TECSUP Clculo Diferencial e Integral

25

UUNNIIDDAADD IIIIII

IINNCCRREEMMEENNTTOOSS YY DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS 1. INTRODUCCIN

Consideremos la ecuacin )x(fy en donde f es una funcin. En muchas

aplicaciones la variable independiente x puede cambiar ligeramente y es necesario encontrar el cambio correspondiente de la variable dependiente y. Un cambio en x se denota frecuentemente por el smbolo x (que se lee delta x). Por ejemplo, si x vara de x1 a x2, entonces: 12 xxx .

El nmero x es el incremento de x. Ntese que xxx 12 , es decir, el

nuevo valor de x2 es igual al valor inicial x1 ms el incremento x . El smbolo y

se usa para denotar el cambio en la variable dependiente y que corresponde a x .

Entonces: )x(f)xx(f)x(f)x(fy 1112

En ocasiones se utiliza x para representar el valor inicial de la variable dependiente. En ese caso, para indicar un cambio (pequeo) de esta variable, se dice que x tiene un incremento x Ejemplo:

Sea: 53 2 xy . Calcular y cuando x cambia de 2 a 2,1.

Solucin Deseamos calcular y cuando x = 2 y 10,x .

)(f),(f)x(f)xx(fy 212

2315235123 22 ,)(),( La notacin de incremento puede usarse para definir la derivada de una funcin.

As: x

ylim)x('fx

0

De dicha relacin se advierte que si )x('f existe, entonces )x('fx

y

cuando

0x .

Clculo Diferencial e Integral TECSUP

26

O bien: ... (1)

Ejemplo:

Sea: 53 2 xy . Utilizar x).x('f para estimar y cuando x cambia de 2 a 2,1.

Solucin

Sea 53 2 x)x(f , en el ejemplo anterior se vio que 231,y

En este ejemplo, x = 2 y 10,x y

211026 ,),)((y

Obsrvese que el valor 1,2 coincide con el valor exacto hasta la primera cifra desconocida. DEFINICIN Se llama diferencial dx de la variable independiente x a xdx

Se llama diferencial dy de la variable dependiente y a x).x('fdy

Ejemplo: El radio de un globo esfrico mide 30cm y el error mximo en la medicin es de 0,15cm. Estimar el mximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera. Solucin Consideremos primero la frmula general que relaciona el radio con el volumen. Definimos: x = valor medido del radio.

x = error mximo en x Si se calcula el volumen V del cilindro usando el valor medido x, entonces:

3

3

4xV .

Sea V el cambio en V correspondiente a x . Podemos interpretar V como el error en el volumen calculado debido al error x .

Podemos estimar V como sigue: x.xx).x('VV 24

x).x('fy Cuando 0x

TECSUP Clculo Diferencial e Integral

27

Finalmente, sustituimos los valores de x = 30 y x = 150, cm.

Obtenemos:

1696540150304 2 ),.()(V

Por lo tanto, el error mximo posible en el volumen calculado debido al error de medicin del radio es, aproximadamente, 1696 cm3.

DEFINICIN

Ejemplo: El radio de un globo esfrico mide 30cm con un error mximo en la medicin de 0,15cm. Estimar el error medio y el error porcentual para el valor calculado del volumen. Solucin

Tenemos que: 31696cmV el volumen calculado es 33 36000303

4cm)(V

ERROR MEDIO 015036000

540,

V

V

ERROR PORCENTUAL %,%))(,( 511000150

Podemos calcular tambin los errores respectivos en la medicin del radio:

ERROR MEDIO 005030

150,

,

x

x

ERROR PORCENTUAL %,%))(,( 501000050

Ntese que esto da un error porcentual del 1,5% para el volumen.

Sea x una medida con un error mximo x .

Por definicin, (I) ERROR MEDIO x

x

(II) ERROR PORCENTUAL = (ERROR MEDIO) X (100%)

Clculo Diferencial e Integral TECSUP

28

BLOQUE II

1. El radio de la tapa circular de un pozo de alcantarilla es de 40cm aproximadamente, con un error en la medicin de 0,15cm. Utilizando diferenciales, estime el error mximo en el clculo del rea de un lado de la tapa. Calcule el error medio y el error porcentual.

2. El lado de una baldosa cuadrada mide 30cm con un error en medicin de 0,15cm. Use diferenciales para estimar el error mximo en el clculo del rea. Calcule el error medio y el error porcentual.

3. Emplee diferenciales para estimar el incremento de en volumen de un cubo cuando sus lados cambian de 10 a 10,1cm. Cul es el incremento exacto del volumen?

4. Un globo esfrico se infla con gas. Use diferenciales para estimar el incremento del rea de la superficie del globo cuando el dimetro vara de 60cm a 60,6cm.

5. Un lado de una casa tiene la forma de un cuadrado coronado por un tringulo equiltero. La base mide 48pie con un error mximo en la medicin de 1pulg. Calcule el rea del lado y use diferenciales para estimar el error mximo cometido en el clculo. Evale el error medio y el error porcentual.

6. La arena que se escapa de un recipiente va formando un montculo cnico cuya altura es siempre igual a su radio. Use diferenciales para estimar el incremento del radio correspondiente a un aumento de 2cm3 en el volumen del montculo, cuando el radio mide 10cm.