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TECSUP Clculo Diferencial e Integral

49

UUNNIIDDAADD VVII

LLOONNGGIITTUUDD DDEE AARRCCOO

Consideremos una curva definida por la ecuacin y=f(x), donde f(x) es una funcin diferenciable.

La longitud del arco de curva comprendido entre los puntos x=a y x=b, se calcula del siguiente modo:

Ejemplo 1 El permetro de la circunferencia

Calcular el permetro de la circunferencia 1yx 22 . Para ello calcularemos el largo

del arco de la curva 2x1y , entre x = 0 y x = 1, y multiplicaremos por 4.

1yx 22 2x1y

dx.)x(f1Lb

a

2

)x(fy

a bX

Y

Clculo Diferencial e Integral TECSUP

50

Tenemos: dx.x1

x1dx.)x1(1dx.)x(f1L

1

0

2

2

1

0

22

1

0

2

1

0

1

02

1

0

2

1

0

2

2

arcsenxdx.x1

1dx.

x1

1dx.

x1

x1

2

02

0arcsen1arcsen

As el permetro de la circunferencia es

22

.4

Ejemplo 2 El largo de la catenaria Una cadena cuelga, entre las abscisas x=-1 y x=1, de acuerdo a la ecuacin:

2

eey

xx

(Esta es la curva llamada catenaria y corresponde a la funcin y=coshx). Calcule el largo de la cadena. El largo de la cuerda est dado por el arco de la curva y=f(x) entre x=-1 y x=1. As:

dx.4

e2e1dx.

2

ee1dx.)x(f1L

1

1

x2x21

1

2xx1

1

2

1

1

1

1

1

1

xxxx2

xx1

1

x2x2

2

eedx.

2

eedx.

2

eedx.

4

e2e

e

1e

1-1

2

ee)x(f

xx


51

1. REA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN

Consideremos ahora el problema de calcular el rea de un cuerpo obtenido al rotar la curva y=f(x) (entre las abscisas x = a y x = b) en torno al eje X.

Dividimos el cuerpo en rebanadas de ancho x, y consideramos el rea del manto de cada una de estas rebanadas.

El rea de cada uno de estos mantos es, aproximadamente, el permetro de la circunferencia (en uno de sus bordes), multiplicada por el largo del arco de la curva.

El permetro de la circunferencia es 2.|f(x)|, y el largo del arco de la curva lo acabamos de calcular.

Considerando que f(x) es positiva, en el intervalo considerado, el diferencial de rea es:

dx.)x(f1).x(f.2dA 2

Y el rea de la superficie de revolucin es:

Ejemplo1 El rea de la esfera

La esfera puede ser obtenida girando la curva 2x1y , entre x=-1 y x=1, en

torno al eje X. Encuentre su rea.

Por la frmula anterior: dx.)x(f1).x(f2Ab

a

2

dx.)x(f1).x(f2Ab

a

2

X

Y

a b

)x(fy


52

O sea: dx.)x(f1.x12A1

1

22

1

1

1

1

1

1

2

2

x2dx2

dx.x1

1.x12A

4

)1(12

2x1y

1-1 X


53

BLOQUE V

LONGITUD DE ARCO Calcular la longitud de arco entre A y B de la grfica de ecuacin: 1.- 2/3f(x) 3x 10 ; A(8;2), B(27;17).

2.- 2 38x 27y ; A(1;2/3), B(8;8/3).

3.- 2 3(y 1) (x 4) ; A(5;0), B(8;7).

4.- 3y 5 x ; A(1;4), B(4;-3).

5.- 3 2y 6 x 1 ; A(-1;7), B(-8;25).

6.- 3x 1

y12 x

; A(1;13/12), B(2;7/6).

7.- 31 x

y 04x 3

; A(2;67/24), B(3;109/12).

8.- 3 830xy y 15 ; A(8/15;1), B(271/240;2)}

Calcular la longitud de arco de la curva dada: 9.- 3x1 ;1x2y

10.- 2x0 ;x4y 2

11.- )1;2( hasta )0;1(desde ;)1x(y 2/3

12.- 2x1 ;x2

1

6

xy

3

13.- 3x1 ;x8

1

4

xy

2

4

14.- 4x2 ;4

)xln(

2

xy

2

15.- 4

x0 ));xln(cos(y

16.- 2/1x0 );x1ln(y 2


54

SUPERFICIE DE REVOLUCIN Calcular el rea de la superficie obtenida al hacer girar cada una de las siguientes curvas alrededor del eje X:

17.- 9x4 ;xy

18.- 8x0 ;1x2y

19.- 2x0 ;xy 3

20.- 4x1 ;2

)xln(

4

xy

2

21.- x0 );x(seny

22.- 3/x0 );xcos(y

23.- 8x1 ;x2

3y 3/2

24.- 1x0 ;x6y

25.- 1x0 ;ey x

26.- 1x0 ;xy 2

27.- 2x0 ;x12y2

28.- 1y0 ;xy3

29.- 2x0 ;eey xx

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