1. DF2. SHDGH2.1 DEDE2.2 GRGT2.3 FFRF2.4 ONDASUna onda consiste en la propagacin de una perturbacin de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presin, campo elctrico o campo magntico, a travs de dicho medio, implicando un transporte de energa sin transporte de materia. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal e, incluso, inmaterial como el vaco.[footnoteRef:1] [1: Saavedra, M. C. O. (2013) Anlisis de ondas ssmicas en entorno Matlab (tesis de pregrado). Mxico: Instituto Politcnico ]

Cuando se propaga una onda, las partculas vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio pero no se mueven con la onda.

La magnitud fsica cuya perturbacin se propaga en el medio se expresa como una funcin tanto de la posicin como del tiempo.

Matemticamente se dice que dicha funcin es una onda si verifica la ecuacin de ondas:

Donde:: es la velocidad de propagacin de la onda. Por ejemplo, ciertas perturbaciones de la presin de un medio, llamadas sonido, verifican la ecuacin anterior, aunque algunas ecuaciones no lineales tambin tienen soluciones ondulatorias.El movimiento ondulatorio puede considerarse como un trasporte de energa y cantidad de movimiento desde un punto en el espacio a otro, sin transporte de materia.[footnoteRef:2] [2: (Serway & Jewett, J. J. W., 2008, pgs. 449-450)]

2.4.1 Descripcin de las ondas:Los parmetros que se usan para describir una onda son: la frecuencia, f = 1/T, y la frecuencia angular, = 2 /T, donde T es el periodo; y el nmero de onda,k = 2 / , donde es la longitud de la onda.

Fig. 2.1 Esta imagen nos muestra una onda con amplitud constante

Todas las ondas tienen un comportamiento comn bajo un nmero de situaciones estndar. Todas las ondas pueden experimentar las siguientes:Difraccin - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstculo deja de ir en lnea recta para rodearlo.Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas.Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio.Reflexin - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de direccin.Refraccin - Ocurre cuando una onda cambia de direccin al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad.2.4.2 Clasificacin de las Ondas:Las ondas se clasifican atendiendo a diferentes aspectos:2.4.2.1 En funcin de su direccin Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dimensin del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una direccin nica, sus frentes de onda son planos y paralelos.[footnoteRef:3] [3: Saavedra, M. C. O. (2013) Anlisis de ondas ssmicas en entorno Matlab (tesis de pregrado). Mxico: Instituto Politcnico.]

Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos dimensiones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan tambin ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie lquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.[footnoteRef:4] [4: (Rosales, 2001)]

Ondas tridimensionales oesfricas: son ondas que se propagan en tres dimensiones. Las ondas tridimensionales se conocen tambin como ondas esfricas, porque sus frentes de ondas son esferas concntricas que salen de la fuente de perturbacin expandindose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecnicas) y las ondas electromagnticas.[footnoteRef:5] [5: Saavedra, M. C. O. (2013) Anlisis de ondas ssmicas en entorno Matlab (tesis de pregrado). Mxico: Instituto Politcnico]

Fig. 2.2 Direcciones que puede tomar una onda

2.4.2.2 En funcin del movimiento de sus partculas Ondas longitudinales: son aquellas que se caracterizan porque las partculas del medio se mueven o vibran paralelamente a la direccin de propagacin de la onda. Este tipo de ondas se originan por compresiones y dilataciones.[footnoteRef:6] Por ejemplo, el sonido, las ondas ssmicas primarias, o un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal. [6: (Santillana, 2011, pg. 281)]

Ondas transversales: son aquellas que se caracterizan porque las partculas del medio vibran perpendicularmente a la direccin de propagacin de la onda.[footnoteRef:7] Por ejemplo: las ondas de radio, las microondas al igual que las ondas ssmicas secundarias y las que se propagan en una cuerda o en la superficie del agua pertenecen a este tipo de ondas. [7: (Santillana, 2011, pg. 280)]

Fig. 2.3 Formas de producir una onda que se mueve a la derecha

2.4.2.2 En funcin de su periodicidad Ondas peridicas: la perturbacin local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal.

Fig. 2.4 Un bloque con masa m unido a un resorte tiene un movimiento armnico simple y produce una onda senoidal que viaja a la derecha por la cuerda. (En un sistema real, se tendra que aplicar una fuerza impulsora al bloque para reponer la energa que la onda se lleva).[footnoteRef:8] [8: (Young & Freedman, R. A., 2009, pg. 489)]

Ondas no peridicas: la perturbacin que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen caractersticas diferentes. Las ondas aisladas tambin se denominan pulsos.

Fig. 2.4 un pulso viaja por una cuerda estirada

2.4.2.3 En funcin del medio en el que se propagan Ondas electromagnticas: las ondas electromagnticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vaco. Esto es debido a que las ondas electromagnticas son producidas por las oscilaciones de un campo elctrico, en relacin con un campo magntico asociado. Las ondas electromagnticas viajan aproximadamente a una velocidad de 30 000 km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como Espectro Electromagntico, objeto que mide la frecuencia de las ondas. Ondas mecnicas: las ondas mecnicas son perturbaciones que viajan por un medio material o una sustancia que es el medio de la onda. Al viajar por el medio, las partculas que constituyen el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda[footnoteRef:9]. Las partculas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a travs del medio. Como en el caso de una alfombra o un ltigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a travs de ella. [9: (Young & Freedman, R. A., 2009, pg. 488)]

La velocidad puede ser afectada por algunas caractersticas del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecnicas tenemos las ondas sonoras y las ondas elsticas, siendo estas ltimas las de nuestro inters a tratar.Todas las ondas mecnicas requieren 1) alguna fuente de perturbacin, 2) un medio que contenga elementos que sean factibles de perturbacin y 3) algn mecanismo fsico a partir del cual los elementos del medio puedan influirse mutuamente.[footnoteRef:10] [10: (Serway & Jewett, J. J. W., 2008, pg. 450)]

3. Ondas elsticas: ondas ssmicasLas ondas elsticas generan fuerzas y deformaciones que obedecen la teora de la elasticidad[footnoteRef:11], en la cual los cuerpos slidos tienen la propiedad de resistir cambios de tamao o de forma, y de regresar a la condicin no deformada cuando se eliminan las fuerzas externas. [11: (Jimnez, 2006, pg. 61)]

La aplicacin de un esfuerzo puntual mediante la liberacin instantnea de energa en un macizo rocoso produce una deformacin proporcional a tal esfuerzo, gobernada por laLey de Hooke[footnoteRef:12]para esfuerzos relativamente pequeos que no sobrepasen el lmite elstico del medio. [12: (Jimnez, 2006, pg. 58)]

A partir del instante en que se rompe el equilibrio entre esfuerzo y deformacin, por ejemplo cuando cesa el esfuerzo aplicado, la deformacin se propaga a travs del medio rocoso como una onda elstica.

La energa liberada en forma de ondas ssmicas se propaga a travs del medio slido de la tierra causando vibracin y muchas veces destruccin en la superficie.

Las ondas ssmicas aumentan y cambian notablemente sus velocidades y direcciones al atravesar la tierra, variando de acuerdo al medio por donde avanzan. La velocidad de propagacin depende de la densidad del medio y de sus propiedades elsticas, el mdulo de incompresibilidad[footnoteRef:13] y el mdulo de rigidez[footnoteRef:14]. [13: Es una medida de la resistencia de los materiales elsticos a la compresin, es decir, al cambio de volumen sin que vare su forma.] [14: Medida para deformar por cizalladura.]

Estas ondas son detectadas por sismgrafos, instrumentos de registro continuo y que consisten simplemente en un pndulo al que se acoplan diversos mecanismos de amplificacin, de amortiguamiento, de registro. etc. Un estudio detallado de las seales ssmicas inscritas en los sismogramas, como se les denomina a los registros de los sismgrafos, permite conocer las principales caractersticas del temblor que las produjo. Puesto que elmovimiento producido por un temblor tienetres componentes(una vertical y dos horizontales) para registrar cada una de las componentes.

Los sismos generan dos tipos de ondas elsticas que se propagan a travs del medio: las ondas de cuerpo o internas, y las ondas superficiales.

3.1 Tipos de ondas ssmicas:Los sismos generan dos tipos de ondas que se propagan a travs del medio: las ondas de cuerpo o internas, y las ondas superficiales. Las ondas internas pueden viajar a travs de las capas interiores de la Tierra, pero las ondas superficiales slo se pueden mover a lo largo de la superficie del planeta, como ondulaciones sobre el agua.

Fig. 3.1 Tipos de ondas ssmicas

3.1.1 Ondas InternasLas ondas ssmicas siguen caminos curvos debido a la variada densidad y composicin del interior de la Tierra. Este efecto es similar al de la refraccin de ondas de luz.A este tipo de ondas se llaman ondas internas, centrales o de cuerpo, transmiten los temblores preliminares de un terremoto pero poseen poco poder destructivo. Las ondas de cuerpo son divididas en dos grupos: ondas primarias (P) y secundarias (S).

Ondas P:Lasondas P(ondas primarias) tambin conocidas como compresionales o irrotacionales son las ondas ssmicas que ms rpidamente se mueven. Lo hacen con un movimiento de empuje y traccin (compresiones y dilataciones- cambios volumtricos), que provoca que las partculas en la roca se muevan hacia adelante y hacia atrs en su lugar. Cuando la onda se mueve salindose del foco, las partculas se mueven acercndose y separndose a lo largo de la direccin en la que se mueve la onda.[footnoteRef:15] [15: (Florence, 1961, pg. 342)]

Las ondas P pueden moverse a travs de slidos, lquidos o gases. Son muy similares a las ondas sonoras, empujan y jalan la roca casi como las ondas sonoras empujan y jalan el aire. Puedes ver el movimiento de una onda P si estiras un juguete de resorte y empujas un extremo. La energa se mover a lo largo del resorte, empujando y jalando como una onda P.

Fig. 3.2 Onda P propagndose en un resorte con velocidad v, C es la compresin y D indica dilatacin. El desplazamiento de las partculas del resorte se produce en las direcciones indicadas por d. (tomada de Nava 1998.)Las ondas P de los terremotos llegan primero, viajan ms rpido que las ondas transversales y llegan primero a un sismgrafo (el dispositivo que se usa para detectar ondas debidas a terremotos), pero debido a sus pequeas amplitudes, no producen tanto dao como las ondas S y las ondas superficiales que le siguen.[footnoteRef:16] [16: (Serway & Jewett, J. J. W., 2008, pg. 451)]

La velocidad de las ondas P, depende del mdulo de elasticidad del material, as como de su densidad. Las ondas P en el aire son simplemente ondas sonoras y la velocidad del sonido es sobre 340 m/s a temperatura ordinaria. El agua puede soportar ondas P, pero no ondas S. La velocidad de estas ondas P (velocidad del sonido) en agua es unos 1450 m/s. La velocidad de onda en un material slido como el granito que, puede ser unos 5000 m/s y en el interior de la tierra alcanza hasta unos 11000 m/s.[footnoteRef:17] [17: (Saavedra, 2013, pg. 25)]

Para un medio elstico e istropo de mdulo elstico E, mdulo de Poisson , y densidad , la velocidad de propagacin de estas ondas es:VP =

Fig.3.3 Comportamiento de una Onda P plana longitudinal.

Ondas S:Lasondas Sondas secundarias, son ondas transversales o de corte, lo cual significa que el suelo es desplazado perpendicularmente a la direccin de propagacin, alternadamente hacia un lado y hacia el otro. Las ondas S pueden viajar nicamente a travs de slidos debido a que los lquidos no pueden soportar esfuerzos de corte viajan mucho ms lentamente que las ondas P. No se expanden a travs de lquidos. Las ondas S hacen que las partculas se muevan de un lado a otro. Su movimiento es perpendicular a la direccin en la que viaja la onda.[footnoteRef:18] [18: (Florence, 1961, pg. 342)]

Su velocidad es alrededor de 58% la de una onda P para cualquier material slido. Usualmente la onda S tiene mayor amplitud que la P y se siente ms fuerte que sta. Viajan a travs de la Tierra a 4000 o 5000 m/s cerca de la superficie.[footnoteRef:19] [19: (Serway & Jewett, J. J. W., 2008, pg. 451)]

Agita el extremo de una cuerda lateralmente y observa cmo la onda viaja a lo largo de la cuerda. As se ve una onda S.

Fig. 3.4 Onda de corte propagndose con velocidad v a lo largo de una cuerda. El desplazamiento de las partculas de la cuerda se da en las direcciones indicadas por d. (Nava, 1998).[footnoteRef:20] [20: (Rodriguez, 2009)]

La velocidad de propagacin de las mismas en un medio elstico istropo de mdulo de corte G y de densidad de masa es igual a:

VS =

Fig. 3.4: Comportamiento de la Onda de corte Plana.

Al registrar en un sismgrafo el intervalo de tiempo entre las llegadas de estos dos tipos de ondas, se determina la distancia desde el sismgrafo al punto de origen de las ondas. Una sola medicin establece una esfera imaginaria con centro en el sismgrafo, donde el radio de la esfera se determina mediante la diferencia en los tiempos de llegada de las ondas P y S. El origen de las ondas se ubica en alguna parte sobre dicha esfera. Las esferas imaginarias desde tres o ms estaciones de monitoreo, ubicadas muy separadas unas de otras, se intersecan en una regin de la Tierra, y esta regin es donde se present el terremoto.[footnoteRef:21] [21: (Serway & Jewett, J. J. W., 2008, pg. 451)]

Las ondas P viajan ms rpido que las S, por lo que, son detectadas primero, pero regularmente la amplitud de las ondas P es menor que el de las ondas S. El desplazamiento de las partculas en el terreno durante el paso de la onda puede ser en cualquier direccin. Figura 3. 5).

Fig. 3.5 La onda S y sus componentes SV y SH. (Nava, 1998).

Cuando una onda de cuerpo viaja a travs de un medio e incide sobre una interfase (separacin entre medios con distintas propiedades elsticas), parte de la energa es transmitida al segundo medio y parte es reflejada (Figura 3.5).

Fig. 3.6 Viaje de la onda en la interfase i rayo incidente, r rayo reflejado, R rayo refractado. (Nava, 1998)

La ley de Snell relaciona el cambio de direccin de la onda con las propiedades de los medios en la interfase de la siguiente manera:

Los ngulos son medidos con respecto a la normal de la interfase; v es la velocidad de propagacin de la onda en el medio; los subndices indican el lado de la interfase. Si un rayo pasa de un medio de menor velocidad a otro de mayor velocidad se aleja de la normal, mientras que si pasa de un medio de mayor a otro de menor velocidad se acerca a la normal.[footnoteRef:22] [22: (Rodriguez, 2009, pg. 16)]

3.1.2 Ondas superficialesLas ondas superficiales representan la energa que ha sido atrapada en la superficie terrestre y son generadas por la interaccin constructiva de las ondas de cuerpo con la estructura interna de la tierra. Este tipo de ondas se desplazan paralelas a las superficie libre de medio. En los sismos pocos profundos son las que transportan ms energa las de mayor efecto destructor.[footnoteRef:23] [23: (Florence, 1961, pg. 343)]

Existen bsicamente dos tipos de ondas superficiales: las ondas de Rayleighy las ondas de Love. Estas ondas juegan un papel muy importante en la sismologa, no solo porque son las ondas de amplitud ms prominente en un sismgrafo registrado a gran distancia, sino tambin porque pueden ser utilizadas en estimaciones del momento ssmico, del mecanismo focal, de la profundidad local de sismos remotos y en la discriminacin en temblores y pruebas nucleares. Ondas R:Lasondas de Rayleighse llaman as en honor a Lord Rayleigh (John William Strutt), quien predijo matemticamente la existencia de este tipo de ondas en 1885. Estas son ondas de periodo largo que producen a su paso un movimiento elptico longitudinal de las partculas sobre un plano vertical. Son el resultado de la interaccin en la superficie de incidencia de las ondas P y ondas S planas y viajan paralelas ala superficie. Las ondas Rayleigh viajan a lo largo de la superficie con un movimiento de partcula elptico retrgrado, es decir, las partculas del material se mueven describiendo una elipse en direccin opuesta a la direccin de propagacin de la energa. Dicho movimiento cambia a progrado con la profundidad pasando por un nodo el cual no existe movimiento alguno de la partcula. El eje vertical de la elipse es siempre el de mayor amplitud. En otras palabras las ondas R se mueven a lo largo del terreno como una ola viaja a travs de un lago u ocano. Mientras avanza, mueve al terreno tanto de arriba a abajo como de un lado a otro en la misma direccin en la que se mueve la onda. La mayor parte de la sacudida que se siente durante un terremoto se debe a las ondas de Rayleigh.[footnoteRef:24] [24: (Rodriguez, 2009, pg. 17)]

La velocidad de propagacin de las ondas de Rayleigh (Vr) es menor que las ondas S siendo esta Vr=0,92Vs (para una razn de Poisson v=1/4). Sin embargo, esta velocidad de propagacin vara en funcin del periodo de la onda, por lo que se dicen que las ondas Rayleigh son ondas dispersivas, significando esto que las diferentes componentes armnicas de las ondas Rayleigh que constituye un sismo viajan con diferentes velocidades.Se propagan con velocidades de 1000 a 4000 m/s aproximadamente.[footnoteRef:25] [25: (Herrera, 2013, pg. 8)]

Fig 3.7 Modelo de ondas Rayleigh

Fig. 3.8: Direccin de propagacin de la Onda Rayleigh (Cruz-Gmez, 1996)

Ondas Love:Lasondas de Lovellevan el nombre de A.E. H. Love, un matemtico britnico que calcul el modelo matemtico para este tipo de ondas en 1911. Las ondas de Love estn formadas por la interferencia constructiva de mltiples reflexiones en la superficie libre de ondas. Las ondas Love son ms rpidas que las ondas Rayleigh y por lo tanto arriban antes que ella en el sismgrafo. El movimiento de partculas que describe la onda Love es paralelo a la superficie pero es perpendicular a la direccin de propagacin y se encuentra en la componente horizontal del sismograma y su amplitud disminuye con la profundidad, sin embargo es mayor que las ondas de Rayleigh, debido a que el movimiento no se ve afectado por el campo gravitatorio. Las ondas Love tambin son dispersivas esto es, la velocidad de propagacin de la onda depende de su frecuencia, siendo mayor para frecuencias menores. Y son las que generalmente hacen que los edificios se derrumben durante un terremoto.[footnoteRef:26] [26: (Rodriguez, 2009, pg. 18)]

Fig. 3.9 Modelo de ondas Love.

Fig. 3.10 Direccin de propagacin de las ondas Love.

Fig. 3.11 las ondas Love provocan cortes horizontales en la tierra.

Aunque las ondas superficiales son por lo general las ms destructivas, la mayora de los gelogos estn an ms interesados en las ondas internas. Como stas viajan a travs de la tierra, pueden proporcionar mucha informacin sobre su estructura. Entre otras cosas, pueden ayudar a los gelogos a localizar capas de roca que podran contener petrleo, gas y otros minerales valiosos.Es interesante destacar que las ondas de cuerpo se propagan en un medio elstico e istropo[footnoteRef:27] con velocidades VS y VP independientes de la forma de la onda. Esto significa que toda perturbacin asociada a una onda de cuerpo no cambia de forma, tanto en el espacio como en el tiempo (ambas variables estn relacionadas a travs de la constante VS o VP). Esta propiedad se conoce como carcter NO DISPERSIVO del medio elstico para las ondas de cuerpo. [27: Es decir, cuando las propiedades o caractersticas del medio no varan, o no dependen de la direccin sobre la cual se aplican las fuerzas.]

Por el contrario, las ondas superficiales presentan una velocidad de propagacin dependiente de su forma (o contenido de frecuencias) debido a la variacin de las propiedades mecnicas de los estratos superficiales en funcin de la profundidad. Esta caracterstica hace que las ondas superficiales sean habitualmente DISPERSIVAS, es decir que cambian su forma en el proceso de propagacin.

Dentro de esta variedad de ondas, las P son las que se propagan con mayor velocidad (de ah su nombre, primarias), presentando adems la caracterstica de poder propagarse por cualquier tipo de material, sea slido o lquido. Las ondas S viajan a una velocidad algo menor (secundarias) y no se propagan por masas lquidas. Por ltimo, las ondas superficiales viajan con una velocidad menor an.

3.2 Contenido espectral de las ondasCada una de las ondas ssmicas presentadas tiene rangos de periodos de vibracin caractersticos (Tabla 1.1). En los mtodos de refraccin y reflexin de la geofsica aplicada, que miden principalmente la llegada de las ondas P, de frentes de onda que se han refractado o reflejado en las diversas capas del suelo, las frecuencias asociadas con la reflexin se mantienen en una banda entre los 20 y 100 Hz, mientras que en la refraccin se encuentran entre 1 y 20 Hz.[footnoteRef:28] [28: (Cantos, 1973, pg. 520)]

Tabla 1.1. Periodos caractersticos de vibracin de ondas ssmicas.

TIPO DE ONDAPERIODO (S)

Ondas internas0,5- 50

Ondas superficiales10- 350

Oscilaciones libres[footnoteRef:29] [29: Oscilaciones libres, en sentido estricto, son todas, desde vibraciones instantneas por explosiones hasta mareas terrestres; los grandes sismos pueden generar periodos hasta de 500 s.]

350- 3600

Fuente: Lay & Wallace 1995

Por su parte, la ingeniera y dinmica de suelos estn interesadas en los periodos caractersticos de vibracin de los suelos y edificios. La respuesta de los edificios depende de la frecuencia predominante del movimiento ssmico: las frecuencias predominantes de las ondas S y P y de las frecuencias naturales de la columna de suelo y de edificio. La respuesta del edificio se ver afectada si las dos frecuencias coinciden.[footnoteRef:30] [30: (Sauter, 1989, pg. 271)]

3.3 Interferencia

Cuando dos o ms ondas coexisten en una misma regin del espacio, se dice que se interfieren solo cuando las longitudes de onda son iguales. Esto es, que las ondas originales individuales se superponen para producir una onda resultante. Hay dos casos especiales en la interferencia de ondas: interferencia constructiva (e interferencia destructiva), y ondas estacionarias.Cuando dos ondas armnicas con igual amplitud, perodo y fase se interfieren, la onda resultante tiene una amplitud igual al doble de las ondas originales, esto se conoce como interferencia constructiva. Cuando las ondas no tienen igual fase las crestas de una onda se superponen con los valles de la otra, esto se conoce como interferencia destructiva. Si el desfase es de 180 , la amplitud resultante es igual a cero.Si un tren de ondas se encuentra con una frontera (interfaz), la parte reflejada interfiere con la parte incidente del tren de ondas. Esta interferencia puede dar lugar a un patrn estacionario denominado onda estacionaria. Este tipo de ondas, de inters en muchos aspectos de la ciencia y la ingeniera, lo es tambin en algunos campos de la sismologa[footnoteRef:31]. [31: (Gettys, Keller, & Skove, 1991, pg. 1240)]

La funcin de onda correspondiente a una onda estacionaria es:Y (x, t) = 2Acos (t) sen (kx)

Donde A es la amplitud del desplazamiento mximo de una partcula desde su posicin de equilibrio, es la frecuencia angular y k es el nmero de onda, equivalente a 2., donde es la longitud de la onda.Una onda estacionaria no puede tener cualquier longitud. Solo puede tener alguna de las longitudes de onda especficas n , que satisfagan las condiciones de contorno (tiempo de inicio y fin; distancia de inicio y fin). Como la frecuencia de una onda est relacionada con su longitud de onda segn la expresin f = f, la frecuencia de una onda estacionaria est restringida a una serie de valores especficos o frecuencias naturales de vibracin n f. La frecuencia natural ms baja se denomina frecuencia fundamental y las dems frecuencias naturales deben ser mltiplos enteros de la frecuencia natural de vibracin.[footnoteRef:32] [32: (Gettys, Keller, & Skove, 1991, pg. 1240)]

3.3.1 Superposicin de ondas de cuerpo y superficiales

Los movimientos ssmicos, tal como se perciben en un punto de la superficie de la corteza terrestre, estn constituidos por la superposicin de ondas de cuerpo y superficiales que arriban al sitio de observacin desde el foco siguiendo caminos diversos, y sufriendo en los mismos distintas modificaciones al atravesar medios de diferentes caractersticas mecnicas y al incidir en superficies libres y discontinuidades. Esta combinacin de ondas da origen a lo que se denomina "AMBIENTE SSMICO".

El trmino ambiente ssmico se utiliza para describir la combinacin de tipos de ondas que constituyen el campo de desplazamientos, velocidades y aceleraciones; este campo vara en funcin de la posicin del punto de observacin y del instante de tiempo considerado. Esto implica que los registros ssmicos en puntos prximos son en general diferentes, ya sea en las fases de las componentes del movimiento y/o en las amplitudes de las mismas, en funcin de las caractersticas del ambiente ssmico.

3.4 Principios de la teora de la elasticidad

Una perturbacin sobre un medio elstico, en funcin del tiempo (p. ej. un sismo, el impacto de un meteorito, una explosin nuclear, el golpe de un martillo sobre el suelo) genera ondas elsticas. Estas perturbaciones producen cambios locales en esfuerzo y deformacin. Para entender la propagacin de las ondas elsticas es necesario describir cinemticamente la deformacin del medio y las fuerzas resultantes esfuerzos-. La relacin entre deformacin y esfuerzo est gobernada por las constantes elsticas.[footnoteRef:33] [33: (Rosales, 2001, pg. 29)]

La relacin de estas perturbaciones con el tiempo lleva a la ecuacin de las ondas elsticas.

3.4.1 Esfuerzo

Se define como la fuerza por unidad de rea. As, cuando una fuerza es aplicada a la superficie exterior de un cuerpo, el esfuerzo es la relacin de la fuerza en el rea sobre la cual es aplicada:Esfuerzo = Fuerza / rea = F / A

Si la fuerza es perpendicular al rea se llama esfuerzo normal de compresin.Cuando la fuerza es tangencial al rea el esfuerzo se conoce como esfuerzo cortante o de cizalla.[footnoteRef:34] [34: (Rosales, 2001, pg. 29)]

Si se tiene un cuerpo de lados rectangulares de lado x , y y z en cada uno delos sentidos x, y, y z de los ejes cartesianos coordenados, entonces los esfuerzos normales se definen como:

3.4.2 Deformacin

Cuando un cuerpo elstico est sujeto a esfuerzos ocurren cambios en la forma y en las dimensiones. Estos cambios se conocen como deformaciones. As, la deformacin se define como un cambio relativo en la dimensin (volumen) o forma un cuerpo.[footnoteRef:35] [35: (Rosales, 2001, pg. 30)]

Si se tiene un cubo de dimensiones X, Y y Z para cada uno de los ejes cartesianos x, y, y z, entonces se producirn dos tipos de deformaciones: normales y de cizalla.La deformacin primaria (o elemental) es la deformacin normal. Segn el eje cartesiano en que se produzca la fuerza se tendr:

x = u xy = v yz = w z

La deformacin de cizalla se define como la combinacin de deformaciones en los planos xy, xz o zy as:

Los cambios en las dimensiones dadas por las deformaciones normales resultan de los cambios en el volumen, cuando el cuerpo es deformado. El cambio en volumen por unidad de volumen es llamado dilatacin, que puede representarse con la siguiente frmula:

3.4.3 Ley de Hooke

Para calcular las deformaciones cuando los esfuerzos son conocidos, se debe conocer la relacin que existe entre el esfuerzo y la deformacin. Cuando las deformaciones son pequeas esta relacin est dada por la Ley de Hooke, la cual establece que, dada una deformacin, sta es directamente proporcional al esfuerzo producido. Cuando existen varios esfuerzos, cada uno produce deformaciones, independiente de los otros esfuerzos, entonces el total de las deformaciones es la suma de las deformaciones individuales producidas por cada esfuerzo.[footnoteRef:36] [36: (Rosales, 2001, pg. 31)]

En medios isotrpicos es decir, cuando las propiedades o caractersticas del medio no varan, o no dependen de la direccin sobre la cual se aplican las fuerzas, la relacin entre esfuerzo y deformacin puede definirse de la siguiente forma:=*+2**, donde i = x, y, z; = *, donde i, j = x, y, z, para i j.Donde y son las constantes elsticas de Lam; es la dilatacin y y las deformaciones, es una medida a la deformacin de cortante y es conocido como el Mdulo de rigidez al cortante o mdulo de cizalla. Los lquidos no oponen resistencia a la cizalla, por lo tanto = 0.

3.4.4 Constantes elsticas en medios isotrpicos

Las constantes que describen el comportamiento elstico en un medio isotrpico son los mdulos de Lam y de rigidez. Existen tres mdulos adicionales que permiten describir tambin el comportamiento elstico en trminos de los dos primeros mdulos, ellos son:1. Mdulo de elasticidad, E.2. Mdulo de incompresibilidad, K.3. Cociente de Poisson, .[footnoteRef:37] [37: El smbolo es ms o menos estndar en la notacin del cociente de Poisson, y no se debeconfundir cuando lleva subndices como en el caso del esfuerzo .]

En la litsfera las rocas se aproximan a medios isotrpicos, es decir que no lo son completamente. Especialmente las rocas sedimentarias y metamrficas presentan anisotropas. Por ejemplo, las rocas sedimentarias presentan diferencias en sus propiedades si son medidas en planos paralelos o perpendiculares al plano de estratificacin.[footnoteRef:38] [38: (Briceo & Cuellar, 1991, pg. 107)]

(1) Mdulo de elasticidad o de Young, .Es la cantidad de esfuerzo por unidad de deformacin.E = Esfuerzo / DeformacinE = Fuerza por unidad de rea / Cambio en longitud por unidad de longitud.

Considerando slo esfuerzo normal el mdulo elstico queda definido como:E = ii /

Aplicando la Ley de Hooke se tiene:

(2) Mdulo incompresibilidad, K.Es una medida de la resistencia de los materiales elsticos a la compresin, es decir, al cambio de volumen sin que vare su forma. Si un cuerpo est sometido a esfuerzo de compresin en todas las direcciones, su volumen disminuir una cantidad ii. As, el mdulo de incompresibilidad es la relacin entre el esfuerzo y el cambio unitario de volumen.[footnoteRef:39] [39: (Rosales, 2001, pg. 32)]

K = Esfuerzo / deformacinK = Presin / Cambio volumen por unidad de volumen.Para definir el mdulo de incompresibilidad, usualmente se supone que el cuerpo est sujeto solamente a la presin hidrosttica, es decir:

xx= yy = zz =- Pxx= yy = zz =

Entonces el mdulo de incompresibilidad queda definido como:

El signo menos es insertado para que K sea positivo.Al sustituir segn la Ley de Hooke se tiene:

(3) Cociente de Poisson, .Es la relacin entre las deformaciones unitarias transversal y longitudinal.Para definirla asmase que todos los esfuerzos son cero excepto xx. Entonces se tiene:

Donde el signo negativo es insertado para que el cociente sea positivo.Al reemplazar segn las ecuaciones de la Ley de Hooke se obtiene:

La relacin de Poisson es una medida de la contraccin lateral del material. En el caso de materiales elsticos vara entre 0 y 0,5. Como los lquidos no oponen resistencia a esfuerzo cortante, = 0, entonces=

Valores en el rango 0