República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica

De la Fuerza Armada Nacional Bolivariana

Núcleo Aragua – Sede Maracay

Tipos de Factorización

Jesús Pereira CI:25.349.563

Edduaw Álvarez CI:25.662.027

Brian Díaz CI:25.067.832

Sección: CINU-CB-OS-N-02

Carrera: Ing. Civil

Maracay, 23 de Octubre del 2013

Factorización

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o numero

(por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un

polinomio) como producto de otros objetos, más pequeños

(factores), (en el caso de número debemos utilizar los numero

primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.

Por ejemplo, el numero 15 se factoriza en números primos 3 x

5; y - se factoriza como binomio conjugados (a-b) (a+b)

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos.

ab+ac+ad= a(b+c+d)

ax+bx+ay+by=a(x+y)+b(x+y)= (x+y) (a+b)

Y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los

coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor

exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo

cuenta con un término, si no con dos.

Un ejemplo:

5x2 (x-y) + 3x (x-y) + 7 (x-y)

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x-

y), entonces ese será el factor común. El otro factor será

simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

(5x2 + 3x + 7)

La respuesta es:

(5x2 + 3x + 7) (x-y)

Factor común polinomio

Factor común por Agrupación de Términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se

debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un numero par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

2y + 2j + 3xy + 3xj

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

= (2y + 2j) + (3xy + 3xj)

Aplicamos el caso I (Factor común)

= 2(y+j) + 3x (y+j)

= (2+3x) (y+j)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen

raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble

producto de las raíces del primero por el segundo. Para

solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar

los términos dejando de primero y de tercero los términos que

tengan raíz cuadrada, luego escribimos en un paréntesis,

separándolos por el signo que acompaña al segundo termino, al

cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

Trinomio Cuadrado Perfecto

Ejemplo 1:

(5x – 3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2

Ejemplo 2:

(3x + 2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2

Ejemplo 3:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y

unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos

paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b),

uno negativo y otro positivo.

(ay)2 – (bx)2 = (ay – bx) (ay + bx)

O en una forma mas general para los exponente pares:

(ay)2n – (bx)2m = ((ay)n – (bx)m) ((ay)n + (bx)m)

Diferencia de cuadrados

Ejemplo : Factorizar la expresión a4 + 4a2 + 16

Solución: Si en lugar de 4ª2 el segundo termino fuera 8a2, se tendría un cuadrado perfecto. De aquí, entonces surge la idea de sumar (y restar) 4a2. De este modo la expresión resultante será factorizable. En efecto:

a4 + 4a2 + 16 = a4 + 4a2 + 4a2 – 4a2 + 16

= a4 + 4a2 + 4a2 – 4a2 + 16

= (a4 + 8a2 + 16) – 4a2

= (a2 + 4)2- (2a)2

= ((a2 + 4) – 2a)((a2+4) + 2a)

= (a2 + 4 – 2a)(a2 + 4 + 2a)

Diferencia de Cubos Perfectos

Es la transformación de una expresión algebraicas racional

entera en el producto de sus factores racionales y enteros,

primos entre sí.

Procedimientos: Se extrae la raíz cúbica de cada término del

binomio. Luego se forma un producto de dos factores, la cual

los binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos

del binomio. Los factores del trinomio se determina así: El

Cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces

más el cuadrado de la segunda raíz.

Diferencia de Cubos Perfectos

Ejemplo: Factorizar 8x3 + 27

La raíz cúbica de: 8x3 es 2x

La raíz cubica de: 27 es 3

Según procedimientos 8x3 + 27= (2x + 3[(2x)2 – (2x)(3) + (3)2 ]

8x3 + 27 = (2x + 3)(4x2 – 6x + 9)

Suma de Cubos

Una suma al cubo es igual al cubo del primero, más el triple

del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del

primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

Trinomio de la Forma

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo

primer termino es x, o sea la raíz cuadrada del primer termino.

En el primer factor, después de x se escribe el signo del

segundo termino del trinomio y en el segundo factor, después de

x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del

segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del

trinomio.

Trinomio de la Forma

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo

primer término es la raíz cuadrada del primer término del

trinomio, o sea “x”.

En el primer factor después de X, se escribe el signo del

segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después

de X se escribe el signo que resulta de multiplicar los signos del

segundo y tercer términos del trinomio.

Luego se buscan dos números cuya suma sea el coeficiente

del segundo término y cuyo producto sea el tercer término del

trinomio, estos son los términos independientes de los

binomios.

Trinomio de la Forma

Ejemplo: factorar X2 + 4X + 3 = ( x + 3) (x + 1)

Factorar: X2 - 6X - 40 = ( x - 10) (x + 4)

Factorar: X2 - X - 6 = ( x - 3 ) (x + 2 )

Factorar: X2 - 9X + 8 = ( x - 8) (x - 1)

Bibliografía

• Guía Abriendo Puertas 2012. Para prueba interna FACES 8va

edición

• www.slideshare.net/FrankoFAAAH/tipos-de-factorizacion