tiro parabólico

Tiro parabolicoUziel Arturo Linares MartınezFacultad de Ciencias,UNAM

Laboratorio de Mecanica Grupo [email protected]

24 de marzo de 2015

ResumenPara esta practica se lleva a cabo el lanzamiento de un proyectil con fin de estudiar el movimiento de un

cuerpo en dos dimensiones, se observa que la trayectoria de un proyectil es de forma parabolica, por lo cual setrabaja con un modelo matematico que se ajuste a estas condiciones. Para el experimento se hace uso de equipoespecializado de manera que el fenomeno pueda ser captado de la mejor manera posible y se puedan extraer lamayor cantidad de datos para su estudio.

1. IntroduccionEl movimiento de los proyectiles se trata del movimiento bidimensional de una partıcula disparada oblicuamente

en el aire.El movimiento de un proyectil es de aceleracion constante g, dirigida hacia abajo, no hay componentehorizontal de la aceleracion, como la aceleracion es constante el movimiento de un proyectil puede describirise conlas ecuaciones de movimiento para un cuerpo con aceleracion constante en un plano.[1]

Ecuaciones del movimiento de x Ecuaciones del movimiento de yVx = Vx0 + axt Vy = Vy0 + ayt

x = x0 + 12(Vx0 + Vx)t y = y0 + 1

2(Vy0 + Vy)t

x = x0 + Vx0t+ 12axt

2 y = y0 + Vy0t+ 12ayt

2

V 2x = V 2

x0 + 2ax(x− x0) V 2y = V 2

y0 + 2ay(y − y0)

Tabla 1: Movimiento con aceleracion constante en el plano XY

Tomando un marco de referencia con la parte positiva del eje de las y apuntando hacia arriba tenemos ay = −g yax = 0.Para el caso de nuestro experimento se toma como origen el punto en que el proyectil es disparado y t=0 esel momento en el comienza su recorrido.Las componentes de la velocidad inicial estan dadas por

Vx0 = V0cosθ0 Vy0 = V0senθ0 (1)

Como no existe una componente horizontal de la aceleracion la velocidad en x permanece constante durante todala trayectoria del proyectil, mientras que en y sı existe una aceleracion, que como ya habıamos mencionado anteses -g, por lo tanto la velocidad en y estara variando durante el tiempo que el proyectil vuela. Entonces usando lasecuaciones de movimiento antes descritas, tenemos que la velocidad en y se expresa de la manera

Vy = V0senθ0 − gt (2)

La posicion de nuestro proyectil estara dada por dos ecuaciones, una para su posicion con respecto al eje de las xy otra para su posicion con respecto al eje de las y. La posicion en x la podemos conocer aplicando las anterioresecuaciones y estableciendo x0 = 0 y Vx0 = V0cosθ0.De esto tenemos

x = (V0cosθ0)t (3)

1

Ahora para la posicion en y, tenemos y0 = 0,ay = −g y Vy0 = V0senθ0, por lo tanto

y = (V0senθ0)t− 12gt

2 (4)

Con las anteriores ecuaciones obtenemos la posicion de nuestro proyectil tanto en el eje de las x como en el de lasy, esto en funcion del tiempo, ahora bien, combinando estas dos ultimas expresiones y eliminando a t, obtenemos

y = (tanθ0)x− x

2(V0cosθ0)2x2 (5)

En la cual se puede ver que V0,θ0, y g son constantes por lo cual podemos remplazarlos por una constante ’c’, dandolugar a

y = bx− cx2 (6)

De esta ultima expresion se ve claramente que se trata de una ecuacion de segundo grado, y que ademas se tratade la ecuacion de una parabola, lo cual es consistente a lo que se observa, puesto que la trayectoria que describe unproyectil es justamente parabolica.

2. ObjetivoCon este experimento se busca corroborar experimentalmente que efectivamente la trayectoria de un objeto

disparado, es decir, un proyectil, tiene un comportamiento en forma de parabola, ademas de que su velocidadhorizontal es constante durante todo el intervalo de vuelo, ası como observar los efectos que produce la gravedadsobre la componente en y de la velocidad.

3. HipotesisSe espera que la trayectoria de la pelota de golf se comporte de manera parabolica, ası como que su velocidad

sobre el eje de las X se mantenga constante durante todo el intervalo de tiempo medido, y que la velocidad verticalsea de la forma Vy = V0senθ0 − gt.

4. MaterialEl material que se empleo para poder llevar a cabo esta practica fue:

Camara marca Canon 16 Megapıxeles

Tripie marca Bonta

Flexometro marca Max Tool

Canon

Una pelota de golf

Prensa marca Trupper

Estroboscopio marca Atomic Laboratories Inc.

Regla de 2 metros

2

5. Metodo ExperimentalSe uso la prensa para sujetar el canon a la mesa,de manera que fuera sencillo cargar la pelota dentro y lanzarla

en la misma direccion,se coloco la regla de dos metros sobre la mesa y se sujeto a ella mediante cinta adhesiva, lacamara se monto sobre el tripie y fue puesta a cierta distancia conveniente de la mesa para que pudiera captar todala trayectoria del proyectil, el estroboscopio se posiciono sobre un banco que se encontraba en el laborario y paraajustar su altura se tuvo que usar algunos libros para elevarlo a la altura de la mesa.Se realizaron 5 mediciones a distintas revoluciones(1045,1506,2003,2441,3135) mientras un miembro del equipocargaba el canon con la pelota de golf habıa alguien mas manejando la camara para que al dar la senal la camarafuera activada y realizara la captura del movimiento del objeto, se procuro que los lanzamientos fueran siempre conla misma fuerza para de esta manera obtener distancias similares en las trayectorias efectuadas.

6. Observaciones 1Se sucito un problema con el estroboscopio, por lo cual se tuvo que solicitar un remplazo. Se realizaron una serie

de tomas, pero la primera tuvo que ser descartada puesto que el mal aislamiento de la zona de trabajo ocasiono quela luz se filtrara a la toma e imposibilitara la correcta apreciacion de la bola de golf en la toma, ademas de la malaconfiguracion del iso en la camara.

7. Analisis de DatosPara el analisis de datos se valio de GnuPlot[2] y para el analisis de las imagenes tomadas durante la practica se

uso el software XYScan[3] con el cual se pudo elaborar un documento de donde se tomo los datos para elaborar lasgraficas e informacion estadıstica y tambien se realizaron algunos calculos mediante un pequeno programa elaboradoen Python.Obteniendo los coeficientes de Pearson para distintas revoluciones observamos que el desplazamiento en horizontalesta ıntimamente con el desplazamiento vertical(Vease tabla 2).

RPM Pearson1045 0.2086111506 0.1623742003 0.1868942441 0.1134953135 0.097070

Tabla 2: Coeficientes de Pearson para distintas RPM

Podemos ver que la graficas de la trayectoria se comporta de la manera esperada, es decir, parabolica, a medidaque el objeto se desplaza observamos como su trayectoria en Y va tomando la forma parabolica esperada(Veasefigura 1).

Si bien la grafica de velocidad en el plano horizontal muestra que la velocidad no es constante(Vease figura 2), alhacer el ajuste por mınimos cuadrados obtenemos una recta cuya pendiente no es muy lejana a 0, lo cual implicarıauna velocidad constante.

Haciendo el ajuste por medio de GnuPlot obtenemos: y = a+ bx donde a = 190.32 ± 1.482 y b = 4.891 ± 5.77, estonos dice que la pendiente de valor 0 entra en el intervalo de error. De esto obtenemos que el valor de la velocidadinicial y por lo tanto de la velocidad en el plano horizontal es de 190.323 ± 1.482cm

s.

Para la velocidad en el plano vertical se realizo el mismo tipo de ajuste que para la velocidad en horizontal(Veasefigura 3), GnuPlot arrojo los siguientes coeficientes a = −860.282 ± 54.67 y b = 208.853 ± 14.04 para este caso elcoeficiente que nos interesa es a, puesto que a representa la pendiente de la recta ajustada, y esto a su vez representa

3

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80

De

sp

laza

mie

nto

ve

rtic

al(cm

)

Desplazamiento horizontal(cm)

Desplazamiento

Trayectoria

Figura 1: Trayectoria del proyectil para 1045RPM

189

189.5

190

190.5

191

191.5

192

192.5

193

193.5

194

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)

Velocidad(x) contra tiempo

DatosAjuste

Figura 2: Velocidad contra tiempo para 1045RPM

la aceleracion que obra sobre el plano vertical.Recordando la ecuacion vista al principio, tenıamos

Vy = V0senθ0 − gt (7)

Por lo tanto la aceleracion que debe operar sobre el plano vertical debe ser g, y por el ajuste obtenido tenemos quela aceleracion es a = 860.282 ± 54.64cm

s2 la cual se aproxima a la aceleracion ejercida por la fuerza de gravedad que

es de 9.778881ms2 en la Ciudad de Mexico[4].

Como se puede observar en la mayorıa de los casos, la velocidad en el plano horizontal no es constan-te(la pendiente de la recta ajuste no es 0), mas sin embargo, la pendiente sı es proxima al valor 0, lo cual nosindicarıa una velocidad constante, por lo tanto podrıamos decir que la velocidad sı es constante. Mientras que parala velocidad en el plano vertical, el ajuste lineal indica una aceleracion negativa, la cual corresponde a la gravedadque apunta hacia abajo.

4

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)

Velocidad(y) contra tiempo

DatosAjuste


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 10 20 30 40 50 60 70

De

sp

laza

mie

nto

ve

rtic

al(cm

)


Desplazamiento

Datos


243.5

244

244.5

245

245.5

246

246.5

247

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)


DatosAjuste


Realizando un promedio de las aceleraciones obtenidas y calculando la desviacion estandar, obtenemos queg = 1218.2804 ± 221.6458cm

s2 . Ası de esta manera vemos como el comportamiento del cuerpo se aproxima al espe-

5

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)


DatosAjuste


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-10 0 10 20 30 40 50 60 70

De

sp

laza

mie

nto

ve

rtic

al(cm

)


Trayectoria


225

230

235

240

245

250

255

260

265

270

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)


DatosAjuste


rado.

6

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)


DatosAjuste


-5

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

De

sp

laza

mie

nto

ve

rtic

al(cm

)


Desplazamiento

Trayectoria


235

240

245

250

255

260

265

270

275

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)


DatosAjuste


7

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)


DatosAjuste


0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

De

sp

laza

mie

nto

ve

rtic

al(cm

)


Desplazamiento

Trayectoria

Figura 13: Trayectoria para 3135RPM

250

260

270

280

290

300

310

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)


DatosAjuste


8

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Ve

locid

ad

(cm

/s)

Tiempo(s)


DatosAjuste


RPM Valor de la aceleracion(gravedad) en cm

s21045 860.282 ± 54.671506 1432.04 ± 293.042003 1358.71 ± 1612441 1178.81 ± 107.33135 1261.56 ± 34.07

Tabla 3: Valores de la aceleracion para distintas RPM

8. Observaciones 2Al realizar el analisis de datos, el valor de la aceleracion(gravedad) obtenido no es concluyente, debido a que

el valor que se obtiene no es el proporcionado por el CENAM, se atribuye esto a errores de paralaje al momentode realizar las fotografıas, ası como a un error asociado en la seleccion del objeto en movimiento en el software deanalisis de imagenes XYScan.

9. Resultados y ConclusionesLos resultados obtenidos de la experimentacion resultaron ser imprecisos debido a algunos errores cometidos

durante la recopilacion de datos experimentales, esto puede solucionarse repitiendo la toma de fotografıas y ajustandola camara de una mejor manera, tambien puede buscarse un punto especıfico al cual seleccionar en el software deanalisis de fotografıas para minimizar los errores.A pesar de esto, los datos recopilados parecen apuntar a que nuestras suposiciones en cuanto al comportamientodel cuerpo en un tiro parabolico son ciertas, la trayectoria parabolica se comprobo es cierta, todas las graficas deposicion en X contra posicion en Y muestran este tipo de trayectoria, la aceleracion que debe experimentar el cuerpoen el plano vertical no fue la esperada, mas sin embargo podrıa decirse que apunta a ser la que debe ser(gravedad).

Referencias[1] Resnick, Robert & Halliday, David, Fısica:parte 1, Companıa Editorial Continental, 1977,p. 100

[2] GnuPlot, http://www.gnuplot.info/

[3] XYScan, http://rhig.physics.yale.edu/ ullrich/xyscanDistributionPage/

[4] Centro Nacional de Metrologıa, Calculo de la Aceleracion de la Gravedad Local,http://www.cenam.mx/fyp/calculoacelgravedad.html

9

tiro parabólico

Documents