pertenece al conjunto de los números reales.

Los números trascendentes son aquellos números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales. Todos los números trascendentes son irracionales, pero todos los irracionales no son trascendentes.

22 Operados por algún algoritmo en una computadora. Ver trabajos del matemático Alan Mathison Turing (1912-1954), padre de la computación.

en la recta o vacíos), lo cual genera espacios, significando que tanto Q como I son discretos, es decir que entre dos números racionales tan cercanos como se quiera, hay infinitos números irracionales o viceversa. Sin embargo cuando se unen estos dos conjuntos Q U I=R la recta numérica se llena y es continua (no quedan huecos o espacios) generando el continuo y por lo tanto el conjunto de números reales R, es ordenado, denso y continuo.

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El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos, pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, tiene infinitos elementos pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.

Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville en 1844, demostrando que el número:

∞

Σ 10-k! =0.110001000000000000000001000...es trascendente.k=1

Posteriormente, Hermite en 1873, demostró que el número e (número de euler), es trascendente y siguiendo los pasos de Hermite, en 1882 Lindemann hizo lo propio con el número π, demostrando que es trascendente también.

Una característica importante de los números reales, y que se destaca en este libro, es que la mayoría de los números reales son transcendentes. El argumento para determinarlo es: Todos los números algebraicos son “numerables” (el conjunto de números enteros es “numerable”, y a partir de ellos, se pueden ordenar los números algebraicos, para que a cada número algebraico, se le asigne un número entero, luego, los números algebraicos también son numerables). Sin embargo los números reales no son “numerables” y como todo número real, es algebraico o transcendente, los transcendentes deben ser “no numerables”. Así que hay muchos más números reales transcendentes que algebraicos.

6.2.3. Cuadratura del círculo

Este fue un problema de la Grecia clásica, corresponde a uno de los tres grandes problemas planteados en la geometría, por los griegos, los cuales fueron: la trisección de un ángulo dado, la cuadratura del círculo y la duplicación del volumen de un cubo. No fueron resueltos satisfactoriamente por ellos, sino que hubo que esperar hasta los trabajos de matemáticos de los siglos XVI-XVIII.

El primer matemático que intentó resolver este problema fue Anaxágoras de Clezomone (499 - 428 a. de C.), Hipócrates de Quíos (470 a. de C.) también

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dedicó grandes esfuerzos pero sin éxito. Otros matemáticos griegos, de escuelas distintas a la de Platón buscaron respuestas al problema obviando la restricción del uso exclusivo de la regla y el compás, tal es el caso de Dinóstrato (S. IV a. de C.), el cual utilizando la Cuadratriz de Hipias demuestra que es posible rectificar la circunferencia y, por consiguiente, es posible resolver la cuadratura del círculo, aunque sin la restricción del uso exclusivo de la regla y el compás21.

A la solución de este problema también contribuyeron Antifón y Brisón (s. V a. de C.), la solución aproximada de Antifón sugirió a Arquímedes de Siracusa (287-212 a. de C.) su importante descubrimiento, la determinación de la medida de la circunferencia y del área del círculo a partir de π. Arquímedes, con la diáfana visión que lo caracterizó, desechó la posibilidad de construir la solución con regla y compás, y se fundamentó en que la longitud de la circunferencia estaba comprendida entre las longitudes de los polígonos regulares inscritos y circunscritos. En este procedimiento llamado también exhausión, se enmarca el inicio del método que fue perfeccionado en el s. XVIII por Riemann (1826-1866), y que hoy se llama paso al límite, (Boyer, 1959/1992)

La solución general a estos tres problemas tuvo que esperar hasta los trabajos de matemáticos, a partir del s. XVI, porque fueron ellos quienes lograron dar rigor a los números irracionales, entre ellos están Bolzano (1781-1848), Weierstrass (1815-1897), y con ello se amplió el espectro para la construcción de los números reales con Dedekind (1831-1916) y Cantor (1845 - 1918) como la unión de los números racionales e irracionales. Este hecho, aportó entre otros logros a uno de los más grandes en el desarrollo de las matemáticas; el surgimiento y desarrollo del cálculo o análisis matemático con el rigor actual.

Los primeros intentos de cuadrar el círculo, fueron empíricos, mucho antes del período de los grandes matemáticos de la Grecia antigua, quienes no se conformaron con estos desarrollos y empezaron a estudiar el problema, aún desde la filosofía. Según la historia de la matemática (Boyer, 1999), el problema de construir un cuadrado de igual área que la de un círculo dado, se remonta a los inicios de las matemáticas y se puede sustentar en escritos como el encontrado, del escriba Ahmes (s. II a. de C.), quien en el papiro del Rhind da una regla para construir un cuadrado de área casi igual a la de un círculo: “cortar un 1/9 del diámetro del círculo y construir el cuadrado con lo restante. Esto da una aproximación para el número π,de 3.1605”, aunque todavía lejos del verdadero

23 Método usado por los matemáticos griegos, exigido por el rigor impuesto por ellos.

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valor.

Para resolver el problema planteado se conocen tres métodos: 1. usando regla y compás solamente; 2. por medio de curvas planas superiores y, 3. por métodos como las series infinitas, como aproximación del problema. Los griegos encontraron las dificultades del primer método, aun cuando no demostraron que era imposible (con regla y compás, solamente); con el segundo método fueron exitosos y con el tercero menos hábiles por las dificultades con las medidas conmensurables (números).

El problema de la cuadratura del círculo en las matemáticas griegas, fue trabajado por matemáticos y filósofos, pocas veces fue entendido adecuadamente, según sus alcances en lo conmensurable e inconmensurable (hasta Arquímedes s. III a. de C.), fue muy popular entre ellos y se conocen trabajos como los de: Oenopides, Antifanes (Antifón), Brisón, Hipócrates e Hipias. Parece que Oenopides de Quíos en el (s. V a. de C.), buscaba soluciones planas a problemas geométricos y según Proclo Diadochus, historiador griego de la época (s. V a. de C.), le atribuye a él dos teoremas, en los que Oenopides dejó las construcciones explícitas del tipo “planas” o de “regla y compás”. No hay ningún registro de algún intento hecho por Oenopides para cuadrar el círculo por métodos planos. (Boyer, 1959/1992)

Hipócrates de Quíos, fue el primero en usar una construcción plana para encontrar un cuadrado con área igual a la de una figura con lados circulares. Sin embargo Hipócrates fue consciente que sus métodos fallaron para cuadrar el círculo, pero fue el primero en cuadrar una figura curvilínea; construyó semicírculos en los tres lados de un triángulo recto isósceles y mostró que la suma de las áreas de las lunas así formadas era igual al área del triángulo mismo, respecto a la cuadratura del círculo sus trabajos no fueron importantes.

Como intento de hallar solución a la cuadratura del círculo, al sofista Antífanes se le atribuye el siguiente raciocinio:

Si se inscribe en un círculo un cuadrado y después, bisectando los arcos respectivos, se inscribe un octágono y así sucesivamente se llegará a un polígono cuyos lados serán tan pequeños que el polígono podrá confundirse con el círculo y, como todo polígono puede transformarse en un cuadrado equivalente, queda demostrada la posibilidad de encontrar el área de un cuadrado equivalente con la de un círculo.

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En 450 a. C., otro sofista llamado Brisón, mejoró el argumento, no solo inscribiendo polígonos, sino también circunscribiéndolos y expresó que el área del círculo era mayor que la de los polígonos inscritos y menor que la de los polígonos circunscritos; a él se le atribuye el razonamiento erróneo de que el área del círculo estaba dada por “el valor medio proporcional entre las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito”, lo cual equivalía a aceptar como cierto que era igual a o que es un número racional.

En 1761, Lambert probó que era un número irracional aun cuando eso no era concluyente. Sin embargo, en 1882, F. Lindemann demostró la trascendencia de , como número al mostrar la imposibilidad de cuadrar el círculo con el uso de regla y compás, solamente. Es importante mencionar que los números reales22 se pueden también dividir en algebraicos y trascendentes: Los números algebraicos son los números reales (racionales e irracionales) que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales (fracciones, decimales finitos y decimales periódicos infinitos). Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales, estos números son irracionales, pero no todos los irracionales son trascendentes, por ejemplo los números y e, son números irracionales y trascendentes. La posibilidad de encontrar con regla y compás un cuadrado de área equivalente a la de un círculo, fue un problema que se intentó resolver desde los griegos s. IV a de C., hasta que Lindemann, demostró su imposibilidad.

Descripción del problema de la cuadratura del círculo.

El problema consiste en la búsqueda de un cuadrado de área equivalente a la de un círculo dado. Éste se enuncia de la siguiente forma: Usando solamente regla y compás, Determinar, el lado de un cuadrado de área equivalente al área de un círculo de radio dado.

Es posible hacer una construcción geométrica aproximada de la cuadratura del círculo con regla y compás, desde la intuición hacia el rigor o simplemente recreativa, pero en todo caso, hacer las aclaraciones respecto a que cualquier aproximación dada al número trascendente e irracional , es racional.

24 Tradicionalmente se enseñan como la unión de los conjuntos de números racionales (Q) e irraciona-les (I).

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“2√2 2.828.”, π

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Propuesta didáctica para construir un cuadrado, de área equivalente a la de un círculo.

• Objetivo General

Construir un cuadrado de igual área que la de un círculo dado, a partir del método de regla y compás.

• Específicos

- Revisar en la historia de las matemáticas, algunas soluciones al problema, a partir de las condiciones de la matemática griega (regla y compás).

- Diferenciar las magnitudes conmensurables e inconmensurables a partir de números algebraicos y trascendentes respectivamente.

- Presentar por lo menos una solución al problema.

• Solución del problema

La solución del problema de la Cuadratura del Círculo conduce a la ecuación que tiene como variable la medida del lado del cuadrado de área equivalente al área del círculo de radio unidad. Esta ecuación es x2= π, en ella el coeficiente π del término independiente no es algebraico, como demostró Lindaman F. (1852- 1939) que π es trascendente y no algebraico, por tanto, no podía ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales. Con este resultado quedaba definitivamente probado que no puede cuadrarse un círculo de radio dado solamente con regla y compás.

En la gráfica 27, las áreas del círculo de radio R=1 y del cuadrado de lado L, son iguales, si se cumple que: √π = L, hecho que geométricamente (solución con regla y compás) conlleva a encontrar valores aproximados, para π. Lo anterior significa que con regla y compás, teniendo en cuenta además las condiciones de rigor impuestas por los griegos es imposible hallar una solución a este pro-blema; además porque ellos tan solo trabajaban los números enteros mayores que 1, (eludieron trabajar con el cero como número), con lo que los procesos de inconmensurabilidad (números trascendentes) trabajados con las magnitudes geométricas no concordaban con los trabajos hechos en los procesos de con-mensurabilidad (números racionales).

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• Construcción 1

Partiendo de un círculo de radio (cuya área será, entonces, ) que se pueda girar (como un aro). Se marca un punto en él y se hace girar sobre un papel hasta que realice un giro completo (360°), por lo tanto el punto habrá marcado un segmento de longitud , tomando un segmento igual a la mitad de esa longitud, es decir , se une a otro segmento de longitud igual al radio del círculo inicial, o sea , y se traza una semicircunferencia que tenga como diámetro la suma de los segmentos de longitud , como se muestra en la gráfica 28.

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Luego se traza un segmento que sea perpendicular al diámetro , que corte a la semicircunferencia en el punto de intersección de los dos segmentos punteados, con lo cual se tienen tres triángulos formados por los dos extremos del diámetro y el segmento trazado desde el punto de corte con la semicircunferencia, generando tres triángulos rectángulos (como se muestra en la gráfica 29.)

La longitud del segmento perpendicular al diámetro, se puede calcular así: sea h, la longitud de ese segmento. En la gráfica 30, se representan los tres triángulos rectángulos: 1. (con hipotenusa, a); 2. h, b, R (con hipotenusa, b) y 3. (con hipotenusa ).

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Usando el teorema de Pitágoras en los tres triángulos se tienen las siguientes tres igualdades:

Con lo cual se ha logrado construir un segmento h, de longitud igual a que corresponde al lado del cuadrado cuya área es igual a la del círculo de radio dado R (ver gráfica 31.)

Construyendo ahora un cuadrado de lado igual al segmento h, tendremos por tanto un cuadrado de área: Es decir, un cuadrado con la misma área que el círculo inicial.

A pesar de esto, se han seguido buscando métodos geométricos de aproximación hasta nuestros días, incluso por matemáticos prestigiosos. Se busca una construcción sencilla, elegante y con el menor número de pasos.

1. a2=h2+(πR)2

2. b2=h2+R2

3. (πR+R)2=a2+b2

4. a2+b2=[h2+(πR)2 ]+ [h2+R2 ].

Reemplazando en la tercera ecuación se tiene que:

5. [(πR+R)2 ]=[h2+(πR)2 ]+ [h2+R2 ]=2h2+(πR)2+R2

Resolviendo el cuadrado de la izquierda de la igualdad en la ec. 5, se obtiene:

6. (πR)2+R2+2πR2=2h2+(πR)2+ R2, simplificando se reduce a que:

7. 2πR2=2h2 →h2= πR2;luego h=√π R

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• Construcción 2, cuadratura del círculo

Sea el círculo de radio R y de acuerdo con la gráfica 32, se tiene que:

1. La longitud de la circunferencia C, es: C= 2 πR, y su área A,

2. Es A= πR2 .

Despejando π en la ecuación dada en 1. Se tiene que π =

reemplazando

este valor en la ecuación 2., se tiene que A= R2= R=L2: (área del cuadra-do con igual área del círculo de radio R). De esta última ecuación se despeja L=√ y, construyendo un cuadrado de lado L, por lo tanto:

C 2R

CR 2 C 2R

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• Conflictos semióticos en la solución de la cuadratura del círculo.

Los griegos tuvieron dificultades al intentar resolver el problema de la cuadratura del círculo, porque de una parte, no contaban con un sistema numérico que les permitiera diferenciar los números racionales de los irracionales, por lo tanto trabajaron con aproximaciones para π (número pi). De otra parte, porque todos los problemas geométricos los resolvían con regla y compás como magnitudes conmensurables, y como fue demostrado en matemáticas el número π (irracional y trascendente), no es conmensurable, a lo sumo se puede hallar una aproximación, la cual corresponde a un número racional. Este hallazgo permitió construir el conjunto de los números reales como la unión entre los conjuntos numéricos de los números algebraicos con los trascendentes.

La solución de la cuadratura del círculo con regla y compás únicamente, no es imposible de hallar, para encontrar soluciones, es necesario recurrir a otros medios adicionales a la regla y el compás.

En la solución de este problema de la cuadratura del círculo, queda como aporte importante también, que los números reales se pueden clasificar como algebraicos y como trascendentes y estos dos conjuntos numéricos son disyuntos, es decir su intersección es vacía (no tienen elementos en común).

6.3 La recta: “Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella” Euclides, 300 a C. (libro Los elementos).

Dada la importancia de este concepto, el cual no se ha podido definir rigurosamente, pero fue propuesto y definido por Euclides (300 a C.) en su libro Los elementos, siendo considerado como un concepto fundamental, tanto para la disciplina matemática, como para la matemática escolar.

Del libro los Elementos, es famoso el quinto postulado de Euclides. Su intento por definirlo y demostrarlo tardó aproximadamente veinte siglos, a partir de lo cual aparecieron las geometrías no euclideanas. Algunas interpretaciones del quinto postulado de Euclides como las siguientes, dieron nacimiento a dichas geometrías en el s. XVIII.

1. Por un punto exterior a una recta, sólo pasa una recta que es paralela a la

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dada. (geometría clásica o euclideana)Quinto postulado de Euclides (325? – 265? a. de C.).

2. Por un punto exterior a una recta, no pasa ninguna recta paralela a la dada. (dio orígen a la geometría Elíptica, ).Quinto postulado propuesta de Saccheri (1667-1733).

3. Por un punto exterior a una recta, pasa más de una recta que es paralela a la dada. (dio origen a la geometría hiperbólica).Quinto postulado: propuesta de Saccheri (1667-1733).

El concepto de la recta, por su complejidad no se ha podido definir rigurosamente en matemáticas, se conocen eso sí, algunas ideas intuitivas de ella, como por ejemplo, “sucesión infinita de puntos en una misma dirección”, “menor distancia entre dos puntos”, “Aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”,…Sin embargo, desde los griegos se planteó una discusión alrededor de este concepto, particularmente, indagando por la recta paralela que pasa por un punto exterior a una recta dada. Esta situación trascendió alrededor de veinte siglos y concluyó entre los siglos XVIII y XIX con la aparición de las geometrías no euclideanas, con las que se logró demostrar que las rectas no son tan rectas y que este concepto se debe interpretar desde el contexto tierra o espacio (universo), por lo tanto su naturaleza es relativa. Los vestigios escritos de este referente emblemático y jabonoso, como lo es la recta o el de las rectas paralelas se centran en los griegos.

Rectas paralelas: Aproximadamente tres siglos antes de Cristo aparece en Grecia un trabajo sobre matemáticas, llamado “Los Elementos de Euclides”, el cual es un tratado sobre geometría, rigor, argumentación, axiomatización, razonamiento deductivo y formalismo matemático muy importante, que ha trascendido por 24 siglos y que ha sido el pilar fundamental para el desarrollo de la ciencia en occidente, desde la axiomatización del conocimiento. Los elementos es considerada una obra cumbre de la humanidad.

La geometría euclideana: (Educación Básica) y la geometría analítica (Educación Media), son tal vez las únicas que se enseñan en los colegios (por lo menos en Colombia) según los referentes de Calidad del MEN. En ambas, las concepciones que circulan en el saber escolar sobre rectas son similares y éstas

6.3.1

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parten de la geometría de Euclides, convirtiéndose en el único acercamiento a este concepto (de naturaleza compleja) y por lo tanto queda en el imaginario de los estudiantes que las rectas “son rectas”. La geometría de Euclides es muy importante en la enseñanza y fundamentación matemática, pero es importante también que se enseñen las geometrías no euclideanas desde nociones básicas como el de las rectas y los triángulos, para ampliar la visión de universo que se tiene. En la tabla 21, aparece una gráfica de un triángulo en geometría euclideana, así como un resumen sencillo de rectas paralelas, suma de ángulos de un triángulo y naturaleza de las rectas en esta geometría con la intención de compararlos con dos geometrías no euclideanas que se analizarán de manera sucinta y sencilla en seguida de esta geometría.

Tabla 21. 1. GEOMETRÍA EUCLIDIANA (por: EUCLIDES)

RECTAS PARALELAS

SUMA DE ÁNGULOS

DEL TRIÁNGULO

LAS RECTAS SON

Por un punto exterior a una recta, sólo pasa una recta paralela a la dada.

La suma de los ángulos internos del triángulo es:

A+B+C=180°

La longitud de las rectas es infinita.

La trascendencia de los Elementos de Euclides, se da por ejemplo con uno de los postulados más famosos, el quinto o también conocido como el postulado de las rectas paralelas. Este postulado permitió el desarrollo de nuevas geometrías, con las cuales se ha interpretado mejor el universo porque en la escala de la tierra (km, mi,…), la geometría euclideana puede resolver las nociones de espacio y tiempo, pero en las escalas astronómicas del universo (años luz) ya no lo es, y por lo tanto se hace necesario de otras geometrías que permitan interpretar mejor esta noción de espacio-tiempo en las distancias entre galaxias o entre cúmulos por ejemplo, como se puede apreciar en las fotos de las sondas espaciales que son de dominio público en la red (ver el siguiente enlace): http://www.meteovigo.es/mapa-temperaturas/satelites-nasa-3d.html) y que son evidencia de la interpretación del universo a partir de las geometrías no

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euclideanas.

Los Elementos de Euclides constan de trece libros, en los que se describen 465 proposiciones (axiomas y postulados), 372 teoremas, y 93 problemas. Los Elementos, fueron escritos a partir de la lógica de Aristóteles, con el método axiomático, el cual es el que actualmente siguen todas las disciplinas científicas. Los Elementos desarrollan unas nociones básicas llamadas: axiomas que son proposiciones evidentes y los postulados que son proposiciones no evidentes por sí mismas, sin embargo actualmente se asume que tanto los postulados como los axiomas son sinónimos.

Geometría hiperbólica: En el libro I de los Elementos, aparece el quinto postulado, el cual duró 22 siglos para ser demostrado rigurosamente, a partir de los trabajos de cientos de matemáticos que durante este tiempo intentaron infructuosamente resolverlo, pero que en todo caso fueron valiosos para edificar lo que se alcanzó en el s. XIX con los trabajos de matemáticos como: Janos Bolyai (1802-1860), quien partió de la hipótesis que el quinto postulado de Euclides era independiente de los cuatro anteriores a este, y que por lo tanto podía sustituirse por otro no equivalente, como: “Desde un punto exterior a una recta pueden trazarse infinitas rectas paralelas a la dada”. Este trabajo de Bolyai, fue publicado hasta 1832, como parte de un libro de su padre, quien envió una copia a Gauss presentándole el hallazgo de su hijo, pero Gauss, le respondió que ya había llegado a la misma conclusión en los trabajos que venía desarrollando desde hacía 30 años y que se había propuesto no publicar en vida.

Otro matemático llamado Lobachevski, en forma independiente llegó al mismo resultado. Así pues en la actualidad se le da crédito a los trabajos de los matemáticos Janos Bolyai, húngaro; Karl Friedrich Gauss (1777-1855), alemán; y Nicolai Lobachevski (1792-1856) ruso, quienes por caminos diferentes encontraron lo que hoy se conoce como una geometría no euclideana llamada geometría hiperbólica. En esta nueva geometría las rectas son infinitas, al igual que en la geometría de Euclides y se demostró rigurosamente que la suma de los ángulos interiores de un triángulo hiperbólico es inferior a 180°, y que la intersección de dos planos hiperbólicos paralelos contiene rectas paralelas entre sí (ver gráfica en la tabla 22).

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Tabla 22. 2. GEOMETRÍA HIPERBÓLICA (por: BOLYAI, LOBACHEVSKI, GAUSS)

RECTAS PARALELAS

SUMA DE ÁNGULOS

DEL TRIÁNGULO

LAS RECTAS

SON

Por un punto exterior a una recta, pasan INFINITAS rectas paralelas, a la dada.

La suma de los ángulos internos del triángulo es:

A+B+C < 180°

La longitud de las rectas es infinita.

Geometría elíptica: Otra geometría no euclideana que se pudo encontrar a partir del quinto postulado de Euclides, fue la llamada geometría elíptica, la cual fue logro del matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). La hipótesis de Riemann tuvo la misma consideración de la de Bolyai, en el sentido de que la hipótesis era independiente de los cuatro postulados anteriores al quinto, pero al contrario de Bolyai, Gauss y Lobachevski; negó la existencia de rectas paralelas que pasarán por un punto exterior de una recta dada. Riemann propuso como hipótesis no equivalente que “Desde un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a la dada”. A partir de esta hipótesis, Riemann logró demostrar que dos rectas elípticas siempre tienen un punto en común, dichas rectas son ilimitadas con longitud finita y siempre es la misma, y además que la suma de los ángulos internos de un triángulo elíptico es mayor que 180° (ver gráfica en la tabla 23).

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Tabla 23. 3. GEOMETRÍA ELÍPTICA (por: RIEMANN)

RECTAS PARALELAS

SUMA DE ÁNGULOS

DEL TRIÁNGULO

LAS RECTAS SON

Por un punto exterior a una recta, NO pasa NINGUNA recta paralela a la dada.

La suma de los ángulos internos del triángulo es:

A+B+C > 180°

En esta geometría la longitud de las rectas es finita.

Triángulos en geometrías; euclideana y no euclideanas: En las gráficas expuestas en las tablas 21, 22 y 23 se destaca un triángulo con vértices y ángulos internos A, B y C. Dicho triángulo toma la forma de acuerdo con la geometría expuesta (euclideana, hiperbólica o elíptica) y los segmentos de recta que forman los lados de éste, corresponden a la naturaleza de las rectas (euclideanas, hiperbólicas o elípticas) que pasan por dos vértices del respectivo triángulo en cada geometría, como se muestra en las figuras de la tabla 24.

6.3.2 La recta tangente: “Una recta es tangente a una circunferencia cuando la toca, y al prolongar dicha recta no corta en ningún punto”. (Elementos de Euclides, Definición III-2).

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Los estudios y trabajos que involucran la búsqueda y determinación de tangentes, fueron de los más recurrentes en la evolución histórica de la derivada, y se ubican en diversas concepciones como: geométricas, algebraicas, de la geometría analítica, infinitesimalistas y como límite. A partir de estas concepciones se ilustrarán en forma general, algunas de ellas, las cuales fueron tomadas de Boyer (1992/1957) y otros autores como evidencia de las gestas que dieron nacimiento a la función derivada y que culminaron en 1823 con el trabajo de Cauchy, con el cual se logró formalizar el cálculo, en particular la derivada y a partir de lo cual la tangente pasa de ser un concepto meramente intuitivo a uno formal y riguroso, llamado recta tangente, para lo cual fue necesario esperar veinte siglos.

La tangente en la matemática griega: “Desde un punto dado trazar una recta tangente a un círculo”. Los griegos consideraban que la recta tangente a una curva era una recta que “tocaba un punto” de la curva sin cortarla en ningún otro.

Para Suzuki (2005), Euclides (330? – 275? a de C.), fué uno de los griegos cuyo interés por el estudio sobre rectas trazadas en circunferencias y el ángulo recto que éstas forman con el diámetro del círculo, permite determinar dos propiedades que según él constituyen las características de la recta tangente: 1. La recta sólo tiene en común un punto con la circunferencia. 2. No se puede interponer otra línea entre esa recta y la circunferencia.

Los matemáticos griegos no disponían de métodos generales para trazar rectas tangentes a cualquier curva, por lo que los problemas que abordaban eran múltiples casos particulares, como por ejemplo los de Arquímedes y la tangente en la espiral; Euclides y la tangente a una circunferencia y Apolonio (262-190 a de C.) y los métodos geométricos desarrollados para hallar tangentes en las cónicas.

Métodos algebraicos para hallar tangentes: Con las aportaciones de Viète al álgebra y la creación de la Geometría Analítica, el desarrollo del Cálculo en general se dio a marchas agigantadas. Los matemáticos del siglo XVII, comen-zaron a desarrollar distintos métodos para abordar problemas sobre: tangentes, máximos y mínimos, y velocidades, todos ellos con la intención de encontrar métodos generales aplicables a determinados campos de problemas. Sin em-bargo, esos métodos fueron concebidos desde distintos enfoques como los de

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La parábola cúbica fué una curva bien conocida por Fermat, hizo referencia a ella en una carta escrita en 1636, en la que dijo que:

…una figura como una parábola, de tal tipo que los cubos de las ordenadas están en proporción con los segmentos que ellas cortan en el diámetro. Esta figura es algo como una parábola y difiere de ésta solo en el hecho de que en una parábola tomamos la razón de los cuadrados mientras que es esta figura yo tomo la de los cubos. Esta es la razón por la cual M. de Beaugrand, a quien le presenté este problema, la llama una parábola cúbica. (Fermat, 1959, P. 611).

A partir de la gráfica es posible preguntarse ¿Cómo determinar la tangente en el punto A, en donde la curva y el diámetro coinciden, si se acepta la tangente como

Descartes, Hudde y Sluse, para el cálculo de tangentes, normales o subnorma-les. En este sentido Descartes hace mejoras en la simbología utilizada por Viète, empleando las primeras letras del alfabeto para las cantidades conocidas y las últimas para las incógnitas; sin embargo al igual que Viète, solo utiliza las letras para representar valores positivos. Descartes introduce los signos + y – para efectuar operaciones entre términos con coeficientes literales, así mismo intro-duce el signo de la raíz cuadrada (√ ) y la notación x3, x5, xn, para n=1,2,3,4,5,… Uno de los aportes más significativos de Descartes fue el de traducir un proble-ma geométrico en lenguaje algebraico.

La geometría analítica, creada por Descartes y Fermat, independientemente uno del otro, en la tercera década del siglo XVII, marca una etapa más en el desarro-llo de la determinación de la recta tangente en una curva y en este sentido vale la pena decir que la siguiente curva fue muy importante para ello.

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una recta que toca un punto pero que no corta en ninguno a la curva?

Preguntas como esta, llevaron a matemáticos del s. XVII, como Descartes, Fermat Roberval, Barrow y Torricelli a cuestionar los métodos utilizados por los griegos y en consecuencia se propusieran resolver la situación para hallar la recta tangente a una curva dada en cualquier punto.

Métodos infinitesimalistas para determinar tangentes: Fermat y Barrow tuvieron un enfoque algebraico y no es posible inferir de sus trabajos que interpretaran las letras como variables, así como tampoco que tuvieran una noción clara sobre variable independiente o función y menos inferir que entendieran los incrementos como infinitesimalistas; sin embargo sus trabajos permitieron a otros como Newton y Leibniz, abordar el cálculo de tangentes o subtangentes. En general, la noción algebraica, tanto en el método de Barrow para hallar subtangentes, como en el método de los extremos de Fermat, se consideran claves por ser algunos de los primeros métodos o reglas generales algebraicas que se dieron y que permitieron avanzar en el estudio de la variación, además hoy en día el método de Fermat es el de mayor difusión en los procesos de la derivada, a través del llamado cociente incremental (sin paso al límite).

Procesos de variación: Durante el siglo XIV con la aparición del primer reloj mecánico con manecillas y cuadrantes, con los que se reemplazó a los relojes de agua (clepsidras). Ya se habían inventado la brújula, los molinos de viento y los usos de la pólvora con fines bélicos entre otras. Se inició en este siglo interés por algunos estudios sobre el cambio como proceso de variación y el movimiento como caso particular. Las investigaciones medievales sobre el movimiento comenzaron principalmente con los trabajos de Nicole de Oresme (1323- 1382), a partir de su obre “Algorismus Proportium” en donde explora reglas y propiedades para multiplicar y dividir proporciones con exponentes enteros y racionales. Oresme trazó gráficas de las variaciones de la velocidad, temperatura, intensidad luminosa y otros fenómenos en los que interviene el cambio como proceso variacional. También trabajó en la representación gráfica de una función para hallar el área bajo la curva, la demostración que realizó Oresme de la denominada “Regla de Merton”, conduce a la idea de que el espacio recorrido por un móvil es igual al área bajo la curva de su velocidad en función del tiempo. Empieza a tener sentido hablar de variables y de función, particularmente las centradas en el cambio.

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Oresme estableció una relación de proporciones entre la variación de la velocidad y el tiempo, en este sentido en la gráfica 36, se presenta un triángulo rectángulo BAC y un rectángulo ABGE, de los que se puede inferir las siguientes proporciones: velocidad inicial (VO ) representada por el segmento (base menor del trapecio), velocidad final (Vf) ( representada por el segmento (base mayor del trapecio) y el segmento que representa el tiempo (t) y corresponde a la altura del trapecio. Esta ingeniosa manera de medir cambios o variaciones de un movimiento uniformemente acelerado se configuró como uno de los aportes importantes en el estudio de los fenómenos de variación, con los que en el s. XX se dio alcance a lo que hoy en matemáticas se llama función.

De otra parte, aproximadamente hacia 1650, se consiguió determinar la tangente a algunas curvas por métodos “cinemáticos”, para lo cual la curva estaba en forma paramétrica, con parámetro el tiempo y se interpretaba la velocidad como la suma (vectorial) de las velocidades según los ejes. De donde se consideraba importante que los dos movimientos tuvieran velocidades. Así fue como se logró hallar la tangente a la cicloide, parábola y elipse.

Concepciones cinemáticas para el trazado de tangentes: En la edad media el estudio sobre el movimiento, particularmente el realizado por Oresme, genera la idea que el espacio recorrido por una partícula es igual al área bajo la curva de la velocidad en función del tiempo, de la forma v(t). Galileo toma estas ideas y las demuestra con argumentos de indivisibles. Así mismo, Galileo establece la ley fundamental de la composición vectorial del movimiento y la aplica para determinar la trayectoria descrita por un proyectil. Además, si se representa el movimiento en un gráfico de desplazamiento-tiempo, la dirección de éste da la dirección de la tangente a la trayectoria, mientras la velocidad da la pendiente de la línea tangente (GONZÁLEZ, 1992). Estas ideas posteriormente fueron

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acogidas y desarrolladas por matemáticos como Roberval, Torricelli y Newton quien más tarde desarrollaría su cálculo de fluxiones. En estos trabajos, se siguen abordando, problemas relacionados con el trazado de tangentes a distintas curvas. Del mismo modo los procedimientos y lenguajes son los de la geometría analítica y el álgebra.

El Cálculo de fluxiones: “Dada la curva de ecuación, calcular las fluxiones”.

Newton introduce nuevos conceptos-definiciones en sus desarrollos sobre el cálculo infinitesimal y, con ellos, nuevas expresiones (además del lenguaje algebraico, geométrico y descriptivo), entre los cuales está “ö” intervalo de tiempo infinitamente pequeño, “momento de x” que define como un incremento infinitesimal de x, y que representa con öx (análogamente define el momento de y, öy).

La Derivada Como Cociente de Diferenciales: A diferencia de Newton, el cálculo de Leibniz tiene un carácter más simbólico y analítico, siendo las diferencias infinitesimales y la suma de infinitamente pequeños, las bases de su cálculo diferencial e integral respectivamente (González, 1992). Leibniz abordó problemas sobre máximos y mínimos, tangentes y puntos de inflexión; en su obra “Nova methodus pro maximis et minimis, intemque tangetibus, qua nec irrationales quantitates moratur” (Nuevo método para los máximos y mínimos, así como para las tangentes, el cual puede también aplicarse a las cantidades fraccionarias e irracionales), en la cual introduce por primera vez la expresión cálculo diferencial y proporciona las fórmulas, que hasta ahora conocemos, para derivar productos, cocientes, potencias y raíces, todas éstas acompañadas de aplicaciones geométricas tales como la búsqueda de tangentes, máximos y mínimos, y de los puntos de inflexión. El lenguaje, introducido por Leibniz, estaba asociado a una serie de nuevos conceptos-definiciones o procedimientos primordiales en su cálculo de diferencias.

La Derivada Como Límite: Al final del siglo XVII, el cálculo diferencial estaba establecido sobre los trabajos de Newton y Leibniz, aunque sin una fundamentación matemática rigurosa. Los matemáticos que sucedieron a Newton y Leibniz, continuaron los desarrollos y sobre todo, las aplicaciones de las nuevas ideas a una gran cantidad de problemas de la física, por ejemplo, el de la cuerda vibrante, la catenaria o el de la braquistócrona. Además, los aportes realizados en esta etapa, posterior al establecimiento del cálculo Newtoniano y Leibniziano, se orientaron hacia la búsqueda de una fundamentación rigurosa

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de las nuevos métodos generales desarrollados por Newton y Leibniz. De esta forma, el concepto de derivada y su fundamentación, fue desarrollándose gradualmente durante los siglos XVIII y XIX, junto con las ideas de función, continuidad y límites, principalmente.

6.4 Derivada-función derivada: “Puedo calcular el movimiento de los cuerpos celestes, pero no la locura de la gente”. Isaac Newton (1642-1727).

Importante señalar que la derivada y la función derivada no son lo mismo, sin embargo el estudio hecho sobre la derivada a partir del s. III a de C., en diversas culturas, por diversos matemáticos fue lo que permitió el surgimiento de la función derivada entre los siglos XVII y XX inclusive, cuando se formalizó primero el conjunto de los números reales y después el concepto de función.

Uno de los aspectos que este capítulo pretende retomar como central es el de la relación derivada-algoritmo, con esto se quiere dar a entender la gran importancia que se le atribuye al algoritmo de una derivada, en ocasiones exagerando al punto que los estudiantes creen que eso es la derivada (“saber derivar”) y más aún la función derivada, por ejemplo en los experimentos hechos para la investigación reportada en la primera parte de este libro, tanto con un grupo para validar el cuestionario o encuesta, como con un grupo de muestra, cuando se le presentó la gráfica de una parábola y se les pidió que eligieran una gráfica de cuatro opciones dadas, la correspondiente a su derivada, menos del 50% logró hacerlo. Inclusive, tres respuestas de 53 estudiantes (de los 2 grupos), escribieron que la gráfica de la derivada no correspondía a ninguna de las opciones dadas, queda la pregunta para estos estudiantes si la gráfica de la derivada es otra curva u otra recta.

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En cambio cuando se les presentó la misma función en forma algebraica para hallar su derivada el 100% lo hizo bien. Derive la función f (x)=x2 cuya derivada es igual a f´(x)=2x., algunos la escribieron . En todo caso se hace evidente que el favorecimiento del proceso algebraico estimula en los estudiantes la creencia de considerar que la representación algebraica es la función.

De lo anterior se puede deducir, que la representación gráfica de una función es conflictiva para los estudiantes, aún para la enseñanza, sin embargo dada la potencia de significados y sobre todo la utilidad para informar detalles propios de esta representación, también es muy importante hacer propuestas didácticas con las diversas representaciones de la función (algebraica, gráfica, par ordenado, sagital, tabla,…), de tal manera que el estudiante vaya construyendo significados de correlación entre estas representaciones y la función que representan, como una misma entidad, porque finalmente las funciones en matemáticas construyen saber sobre situaciones y procesos de variación.

Los procesos de variación están ligados a los procesos cognitivos (razonamiento, comunicación, conteo, representación, clasificación, seriación, análisis, síntesis,…) que contribuyen en la resolución de algunos problemas como por ejemplo

…quien quiera que tenga un negocio necesita llevar el registro de cómo van las cosas. Pero, ¿Cómo se hace esto? Con frecuencia los profesionales en finanzas miden el desempeño de una compañía por medio de fracciones denominadas razones financieras. Existen más de 50 razones financieras de uso común. ¿Cuál utilizar? Depende de si el analista está tratando de evaluar el crecimiento de una compañía, su productividad, su nivel de endeudamiento o algún otro aspecto de su desempeño. Haeussler (2003, p.1).

El anterior ejemplo está ubicado en un contexto de la contabilidad financiera, de finanzas, economía, administración de empresas,…, en el que para resolver la situación propuesta se debe conocer el aspecto que se necesita resolver, para determinar o construir el modelo matemático adecuado para el caso, porque no sería coherente hacer uso de las 50 definiciones de las razones financieras para hacerlo. Ahora bien, una razón financiera también puede ser de cambio, un proceso de marginalidad, es decir la derivada de una función. Es importante señalar que entre el s. XVII y XVIII quedaron resueltas las preguntas que desde

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los griegos habían sido objeto de diversos trabajos para responderlas, y son ellas las correspondientes a la recta tangente a una curva, la velocidad y la marginalidad. Todas ellas resueltas con la definición de derivada de una función y derivada en un punto.

Procesos de variación: Aproximadamente en el s. XIV, se iniciaron los estudios sobre el cambio, entre ellos el del movimiento, como proceso variacional. Sin embargo los griegos se interesaron por estudiar procesos de variación como la velocidad, la recta tangente, el área bajo una curva y los máximos y mínimos de una curva. Algunos trabajos que se pueden mencionar en este sentido son los de: Zenón de Elea 450 a.C., de la escuela Eleática, para quien el movimiento era imposible y además asumía que el espacio y el tiempo eran infinitamente divisibles. De él son famosas las paradojas del movimiento, de Aquiles, la flecha, y la del tiempo. En la escuela de los atomistas están Leucipio, Demócrito y Jenofonte, s. V y s IV a.C., quienes se preocuparon por atacar el idealismo de la escuela Eleática, centrándose en el otro extremo, el materialismo. Para esta escuela el movimiento correspondía a la interacción de los átomos y de alguna forma concibieron el movimiento como una relación del espacio y el tiempo, (Ramírez, 2009).

En el s. IV a. C aparece Eudoxio, considerado por algunos como el padre de la astronomía y para quien el estudio sobre el movimiento era importante. En 370 a. C. logra plasmar su trabajo escrito sobre el método de exhausión, el cual era un método riguroso y esencialmente geométrico de hallar el área bajo una curva a través de polígonos inscritos y circunscritos, logra por este método hallar el área de un círculo. Este método posteriormente fue utilizado por Arquímedes (287-212 a. C.), considerado por algunos como uno de los tres matemáticos más brillantes de la historia, junto con Newton y Gauss. Trabajó en la matemática como disciplina y aplicada, continuó con el método de exhausión y logró avances significativos en áreas bajo curvas, demostró por series el área de una región de parábola y otras regiones, trabajó en el movimiento y al igual que sus antecesores la intuición fue de vital importancia para su trabajo. Es evidente que los anteriores nombres hacen parte de los matemáticos griegos que lograron avances significativos en la geometría y en la aritmética, también lo es la dificultad que tuvieron para trabajar con el infinito y el hecho de que si los matemáticos griegos y filósofos como Platón y Aristóteles hubiesen seguido el camino de Arquímedes y no solo el de Euclides, el desarrollo de las matemáticas

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se hubiese adelantado varios siglos.

Hasta el siglo XVI, los matemáticos retoman el trabajo de los griegos respecto a los procesos de variación para resolver problemas que se planteaban desde la mecánica, en ese sentido se revisan nuevamente los trabajos de Eudoxio y de Arquímedes sobre el método de exhausión para hallar áreas bajo curvas. Aparecen matemáticos como: Luca Valerio (1552-1618), Galileo (1564, 1642), Kepler (1571-1630), Huygens (1596-1695), Descartes (1596-1650), Cavalieri (1598-1647), Fermat (1601-1665), Roberval (1602- 1675), Torricelli (1608-1647), Wallis (1616-1703), Pascal (1623-1662), Hudde (1628- 1704) y Barrow (1630-1677). En este período el rigor matemático cambia respecto del usado por los griegos (Geométrico), se hace necesario buscar nuevas formas de demostrar los procesos matemáticos distintos a los de la geometría y del álgebra, se estudian las relaciones del movimiento, áreas bajo curvas, recta tangente y máximos y mínimos como procesos de variación, en este período la intuición como razonamiento matemático también era muy importante. Se encuentran diferencias en el rigor utilizado por los matemáticos de esta época y en ese sentido por ejemplo se destacan los trabajos de Fermat, Descartes Galileo y de Barrow.

Los trabajos de Fermat, Descartes Galileo y de Barrow en el desarrollo del cálculo, antecedieron al de Newton (1643-1727) en su teoría de fluxiones y al de Leibniz (1646-1716) en la teoría infinitesimal, ambos por caminos distintos con lenguajes también diferentes, quienes lograron concluir el teorema fundamental del cálculo para determinar lo que hoy se conoce como cálculo diferencial e integral. Tanto Newton como Leibniz, usaron los infinitésimos y los infinitos e intentaron dejarlos de lado por las críticas que algunos pensadores como Berkeley (1685-1753) les hicieron, este hecho marca otra etapa más en el avance del rigor matemático el cual tuvo que esperar hasta los trabajos de Cauchy (1789-1957) a quien se le atribuye el rigor actual de las matemáticas, la definición y la definición de función derivada entre otros, Dedekind (1831-1916) sobre cortaduras y Cantor (1845-1918) sobre conjuntos. Son los trabajos de estos tres matemáticos los que finalmente permiten a las matemáticas y en particular al cálculo establecerse como un dominio matemático distinto al del álgebra, al de la geometría y al de la aritmética Boyer (1992).

Análisis gráfico y algebraico de la continuidad y diferenciabilidad de funciones: Algunos aspectos que requieren especial atención y cuidado

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tanto por parte del profesor como del estudiante, es en primer lugar; el de las representaciones (algebraica, gráfica, tabular, pares, sagital,…) de las expresiones que en matemáticas se llaman funciones, cuyo interés está centrado en su aporte a la modelación de procesos de variación tanto en ámbitos sociales, cotidianos, de las ciencias naturales como de las matemáticas. Según los resultados de la investigación reportada en la primera parte de este libro, la definición de función no es tenida en cuenta por los estudiantes en la realización de actividades propias con ella, es más, es poco comprensible para ellos y cada representación de una misma función es entendida como otra función diferente.

En este sentido es pertinente llamar la atención para revisar con los estudiantes de la Básica (primaria y secundaria) y la media la construcción de significados asociados a la función, la cual como relación debe cumplir por lo menos dos condiciones fuertes: A. ser una relación de variables binaria (dos), ternaria (tres),…n-aria (n). En este libro se hablará únicamente de las binarias, como pares ordenados de la forma (x, y), en donde tanto x como y son variables, la primera de ellas (x) hace referencia a la variable independiente y la segunda (y) a la variable dependiente de un proceso variacional. Es importante aclarar que para toda función, el valor de la variable independiente (x), siempre debe tener su correspondiente valor de (y), pero al contrario no importa, es decir puede existir un valor de la variable dependiente sin su correspondiente valor de la variable independiente (x). B. La segunda condición de una función como relación, corresponde a que los valores de la variable independiente no se pueden repetir en dos o más pares ordenados, es decir que dados los pares ordenados (a, b) y (c, d); se debe cumplir que a c (siempre).

En segundo lugar, es fundamental explorar las diversas representaciones de las funciones tanto algebraicas como trascendentes, en los niveles de la Básica y la media, ligadas éstas a las aplicaciones o usos posibles de ellas como modelos matemáticos que permiten interpretar una situación. Por ejemplo las relaciones que pueden existir entre los lados de una figura geométrica y su perímetro, área o volumen. Las relaciones existentes en un movimiento, desde el punto de vista de las variables que lo afectan y lo producen. Lo anterior puede generar acercamientos que posibiliten la comprensión de situaciones en las que los procesos de variación no son continuos, los cuales son representados por funciones a trozos (por secciones), pero que son conflictivos para los estudiantes.

Por ejemplo, a un grupo de 22 estudiantes de segundo semestre de Contaduría

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se le presentó la siguiente situación:

“La siguiente gráfica muestra las utilidades (en millones) que genera la venta de algunos artículos. A partir de dicha gráfica conteste lo siguiente:

1. La venta de 5 artículos ¿qué utilidad generó? _____ (justifique brevemente).

2. Para tener utilidades por $ 8,500.000 se deben vender ______ artículos.”

3. Describa brevemente la situación que se presenta en la gráfica para 5 artículos.

4. ¿Cuál es la marginalidad (rapidez de cambio) de la función de utilidad para 5 artículos?

Más del 50% de los estudiantes que contestaron la pregunta 1, respondieron que cinco millones, algunos justificaron su respuesta dando a entender que la razón era el valor de correspondencia para 5 artículos, pero no hubo claridad en ninguna justificación. Esta respuesta permite decir que este grupo interpretó la relación (5, 5), pero descartó la relación (5, 3) que también podía ser válida. El 18% de los estudiantes contestó a esta misma pregunta que la ganancia fue de 4.000.000, porque ese era el promedio, esta respuesta contempló la solución a partir del promedio de los puntos (5, 3) y (5, 5). El 32% restante contestó que

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no se sabía, algunos dieron la justificación porque en la gráfica había un salto y otros porque no se podía deducir de la gráfica. Esta pregunta se formuló para indagar por las inferencias y conjeturas que podían hacer los estudiantes, si eran capaces de asumir condiciones que no eran explícitas en el ejercicio propuesto, como determinar si x=5 pertenecía a la recta horizontal o a la recta inclinada.

En la segunda pregunta la respuesta que dio el 90% de estudiantes, fue 8,5 artículos. Una respuesta escribió que 8 o 9 artículos y 2 respuestas que 9 artículos. Esta pregunta se formuló para indagar si los estudiantes son conscientes que los artículos son cantidades enteras, que por lo tanto deben ser representadas por números enteros positivos, dado que no se puede vender medio artículo o una fracción de él. Las respuestas a este numeral, permiten inferir que en general se responde sin contextualizar la situación, se busca un número que cumpla con la relación de equivalencia según la gráfica (recorrido-dominio), en este caso (utilidad-artículos).

La tercera pregunta de naturaleza abierta, se propuso para indagar por las ideas que los estudiantes habían conformado en torno a los conceptos de límite y continuidad de una función. En este sentido se puede decir que fue conflictiva porque a pesar que el 85% identificó que en la gráfica había un salto en x=5, solo el 30% de ellos describió que allí había una discontinuidad en la gráfica y que era esencial (no se podía reparar), porque los límites laterales no eran iguales. El 10% de las respuestas, además de lo anterior describió en la situación, que en la gráfica no era posible determinar cuál era el valor correspondiente para x=5, si 3000.000 0 5000.000, pero que no podían ser ambos porque, la gráfica no sería de una función.

La cuarta pregunta no fue respondida por ningún estudiante y en este sentido pudo suceder que no asociaran el término marginalidad (rapidez de cambio) con derivabilidad o que simplemente no supieran qué hacer al respecto. Es evidente que la situación planteada en la gráfica 38 de la utilidad, requiere de una interpretación de la misma, en la que se haga la gráfica de la derivada de dicha función que permita la lectura para encontrar la utilidad marginal en x=5, es decir determinar la continuidad de la función derivada en ese valor, gráficamente corresponde a:

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Luego, la gráfica 39., determina la marginalidad de la función de utilidad (gráfica 38) para q unidades (artículos), a partir de ella se puede leer la continuidad para q=5, y se observa que los límites laterales no son iguales, porque por la izquierda de este valor, la marginalidad es 0 y por la derecha su marginalidad es 1.

En el contexto de la economía y algunas disciplinas la marginalidad corresponde a la velocidad (si es función) o rapidez (derivada en un punto) con la que una función crece o decrece; como se observa de la gráfica 39., para este valor su rapidez (marginalidad) es constante tanto por la izquierda de q=5, como por la derecha del mismo valor.

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