texto mecanica de los fluidos y maquinas de flujo

8/17/2019 Texto Mecanica de Los Fluidos y Maquinas de Flujo

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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS Y MÁQUINAS DE FLUJO.

TEXTO BÁSICO PARA LA MAESTRÍA EN EFICIENCIA ENERGÉTICA.

ELABORADO POR

Dr.C. Ing. Leonel Martínez Díaz.

Profesor Auxil iar.

Dpto. de Ingeniería Mecánica.

Universidad de Cienfuegos

Dr.C. José JáureguiProfesor Titular.

Universidad Central de las Villas

2007.


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ÍNDICE DE MATERIAS

Tema 1: Los flu idos y la Hidrostática-----------------------------------------------------

1.1. Introducción.----------------------------------------------------------------------------------

1.2. Propiedades Fundamentales de los Fluidos.--------------------------------------

1.3. Variación de la presión en un flu ido estático.-------------------------------------

1.3.1. Propiedades de la presión hidrostática.

1.3.2. Ecuaciones diferenciales de equilibrio del líquido (Ecuaciones de

Euler).---------------------------------------------------------------------------------------------

1.3.3. Equil ibr io del fluido bajo la acción de la fuerza de gravedad.------------

1.3.4. Unidades y Escalas para medición de la presión.-----------------------------

1.4. Aplicaciones.----------------------------------------------------------------------------------Tema II: Fluidodinámica.-----------------------------------------------------------------------

2.1- Las ecuaciones de continuidad. -----------------------------------------------------

2.2 Ecuación de Bernoulli . Cavitación.---------------------------------------------------

2.3. La ecuación de cantidad de movimiento.-----------------------------------------

2.3.1 Aplicación del teorema de la cantidad de movimiento----------------------

Tema III. Flujo de un fluido real.-----------------------------------------------------------

3.1. Introducción..------------------------------------------------------------------------------

3.2 Regímenes de corr iente.---------------------------------------------------------------

3.3. Perdidas de carga por fricción--------------------------------------------------------

3.4. Perdidas menores ó Resistencia hidráulica local.-----------------------------

3.5. Cálculo hidráulico de tuberías.------------------------------------------------------

3.5.1 Cálculo hidráulico en tuberías s imples.-----------------------------------------

3.5.2 Tipos de problemas que se pueden presentar en el cálculo de una

tubería simple. Solución analítica. Solución gráfica.---------------------------------

3.5.3. Cálculo de Sistemas de Tuberías en Serie-------------------------------------

3.5.4 Cálculo de sistemas de tuberías en paralelo.----------------------------------

3.5.5. Cálculo de sistemas de tuberías ramificadas.--------------------------------

Tema IV : Teoría General de las Máquinas de Flujo.----------------------------------

4.1. Máquinas centrífugas. Teoría general de funcionamiento.--------------------


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4.2. Transformaciones energéticas en las máquinas centrífugas.

Ecuación de Euler.---------------------------------------------------------------------

4.3. Influencia del ánguloβB2B en la carga de impulsión. --------------------------

4.4. Parámetros de trabajo. Potencia y rendimientos. ---------------------------

4.5. Teoría de semejanza.------------------------------------------------------------------

4.6. Curvas características de funcionamiento de las bombas centrífugas.---

4.7. Oportunidades de ahorro de energía en las máquinas de flu jo.--------------

Tema V. Selección de las Máquinas de Flujo..----------------------------------------

5.1. Criterios Técnicos para la Selección de las Bombas.-------------------------

5.1.1 Diseño del sistema.------------------------------------------------------------

5.1.2. Satisfacción de las demandas de carga y flu jo.---------------------

5.1.3. Naturaleza del fluido a bombear.-----------------------------------------

5.1.4. Selección del material.-------------------------------------------------------

5.1.5 Condiciones del lado de succión.------------------------------------------------

5.1.6. La cavitación en las Bombas Rotodinámicas.------------------------------

5.1.7. Prevención de La cavitación en Bombas Rotator ias de Engranes--------

5.1.8. Efectos de la cavitación-----------------------------------------------------

5.1.9. Predicción de la cavitación------------------------------------------------

5.1.10. Mejoramiento de la succión--------------------------------------------

5.1.11. Presión neta disponible en la entrada (NIPA) -----------------------

5.1.12. Condic iones que afectan la Succión de las Bombas Rotodinámicas.---

5.2. Evaluación económica de la selección de las máquinas de flujo.Oportunidades de ahorro de energía en el proceso de selección de lasmáquinas de flujo.---------------------------------------------------------------------------


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5.2.1. Ejemplos de Ahorro de Energía y Costos en Sistemas De Bombeo-----

5.2.2 Requisitos de capacidad variable-------------------------------------------------

5.2.3 Selección de la bomba adecuada-------------------------------------------------

5.2.4 Guía para Selección del tipo eficiente de bomba-----------------------------

5.2.5. Evaluación de límites del rendimiento de succión.-------------------------

5.2.6. Funcionamiento sin máxima eficiencia.-----------------------------------------

5.3. Bombas especiales.------------------------------------------------------------------

5.4. Estimación de costos de bombas centrífugas y motores eléctricos-----

5.5. Costo del acoplamiento para la unidad motriz----------------------------------

5.6 Reducción de los Costos de Bombeo con unidades motrices de velocidad

variable.------------------------------------------------------------------

5.7. Factores hidráulicos del sistema de bombeo.--------------------------

5.8. Ahorros de energía con el ajuste de la velocidad de la bomba-------------

5.9. Valoración técnico económica de la selección.------------------------------5.10. Selecc ión de Ventiladores-------------------------------------------------

5.10.1. Efectos sobre la selección----------------------------------------------

5.10.2 Lineamientos para la selecc ión.---------------------------------------

5.10.3. Aplicaciones-------------------------------------------------------

Tema VI. Explotación de las Máquinas de Flu jo.------------------------------

6.1. Criterios técnicos de regulación de la capacidad de las máquinas deflujo. ---- -----------------------------------------------------------------------------------

6.2. Acoplamientos de bombas. ------------------------------------------------------


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6.2.1. Bombas en paralelo.-----------------------------------------------------------------

6.2.2. Bombas en ser ie.---------------------------------------------------------------------

6.2.3. Bomba de reserva.---------------------------------------------------------------

6.2.4. Bombas con motores de dos velocidades.------------------------------------

6.3. Desgaste por cavi tación en Bombas.--------------------------------------------

6.4. Diagnóst ico de problemas de las bombas centrífugas.---------------------

6.4.1. Golpe en una pieza de la Bomba----------------------------------------------

6.4.2. Bolsas de gas---------------------------------------------------------

6.4.3. Bolsas de gas en el tubo de succión------------------------------------

6.4.4. Bolsas de gas en la carcasa--------------------------------------------

6.4.5. Bolsas de gas en los tubos de descarga-------------------------------

6.4.6. Entradas de aire en Bombas que manejan agua--------------------

6.5. Efecto de la viscosidad.-------------------------------------------------------


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Capítulo I: Los fluidos y la Hidrostática.

1.1. Introducción.

La mecánica de los fluidos es una ciencia que tuvo sus orígenes alrededor del siglo

quinto antes de cristo. Hasta inicios de pasado siglo XX el estudio de la hidráulica

se desarrollaba en dos grupos:

Un primer grupo estaba formado fundamentalmente por ingenieros hidráulicos que

trabajaban empíricamente.

Un segundo grupo que se encontraba formado por matemáticos que efectuaban el

tratamiento analítico.

Con el desarrollo de la ciencia y la experimentación se vio que era necesario llevara cabo el estudio de la mecánica de los fluidos de forma unida por ambos grupos

de forma que hoy día esta ciencia ha alcanzado una gran desarrollo debido a la

aplicación de las matemáticas y la gran información obtenida por la vía

experimental.

En cualquier instalación industrial, maquinas de flujo, dispositivo, maquinas

rodantes etc., existe un fluido en movimiento o en reposo, esto hace que sea

necesario el estudio de la mecánica de los fluidos y la aplicación de sus leyes en su

diseño, construcción y explotación. Por otra parte esta ciencia aporta al estudio de

otras ciencias tales como la termodinámica y la transferencia de calor etc. De lo

anterior se desprende la gran importancia del estudio de la mecánica de los fluidos.

Es importante a la hora de analizar cualquier calculo o investigación experimental

en el campo de la mecánica de los fluidos tomar correctamente las dimensiones y

unidades en que se expresa cualquier magnitud. Podemos decir que la unidad

define la variable, si se conocen las dimensiones en que se expresa cada variable,

sabremos las unidades en que se darán cada una de ellas en cualquier sistema de

unidades.


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A continuación ofrecemos las dimensiones y unidades en el Sistema Internacional

para las magnitudes más importantes teniendo en cuenta los dos sistemas de

dimensiones fundamentales:

Sistema Masa, Longitud y Tiempo; MLT.

Sistema Fuerza, Longitud y Tiempo; FLT

Representación DimensionalMagnitud

Sistema MLT Sistema FLT

Unidades

(SI)

Masa M F*T²/L Kilogramo (Kg.)

Longitud L L Metro (m)

Tiempo t t Segundo (s)

Temperatura

Grado absoluto.

Grado ordinario.

T T

Kelvin (k)

Grado Celsius (°C)

Fuerza M*L/t² F Newton (N)

Energía M*L²/t² F*L Joule (J = Nm)

Potencia M*L²/t³ F*L/t Watt (W = J/s)

Presión M/L*t² F/L² Pascal (Pa = N/m²)

1.2. Propiedades Fundamentales de los Fluidos.

UDensidad.U (ρ). Se define como la masa (M) comprendida en la unidad de volumen

(Vo). O sea:

Vo

M = ρ

Dimensionalmente seria:

3 L

M = ρ

Según el sistema internacional:

43

²*

m

s N

m

kg == ρ


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Según el sistema Métrico:

43

²*

m

skgf

m

UTM == ρ

Densidad de una mezcla de líquidos:

La densidad de una mezcla de líquidos en la cual no se producen cambios físico-

químicos esenciales puede calcularse con aproximación admitiendo que el volumen

de la mezcla es igual a la suma de los volúmenes parciales de los componentes.

nmez

Xn X X

ρ ρ ρ ρ +++= ....

1

2

2

1

1 (1-1)

Donde: XB1, BXB2,..... BSon las partes másicas de los componentes de la mezclaB.

ρBmezB, ρB1,B ρB2, B......... Son las densidades de la misma mezcla y de sus

componentes.

Por una fórmula análoga:

1

11

ρ ρ ρ

X X

sol x

−+= (1-2)

Donde:

ρB

sB

- Densidad de la solución (Suspensión).X - Parte de masa de la fase líquida.

ρB1 B- Densidad de la fase líquida.

ρBsol B- Densidad de la fase sólida.

En el intervalo de temperaturas comprendido entre 0 °C y 100 °C a densidad del

agua, con una precisión suficiente para los cálculos técnicos puede considerarse

igual 1000 kg/m³.

La densidad de una mezcla de gases es:

ρBmez B= yB1BρB1B+ yB2BρB2 B+........ + yBnBρBn B (1-3)

Donde:

yB1B, yB2, B.... Son las partes en volumen de los componentes de la mezcla gaseosa.

ρB1B, ρB2, B.... Son las densidades correspondientes de los componentes.


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La densidad disminuye al aumentar la temperatura, lo cual se puede demostrar a

través de la ecuación:

dt t d

* β ρ

ρ −= (1-4)

Donde:

βt – Coeficiente de dilatación volumétrica por temperatura.

De aquí se puede observar que sí:

dt > 0 (aumento de temperatura) entonces dρ < 0 (disminución de densidad).

dt < 0 (disminución de temperatura) entonces dρ > 0 (aumento de densidad).

Los cambios anteriores son más apreciables en los gases que en los líquidos. Por

ejemplo un cambio de temperatura desde 0 °C hasta 50 °C en el agua hace que su

densidad disminuya en un 1,18 % y con el mismo cambio de temperatura en el aire

la densidad disminuye en un 15,46 %. Esto demuestra una de las diferencias que

existen entre los líquidos y los gases.

Por otra parte al aumentar la presión hay una pequeño aumento de la densidad, lo

cual puede verse en la ecuación:

E

dpdp p

d == * β

ρ

ρ

Donde:βp – Coeficiente de compresión volumétrica.

E – Modulo de elasticidad volumétrica.

O a través de la ecuación:

p p

o

∆−=

*1 β

ρ ρ (1-5)

Donde:

ρ y ρBo Bson la densidad a las presiones p y pBo.

En el caso de líquidos para hidrosistemas al aumentar la presión hasta 40 Mpa

la densidad aumenta solamente en un 3 %. Po eso en la mayoría de los casos se

puede considerar que los líquidos son incompresibles, pero a altas presiones y

cuando tienen lugar oscilaciones elásticas hay que tener en cuenta la

compresibilidad.


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En el caso de los gases, los cambios de densidad si son apreciables con los

cambios de presión. De esto se infiere que los gases son fluidos compresibles y la

densidad a cualquier valor de presión puede determinarse de la ecuación de los

gases ideales:

RT

p= ρ ( 1-6 )

Donde:

p – Presión absoluta.

R – Constante particular de los gases.

T – Temperatura absoluta.

U

Volumen específico. (v)U

Es el inverso de la densidad, por tanto:

M

Vov =

Las dimensiones en que se expresa así como sus unidades serán las inversas de

la densidad (ρ).

En la mayoría de los textos y manuales de mecánica de los fluidos e hidráulica y

otros se ofrecen tablas donde aparecen los valores de la densidad en función de la

temperatura a un valor de presión dado. En la tabla 1 se ofrece esta información.

UPeso específico (γ).U Es el peso (G) de la unidad de volumen (Vo) de una

sustancia o sea:

Vo

G=γ

U

Dimensionalmente:U

U

Según el SIU

U

Según el sistema métricoU

.

3 L

F 3m

N 3m

kgf

El peso específico al igual que la densidad es dependiente del número de

moléculas por unidad de volumen, por tanto al aumentar la temperatura aumenta la

actividad de las moléculas y la separación entre estas por lo que habrá menos

moléculas en un volumen dado disminuyendo el peso específico. Al aumentar la


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presión ocurre lo contrario y debe esperarse un aumento del mismo. En el caso de

los líquidos no es significativo el cambio pero para los gases si es apreciable. La

justificación de tales cambios es similar a los cambios que experimenta la densidad

pues esta y el peso específico están relacionados por la siguiente expresión.

γ=ρ*g (1-7)

Donde:

g – Aceleración de la gravedad.

De la ecuación anterior se desprende que el peso específico cambia con el lugar,

debido a la dependencia de la aceleración de la gravedad y esta depende de la

altura del lugar respecto al nivel del mar.

Para el agua a 4 °C tenemos que el peso específico es igual a 10³ kgf/m³ o lo que

es igual a 9 810 N/m³.Los valores del peso específico a distintas temperaturas se ofrecen en tablas en

diversos textos de mecánica de los fluidos así como en manuales. En la tabla 1 se

da información al respecto.

U

Densidad relativa, Peso específico relativo o gravedad especif ica (δ

).

Se define como la relación entre la densidad de una sustancia y la densidad

del agua a 40 °C. Como la densidad y el peso específico están relacionados por laecuación (1-7) también la densidad relativa se conoce como peso especifico

relativo. De lo anterior se deduce que:

Patm

C agua

liq

Patm

C agua

liq

°=

°=

4040 γ

γ

ρ

ρ δ (1-8)

Donde:

ρliq, γliq. – Densidad y peso específico a la temperatura dada respectivamente.

ρagua 40°C, γagua 40°C – Densidad y peso específico del agua a 40°C

respectivamente.

Como se observa la densidad relativa depende de la temperatura por lo que en

cálculos precisos de la densidad debe especificarse la temperatura para

seleccionar dicho valor. Valores precisos de la densidad relativa se pueden


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encontrar en tablas físicas internacionales; no obstante en soluciones de problemas

, aun cuando las temperaturas no sean exactamente las mismas pueden usarse los

valores de la tabla 1( Texto en preparación).

La relación (1-8) es solo para líquidos. Para el caso de los gases la densidad que

se toma como referencia es la del aire libre de CO2 e hidrógeno a 0°C y a una

presión de 1atm.

Presión de Vapor (pv)

Todos los líquidos tienen una tendencia a vaporizarse, o sea, a pasar de la fase

líquida a la fase gaseosa (vapor). Cuando tiene lugar la vaporización dentro de una

espacio cerrado, a la presión parcial que ejercen las moléculas gaseosas (del

vapor) en estas condiciones se le conoce como presión de vapor.

La presión de vapor varía con la temperatura del líquido. Si la temperaturaaumenta, también lo hace la presión del vapor debido a la mayor vaporización por

el aumento de la actividad molecular.

Cuando la presión encima de un líquido es igual o menor a la presión de vapor del

líquido ocurre la ebullición. La ebullición del agua, por ejemplo, puede ocurrir a la

temperatura ambiente si reduce la presión suficientemente. A 20°C el agua tiene

una presión de vapor de 2,347 kPa y el mercurio tiene una presión de vapor de

0,173 Pa, esto hace precisamente, además de alta densidad que el mercurio sea

muy adecuado para usos en dispositivos e instrumentos para medir presión, pues

es considerado un líquido poco volátil.

Uno de los índices que caracteriza la evaporación del líquido es la temperatura de

su ebullición, a la presión atmosférica normal, cuanto más alta es la temperatura

de ebullición, tanto menor es la evaporación del líquido. ..

Compresibilidad, Elasticidad.

Todos los fluidos se pueden comprimir por la aplicación de presión, y en este

proceso se acumula energía elástica; suprimiendo conversiones de energía

perfectas, los volúmenes del fluido comprimido de esa manera se expanden

volviendo a sus volúmenes originales, al cesar la aplicación de la presión. Lo

anterior hace que los fluidos constituyan un medio elástico y en ingeniería se

acostumbra a resumir esta propiedad por un modulo de elasticidad (K o E).


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En la mayor parte de los casos, un liquido se puede considerar incompresible; pero

para situaciones que comprenden cambios grandes en la presión, su

compresibilidad es importante también cuando existen cambios de temperatura, por

ejemplo, en la convección libre.

Para el caso de líquidos, el modulo elástico a la compresión (E) se define como:

V

dv

dp E −= (1-9)

Donde:

dp – Cambio de presión, N/m²

dv – Cambio de volumen.

V – Volumen inicial.Es evidente que el modulo de elasticidad se expresa en unidades de presión.

Para obtener una idea sobre la incompresibilidad de los líquidos, consideremos un

volumen de agua de 1m³ a 20°C al cual se le aplicará una presión de 0,1 Mpa ≈ 1

atm:

E

Vdpdv =−

en este caso:V = 1m³

dp = 0,1 *10P

6PN/m².

E = 2,2*10P

9PN/m² (Tabla 1) (2 ).

Sustituyendo:

²/10*2,2

²/10*1,0*19

63

m N

m N mdv =−

3

3

10*2,21,0*1m

dv =−

22000

1 3mdv =−


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3510*5,4 mdv −=−

345cmdv =−

O sea el volumen disminuye en la magnitud de 1/22000 m P3 Po lo que es lo mismo

45cmP

3P.

P

P Al comprimir un líquido, su resistencia aumenta a una mayor compresión.

La ecuación (1-9) también puede ser puesta de la siguiente forma teniendo en

cuenta la densidad del líquido.

ρ ρ

ρ ρ

d

dp

d

dpk ==

)1

(

o

²ad

dpk ==

ρ ρ (1-10)

Donde “a” es la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un medio

elástico, igual a la velocidad del sonido.

La compresibilidad también se caracteriza por el coeficiente de compresión

volumétrica βp, que no es más que el inverso del modulo de elasticidad

volumétrico, o sea:

dp

dv

V *

1−= β

(m²/N) (1-11)

En el caso de los gases la compresión tiene lugar de acuerdo con diversas leyes de

la termodinámica:

Proceso Isotérmico (t = constante)

= ρ p constante o =

γ p constante

En este caso k = p (N/m²)

Proceso Isentrópico

k k v pv p 221*1 =


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16

Valores de la tensión superficial para algunos líquidos se dan en la tabla 1.3

del Apéndice.

U

Capilaridad.

La elevación o descenso de un líquido en un tubo capilar (h) (o en

situaciones Físicas análogas, tales como en medios porosos (Figura 1.1) vienen

producidos por la tensión superficial, dependiendo de las magnitudes relativas de la

cohesión del líquido y de la adhesión del mismo a las paredes del tubo.

Si la adhesión > Cohesión el líquido asciende en el tubo.

Si la adhesión < Cohesión el líquido desciende en el tubo.

La capilaridad tiene importancia en tubos de diámetros aproximadamente

menores de 10 milímetros.Para una gota esférica de radio r, la presión interna p necesaria para

balancear la fuerza de tensión debido a la tensión superficial (σ) se calcula como:

r p

σ 2=

(1-12)

Para el chorro de líquido cilíndrico de radio r, es aplicable la ecuación:

r p σ = (1-13)

La elevación o depresión capilar (h) para el agua destilada, agua de grifo a

68 °F y mercurio en dependencia del diámetro se da en la figura 1.6 (Street) Pág.

19.

Esta altura (ver figura 1.2.1) también se puede calcular por:

d

k

h = ;(mm) (1-14)


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Mercurio Agua.

Para agua k = +30

Para alcohol k = +12

Para mercurio k = -14Con el fenómeno de capilaridad se tropieza al utilizar los tubos de cristal en

los aparatos para medir la presión, así como en algunos casos de efluencia del

líquido. Las fuerzas de tensión superficial adquieren gran papel en un líquido que

se encuentra en las condiciones de imponderabilidad, por ejemplo durante la

circulación del aceite por los conductos de un avión en picada donde la fuerza de

inercia supera la fuerza de gravedad.

U

Viscosidad.

De todas las propiedades de los fluidos, la viscosidad requiere la mayor

consideración en el estudio del flujo de fluidos. La viscosidad es aquella propiedad

de un fluido por virtud de la cual ofrece resistencia al corte durante el movimiento.

La viscosidad puede ser absoluta (dinámica) (µ) y cinemática (ν).

U

Viscosidad dinámica (µ):U Se caracteriza por las fuerzas internas de fricción

que surgen durante el desplazamiento de dos capas contiguas del fluido y que

actúan por metro cuadrado de superficie para un gradiente de velocidad dv/dy=1,

donde dy es el espesor de la capa y dv el diferencial de velocidad.La ley de viscosidad de Newton afirma que dada una rapidez de deformación

angular en el fluido, el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la

viscosidad. (Ver figura 1.2)

Figura 1.1. Efecto de la capilaridad


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Matemáticamente el principio de viscosidad de Newton se expresa:

dy

dvx yx µ τ = (1-15)

A partir de esta expresión se pueden determinar las dimensiones de la

viscosidad.

[ ] [ ]

²

*² L

t F

L

t

L L

F

dy

dv ===

τ µ

Según el SI: sm

kg

s Pam

s N

**²

*

===µ

Según el sistema métrico: ²

*

m

skgf =µ

Según el sistema Ingles: s ft

Slug

ft

slbf

*²

*==µ

Según el sistema CGS: Poisecm

sdina==

²

*µ

1Pa*s = 10 Poise

Figura 1.2. Gradiente de velocidad debido a la viscosidad


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Donde:

vx – Componente X de la velocidad del fluido.

τByx – BEsfuerzo cortante que se ejerce en la dirección X sobre la superficie de un

fluido, situada a una distancia constante Y, por el fluido existente en la región

donde Y es menor.

También se conoce como densidad de flujo de cantidad de movimiento.

dy

dvx - Gradiente transversal de velocidad.

IMPLICACIONES Y RESTRICCIONES DEL PRINCIPIO DE VISCOSIDAD DE

NEWTON.Tanto τ como µ son independientes de la presión. En general, la viscosidad

aumenta en forma muy ligera al aumentar la presión, pero el cambio es

despreciable para la mayor parte de los problemas de ingeniería. Solo adquiere

importancia cuando los cambios de presión son relativamente grandes.

Cualquier esfuerzo de corte τ, por pequeño que sea, causara un flujo, porque las

fuerzas tangenciales aplicadas deben producir un gradiente de velocidad.

Cuando 0=dydv

, τ = 0, sin importar la magnitud de µ , el esfuerzo cortante en

fluidos reposo es cero.

La ecuación se limita al movimiento laminar (en capas sin desplazamientos

transversales).

El perfil de velocidad no puede ser tangente a un limite sólido, porque eso

requeriría ahí un gradiente de velocidad infinito y un esfuerzo de corte infinito entre

el flujo y el sólido.

La viscosidad al variar la temperatura se comporta de forma diferente a engases y líquidos, lo cual se explica por la naturaleza que las origina en ambos

fluidos.


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U

En líquidos:U

Si aumenta la temperatura disminuye la viscosidad pues la causa de

la viscosidad aquí esta dada por la cohesión entre las moléculas y al aumentar la

temperatura disminuye dicha cohesión.

U

En gases:U

Si aumenta la temperatura aumenta la viscosidad ya que esta está

condicionada por el movimiento caótico de las moléculas que aumenta al aumentar

la temperatura.

Esta influencia puede verse para los líquidos por la siguiente formula.

)( ot t oe

−−= λ µ µ (1-16)Donde:

µ y µBo Bson la viscosidad a la temperatura t u t BoB.

λ es un coeficiente cuyo valor para los aceites cambia de 0,023 a 0,033.

U

Viscosidad cinemática (ν): UEs la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad.

ρ ν =

(1-17)

Las dimensiones de la viscosidad dinámica son: L²/t

Según el sistema internacional: s

m²

Según el sistema Ingles: s

ft ²

Según el sistema CGS: Stoke s

cm=

²

Para determinar la viscosidad cinemática en función de la temperatura pueden

darse gráficos o formulas empíricas. Para el agua puede emplearse la siguiente

ecuación:

,²000221,00337,01

10*5,177 8t t ++

= −ν ( s

m²) (1-18)

Aunque es muy conveniente el uso amplio de dos viscosidades, µ y ν, puede

resultar tanto sorprendente como difícil el hecho de que términos de µ, el agua es


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más viscosa que el aire pero en términos de ν, el aire es más viscoso que el agua,

porque el aire es relativamente mucho menos denso que el agua.

Los fluidos que cumplen con la ley de viscosidad de Newton se denominan fluidos

U

Newtonianos.U

Todos los gases y la mayor parte de los líquidos sencillos, se

comportan de acuerdo a la ley anterior. Los fluidos que no obedecen a esta ley

sencilla (fundamentalmente pastas, suspensiones, polímetros de elevado peso

molecular, pinturas de aceite y la sangre se denominan fluidosU

No NewtonianosU

.

UFluidos no Newtonianos:

Acorde a la ley de viscosidad de Newton al representar gráficamente τByx B frente a

dy

dvx para un fluido determinado, debe obtenerse una línea recta que pasa por el

origen de coordenadas y cuya pendiente es la viscosidad del fluido a una cierta

temperatura y presión. La experiencia demuestra que para todos los gases y los

líquidos homogéneos no polimerizado τByx B es directamente proporcional ady

dvx. Sin

embargo, existen algunos materiales industrialmente importantes que no se

comportan de acuerdo con la ley de viscosidad de Newton. Se conocen a estas

sustancias con el nombre de fluidos No Newtonianos.

EL tema del flujo No Newtoniano constituye actualmente una parte de otra ciencia

más amplia que es la REOLOGÍA, es decir la ciencia del flujo y la deformación, que

estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, sustancias

asfálticas y materiales cristalinos. Por lo tanto, el campo de la Reología se extiende

desde la mecánica de los fluidos Newtonianos por una parte, hasta elasticidad de

Hooke por otra. La región comprendida entre ellas corresponde a la deformación y

flujo de todos los tipos de materiales pastosos y suspensiones.

El comportamiento reológico, en estado estacionario, de la mayor parte de los

fluidos puede establecerse mediante una fórmula generalizada de la ecuación de

viscosidad de Newton.


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dy

dvx yx η τ = (1-19)

De esta ecuación se deduce:

Si η disminuye al aumentardy

dvx el comportamiento se denomina

PSEUDOPLASTICO:

Si η aumenta al aumentardy

dvxel comportamiento se denomina DILATANTE.

Si η resulta independiente del gradiente de velocidad el fluido se comporta como

Newtoniano y entonces η = µ.

Se han propuesto numerosas ecuaciones empíricas o modelos matemáticos paraexpresar la relación que existe en estado estacionario, entre

τByx B ydy

dvx. A continuación se presenta un resumen de cinco modelos

representativos. Todas las ecuaciones contienen parámetros empíricos positivos,

cuyo valor numérico puede determinarse correlacionando los datos experimentales

de τByx B frente ady

dvxa temperatura y presión constantes.

UModelo de BINGHAM.

oo yxdy

dvxτ µ τ ±= * si o yx τ τ > (1-20)

dy

dvx=0 o yx τ τ <

La ecuación anterior (1-20) se utiliza con signo (+) si τByx B es positivo, y con signo (–)

si τB

yxB

es negativo.Toda sustancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos parámetros

se denomina PLASTICO DE BINGHAM; permanece rígida mientras el esfuerzo

cortante es menor de un determinado valor τBo, Bpor encima del cual se comporta de

forma semejante a un fluido Newtoniano, este modelo resulta exacto para muchas

suspensiones finas y pastas.


23/259

23

UModelo de OSTWALD-DE WALE:

dy

dvx

dy

dvxm

n

yx

1−

=τ (1-21)

La ecuación anterior también se conoce con el nombre de LEY DE LA POTENCIA.

Para n=1 se transforma en la LEY DE VISCOSIDAD de Newton, siendo m=µ; por

tanto, la desviación del valor n con respecto a la unidad es una medida del grado

de desviación del comportamiento Newtoniano.

Cuando n1 el comportamiento es Dilatante.

Los valores de m y n dependen del tipo de fluido y se dan en (1)

UModelo de ELLIS.

yx yxody

dvxτ τ φ φ

α

)(1

1

−+= (1-22)

Este modelo consta de tres parámetros positivos ajustables: ,oφ 1φ y α .

Si α >1 y valores bajos de τByx B el modelo tiende hacia la ley de Newton.

Si α


24/259


25/259

25

Figura 1.3. Modelos de fluidos no Newtonianos.


26/259

26

En estadoU

no estacionarioU

pueden existir otras formas de comportamiento no

newtoniano. Por ejemplo:

Fluidos Tizo trópicos: Presentan una disminución limitada de η con el tiempo, al

aplicar repentinamente un esfuerzo cortante τByx B(ver ecuación 1-19).

Fluidos Reopécticos: Presentan un aumento de η con el tiempo al aplicar un

esfuerzo de corte τByx.B

Fluidos Visco elásticos: Recobran parcialmente la forma original al cesar el

esfuerzo de corte.

1.3. Variación de la presión en un fluido estático.

Antes de iniciar el estudio para el cálculo de la presión en el seno de un fluido en

reposo es necesario recordar lo que se ofrece a continuación.

1.3.1. Propiedades de la presión hidrostáticaU

.

La presión hidrostática cumple con las siguientes propiedades

• La presión hidrostática en la superficie exterior del líquido está siempre

dirigida según la normal al interior del volumen del líquido que se analiza.

• La presión hidrostática en cualquier punto interior del líquido es igual en

todas las direcciones, es decir, la presión no depende del ángulo de

inclinación de la superficie sobre la que actúa.

Demostración de lo anterior se puede observar en el texto HIDRÁULICA de B.

NEKRASOV ( ).

1.3.2. Ecuaciones diferenciales de equil ibrio del líquido (Ecuaciones de Euler).Para obtener lo anterior partamos del siguiente esquema de análisis.


27/259

27

Condiciones:

Tomar un volumen elemental de fluido de forma de paralelogramo de aristas dx, dy,

dz.

Fluido inmóvil.

La presión p es función de las coordenadas x, y, z pero junto al punto M es igual a

lo largo de todas las tres aristas del paralelogramo. P=f(x,y,z).

Fuerzas másicas que actúan: La gravedad y otras tales como la de inercia )reposo

relativo del líquido), centrífuga etc.

Χ .... Componente en x de la fuerza resultante de masa por unidad de

masa.

Υ .... Componente en y de la fuerza resultante de masa por unidad de

masa

Z ..... Componente en z de la fuerza resultante de masa por unidad de

masa.

U Objetivo:

Figura 1.4. Esquema de análisis para la obtenciónde las

Y

X

Z

dx

dy

dz

N p

dx x

p p

δ

δ +


28/259

28

Encontrar ecuaciones de equilibrio del liquido referidas al punto M y con ello

encontrar la variación de presión en cualquier sentido.

Para llegar a lo anterior se plantea el equilibrio de fuerzas en los tres ejes

coordenados.

Eje X.

0=Χ+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂+− dxdydz dydz dxdx

p p pdydz ρ

Simplificando:

0=Χ+∂

− dxdydz dxdydz dx

p ρ

y por ultimo:

01 =Χ+∂−dx

p

ρ

Para los demás ejes se procede de igual forma y se obtiene en general lo siguiente:

⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

=Ζ+∂

−

=Υ+∂−

=Χ+∂

−

01

01

01

dz

p

dy p

dx

p

ρ

ρ

ρ

(1-25)

Las ecuaciones (1-25) representan, las ecuaciones diferenciales de equilibrio del

líquido (ecuaciones de Euler). Cada una de estas ecuaciones caracteriza la

variación de la presión durante el cambio de cada una de las coordenadas.Para el uso práctico de las ecuaciones anteriores (1-21) es conveniente obtener

una ecuación equivalente a estas, para tal objetivo se multiplica porU

ρdxU

la primera

ecuación, porUρ

dyU

la segunda ecuación y porUρ

dzU

la tercera y finalmente se suman

obteniéndose:


29/259

29

( )dz dydx z

p

y

pdx

x

pΖ+Υ+Χ=

∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ

Téngase en cuenta que el miembro izquierdo de la igualdad representa el

diferencial total de la presión (dp) por tanto queda:

dz dydxdp Ζ+Υ+Χ= ρ (1-26)La ecuación (1-26) representa la ecuación fundamental diferencial de la

hidrostática tanto para líquidos como para gases.

1.3.3. Equilibrio del fluido bajo la acción de la fuerza de gravedad.

En este caso tenemos que:

X=0, Y=0, y Z=-gSustituyendo en (1-26) se obtiene:

gdz dp ρ −= (1-27)La ecuación anterior relaciona el cambio de elevación (profundidad). Es valida tanto

para fluidos incompresibles como compresibles. A continuación analicemos cada

uno de estos casos.

UFluido Incompresible.

En este caso la densidad (ρ) es constante, por tanto al integrar (1-27) queda:

C gz p +−= ρ (1-28)Donde C es la constante de integración.

La ecuación anterior puede ponerse de la siguiente forma:

const Z g

p=+

ρ (1-29)

La ecuación (1-29) representa la ecuación fundamental de la hidrostática para

fluidos incompresibles. Puede adoptar otras formas.

Analicemos la siguiente figura 1.5.


30/259

30

Figura 1.5. Variación de la presión en un líquido en reposo.

Planteando (1-29) para la situación anterior entre pBo By p:

g

p Z

g

p Z oo

ρ ρ +=+ (1-30)

ó

( )

h Z Z

pero

g Z Z p p

o

oo

=−

−+= ρ

y queda entonces:

gh p p o ρ += Que es la forma más tradicional de la ecuación fundamental de la hidrostática.

Retomando la ecuación (1-29)

const Z g

p=+

ρ

pB0

Zo

h

Z

p

M


31/259

31

Aquí: Z – Altura de nivelación, [L]

g

p

ρ - Altura piezométrica, [L]

Z g

p

+ ρ - Altura Hidrostática. [L]

Es importante destacar que la altura piezométrica representa la altura de la

columna de líquido correspondiente a la presión p.

La ecuación (1-29) nos dice que la altura en reposo permanece constante para todo

su volumen.

UConclusiones de la ecuación fundamental de la hidrostática:

• La presión aumenta al aumentar la profundidad (h) para un líquido en

reposo.• A una misma profundidad (h) la presión permanece constante. La superficie

que está formada por puntos de igual presión se denomina Superficie de

Nivel. Todos los planos horizontales son superficies de nivel.

U

Análisis energético de los términos de la ecuación fundamental de la hidrostática.

Primeramente para ello hagamos un análisis dimensional del término g

p

ρ

F

FL

t

L

L

Ft L F

g

p=

²

²²:

4

ρ =

De esta forma la altura piezométrica representa la energía por unidad de peso que

tiene el fluido en virtud de su presión estática y como F

FL= [L], entonces los

términos de la ecuación fundamental de la hidrostática g

p

ρ y Z tendrán

dimensiones de longitud y su significado energético no es más que la unidad de

peso en virtud de su presión y de su altura de nivelación respectivamente.

U

Fluido Compresible.

U

Caso 1. Gas perfecto Isotérmico.

Unidad de Energía

Unidad de Peso


32/259


33/259

33

Aplicar difererencial a (1-33) y despejar dz.

β

dt dz = (1-34)

Despejar ρ de la ecuación de los gases ideales.

RT

p= ρ

(1-35)

Sustituir (1-34) y (1-35) en (1-27): gdz dp ρ −=

β

dT

RT

pg dp −=

Integrando al considerar g = constante; entre los limites p, p Bo By T, TBoB.

T

T

R

g

p

p o

o

lnln β

= (1-36)

Finalmente sustituyendo (1-33) en (1-36) tenemos:

β

β

R

g

o

oo

z T

T p p ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

+

=

Aquí TBoB debe expresarse en grados absolutos (K). Observar que también en este

caso al aumentar la altura z la presión p disminuye.

1.3.4. Unidades y Escalas para medición de la presión.

La presión puede expresarse con referencia a cualquier nivel arbitrario. Los niveles

usuales son cero absoluto y presión atmosférica local. Cuando se expresa como

una diferencia entre su valor y un vacío completo se denomina Presión absoluta y

cuando se expresa como una diferencia entre su valor y la presión atmosférica local

se llama presión manométrica. En la figura 1.6. se muestra lo antes expuesto.


34/259

34

Figura 1.6. Escala de medición de la presión.

1.4. Aplicaciones.

U

Problema 1.

En un recipiente cilíndrico con líquido viscoso gira un vástago de diámetro (d) y una

longitud (l) coaxial con el recipiente ( figura 1.7 ). Para la rotación a la velocidad

angular (w) se consume una potencia (N). Suponiendo que en el espacio libre de

magnitud (δ) entre el vástago y la pared del recipiente la velocidad va distribuida

según la ley

Pabs= 0

PBmanB

PBabsB ( + )

PBvacíoB

PBatm.B

PBabs

B ( - )B

Figura 1.7. Principio del viscosímetrorotatorio


35/259

35

lineal y despreciando el rozamiento en el extremo del vástago, determinar el

coeficiente de viscosidad del líquido (µ).

UI.- Datos.

- Velocidad angular. (w)

- Diámetro del vástago.(d)

- Diámetro del cilindro. (D)

- Potencia consumida. (N)

II – Calcular la viscosidad dinámica (µ)

III - Solución:

1.- Considerando que se cumple el principio de la viscosidad de Newton,

planteamos.

dy

dvµ τ =

(I)


36/259

226

Figura 1.8. Esquema de análisis de un fluido

entre cilindros concéntricos


37/259

227

2.- Si se cumple la ley de distribución lineal para la velocidad en el espacio anular

de espesor (δ) el perfil de velocidades es el que se muestra en la figura 1.8.

3.- Entonces:

Si Y = 0 v = 0

Si Y = δ v = v (Velocidad tangencial del vástago)

– Integrando:

∫∫ =

v

dvdy00

µ τ

δ

y tenemos:

vτδ = Despejando µ:

v

τδ µ =

– La tensión tangencial (τ ).

Se conoce que N = T*w donde T es el torque.

EL torque2

d F T t = , donde F BtB es la fuerza tangencial.

La fuerza tangencial A F t τ = y dl A π =

– Teniendo en cuenta lo antes expuesto, obtenemos finalmente:

l d

N 3²

4

πω

δ µ =

U

Problema 2:

2

d D −=δ ,

2

d v ω =


38/259

228

En la figura 1.9 está representado el esquema de un aparato para la calibración de

manómetros. La presión del aceite en la cámara que se transmite a ambos

manómetros se crea atornillando el embolo buzo de diámetro d = 1cm. Determinar

cuantas revoluciones habrá que tener el embolo buzo para crear una presión de250 atm, si el paso de tornillo es t = 2 mm y el volumen de la cámara es igual a

300 cmP

3P. El coeficiente de compresión volumétrica del aceite es βBpB = 0,47 * 10 P

-4

Pcm²/kgf.

1. Datos:

d = 1 cm.

∆p = 250 atm.

t = 2 mm.

βBpB = 0,47 * 10 P-4

P cm²/kgf

VB0B = 300 cmP3

P

2. Calcular el número de revoluciones.

- La variación de volumen (∆V) relacionada con la variación de presión (∆p).

p pVoV ∆−=∆ β

donde:

Figura 1.9. Aparato para la calibración demanómetros


39/259

229

p

V

V p

∆∆

−=0

1 β

- La variación de volumen relacionada con el número de revoluciones y el paso

(t).

4

²d t nV r π

=∆

- Igualando ambas expresiones y despejando el número tenemos:

²4

0

td

p pV

nr π

β ∆

=

-Sustituyendo cada variable por sus valores:

esrevolucionnr 4,22=

UProblema 3:

Se tiene un tanque el cual contiene Fuel Oil y se le añade Crudo cubano como se

observa en la figura 1.10. Se presenta la necesidad de limpiar el mismo, pero la

bomba según la instalación no puede succionar el Crudo cubano (C.C). ¿Cómosacar el C.C para limpiar el tanque?

)²1(*2,0*14,3

250*300*10*47,04

4−

=r n


40/259

230

Figura 1.10. Fluidos inmiscibles.

I – Solución.

-La densidad del crudo cubano es superior a la de Fuel Oil.

ρBccB>ρBfoB

-A 30°C ρBccB>ρBagua.

Entonces si se añade agua al tanque a esta temperatura la misma ocupará la

parte superior.

-Pero a 70°C ρBaguaB>ρBcB

Como la variación de densidad con la temperatura es más sensible en C.C que en

el agua, la solución más acertada es:

Añadir agua a una temperatura de 70°C de forma que la misma pase al fondo del

tanque y que el C.C ascienda de manera que pueda ser succionado.


41/259

231

Tema II: Fluidodinámica.

2.1- Las ecuaciones de continuidad.

Para llegar a las diferentes ecuaciones de continuidad partiremos de la

ecuación general que nos permite encontrar la razón de cambio de unapropiedad extensiva (N) cualquiera con el tiempo en un volumen de trabajo.

En la figura 2.1 se muestran un volumen de control fijo en el espacio y un

sistema. En el instante de tiempo t ambos coinciden y ocupan las regiones I y

II. En el instante t+∆t el sistema se ha desplazado hacia una nueva posición

ocupando el área II y III. El volumen de control se mantiene fijo en su posición

ARBL.

N puede ser: Masa (M), Energía (E), Cantidad de movimiento (MV).

La propiedad intensiva de N la denominamos por η y se determina por la relación:

M

N =η

Límite del Sistema entiempo Ut+∆tU

Superficie de control yLímite del sistema en eltiempo

U

tU

IIIII

IL

B

R

Figura 2.1. Volumen de control y sistema en diferentes instantes de


42/259

232

La rapidez de cambio de N para el sistema se formula en términos del

volumen de control y se puede hallar mediante el siguiente procedimiento:

En la expresión anterior:

ρ- es la densidad de fluido,

dv- es el diferencial de volumen del volumen de control.

Dividiendo por ∆t y pasando al límite cuando ∆t 0 nos queda:

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∆

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=∆

∆ ∫∫∫∫

∆+→∆

t

dvdvdvdv

t

N t II I t t III II t

ρ η ηρ ρ η ηρ

0lim

Teniendo en cuenta las propiedades de los límites:

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∆

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∆

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=∆∆

∫∫∫∫∆+

→∆∆+

→∆t

dvdv

t

dvdv

t

N t I t t III t

t II t t II

t

ηρ ηρ ηρ ηρ

00 limlim

Haciendo un análisis por separado:

• Para el primer límite: Cuando 0→∆t el volumen II tiende a ser el volumen

de control (VC) por tanto:

t II I t t III II

sist sist dvdv dvdv N N t t t ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ + −

⎠ ⎞⎜ ⎜

⎝ ⎛

+= − ∫∫∫∫∆+

∆ + ρ η ηρ ρ η ηρ


43/259

233

∫∫∫

∂∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∆

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+→∆

VC

t II t t II

t dvt t

dvdv

ηρ

ηρ ηρ

0lim


44/259

234

t

dv

t I

∆⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∫ηρ

• Para el segundo límite:

La integralt t III

dv∆+

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∫ ηρ → representa lacantidad de N que atraviesa parte de la superficie de control representada

por ARB, y por tanto en el límite cuando 0→∆t se transforma en el flujo

exacto de N por unidad de tiempo que sale del volumen de contro l.

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∆+∫t

dvt t III

ηρ

La integralt I

dv⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∫ηρ → representa la cantidad de N que pasaría hacia el

interior del V.C. en el intervalo de tiempo analizado a través de la porción de

superficie de control representada por ALB.

En el límite cuando 0→∆t la integral:

--es el flujo de N por unidad de tiempo que entra al VC.

Por lo que los dos últimos límites pueden resumirse en el siguiente término:

Flujo de N/unidad de tiempo quesale por ARB


45/259

235

Flujo de N/unidad de tiempo =)∫

SC

Ad V ρ η

Que no es más que el Flujo de N/unidad de tiempo a través de la superficie de

control.

Teniendo en cuenta lo anterior se puede resumir que:

∫ ∫∂∂

+=∆

∆

SC VC dvt Ad V t

N

ηρ ηρ

Por tanto la velocidad de variación con el tiempo de N en un sistema en el

instante t se puede hallar mediante:

1. La velocidad de variación con el tiempo de N en el interior del volumen decontrol y

2. El flujo de N por unidad de tiempo a través de la superficie de control en el

instante t.

Hay que tener en cuenta que el primer término del miembro derecho de la

ecuación anterior hay un producto escalar por lo que en dependencia del ángulo

que formen el vector V y el vector dA así será el signo que adopte la integral de

línea.

A partir de la ecuación anterior se pueden obtener las ecuaciones que rigen los

principios básicos de la mecánica de los fluidos, tales como las leyes de

conservación de la masa y la energía.

Ecuación general de conservación de la masa.

Ecuación generalque interrelacionasistema y volumen

de control


46/259

236

En este caso:

N = Masa (M); 1=== M

M

M

N η

Como la masa no varia en un sistema:

0=∆

∆=

∆∆

t

M

T

N

Teniendo en cuenta lo anterior queda:

El flujo puede estar entrando hacia el volumen de control (V.C.) ó saliendo del

mismo. En la figura 2.2 se muestra esta particularidad, siendo V el vector

velocidad en una sección determinada de salida o entrada de flujo, dA el vector

diferencial de área que representa un área determinada de entrada o salida del

volumen de control. Este vector dA siempre es perpendicular al área

correspondiente y saliendo siempre de la misma. θ es el ángulo que forman el

vector velocidad V y el vector diferencial de área dA. El producto VdA en la

integral de línea es un producto escalar. La doble integral cerrada de línea

significa que hay que integrar a través de la superficie de control y donde quiera

que haya una entrada de flujo ó salida del mismo hay que aplicar una doble

integral y sumarlas todas teniendo en cuenta que en dependencia del ángulo que

formen el vector V y el Vector dA ( 0P

0P ó 180

P

0P ) así será el signo que adopte cada

integral de superficie.

∫ ∫∂∂

−= SC VC

dvt

A d V ρ ρ Ecuación General de Conservación de la Masa

V Bent.B V BsalB

Entrada alVolumende control

θ = 180 Po

Salida delVolumen decontrol.

θ= 0Po

V.C.


47/259

237

Ecuaciones de continuidad.

a. Flujo Permanente.

Para un flujo permanente el miembro derecho de la ecuación general de

conservación de la masa se anula pues no varían las propiedades del flujo en

relación al tiempo, aunque pueden variar con el espacio. Por tanto la ecuación se

convierte en la siguiente:

∫ = 0dAV ρ

Para un volumen de control (V.C) con una entrada y una salida como el que se

muestra en la figura 2.3 en toda la trayectoria de la superficie de control( S.C.)

hay una entrada y una salida de flujo por lo que solo habrán dos integrales de

superficie.

Integrando a través de la superficie de control

∫ ∫ =+1 2

0222111 A A

Ad V Ad V ρ ρ

V.C.

S.C.

V

B1

dA1

VB2

dAB2

Figura 2.3. Volumen de control con una entrada y una

salida de flu o


48/259

238

Teniendo en cuenta que:

2 2 2 2

1 1 1 1

dA V d V

dA V d V

=

− =

Nos queda:

0222111 =+− AV AV ρ ρ ;

222111

*

AV AV m ρ ρ == ; s

UTM

s

kg ;

Donde m es el flujo másico expresado en unidades de masa porunidad de tiempo.

a) Flujo Permanente e incompresible:

Teniendo en cuenta que la densidad es constante

∫ = 0 Ad V

c) Flujo permanente, unidireccional, incompresible con una entrada y

una salida.

Ecuación de conservación de la masa en forma diferencial.

La ecuación de conservación de la masa también se puede obtener en forma

diferencial y para ello se puede partir del análisis de un volumen de control

infinitesimal de forma paralepipeda fijo respecto a los ejes x, y, z. (Figura 2.4)

sl

smCte AV AV ;;

3

2211 ==

V

Y


49/259

239

En un flujo V(x, y, z) medido con relación a x, y, z para obtener la ecuación

de conservación de la masa en forma diferencial se calculan los flujos

netos en masa a través de cada una de las tres direcciones y se suman

los mismos.

U

Para la dirección X:

• Flujo másico de entrada ( B1B) por unidad de área.

B1B= xV ρ −

• Flujo másico de salida ( B2B) por unidad de área.

B2B = dxV x

V x x )( ρ ρ ∂∂

+

• El flujo neto a través de las caras cuyas aristas son dydz es:

yz = ( ) dydz dxV

xV V x x x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂++− ρ ρ ρ

yz = ( )dxdydz V x

x ρ ∂∂

,2-1.


50/259

240

Procediendo de igual forma para los demás pares de caras tenemos

que:

• xz = ( )dxdydz V y

x ρ ∂∂ , 2-2.

• xy = ( )dxdydz V z

x ρ ∂∂ , 2-3.

Sumando las ecuaciones 2-1, 2-2 y 2-3 se obtiene el flujo neto en

masa para todo el volumen de control ( ).

= ( ) ( ) ( ) dxdydz V z

V y

V x

z y x ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

∂∂+

∂∂+

∂∂ ρ ρ ρ , 2-4.

La variación de la masa en el interior del volumen de control por

unidad de tiempo (∆m) es:

( )∫ ∫ ∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−=∆VC VC

VC t

dV t

dV t

m ρ ρ

ρ

dxdydz t

m∂∂

−=∆ ρ

, 2-5.

Igualando 2-4 y 2-5 se obtiene la ecuación general de conservación

de la masa en forma diferencial:

( ) ( ) ( )t

V z

V y

V x

z y x ∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ ρ

ρ ρ ρ

2-6

Esta ecuación también puede ponerse de la siguiente forma:

2-7

ρ - Densidad del fluido.

V - Campo de velocidad.

Tener presente que divergencia en un campo vectorial (A) es:

( ) t V div ∂∂−= ρ ρ


51/259

241

z

z A

y

y A

x

x AdivA

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

Si el flujo es permanente:

( ) ( ) ( ) 0=∂∂+∂∂+∂∂ z y x V z V yV x ρ ρ ρ

Si el flujo es bidimensional:

( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

y x V y

V x

ρ ρ

Si el flujo es unidimensional:

( ) 0=∂∂

xV x

ρ


52/259

242

2.2. Ecuación de Bernoulli . Cavitación.

La ecuación de Bernoulli se puede obtener partir de las ecuaciones

diferenciales del movimiento de un líquido (ecuaciones de Euler) que seobtienen a continuación.

Consideraciones:

Fluido ideal compresible o incompresible:

Flujo no permanente.

Cualquier tipo de fuerzas másicas.

Similar al equilibrio del líquido se toma un elemento de líquido en

forma de paralepipedo (Figura 2.5)

Figura 2.5. Volumen elemental de fluido.

El análisis es similar para cada uno de los ejes por lo que solo se

realiza para el eje x. En este caso actúan las siguientes fuerzas:

a) Fuerza de presión hacia la derecha pdA.

b) Fuerza de presión hacia la izquierda dAdx x

p p ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

∂∂

+

aquí

dx=dy=dz.


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243

c) Fuerza másica por unidad de masa (X) a lo largo del eje x. Su

resultante es ρdxdydzX.

Aplicando la segunda ley de Newton queda:

dt

dvxdxdydz dxdydz dydz

dx

pdx p pdydz ρ ρ =+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂+−

Simplificando y dividiendo por ρdxdydz y haciendo un análisissimilar para los demás ejes coordenados queda:

donde:

X – Fuerza másica por unidad de masa en el eje X.

Y – Fuerza másica por unidad de masa en el eje Y.

Z – Fuerza másica por unidad de masa en el eje Z.

dt

dvx,

dt

dvy,

dt

dvz son las aceleraciones en los ejes x, y, z

respectivamente.

dt

dvz Z

z

p d

dt

dvyY

y

p d

dt

dvx X

x

p d

=+∂

−

=+∂

−

=+∂

−

ρ

ρ

ρ

1

1

1

Ecuaciones de Euler parael movimiento del líquidono viscoso.


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56/259

246

L a ecuación anterior se corresponde con la Ecuación de Bernoulli para flujo

permanente y fluido ideal (µ=0) , incompresible de densidad uniforme

Donde:

H – Energía mecánica total del líquido por unidad de peso.

γ

p- Energía mecánica por unidad de peso en virtud de la presión, [L]; m.

g

V

2

² -Energía mecánica por unidad de peso en virtud de la velocidad, [L];

m.

Z – Energía mecánica por unidad de peso en virtud de la altura, [L]; m.

Si la ecuación 2-9 se multiplica por γ nos queda:

cte Z V

p =++ 12² ρ

2

²V p

ρ + = Pt (Presión total del líquido)

p = Presión estática.

2

²V ρ = Pd (Presión dinámica)

Si Z=cte, tenemos que:

cteV

p =+2

² ρ

Por lo que se deduce que la presión total en un fluido ideal que no

cambia de altura es constante de sección en sección, o sea:

PtB1B= PtB2B=.......=Pt Bn

U

Representación grafica de la ecuación de Bernoulli .

Consideremos un tubo de sección variable con cambio de altura como el que se

muestra en la figura 2.6

g

V

2

²2

L.E


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247

B B B B

2

1B

En este caso H1 =H2 (La viscosidad µ=0, se considera que no hay

viscosidad.)

L.E. – Línea de energía Total.

L.G.H. – Línea de gradiente hidráulico o de alturas piezométricas.

Para el caso del líquido real:

∑ −+= 2121 h H H

∑ −21h - Perdidas de energía que experimenta el líquido al pasar de

la sección 1-1 a la sección 2-2 motivado por la fricción.

Gráficamente se puede ver en la figura 2.7 que se muestra va

continuación:


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248

∑ −++=+ 2121 h H H H H T B

Figura 2.7. Representación gráfica de la ecuación de Bernoulli.

En el grafico anterior las velocidades se han designado como las

velocidades medias en cada sección (vm ).

Para el caso de existir trabajo mecánico entre dos secciones comopor ejemplo el aportado por una bomba (B) el extraído por una turbina (T)

la ecuación de Bernoulli se convierte en la ecuación de la energía en la

siguiente forma:

H1- Carga total en la sección 1-1.

HB- Carga aportada por la Bomba.

H2- Carga total en la sección 2-2.

Ht- Carga extraída por la turbina.

Σh1-2 – Perdidas de energía.

Todos los términos de la ecuación anterior se expresan en dimensión de

longitud (L).


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249

Para el caso en que solo exista una bomba, como se muestra en el

gráfico de la figura 2.8 la ecuación queda:

H1 + HB = H2 + ∑ h 1-2 .

Figura 2.8. Sistema de bombeoCavitación.

La Cavitación es un fenómeno muy importante de la mecánica de los fluidos y de

particular influencia en el funcionamiento de toda maquina hidráulica.

En las últimas décadas la tecnología del diseño de turbinas y bombas centrífugas

ha tenido un avance importante, el cual sumado a los incrementos en los costos

de fabricación, ha llevado a desarrollar equipos con mayores velocidades

específicas para minimizar esta Influencia, lo que determina un incremento en el

riesgo de problemas en la succión, especialmente cuando operan fuera de su

condición de diseño.

Por CAVITACION se entiende la formación de bolsas localizadas de vapor dentro

del líquido, pero casi siempre en las proximidades de las superficies sólidas que

limitan el liquido.


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250

En contraste con la ebullición, la cual puede ser causada por la introducción de

calor o por una reducción de la presión estática ambiente del líquido, la

CAVITACION es una vaporización local del líquido, inducido por una reducción

hidrodinámica de la presión (Figura 2.9). La zona de vaporización local puede serestable o pulsante, y esto altera usualmente el campo normal del flujo. Este

fenómeno se caracteriza, entonces, por la formación de bolsas (de vapor y gas) en

el interior y junto a los contornos de una corriente fluida en rápido movimiento.

La condición física fundamental para la aparición de la cavitación es,

evidentemente, que la presión en el punto de formación de estas bolsas caiga

hasta la tensión de vapor del fluido en cuestión. Puesto que las diferencias de

presión en máquinas que trabajan con líquido son normalmente del mismo orden

que las presiones absolutas, es claro que esta condición puede ocurrir fácilmente

y con agua fría, donde la presión de vapor es de alrededor de 20 cm sobre el cero

absoluto.

Figura 2.9: Comparación entre Ebullición y Cavitación


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251

Las regiones de depresión local solo pueden existir como consecuencia de la

acción dinámica del movimiento, y una forma de esta acción proviene de la

inevitable conversión de la presión en energía cinética.

La cavitación puede ser demostrada mediante la ecuación de Bernoulli. Si lavelocidad del fluido se incrementa (por ejemplo en una reducción de área en la

sección 2-2, figura 2.10), la presión descendería. Este descenso de presión al

acelerar el líquido podría conducir a que la presión sea igual ó menor que la

presión de saturación de vapor de dicho fluido a la temperatura correspondiente.

Cuando un líquido fluye a través de una región donde la presión es igual ó menor

que su presión de vapor, él liquido hierve y forma burbujas de vapor. Estas

burbujas son transportadas por el líquido hasta llegar a una región de mayor

presión( sección 3-3, figura 2.10), donde el vapor regresa al estado líquido de

manera súbita, implotando bruscamente las burbujas. Si las burbujas de vapor se

encuentran cerca o en contacto con una pared sólida cuando cambian de estado,

las fuerzas ejercidas por el líquido al aplastar la cavidad dejada por el vapor dan

lugar a presiones localizadas muy alto, ocasionando picaduras sobre la superficie

sólida. El fenómeno generalmente va acompañado de ruido y vibraciones, dando

la impresión de que se tratara de grava que golpea con diferentes partes de la

máquina.

Las consecuencias ó, mejor dicho, los fenómenos acompañantes de la cavitación,

tal como pérdida de sólidos en las superficies límites (llamado erosión por

cavitación o PITTING), ruidos generados sobre un ancho espectro de frecuencias

(frecuencia de golpeteo: 25.000 c/s), vibraciones, pérdidas y alteraciones de las

propiedades hidrodinámicas pueden - con pocas excepciones - ser consideradas

como perjudiciales y por lo tanto indeseables. Por lo tanto este fenómeno debe ser

evitado o, como mínimo, puesto bajo control.


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252

Sección SecciónSección1-1 3-3

2-2

PresiónEstática

Presión

deVa or

LongitudFigura 2.10. Variación de la presión de un fluidoen un conducto de sección variable

Los efectos no perjudiciales de la cavitación incluyen su uso para limpieza, o en

bombas de condensación donde la cavitación puede ser utilizada como reguladorde flujo.

La cavitación destruirá toda clase de sólidos: los metales duros, concreto, cuarzo,

metales nobles, etc.

Sin embargo la cavitación no constituye un fenómeno inevitable, sino un efecto

que debe ser juzgado y evaluado desde el punto de vista económico.

La cavitación se divide en el proceso de formación de burbujas y en el de

implosión de las mismas. Este fenómeno siempre comienza por un proceso de

nucleación. En agua a presión no deberían de existir burbujas de gas no disuelto,

pero no es así, existen burbujas de gas sub-microscópicas. El tamaño de estas

burbujas incrementa si hay una presión negativa y puede dar lugar a burbujas de

cavitación aún si la presión esta por encima de la presión de saturación

correspondiente., es por esto que la cavitación comienza por un proceso de

nucleación llamándose NUCLEOIDES a las pequeñas burbujas que sirven de


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253

base para que alrededor de ellas se formen las cavidades que intervienen en le

fenómeno de la CAVITACIÓN.

TIPOS DE CAVITACION:

Por lo dicho precedentemente hay dos tipos de cavitación, uno con flujo y otro

enemos en tuberías donde la presión estática del líquido

, por él se

e gas parecen favorecer el comienzo de la cavitación,

tenido bajo de gas se demora el comienzo de la cavitación, ya que la

la cavitación comienza al alcanzar la presión de

estando el líquido estático:

(a) Cavitación por flujo

(b) Cavitación por ondas

Ejemplos del tipo (a) los t

alcanza valores próximos al de la presión de vapor del mismo, tal como puede

ocurrir en la garganta de un tubo venturi, a la entrada del rodete de una bomba

centrífuga o a la salida del rodete de una turbina hidráulica de reacción.

Los ejemplos del tipo (b) aparecen cuando estando el líquido en reposo

propagan ondas, como las ultrasónicas [3] denominándose Cavitación Acústica, o

típicas ondas por reflexión sobre paredes o superficies libres debido a ondas de

compresión o expansión fruto de explosiones y otras perturbaciones como en el

caso del golpe de ariete, denominadas Cavitación por Shock.

CONTENIDO DE AIRE

Los altos contenidos d

debido a que originan una mayor cantidad de burbujas. Por otra parte un

contenido levado de aire (presión parcial de aire) disminuye la velocidad de

implosión.

Con un con

resistencia a la tracción del agua en este caso comienza a jugar un papel

considerable. Para un contenido

de un 10% del valor de saturación

vapor. Con elevados contenidos de aire la presión para el comienzo de lacavitación es superior a la presión de vapor, ya que en este caso el crecimiento de

las burbujas está favorecido por la difusión de gas en el líquido .

IMPLOSION DE LA BURBUJA


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La bolsa, ya aumentada de tamaño, es arrastrada a una región de mayor presión y

finalmente estalla, mejor dicho, IMPLOTA. Esta acción periódica está

generalmente asociada a un fuerte ruido crepitante.

El aumento de tamaño de las burbujas o bolsas reduce los pasajes aumentandoasí la velocidad de escurrimiento y disminuyendo por lo tanto más aun la presión.

Tan pronto como la presión en la corriente supera la tensión de vapor después de

pasar la sección más estrecha, se produce la condensación y el colapso de la

burbuja de vapor. La condensación tiene lugar instantáneamente. El agua que

rodea a las burbujas que estallan golpean entonces las paredes u otras partes del

fluido, sin amortiguación alguna.

Teniendo en cuenta la condensación del vapor, con distribución espacial uniforme

y

ocurriendo en un tiempo muy corto, puede ser tomado por cierto que las burbujas

no

colapsan concéntricamente.

Se ha analizado el desarrollo de una burbuja en la vecindad de una pared,

teóricamente, y calculado el tiempo de implosión y la presión demostrándose que

la tensión superficial acelera la implosión y aumenta los efectos de la presión.

Muchos efectos trae aparejado el colapso de la burbuja, relacionados con los

diferentes

parámetros tales como la influencia del gradiente de presión, la deformación inicial

en la forma de la burbuja, velocidad del fluido en la vecindad de los límites sólidos,

etc.

En estos estudios puede ser tomado como válido que las cavidades no colapsan

concéntricamente en la vecindad de una pared. Se forma un micro-jet que choca

con la superficie sólida donde trasmite un impulso de presión, como se ve en laFigura 2.11.


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255

Figura 2.11. Colapso de una Burbuja con la subsiguiente formación del Jet.

2.3. La ecuación de cantidad de movimiento

La ecuación de impulso o cantidad de movimiento puede ser obtenida a partir de

la ecuación que interrelaciona sistema y volumen de control antes obtenida :

∫ ∫∂∂

+=∆

∆

SC VC

dvt

Ad V t

N ηρ ηρ

Teniendo en cuenta que en este caso la propiedad extensiva N es la cantidad de

movimiento( P ) .

P= M⎯ V

Donde: M- masa del fluido contenida en el volumen de control

V- velocidad del fluido. Magnitud vectorial.

Entonces la propiedad intensiva η es igual a la velocidad V.


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Teniendo en cuenta que al variar la cantidad de movimiento con el tiempo surge

una fuerza entonces la ecuación que en la forma siguiente:

sd )( +d t = F SC VC

rrrrr

vvvv ⋅∫⋅∫∂

∂

∑ ρ ρ

En la ecuación anterior :

dv- diferencial de volumen del volumen de control.

ds – vector diferencial de área que representa un área determinada de entrada ó

salida del volumen de control.

Esta es una ecuación vectorial, donde el primer término del miembro derecho nos

evalúa las variaciones temporales de la cantidad de movimiento dentro del

volumen de control, mientras que el segundo término estudia la cantidad de

movimiento que entra y sale por la superficie de control. Estas variaciones de

cantidad de movimiento entre flujo entrante y saliente de la superficie de control,

(considerando flujo permanente) darán lugar a una fuerza sobre el elemento sólido

ó fluido sometido a estudio.

Si descomponemos dicha ecuación vectorial en sus tres ecuaciones escalares una

para cada eje coordenado, obtendremos:

Por ejemplo en la dirección X

sd +d t

= F SC VC X rr

⋅⋅∫⋅∫∂∂

∑ vvvv XX ρ ρ

Al elegir un volumen de control resulta ventajoso tomar las superficies por donde

cruza el flujo, perpendicularmente a la dirección de la velocidad.

Si la velocidad es constante en dichas superficies, y el flujo es permanente,

obtenemos:

X11X22 vvvv S -S = F 1122 X ρ ρ ∑

Recordando la ecuación de continuidad, que nos da el flujo másico que entra y

sale de un volumen de control


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257

21 vv S =S =m 2211 ρ ρ &

Q=Q=m21

ρ ρ &

Siendo m& la masa por unidad de tiempo que atraviesa el volumen de control.

Considerando el fluido como incompresible nos queda:

( )X1X2 vv −Q= F X ρ

Lo mismo se obtendría para los otros dos ejes coordenados.

2.3.1 Aplicación del teorema de la cantidad de movimiento.

En figura 2.12. se muestra un chorro de fluido que penetra por el conducto y se

divide uniformemente en dos chorros que experimentan un cambio de 180 P0P

respecto a la dirección inicial. SE pide calcular la fuerza resultante del chorro

sobre la semiesfera.

Figura 2.12. Aplicación del principio de Impulso y cantidad de Movimiento


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258

Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento para el volumen de control de

la figura 1 en dirección Y, considerando flujo permanente y fluido incompresible,

tenemos:

sd )( + sd )( = F 2S21S1Y rrrr

221Y1vvvv ρ ρ ∫∫∑ Integrando llegamos a

S +S = F 21Y rrrr

2Y21Y1 vvvv ρ ρ ∑ (2-10)

Dado que los vectores velocidad y la sección de paso son perpendiculares, el

ángulo que forman los vectores normales a la sección con los vectores velocidad

serán de 180º y cero grados respectivamente. con lo cual obtenemos:

cos0ºSvvcos180ºSvv 22Y211Y1 ρ ρ += F Y ∑ (2-11)Las velocidades Y1v y Y2v forman respectivamente un ángulo de cero y 180

grados respecto el eje de las Y, con lo cual podemos decir que:

11Y1 v)º0cos(vv ==

22Y2 v)º180cos(vv −==

De donde

S -S -= F 21Y 2211 vvvv ρ ρ ∑ (2-12)

Por otro lado, aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2, y despreciando las

pérdidas de carga, obtenemos:2g

V =

2g

V 2

221

(2-13)

De donde V1 = V2.

Dado que el caudal entrante al volumen de control es igual al caudal saliente, la

ecuación 2-11 nos queda:

QV 2-= F Y ρ ∑ (2-14)


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Ecuación que nos dá la fuerza teórica que el líquido ejerce sobre la semiesfera. El

signo negativo nos indica que la fuerza Fy es en dirección decreciente del eje de

las Y.

Observar que en este caso no hay variación de la cantidad de movimiento en ladirección horizontal por lo tanto la única fuerza del fluido sobre el copo esférico

será en la dirección vertical.


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Capitulo III. Flujo de un fluido real.

3.1. Introducción..-

El flujo de un fluido real, o sea teniendo en cuenta su viscosidad, en una tuberíaviene acompañado de una pérdida de energía, que suele expresarse en términos

de energía por unidad de peso de fluido circulante, que se denomina pérdida de

carga y que tiene dimensiones de longitud.

Estableciendo la ecuación de energía entre dos secciones de una tubería (Primer

Principio de Termodinámica: Q-W=∆E), se tiene:

Considerando proceso adiabático (Q=0), sin trabajo técnico entre las dos

secciones (Weje=0), y teniendo en cuenta que para el flujo de líquidos, se puede

suponer flujo incompresible (ρ=cte) y sin variación de energía interna (û1=û2), y

además en régimen estacionario en una tubería de sección constante, la velocidad

media no se modifica en cada sección (v1=v2); con todo lo anterior se tiene:

El trabajo de flujo entre las dos secciones, viene determinado por:

Al trabajo consumido por los esfuerzos viscosos, se le suele denominar energía

pérdida (Wviscoso = Ep). Al término de energía pérdida por unidad de peso se le

denomina pérdida de carga hp ó Σh, que con las consideraciones anteriores tiene

la expresión:


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261

En el caso de tuberías horizontales, la pérdida de carga se manifiesta como una

disminución de presión en el sentido del flujo.

La pérdida de carga esta relacionada con otras variables fluidodinámicas según el

tipo de flujo, laminar o turbulento. Además de las pérdidas de carga lineales (a lo

largo de los conductos), también se producen pérdidas de carga singulares en

puntos concretos como codos, ramificaciones, válvulas, etc.

Es necesario conocer el tipo de régimen de flujo en que circula el fluido para

poder determinar las pérdidas de carga a lo largo de conductos.

3.2 Regímenes de corriente.

Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares o turbulentos teniendo en

texto mecanica de los fluidos y maquinas de flujo

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