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Competencias a desarrollar�

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8

Tiempo asignado: 10 horas

Aplicas funciones periódicas

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Competencias a desarrollar�

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�• Describelarelaciónqueexisteentrelasfuncionestrigonomé-tricasylasfuncionescircularessenoycoseno.

• Argumentalaeleccióndeunadelasdosformassenoidalesparamodelarunasituaciónofe-nómenoespecífico.

• Obtienelaamplitudyelperio-doparagraficarunafunciónse-noidal.

• Describelarelaciónentreperio-doyfrecuencia.

• Resuelveoformulaproblemasdesuentornouotrosámbitosquepuedenrepresentarseme-diantefuncionessinusoidales.

• Funcionestrigonométricas: - Seno. - Coseno.• Funcionescirculares: - Seno. - Coseno. - Formassenoidales.• Representacióngráficadefuncio-

nestrigonométricas.• Características de las funcionesperiódicas: - Amplitud. - Frecuencia. - Periodo.

Construyeeinterpretamodelosmatemáti-•cosmediantelaaplicacióndeprocedimientosaritméticos,algebraicos,geométricosyvaria-cionales,paralacomprensiónyanálisisdesi-tuacionesreales,hipotéticasoformales.Formulayresuelveproblemasmatemáticos,•aplicandodiferentesenfoques.Explicaeinterpretalosresultadosobtenidos•medianteprocedimientosmatemáticosyloscontrastaconmodelosestablecidososituacio-nesreales.Argumentalasoluciónobtenidadeunpro-•blema,conmétodosnuméricos,gráficos,ana-

líticos,ovariacionales,medianteellenguajeverbal,matemáticoyelusodelasTecnologíasdelaInformaciónyComunicación.Analizalasrelacionesentredosomásvariables•deunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.Cuantifica,representaycontrastaexperimen-•talomatemáticamentelasmagnitudesdeles-pacioylaspropiedadesfísicasdelosobjetosquelorodean.Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasy•textosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

292

�B8�Enestebloqueestudiaremoslasfuncionesperiódicas,lascualestienenunagranaplicaciónenlafísica,analizaremoscómotransportarlas,haciaunladoyotrodelplano,paramodelardistintostiposdeproblemas.Tambiénconstrui-remoslagráficadelafunciónsenoidalpormediodesustabulacionesyresol-veremosdistintosproblemasteóricosyprácticos.

Áreasdeoportunidad(temarioendondeseencontrólamayorcantidaddedificultades).

I. Contestaentulibretaloqueseteindica.

1. ¿Aquéselellamafunciónperiódica? 2. ¿Cuálesladiferenciaentrelafunciónsenoycoseno? 3. ¿Quéesfrecuencia? 4. ¿Quéesamplitud? 5. ¿Quéesperiodo? 6. Compruebaquesen2x+cos2x=1. 7. Compruebalassiguientesidentidades: a) sen(−A)=−senA b) cos(−A)=−cosA

LaPirámidedeKukulcánseasientasobreunaplataformarectangularde55.5metrosdeanchoytieneunaalturade24metros.Cadaladodelapirámidetie-neunagranescalinata,91escalonesporladoy1másqueconducealtemplosuperior,dando365,unopordíadelaño.Balaustradasdepiedraflanqueancadaescalera,yenlabasedelaescalinatanorteseasientandoscolosalesca-bezasdeserpientesemplumadas,efigiesdeldiosKukulcán.Esenestases-calinatas, ymuy particularmente en sus pretiles o balaustradas, donde seproyectanduranteeltranscursodeldíaequinoccial,lassombrasdelasaristasdelasplataformasobasamentossuperpuestos,queintegranelgranedificio,configurándoseasílaimagendelcuerpodelaserpiente-dios,quealpasodelashorasparecemoversedescendiendoyrematandoenlamencionadaca-

INTRODUCCIÓN

Actividad introductoria

Proyéctate

Actividad

�

293

�Aplicas funciones periódicas

bezapétreasituadaenlabaseinferiordelaescalinata.Laformaquepresen-taKukulcánesdeunafunciónsenoidal,yladistanciaentrelapartemásaltadellomoylapartemásbajadeestadeidadesde60cmycadacrestaserepitecada50cm.DeterminaunaexpresiónsenoidalquesimulelabajadadeKukul-cán.Másaún,silapirámidetieneunainclinaciónde35°,diseñaunaecuaciónsenoidalquedesciendaconunángulodeesamagnitud.

Lasfuncionessenoycosenosonllamadasfuncionesperiódicas,yaquecadadeterminadoperíodoointervalodeespaciootiemposerepiten;tambiénsonllamadasarmónicas.

• Seno

Actividad

FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS

294

�B8�I. Conayudadetumaestro,colocatucalculadoracientíficaenradianes:

Completalasiguientetablayconstruyelagráficadelafuncióny=senx,pun-toporpunto:

X

0

π/8

π/4

3π/4

π/2

5π/8

3π/4

7π/8

9π/8

5π/4

11π/8

6π/4

13π/8

7π/4

15π/8

2π

• Coseno

Actividad

�

295

�Aplicas funciones periódicas

Realizalagráficadelafuncióny=cosxconayudadetumaestro:

X

0

π/8

π/4

3π/4

π/2

5π/8

3π/4

7π/8

9π/8

5π/4

11π/8

6π/4

13π/8

7π/4

15π/8

2π

Comopodrásobservar,lasimilitudentreambasgráficasesevidente,ambastienencomodominio={x∈R|−∞ < x <∞}ysurango={y∈R|−1≤y≤1},ladiferenciaqueexisteentreellasesun“desfasamiento”,esdecir,lafunciónse-noidalintersectaalorigenylafuncióncosenocuandox=0pasapory=1;estosignificaqueestándesfasadas90°,omejordicho:π

2

Característicasdelasfuncionesperiódicas:

y=sen(bx−c)+d

Veamoscómoafectacadaunadelasdiferentesconstantesalafunciónseno.

Actividad

296

�B8�Tomemosunvalordeacualquiera,porejemplo:a=3.

NOTA.Deaquíenadelantelafunciónencolorazuleslafuncióny=senxyenrosalasfuncionesdesplazadas.

Seobservaquealparecerlospuntosaumentanhaciaarribadosunidades.

Porlotanto,siaumentamoselvalordeaa,a=5podemospredecirquelospuntossevanaalargarhaciaarribacuatrounidadesrespectoay=senx

Efectivamente, sedesplazó cuatrounidadeshacia arriba respectoa la fun-cióny=senx;porconsiguiente,elcoeficiente“a”nosmodificarálaamplitud,lacualquedadefinidacomo:

Amplitud:eslamáximaalturaquealcanzalagráfica,medidades-desuejedesimetríahorizontal.

�

297

�Aplicas funciones periódicas

Amplitud=|a|

Retomandolastresfuncionesanalizadasconcluimosque:

Lafuncióny=senxtieneunaamplituddeunaunidad.

Lafuncióny=3senxtieneunaamplituddetresunidades.

Finalmente,lafuncióny=5senxtieneunaamplituddecincounidades.

Ahora,analicemoscómocambialagráficadelafuncióny=senxcuandova-riamosb,detalmaneraqueahoraprobaremosconb=3.

Alvariaresteelemento,observamoscómolasondassecomprimen,yenunespaciomenorserepitenmásveces.Seobservaquemientrasunaondasege-neracony=senx,cony=sen5xsegenerancincoondas(unaondaeslaqueestácompuestadeunacrestayunvalle).Alparecerelcoeficientedelavaria-bleindependientemodificaelnúmerodeondasquesegeneran;ahoravea-mossigraficamoslafuncióny=sen2x,elnúmerodeondasquetendremosserádedosondasporcadaunaquesegeneracony=senx.

Efectivamente,seobservaqueporcadaondulacióndelafuncióny=senxsefor-mandosdelafuncióny=sen2x.

Porconsiguiente,bcomprimeoexpan-dealasondulacionesdelafunción,siobservaselintervalodevaloresqueto-mamosenconsideraciónesde0a2π,podemosdefinirelperiodo(T)delasi-guientemanera:

298

�B8�Periodo:lasvecesqueserepitenlasondasenunintervaloiguala2π,deotramanerapodemosdecirqueelperiodoesel tiempoquetardaen formarseunaonda,uncicloounarevolucióncompleta,paraestoscasosesiguala:

Tb

= 2π

Deigualmanerayaestamosencondicionesdedefiniralafrecuencia:

Frecuenciaeselrecíprocodelperiodooelnúmerodeondas,ci-closo revolucionesen launidaddetiempo;matemáticamenteseexpresa:

fb

=2π

Ahoraveamoscómosemodificaconelcambiodec;paraello,reescribamoslaecuaciónoriginaly=asen(bx−c)+d

Factorizamosdentrodelánguloabyobtenemos:

y asen b xcb

d= −

+

Comencemosporagregarletresunidadesalavariableindependiente:

Detalmaneraquey=senxquedamodificada,y=sen(x−3)

Esdecir,nuestrafunciónsedesplazótresunidadeshacialaderecha.

Concluimosquesibcespositivo,nuestrafunciónsedesplazará

bcunidades

hacialaderecha.

�

299

�Aplicas funciones periódicas

Veamoscómoseríaundesplazamientohacialaizquierda:

Verificareldesplazamientodelafuncióny=sen(x+3)

Factorizandonosqueday sen x sen x= + = − −

( )3 1

31

bc

= −31,locualindicaquenuestragráficasedesplazará−3unidades,omejor

dichotresunidadesalaizquierda:

Efectivamente,sedesplazótresunidadesalaizquierda.

Elúltimoelementopormodificaresd.

Siy=senx,entoncessid=4,lafunciónquedamodificaday=(senx)+4

300

�B8�Lafunciónsedesplazócuatrounidadeshaciaarriba.

Comprobemosqueenrealidadsepresente,ahorabusquemosdesplazar lafuncióny=senx,2unidadeshaciaabajo:

y=(senx)−2

Efectivamente,lafuncióny=senxsedesplazadosunidadeshaciaabajo.

Estosefectostambiénsonválidosparalafuncióny=cosx,detalmaneraque

tambiénqueda:y=acos(bx−c)+d,otambiény a b xcb

d= −

+cos

I. Obténlosvaloresdea,b,c,d,cb,lafrecuencia,elperiodoylaamplitudde

lassiguientesfunciones.Compruebatusresultadosgraficandoconayudadeunsoftware:

1. y=4sen(2x−1)+3 2. f(x)=−3sen(6−5x)−1

3. y=−senx(1−x) 4. f x sen x( ) = −

−32

23

54

192

5. y sen x=

9 24

-π

6. f(x)=−8sen(x−4)+6

7. y x= +( ) −12

3cos π 8. f(x)=−cosx

Actividad

�

301

�Aplicas funciones periódicas

II. ¿Quéelementosvariaríasparaquelafuncióny=cosxsesuperpongaalafuncióny=senx,esdecir,unaquedeencimadelaotra?

Emplea funciones periódicas

Lasfuncionessenoidalessonutilizadasparamodelarmovimientoscíclicosenproblemasenlafísica,lamedicina,etc.Veamosalgunosejemplos.

Unpéndulosimpleesuncuerpoidealizadoconsistenteenunamasapuntualsuspendidaporunacuerdaligeraeinextensible,lafuerzarestauradoraque-dadefinidapor:

F=−mgsinx

endonde:m=masasuspendidag=eselvalordelagravedad,9.8m/s2x=eselángulodeinclinación

Silasiguientegráficarepresentaunpéndulo,¿cuáleslamasadelamasasus-pendidaalfinaldelacuerda?

Comopodemosobservar,nuestra funciónestá invertida,eseefectonos loproporcionaelsignonegativodelafunción;porconsiguiente,nosotrosbus-camoselvalordelamasadenuestropéndulo,asíquecomparamosambasecuaciones,tanto ladadaporelproblemacomonuestrafuncióndadaconanticipación:

F mg x

f x a x

= −

( ) =sin

sin

302

�B8�Sieresobservador,tedaráscuentaqueelvalordea,queeslaamplituddelaondasenoidal,esigualalpeso.Sisabemosquelaamplituddelaondaesde−20;porconsiguiente,podemosplantearlasiguienteecuación:

20=m(9.8)

despejandolamasa:

m

m kg

= −−

=

209 8

2 04.

.

Nuestropéndulotieneunamasade2.04kg.

Resuelvelosiguiente:

1. Lafunciónf x x( ) = 110

sinπ representaeloleajequehayenunaplayadel

Japón,suponiendoquelasolassecomportanbajoestacondiciónma-temática,¿cómoestáeloleaje?Esdecir,lasolas¿estaránmuygrandes?¿Cuál es el periodode este oleaje? Si en unmomento determinadosurgierauntsunamiyseformaranolasdeaproximadamente30mdealturaydehastadiezminutosentrecrestaycresta: ¿cómoquedaríamodificadalafunciónanterior?

2. Eldesplazamientodeunsistemamasaresorteestádadoporlaecuación:

x=Acos(wt+φ)A=amplitudenmetrosw=velocidadangularenrad/segφ=esunaconstante

Segúnlasiguientegráfica¿cuáleselvalordelavelo-cidadangular?

Actividad

�

303

�Aplicas funciones periódicas

3. Unaparatodeaireacondicionadoesalimentadoconcorrienteeléc-trica sinusoidal con un voltajemáximo V volts= 220 2 , a una fre-cuenciade60Hertz,escribeunaecuaciónqueexpreseelvoltaje(V)comounafunciónrespectoaltiempo(t),supónlascondicionesini-cialesV=0cuandot=0.

4. EnlaciudaddePerote,enelañode2010,seregistróunatemperaturapromediode15.8,oscilandolamáximatemperaturaentre36°y4.4°C,estaúltimaseregistróeneneroydiciembre;obténunmodelosinusoi-dalyrealizalagráfica.

Verificandotusdesempeños

Elobjetivodeestaautoevaluaciónesqueverifiquesenformaindividualtusavancesduranteestebloque,detectandotusáreasdeoportunidad.Porestarazón,encontraráslosdesempeñosqueseesperandeti,cadaproblemaqueimpliqueunadificultadesunáreadeoportunidadenlaquedeberáscentrartuatenciónytusestudios.

Conayudadetumaestro,escribeaquítusáreasdeoportunidad:

I. Contestalosiguiente:

1. Describelarelaciónqueexisteentrelasfuncionestrigonométricasylassenoycoseno.

2. ¿Querelaciónobservasentrelafunciónsenoylafuncióncoseno?

3. Argumentalaeleccióndeunadelasdosformassinusoidalesparamo-delarunasituaciónofenómenoespecífico.

II. Respondecorrectamentelassiguientespreguntas.

1. ¿Enalgúnmomentopodríaselegirunafunciónsenoenvezdeunafun-cióncosenoparaalgunaproblemática,oes indistintocuál tomes, loúnicoquetendríasqueelegirsonlosvaloresadecuadosparacadasi-tuación?Fundamentaturespuesta.

Instrumentos de evaluación

304

�B8�Obtienelaamplitudyelperiodoparagraficarunafunciónsenoidal.

2. Dadalafunciónf(x)=11sin(4x−3)determinasuamplitudysuperiodoyrealizaunbosquejodesugráfica.

Describelarelaciónentreperiodoyfrecuencia.

3. ¿Podemosdecirqueperiodoy frecuencia son lomismo?Síonoy¿porqué?

Resuelveoformulaproblemasdesuentornouotrosámbitosquepuedenre-presentarsemediantefuncionessinusoidales.

4. LuisyClaudiajugabanenunaalbercacuandocomenzaronaobservarquesiellosbrincabansegenerabanondas,sibrincabanmássegene-rabanmásondasyconmayoraltura.Siseformarantresolascomple-tasenunsegundoconunaalturadeveintecentímetros,determinalaecuaciónsenoidalquerepresentaestemovimientoondulatorio.

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�Aplicas funciones periódicas