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TECSUP Clculo Diferencial e Integral

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UUNNIIDDAADD IIVV

MMXXIIMMOOSS YY MMNNIIMMOOSS

1. INTRODUCCIN

El concepto de derivada es el instrumento fundamental para minimizar o maximizar un fenmeno fsico, es decir, para obtener un resultado ptimo de un conjunto de posibilidades.

Si se hace rebotar una bola de caucho, observamos que en el primer rebote alcanza su altura mxima y sta disminuye en el segundo y as sucesivamente hasta detenerse. Los distintos mximos as obtenidos se suelen llamar mximos locales. Si en el conjunto de mximos locales existe uno que sea mayor que todos los dems, llamamos a este mximo mximo global. Cosa anloga podemos decir para los mnimos.

Definicin: por punto crtico se entiende a un punto estacionario, es decir, de derivada cero, un punto donde no existe la derivada o un punto extremo del dominio.

Observacin: los puntos crticos son los candidatos a ser puntos donde ocurran mximos y/o mnimos de la funcin.

Teorema:

Si 0)( xf en el intervalo ba; entonces f(x) es creciente en ba; .

Si 0)( xf en el intervalo ba; entonces f(x) es decreciente en ba; .

O

X

Y

Mximo global

Mximo local

Mnimo local

Mnimo global

Clculo Diferencial e Integral TECSUP

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Ejemplo:

Para las siguientes funciones halle los extremos locales de f aplicando la primera derivada. Determine los valores de x en los cuales ocurren extremos locales, tambin los intervalos en los cuales f es creciente y en los que es decreciente. Haga un dibujo del grafo.

1.- 116)( 2 xxxf

Derivamos: f(x) 2x 6

Factorizamos: f(x) 2(x 3)

Identificamos los puntos crticos: x0 = 3 Sobre una recta estudiamos los signos de la derivada: En consecuencia: f(x ) f(3) 20 , es un mnimo local.

Atencin: podemos afirmar tambin que es un mnimo global. Grfica:

2.- 196)(23 xxxxf

Derivamos: 2f(x) 3x 12x 9

Factorizamos: f(x) 3(x 1)(x 3) Identificamos los puntos crticos: x0 = 1 x1 = 3

x

y

x0= 3

- +

2

3

x0=1 x1=3

- + +


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6m

8m

h

x

Sobre una recta estudiamos los signos de la derivada:

Luego: f(x ) f(1) 50 es un mximo local.

f(x ) f(3) 11 es un mnimo local.

Grfica:

3.- 54)( 2 xxxf , cuando 4;1x .

4.- 3 232)( xxxf

5.- 1

10)(

2

xxf , cuando 1;2x

6.- En la pared triangular de un tico de un chalet, un carpintero tiene que construir una estantera rectangular, apoyada en el suelo y cuyas esquinas superiores alcancen las paredes inclinadas. Qu dimensiones tendr que dar a la estantera, si quiere que la superficie de sta sea la mayor posible? Resolucin

Siendo el objetivo la mxima superficie, desarrollamos una expresin para la superficie:

S = hx

Si queremos que S slo dependa de la variable x, buscamos una relacin entre x y h a partir de la figura y notamos que:

8

h (6 x)6

x

y


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Reemplazando:

8

S (6 x)x6

; x 0;6

Proceder a maximizar la funcin S.

2. RESUMEN DE LAS TCNICAS PARA HALLAR MXIMOS Y MNIMOS

1. Trate de expresar la cantidad que se va a maximizar o minimizar como funcin de alguna cantidad que se presente en el problema, como una distancia, un tiempo, un ngulo, etc.

2. Si al comienzo necesita dos variables, digamos x y y, para expresar la

cantidad que se va a maximizar o minimizar, halle una segunda relacin entre x y y y emplela para eliminar una de las variables.

3. Determine qu valores de la variable son admisibles en el problema. En otras

palabras, halle el conjunto de valores sobre el cual se considera la funcin.

4. Para ver donde existen mximos o mnimos, localice los puntos crticos.


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BLOQUE III

1.- Halle los extremos locales de: 58)( 2 xxxf .

2.- Halle los extremos locales de: 193)( 23 xxxxf , sobre 2;3 .

3.- Halle los extremos locales de: 5243)( 23 xxxxf ,

a) sobre 2;4 . b) sobre ;3 . c) sobre 5;3

4.- Halle los extremos locales de: 1553)( 35 xxxf .

5.- Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 cntimos la unidad, vende una

media de 200 helados diarios. Por cada 5 cntimos que aumenta el precio, vende cinco helados menos cada da. Si el costo por unidad es de 40 cntimos, A qu precio de venta es el mximo el beneficio total que obtiene el heladero?

6.- De todos los rectngulos de 20cm2 de superficie, cul es el que tiene menor permetro?

7.- Entre todos los conos de revolucin de generatriz a=10 determina el de volumen mximo.

8.- De todos los tringulos issceles cuyos lados miden 12cm, cul es el que tiene

rea mxima? 9.- Determine el tringulo issceles de rea mxima y permetro 30cm.

20 cm2 b

a

h

r

1010


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10.- De los trapecios que tienen una base de longitud 6cm. y los lados de longitud 10cm, determine el de rea mxima.

11.- Un jardinero ha de construir un sector circular con un permetro de 20m. Cul

ser el radio asociado al rea mxima?, Cul ser la amplitud del sector en radianes?

12.- De todos los rectngulos inscritos en una semicircunferencia, de radio 25cm.,

cul es el de mayor rea?, y el de mayor permetro?

13.- Hallar dos nmeros que sumen 30 y cuyo producto sea mximo. 14.- Hallar dos nmeros cuyo producto sea 225 y cuya suma sea mnima.

15.- Si dos nmeros positivos suman 20, 20 yx , Cul es el mnimo valor que

puede tomar la expresin22 yx ?, y el mximo?.

16.- La suma de tres nmeros en progresin geomtrica es 12, cul es le mximo

de su producto?, y el mnimo?. 17.- Se quiere construir un depsito en forma de prisma recto de base cuadrada

abierto por arriba. Si se precisa de una capacidad de 8m3, qu dimensiones hay que darle para que el material necesario para construir sea mnimo?.

18.- De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de radio 4m, halla el

de volumen mximo y el de rea total mxima. 19.- Unos paquetes de cartn para envasar leche tienen forma de prisma cuadrado

de 1000cm3 de capacidad, con doble espesor de material en la tapa y en la base, para qu dimensiones la cantidad de cartn ser mnima?.

20.- Repetir el clculo del ejercicio anterior, para un prisma de base triangular

equiltera. 21.- Repetirlo igualmente, si la base del prisma es un hexgono regular. 22.- A la vista del resultado de los apartados previos, qu tipo de envase necesita

menos cartn?.

25

x


35

23.- Se quiere construir una caja de hoja de cartn de 12cm de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. Halle la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen sea mximo.

24.- Una isla est a 6km de una playa B recta, sobre la playa a 7km de B se

encuentra una tienda C. Si un hombre rema a 4km/h y camina a 5km/h, en qu punto debe desembarcar para emplear el tiempo mnimo para ir de A a C?.

3. MISCELNEA

1. Un avin que vuela a velocidad constante de 300km/h pasa sobre una estacin terrestre de radar a una altura de 1km y se eleva con un ngulo de 30. A qu velocidad aumenta la distancia del avin respecto de la estacin de radar un minuto ms tarde?.

2. Un embudo en forma cnica tiene un dimetro de 16pulg en su parte

superior y 12pulg de altura. El agua entra al embudo a una tasa de 12pulg3/seg y sale de l a una tasa de 4pulg3/seg. Qu tan rpido se eleva la superficie del agua cuando sta tiene una profundidad de 5pulg?.

3. Un automvil se desplaza a una tasa de 30pies/seg y se aproxima a un

cruce. Cuando el automvil est a 120 pies del cruce, un camin que viaja a 40 pies/seg. pasa por el cruce. El automvil y el camin se encuentran sobre carreteras perpendiculares. Qu tan rpido se separan el automvil y el camin 2seg despus de que el camin deja el cruce?.

A

B P C

7 km6

km

x


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4. Un depsito colocado horizontalmente tiene la forma de un prisma de 16m de largo, las caras de sus extremos son trapecios issceles de 4m de altura y bases de 4m y 7m, respectivamente. Se vierte agua sobre el depsito a razn de 10m3/min. Con qu rapidez se elevar el nivel del agua cuando ste tenga una altura de 2m?.

5. Una persona est en el punto A, en la orilla de un ro recto de 3km de ancho

y desea llegar al punto B, a 8km corriente abajo, en la orilla opuesta, tan rpido como sea posible. Podra remar cruzando directamente hasta el punto C y a continuacin correr hasta B, remar directamente a B o hacerlo hasta un punto D entre B y C, para despus correr a hacia B. Rema a 6km/h y corre a 8km/h. Dnde debe desembarcar para llegar a B lo ms pronto posible?.

6. Calcula las dimensiones de un rectngulo de permetro constante 40cm tal

que la suma de los cuadrados de dichas dimensiones sea mnima.

7. Una ventana tiene la forma de un rectngulo coronada (en la parte superior) por un tringulo equiltero. Si el permetro de dicha ventana es de 16m, halle las dimensiones y el rea de dicha ventana, de manera que permita mxima iluminacin.

8. Determine el tringulo issceles de rea mxima y permetro 30cm.

9. El permetro de un tringulo issceles es 14m. Cunto deben medir sus

lados para que el volumen del cuerpo generado por la rotacin del tringulo en torno a su base sea la mayor posible?.

10. Una ventana Norman tiene la forma de un rectngulo rematado por un

semicrculo. Si el permetro de la ventana tiene 30 pies, calcula las dimensiones de esa ventana, con el fin de admitir la cantidad mxima de luz posible.

11. Un jardinero ha de construir un sector circular con un permetro de 20m.

Cul ser el radio asociado al rea mxima?, Cul ser la amplitud del sector en radianes?.

12. Se quiere construir un depsito en forma de prisma recto de base cuadrada

abierto por arriba. Si se precisa de una capacidad de 8m3, qu dimensiones hay que darle para que el material necesario para construir sea mnimo?.

13. Unos paquetes de cartn para envasar leche tienen forma de prisma

cuadrado de 1000cm3 de capacidad, con doble espesor de material en la tapa y en la base, para qu dimensiones la cantidad de cartn ser mnima?.

14. La esquina superior izquierda de una hoja de papel de 8pulgadas de ancho

por 12 de longitud se dobla hasta llegar a la orilla derecha. Cmo la doblaras para minimizar la longitud del doblez?.


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Tecsup

1m

1,5m

3m

15. Un globo y un tren se encuentran en un mismo punto, en un instante dado el tren da marcha a 50km/hora y una hora despus el globo se eleva a una velocidad de 10km/hora. A qu velocidad se separan luego de 4 horas de haber partido el tren?.

16. Un tren marcha a 50km/hora, en un instante dado pasa bajo un globo que

se encuentra a 40km de la superficie terrestre. A qu velocidad se separan luego de 2 horas de dicho instante, si el globo esta descendiendo a 10km/hora?.

(Suponga vertical el descenso del globo).

17. Un depsito apoyado sobre una pared es llenado a razn de 0,2 litros/seg. , siendo el borde superior un rectngulo de 3m de largo por 1m de ancho, y la altura del depsito igual a 1,5m . Se pide calcular la rapidez con que sube el nivel de agua en el instante que el agua alcanza una altura de 75cm.

40km

ANTES

DESPUS


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ANOTACIONES: ____________________________________________________________

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