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TEXTO AUTOINSTRUCTIVO

UNIVERSIDAD NACIONALPEDRO RUIZ GALLOFACULTAD INGENIERIA CIVIL, DE SISTEMAS Y DE ARQUITECTURAEscuela Profesional deIngeniera Civil

texto autoinstructivoCurso:Fsica IDOCENTE:Ing. Mendoza Gamarra Alfonso

integrantes:Aguilera Arana Jesus AlexanderFlores Huaman Tatiana LissetFrias Aspillaga David SantiagoHuaman Muoz Wilder NelsonIlasaca Gaona Diego Irigoin Becerra Yolanda DeneyJulca Peralta JorgeMoreto Salas KristianOrdoez Saavedra Erick JonnathanSanchez Caicedo SegundoSegura Segura Camila LorenaVelasquez Neciosup Juan CarlosLambayeque, diciembre del 2012

AGRADECIMIENTO

Un agradecimiento especial al Profesor MENDOZA GAMARRA ALFONSO, por la colaboracin, paciencia, apoyo y sobre todo por esa gran amistad que nos brind y nos brinda, por escucharnos y aconsejarnos siempre.

INTRODUCCIONEl siguiente texto auto instructivo ah sido creado con la finalidad de darle a conocer a el alumno un conocimiento general sobre los temas de fsica la cual tiene una base terica completa y grficos que sern muy til al momento de la ejecucin de cualquier problema ejecutado en este modulo.

A continuacin una pequea demostracin de la utilizacin de los diferentes temas de fsica que son aplicadas a diario en nuestra vida.

Gracias a esta propiedad de manifestacin a distintas escalas, la fsica ha podido avanzar hasta el conocimiento con el que contamos hoy. Si bien las ecuaciones de Newton no son vlidas para objetos a escalas atmicas o movindose a velocidades cercanas a la de la luz, son perfectamente suficientes para explicar y predecir fenmenos que involucren objetos y energas cotidianas. Por ello seguimos utilizndolas, y tambin ensendolas!

INDICE

CAPTULO I: VECTORES. 71. ENTRADA1.1. MOTIVACION...81.2. SABERES PREVIOS..91.3. MAPAS CONCEPTUALES...101.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION.. 111.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE.. 151.6. GLOSARIO 151.7. EXAMEN DE ENTRADA.. 16

2. CUERPO

2.1. INFORMACION TEORICA172.2. ACTIVIDADES 232.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS 232.2.2. PEQUEAS INVESTIGACIONES. 24 2.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS 26

3. SALIDA

3.1. PRUEBA INTERMEDIA 313.2. PRUEBA DE AUTOEVALUACION 323.3. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES 333.3.1. PROBLEMAS ABIERTOS 333.3.2. PRUEBA INTERMEDIA 343.3.3. PRUEBA DE AUTOEVALUACION 353.4. BIBLIOGRAFIA. 36

CAPTULO II: ESTATICA 371. ENTRADA1.1. MOTIVACION...381.2. SABERES PREVIOS..401.3. MAPAS CONCEPTUALES...411.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION.. 431.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE.. 451.6. GLOSARIO 461.7. EXAMEN DE ENTRADA.. 47

2. CUERPO

2.1. INFORMACION TEORICA482.2. ACTIVIDADES 492.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS502.2.2. PEQUEAS INVESTIGACIONES. 56 2.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS 59

3. SALIDA3.1. PRUEBA INTERMEDIA 633.2. PRUEBA DE AUTOEVALUACION 763.3. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES 773.3.1. PROBLEMAS ABIERTOS 793.3.2. PRUEBA INTERMEDIA 803.3.3. PRUEBA DE AUTOEVALUACION 823.4. BIBLIOGRAFIA. 83

CAPTULO III: CINEMATICA841. ENTRADA1.1. MOTIVACION...831.2. SABERES PREVIOS..871.3. MAPAS CONCEPTUALES... 881.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION.. 891.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE.. 951.6. GLOSARIO 951.7. EXAMEN DE ENTRADA.. 96

2. CUERPO

2.1. INFORMACION TEORICA972.2. ACTIVIDADES 982.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS 982.2.2. PEQUEAS INVESTIGACIONES. 1172.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS 130

3. SALIDA


CAPTULO IV: DINAMICA DE PARTICULA 1601. ENTRADA1.1. MOTIVACION.1611.2. SABERES PREVIOS1621.3. MAPAS CONCEPTUALES.1631.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION 1641.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE 1721.6. GLOSARIO 1721.7. EXAMEN DE ENTRADA..1732. CUERPO

2.1. INFORMACION TEORICA 1742.2. ACTIVIDADES 1792.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS 1792.2.2. PEQUEAS INVESTIGACIONES. 1802.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS 183

3. SALIDA


1. CAPTULO V: TRABAJO Y ENERGIA.1881. ENTRADA1.1. MOTIVACION.1891.2. SABERES PREVIOS1901.3. MAPAS CONCEPTUALES.1911.4. REFORZAMIENTO Y EJERCITACION1921.5. OBJETIVO Y APRENDIZAJE 1941.6. GLOSARIO 1951.7. EXAMEN DE ENTRADA.212

2. CUERPO

2.1. INFORMACION TEORICA 2152.2. ACTIVIDADES 2172.2.1. PRUEBAS OBJETIVAS 2172.2.2. PEQUEAS INVESTIGACIONES.218 2.2.3. PROBLEMAS ABIERTOS 223

3. SALIDA


VECTORESTEXTO AUTOINSTRUCTIVOFISICA I

41

CAPITULO IVECTORES

1.1 MOTIVACION

En una competencia de atletismo se presentan diez participantes (A, B, C, D, E, F, G, H, I) tal como se muestra en la figura. Todos tienen que seguir un camino hasta llegar a la meta.Ya iniciada la competencia todos los participantes siguen la ruta indicada, a excepcin del participante E que al verse agotado y ltimo en la competencia decide tomar un atajo en tal forma que partiendo desde cierto punto P (recorriendo hasta el punto P 200 metros) avanza hasta el punto Q en lnea recta. Vindose cerca de la meta continua corriendo esta vez ya siguiendo la ruta establecida, consiguiendo as ser vencedor de la competencia al llegar en primer lugar.

Despus de haber ledo este texto A qu conclusin has llegado?No es necesario tener un gran dominio del tema para analizar la situacin dada.Bueno, despus de ya tener tus conclusiones, veamos su anlisis1. En primer lugar al mencionar los participantes van a correr desde el punto departida y el vencedor ser aquel que llegue a la meta estamos indicando SENTIDO.1. Luego al mencionar recorriendo hasta el punto P 200 metros estamos indicando MAGNITUD.1. La ruta est dada por curvas y rectas describiendo diferentes ngulos (por ejemplo la de la ruta con el segmento ) estos viene a determinar la DIRECCION.1. Teniendo SENTIDO, MAGNITUD Y DIRECCION, podemos determinar los VECTORES.Por consiguiente:1. La ruta que deben seguir todos los participantes de la competencia de atletismo, viene a ser la TRAYECTORIA.1. Teniendo en cuenta lo anterior, deducimos que el atajo que sigui el participante E que viene a ser segmento es el DESPLAZAMIENTO. Y que la magnitud de ste viene a ser la distancia recorrida.

1.2 SABERES PREVIOS

Qu entiendes por vectores? de que nos sirve los vectores en nuestra vida diaria? Qu operaciones se puede realizar con vectores? Qu entiendes por resultante? Cules son los mtodos para hallar la resultante?

1.3 REFOPRZAMIENTO Y EJERCITACION

1. Cules son los vectores componentes ortogonales de la fuerza P de 100 libras a lo largo de las rectas continua y punteada, que se muestran en la Fig. P-13?

2. Resolver la fuerza de 200 libras en componentes colineal y perpendicular, respectivamente, al plano los casos (a) y (b) de la Fig. P-14.

3. Descomponer la fuerza Fde 100 libras en componentes segn las direcciones de los ejes x, yyz,(Fig. P-15). Cules son los cosenos directores de esta fuerza?.

4. Los cosenos directores de la fuerza de 100 libras mostrada en la Fig. P-16 son 0.40, 0.29, 0.87. Determinar (a) los vectores componentes a lo largo de los ejesx, yyz, y (b) las componentes escalares en los mismos ejes.

5. Con la referencia a la Fig. P-19, escribir las expresiones vectoriales para a y b, y calcular .

Ahora

1.4 OBJETIVOS Y APRENDIZAJE1. Definir un vector como elemento matemtico y establecer su importancia en la descripcin de los fenmenos fsicos y el establecimiento de leyes fsicas.1. Diferenciar las operaciones matemticas ordinarias (operaciones escalares), respecto de las operaciones vectoriales.1. Dar a conocer las propiedades de los vectores con uso del mtodo inductivo deductivo para ir explicando y comprendiendo las operaciones de adicin, sustraccin y multiplicacin de vectores.1. Generalizar las reglas o leyes de las operaciones con vectores.

1.5 GLOSARIO Magnitud: Es todo aquello que se puede medir experimentalmente. Las magnitudes fsicas se clasifican en escalares y vectoriales.Magnitud escalar: Es aquella que viene perfectamente definida por un nmero y su unidad, es decir, por su mdulo. Magnitud vectorial: Es aquella que viene perfectamente definida por un mdulo, una direccin, un sentido y un punto de aplicacinMdulo o Intensidad: Representa el valor de la cantidad fsica vectorial, est representado por la longitud del vector, tomado o medido a cierta escala.Direccin: Est representado por la recta que contiene al vector .se define como el ngulo que hace dicho vector con una o ms rectas de referencia, segn sea el caso en el plano o en el espacio.Sentido: Indica la orientacin de un vector, grficamente est dado por la cabeza de la flecha del vector.

Punto de aplicacin: Es el punto sobre el cual se supone acta el vector.Ejemplo:Representar el Vector F cuya Direccin es 30 Y su mdulo 10 Kg-f

1.6 EXAMEN DE ENTRADA

1. Cul de las siguientes magnitudes necesita de un vector, para su representacin?1. Intermedio luminoso1. Intensidad de corriente elctrica.1. Calor latente1. Espacio1. Desplazamiento 1. Cul de las siguientes magnitudes, no necesita de un vector, para su representacin?1. Agua1. Torque1. Potencial elctrica1. Potencial elctrico1. Velocidad angular1. Cunto debe variar el ngulo entre los vectores mostrados para que la diferencia sea mxima?

1. Dos desplazamientos tienen mdulos iguales a 4 m 3m. Cul debe ser la direccin y el sentido de cada uno de estos vectores para que su resultante tenga mdulo igual a t:1. 7b) 1c) 0.5d) 81.

Dos vectores y cumplen la siguiente condicin:Qu ngulo formo entre s?

2.2.1 INFORMACION TEORICADIFINICION DE VECTOREnte matemtico que adems de tener valor (mdulo), tiene direccin y sentido.Grficamente se representa por un segmento de recta orientado (cabeza de flecha).Los ejemplos elementales de vectores son los desplazamientos, las velocidades, las fuerzas, las aceleraciones, etc.

Notacin:

= Vector

= Direccin: El de la recta LSentido: de A hacia BO: origen

Vector opuesto: Dado un vector se llama vector opuesto o negativo del vector a otro vector de igual mdulo pero de sentido contrario.

El opuesto de es - y viceversa.

Vectores iguales: Son los vectores que tienen el mismo mdulo, la misma direccin y el mismo sentido.

Vectores concurrentes: Son los vectores cuyas lneas de accin se intersecan en un mismo punto:

Vector unitario: Es el vector mdulo es igual a la unidad.es unitario si = 1Para encontrar el vector unitario en la direccin de un vector basta dividir ste entre su mdulo:Sea el vector, el unitario ser:

=

VECTOR POSICION Y COMPONENTE DE UN VECTORPara hacer ms sencilla la explicacin daremos un ejemplo: Un ministro peruano tiene una asamblea en el extranjero, en esta ocasin debe realizar un viaje a Francia, el cual dura 36 horas seguidas, como no le agradaba la idea de viajar por tanto tiempo, decide tomar escalas en su viaje. De esta manera parti de Per, llego a Venezuela, luego a Espaa y por ltimo a Francia. Tal como se muestra en la figura:Como se puede notar en la figura, PERU es el origen, de esto se deduce:El vector PERU FRANCIA y el vector PERU VENEZUELA representan vectores posiciones, ya que ambos parten del origen PERU.Vector posicin relativo:A diferencia del vector posicin, estos parten de un punto cualquiera del espacio a otro punto del espacio.Segn la grfica, de deduce:El vector VENEZUELA ESPAA y el vector ESPAA FRANCIA representan vectores posiciones relativas.Componentes de un vector:Cualquier vector puede considerarse como la resultante de dos o ms vectores denominados VECTORES COMPONENTES.Teniendo en cuenta el ejemplo anterior

F = Fx + FyP = Px + PyV = Vx + VyE = Ex + Ey

Donde:Fx, Fy son componentes de FPx, Py son componentes de PVx, Vy son componentes de VEx, Ey son componentes de E

Estos a su vez se pueden expresar con sus componentes escalares:

Px= Pcos y Px= PsenVx= Vcos y Vx= PsenEx= Ecos y Ex= EsenFx= Fcos y Fx= Fsen

P= Pcos + PsenV= Vcos + PsenE= Ecos + EsenF= Fcos +Fsen

ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTORConsideremos el vector = en el espacio tridimensional y los ngulos formados por los ejes coordenados positivos y el vector = es decir: = ( i, a), j, a), = ( k, a),Si L (recta) donde = , diremos que:Se llaman ngulos directores de un vector a cada uno de los ngulos que forma con los ejes coordenados x,y,z, segn muestra la Fig. Los cosenos directores se pueden obtener sin ms que observar que:(1) Partiendode:.. (2)Siendo el mdulo del vector. De (1) y (2) se obtiene la relacin entre los ngulos directores:

ADICION Y SUSTRACCION DE VECTORESADICION DE VECTORES:Supongamos que tenemos dos vectores dados, digamos A y B. formamos un tercer vector construyendo un tringulo con A y B, formando los dos lados del tringulo, B a continuacin de A (vase en la figura). El vector que comienza desde el origen de A y termina en la punta de la flecha de B se define como el vector suma A+B.Vemos que A+0=A y que si A=B, C=D, entonces: A+C=B+DDe la geometra euclidiana se nota que: A+B=B+ALEY COMMUTATIVA de la adicin vectorial (A+B)+C=A+(B+C)LEY ASOSIATIVA de la adicin vectorial x(A+B)=xA+Xb.LEY DISTRIBUTIVA para la multiplicacin por un escalarSUSTRACCION DE VECTORES:Dados dos vectores A y B podemos hacernos la siguiente pregunta: Qu vector C debe agregarse a B para que d A? El vector C se define como el vector A-B. Podemosobtener el resultadodeseadopor dos mtodosdiferentes. Construimos B y luego agregamos este vector a A Hacemos que B y A tengan un origen comn y construyamos el tercer lado del trianguloLos dos sentidos posibles darn A-B y B-A. As A-B = A+ (-B)

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTOSe le define por la identidad:A.B cosEn donde es el ngulo entre los dos vectores cuando se dibujan ambos desde un origen comn, no importa si escogemos o , puesto que:cos= cos Si A es perpendicular a B, entonces: A.B = 0 Si A.B = 0 entonces: A=0 B=0 A B

A.B es igual a la proyeccin de A sobre B multiplicada por la longitud de B.A.B = =

Con esto en mente procedemos a probar la ley distributiva que establece que: A. (B+C)= A.B + A.C

De la figura adjunta es evidente que:A. (B+C) = = + = A.B + A.C

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

Dados dos vectores no paralelos A y B cualesquiera, podemos construir un tercer C como sigue: cuando trasladamos los vectores de tal manera que tengan un origen comn, dichos vectores A y B forman dos de los lados de un paralelogramo. Definimos C como el VECTOR PERPENDICULAR al plano de este paralelogramo con una magnitud igual al rea del paralelogramo. Escogemos la normal obtenida por el movimiento de un tornillo de orientacin derecha cuando A gira hacia B (el ngulo de rotacin menor de 180) (vase la figura). Se coloca una cruz entre los vectores A y B y denotamos el vector C = AxB. El vector C se llama el productor vectorial o producto cruz de A y B y est dado por: C = A x B = .sen E, en donde E = 1, el rea del paralelogramo es: rea = .senEs obvio que A x B = -B x A, de tal manera que la multiplicacin vectorial NO ES CONMUTATIVA.Si A y B son paralelos, A x B = 0. En particular, A x A = 0Si expresamos los vectores en funcin de sus componentes, su producto vectorial vendra a ser:

Donde ahora el vector se obtiene en funcin de sus componentes.

2.2 ACTIVIDADES

2.2.1 PRUEBAS OBJETIVASLas siguientes preguntas le permitirn evaluar su conocimiento de los temas tocados en el presente capitulo.1.-Dado el vector = (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a, sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).2.-Calcula el valor de k sabiendo que el mdulo del vector = (k, 3) es 5. 3.-Si es un vector de componentes (3,4), hallar un vector unitario de su misma direccin y sentido.4.-Dados los vrtices de un tringulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar las coordenadas del baricentro. 5.-Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio de AC, A(-3, 1). 6.- Averiguar si estn alineados los puntos: A(-2, -3), B(1, 0) y C(6, 5).7.-Calcula las coordenadas de D para que el cuadriltero de vrtices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.8.-Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, -1) y B(8, -4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.9.-Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, cules son las coordenadas de los puntos de divisin? 10.-Hallar el simtrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).

COMENTARIOS DE TEXTOSEstableciendo Los datos resultantes de estas investigacin hemos podido comprender y analizar los diferentes conceptos que se desarrollan en torno a un vector, y las diferentes aplicaciones que este tiene en la vida cotidiana: el cual nos permite localizar un punto especfico u bien sea la posibles contradicciones que presente x construccin la cual debe tener para su realizacin diferentes tipos de estudios vectoriales que conllevaran a lo que es el desarrollo de infraestructura. Si bien es determinante este estudio, podramos agregar que el estudio de los vectores lleva consigo un amplio lugar de trabajo ya que tiene influencia en reas de trabajo, influencias que antes eran desconocidas por nosotros.Por lo tanto hemos determinado que el estudio conciso de este trabajo permiti que nuestros conocimientos acercas de los vectores se hayan ampliado de manera tal que podemos determinar con la utilizacin de las formulas correcta la distancia y la inclinacin de un objeto, tomando en cuenta su direccin, orientacin, punto de aplicacin y longitud o mdulo. Los cuales pertenecen a las caractersticas constantes que conforman un vector. En el sistema vectorial existen 2 tipos de estudios o problemas uno analtico y otro grafico que permite especificar los diferentes puntos de accin.

2.2.2 PEQUEAS INVESTIGACIONES

Desde los inicios del computador en 1950 hasta la dcada de los ochenta se usaba un sistema vectorial de generacin de grficos diferente al actual. En este sistema caligrfico el rayo elctrico del tubo de rayos catdicos de la pantalla era guiado directamente para dibujar las formas necesarias, segmento de lnea por segmento de lnea, quedando en negro el resto de la pantalla. Este proceso se repeta a gran velocidad para alcanzar una imagen libre de intermitencias o muy cercana a estar libre de ellas. Este sistema permita visualizar imgenes estticas y en movimiento de buena resolucin (para esas fechas) sin usar la inimaginable cantidad de memoria que se hubiera necesitado para conseguir la resolucin equivalente en un sistema de rasterizacin, permitiendo que la secuencia de imgenes diese la sensacin de movimiento e incluso consiguiendo que titilaran modificando slo algunas de las palabras del cdigo de la grfica en su respectivo display file. Estos monitores basados en vectores tambin eran conocidos como monitores X-Y (X-Y displays).Uno de los primeros usos de los vectores en el proceso de visualizacin fue el realizado por la Fuerza Area de los Estados Unidos. El sistema de generacin de grficos mediante vectores se utiliz hasta 1999 en el control areo y probablemente an se siga usando en diversos sistemas militares. Ivan Sutherland emple este mismo sistema en la TX-2 para ejecutar su programa Sketchpad en el MIT Lincoln Laboratory en 1963.Los subsiguientes sistemas de representacin grfica vectorial incluan la GT40 de Digital; existi una consola llamada Vectrex que usaba grficos vectoriales para mostrar videojuegos como Asteroids y SpaceWars; y equipos como el Tektronix 4014, podan generar imgenes vectoriales dinmicas.El trmino vector es usado comnmente en el contexto de grficos de dos dimensiones producidos por computador. Es uno de los muchos modos con los que un artista cuenta para crear una imagen con una previsualizacinrasterizada. Otras formas de uso pueden ser en textos, en multimedia y en la creacin de escenarios 3D. Prcticamente todos los programas de modelado en 3D usan tcnicas que generan grficos vectoriales en 2D. Los plotters usados en dibujo tcnico siguen dibujando los vectores directamente sobre el papel.Frecuentemente a las imgenes de mapa de bits se las considera formatos algo primitivos, desde un punto de vista conceptual, ya que su forma de almacenar la informacin en pxeles no permite la misma flexibilidad que se obtiene con una imagen vectorial. Sin embargo los mapas de bits presentan ventajas en otras reas como la fotografa digital y el video.

2.2.3 PROBLEMAS ABIERTOS

1. Un bote es remolcado por un canal con un cable que forma un ngulo de 10 con la orilla. Si la traccin del cable es de 200 N, calcular la fuerza que arrastra al bote por el canal.

SOLUCION

F ( ) = F () = F 196,96 = F F = 197 N

F

200

1. Hallar la resultante de las fuerzas coplanarias 100 N, 0 y 200 N, 90.SOLUCIONR = 100 R = 100R = 223,607 NR = 224 N

200 N

100 N

1. Hallar la resultante de las fuerzas coplanarias 32 N, 20 y 64 N, 190.SOLUCION

y

4096 + 1024 + 4096 5120 + 4096(-0.98480775) = 1086,227 = 32,96 33 N

32 NR

20190

64 Nx

= 0,33677 = 0,344

1. Expresar en funcin de los vectores unitarios i, j, k la fuerza de 200 N con origen en (2, 5, -3) y extremo en (-3, 2, 1).SOLUCION

r = = = r = -2i + 3j -2k

1. Calcular el producto escalar de P = 4i + 2j k y Q = -3i + 6j + 2k.SOLUCION

(P ) = (4, 2, -1) (Q ) = (-3, 6, 2)(P ).(Q ) = (4 x -3) + (2 x 6) + (-1 x 2) (P ).(Q ) = -12 + 12 - 2(P ).(Q ) = -2

1. Dados los vectores:), hallar sus mdulos, su suma y los ngulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vector unitario en la direccin y sentido del vector suma. SOLUCION

De aqu:=2832'35" ,=11813'49" y=867'31".

1. El mdulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales a los nmeros 2, -2 y 1. Hallar la suma si el vector. Hallar tambin un vector unitario en la direccin y sentido del vector suma.

SOLUCIONSea el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a los nmeros 2,-2 y 1, podremos escribir: cos=2K, cos =-2K, cos=K (1). Utilizando la frmula (3) del resumen terico resulta: 4K2+4K2+K2=1 de donde 9K2=1 y K= 1/3. De las relaciones (1) se obtiene (K=1/3): cos=2/3 ; cos=-2/3 ; cos=1/3De la frmula (2) del resumen terico, despejando los valores de ax,ay y az y siendo=18,queda:

Luego:de donde:

1. Dados los vectores=(3,-2,1) y de mdulo 3 y contenido sobre la recta x-y=0, hallar: a) Mdulo de b) Producto escalar de y c) Angulo que forman. SOLUCIONa) Si el vector est situado sobre la recta x-y=0 quiere decir que est dirigido sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano XY. Esto indica que bz=0, bx=3.cos 45 y by=3.sen 45. Por tanto el vector es: =. RPTA 1El mdulo de es:. Observar que se eligieron los valores positivos de bx y by. b)= RPTA 2c) Para calcular el ngulo que forman ambos vectores basta aplicar la relacin (5) del resumen terico: con lo que. RPTA 3

1. Un tetraedro es un slido limitado por cuatro superficies triangulares. Considerar el tetraedro con vrtices en los puntos (0,0,0) , (2,0,0), (0,2,0) y (1,1,2) encontrar:1. El vector que representa cada cara1. El vector que representa todo el tetraedro1. La magnitud de la superficie del tetraedro1. Esperaba Ud. obtener el resultado obtenido en b?SOLUCION

Luego:

1.

1. S= 0 (

1. Volumen:

33.1 PUEBA INTERMEDIA

EJERCICIO 01.-

Dados los vectores =(3,-2,1) y de mdulo 3 y contenido sobre la recta x-y=0, hallar: a) Mdulo de b) Producto escalar de y c) Angulo que forman.

EJERCICIO 02.-

Hallar el rea del paralelogramo de lado los vectores:

= y =-2 - 4 + 3

EJERCICIO 03.-

Calcular el momento del vector =(2,-4,0) que pasa por el punto P (-1,0,1) respecto al eje E quepasa por P1 (2,3,1) y cuya direccin est determinada por el vector

3.2 PRUEBA DE AUTOEVALUACION

Enunciado1

Demostrar que si los vectores x1, x2, x3 forman un sistema libre, tambin forman un sistema libre los vectores (x1+x2), (x1+x3), (x2+x3)

Enunciado 2

Dados los vectores y

Hallar la proyeccin de

Enunciado 3Dados los vectores, hallar sus mdulos, su suma y los ngulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vector unitario en la direccin y sentido del vector suma.

Enunciado 4El mdulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales a los nmeros 2, -2 y 1. Hallar la suma si el vector. Hallar tambin un vector unitario en la direccin y sentido del vector suma.

3.3 SOLUCION DE ACTIVIDADES

4. SOLUCION DE PRUEBA DE AUTOEVALUACION

RESPUESTA DEL EJERCICIO 1

El sistema de vectores dado es libre si la expresin:

Se cumple nicamente cuando los coeficientes , y son todos iguales a cero. En caso contrario, el sistema es ligado. De ese modo, operando, tenemos:

Como los vectores x1, x2, x3 son linealmente independientes, por hiptesis, los coeficientes deben ser todos nulos. De ese modo podemos plantear el siguiente sistema:

Tenemos un sistema homogneo del que calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:

Al ser el rango de la matriz de los coeficientes igual al nmero de incgnitas, el sistema slo admite como solucin para ellas el valor nulo y, en consecuencia, los vectores dados forman un sistema libre.


M

OM = A cos O U = A.U = A cos OA = 32 + 152 + (-4)2 = 15.8U = -81 + 7i 5 K = 0.68i + 0.6 i 0.43 k (-8)2 + 72 + (-5)2OM = A.U = (3i + 15J 4 k) (0.68 I + 0.6 J 0.43 K)= 8.68 unidades


De aqu:=2832'35",=11813'49" y=867'31".

RESPUESTA DEL EJERCICIO 4Sea el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a los nmeros 2,-2 y 1, podremos escribir: cos=2K, cos =-2K, cos=K (1). Utilizando la frmula (3) del resumen terico resulta: 4K2+4K2+K2=1 de donde 9K2=1 y K= 1/3. De las relaciones (1) se obtiene (K=1/3): cos=2/3 ; cos =-2/3 ; cos=1/3 De la frmula (2) del resumen terico, despejando los valores de ax,ay y az y siendo =18,queda:

Luego:de donde:

RESPUESTA DEL EJERCICIO 5a) Si el vector est situado sobre la recta x-y=0 quiere decir que est dirigido sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano XY. Esto indica que bz=0, bx=3.cos 45 y by=3.sen 45. Por tanto el vector es: =. El mdulo de es:. Observar que se eligieron los valores positivos de bx y by. b) =c) Para calcular el ngulo que forman ambos vectores basta aplicar lo siguiente:con lo que RESPUESTA DEL EJERCICIO 6

=

=

A = = RESPUESTA DEL EJERCICIO 7

Para hallar el momento respecto al eje E, ME=,cdebemos calcular:

3.4 BIBLIOGRAFIA

1. J. E. Marsden y A. J. Tromba, Vector calculus. W. H. Freeman and company, 1999. 1. P. C. Matthews, Vector Calculus. Springer, 2001. 1. J. J. Scala Estalela, Anlisis vectorial. Volumen II: Campos.} Editorial Revert, S. A., 1990K. 1. J. Janich, Vector analysis. Springer, 1993.

CAPITULO IIESTATICA

MOTIVACIN:

Muchas veces nos confundimos entre lo que es Esttica y lo que es Dinmica, por eso antes de empezar con el estudio del equilibrio de cuerpos es necesario diferenciar entre dichas ramas de la Mecnica.

La Esttica estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir, aquellos cuerpos que se encuentran tanto en reposo como en movimiento con velocidad constante; mientras que la Dinmica estudia los cuerpos acelerados, aunque se puede establecer el equilibrio dinmico mediante la introduccin de las fuerzas de inercia.

Para detallar y explicar la parte terica tomaremos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los cuales se aplican principios fsicos, como:

Cmo logra mantenerse en equilibrio en el vuelo un esquiador? Por qu vuela el avin? Por qu no se cae la Torre Pisa? Cmo logra caer de pie un gato? Cmo logra el equilibrio en el vuelo un Bmeran? Cmo se logra el equilibrio en el baile?

Se ha demostrado que la Fsica no es solamente abstracta, sino que es tambin prctica y ocurre en la vida diaria, y el estudio del equilibrio es un paso previo para el estudio de la Dinmica y otras ramas de la Fsica.Por qu no se cae la Torre de Pisa?

Como todo el mundo sabe la Torre de Pisa est inclinada, pero lo que todo el mundo tal vez no sepa es por qu est inclinada. Alguien puede pensar que fue edificada intencionadamente de forma inclinada, lo que, por cierto, vendra muy bien para los legendarios experimentos de Galileo de los cuerpos que se dice que dej caer desde lo alto de la torre para asombro de sus contemporneos. Los historiadores no se ponen de acuerdo si el hecho es real o leyenda. En cualquier caso, la fama de la torre se acrecent por este motivo.

Aunque tuvieran muy buenos arquitectos en la poca (comenz a construirse en 1173 aunque, por diversas circunstancias, se tardaron 200 aos en terminarla con una altura de casi 56 metros), parece que la inclinacin de la torre no fue intencionada sino un accidente. Un accidente del terreno.

El suelo sobre el que se edific no era tan slido como se crea, era deformable en algunas partes. Comenz a ceder por algunos sitios y la torre empez a inclinarse. Incluso parece que por aquella zona haba pasado en tiempos el cauce de un ro, que posteriormente cambi su curso, pero que debilit el terreno.

Cundo comenzar a ser peligrosa para su equilibrio la inclinacin de la torre?Hay una ley de la Esttica que dice que habr equilibrio siempre quela vertical que pasa por el centro de gravedad del cuerpo caiga dentro del polgono de apoyo o base de sustentacin, que en este caso sera la base de la torre. Y esto sucede con la Torre de Pisa. Si el ngulo de inclinacin de la torre siguiera aumentando, llegara un momento en que dicha vertical caera fuera de la base y eso significara el fin del equilibrio.

SABERES PREVIOS:

1. Qu es la esttica?

2. Cmo la aplicas la esttica en tu vida diaria?

3. Para qu se utiliza la esttica en las construcciones?

..

4. Qu es el equilibrio?

5. Qu respuesta le daras a la inclinacin de la Torre de Pisa?

TEXTO AUTOINSTRUCTIVOFISICA I

...............................................................................................................................................................................................................................................................esEl equilibrio de las fuerzas de un cuerpo en reposo.Rama de la mecnicaESTATICA

estudia

participanes

FuerzasResultante de fuerzasMagnitud vectorial medida en newton

CoplanariasNo CoplanariasPar de fuerza o CuplaMomento de una fuerza o torque

sonson

Fuerzas que estn contenidas en un solo planoFuerzas contenidas en el espacioes

Dos fuerzas paralelas

Sistemas concurrentesEl producto vectorial (M=r x F)

Sistemas concurrentesde

se cumplese cumpleIgual modulo y sentido opuesto

R=cos coscosR=Tg=donde

r= vector posicin F= Fuerza que hace al cuerpo girar

sistemas paralelos

sistemas paralelosse cumple

se cumpleR=

R=

ESTTICAALa fuerza tangencial entre dos cuerpos cuando ya se inicio el movimientoLa fuerza que se opone al deslizamiento de un cuerpo respecto al otroCintico (uC)Esttico (uE)Rozamiento

Se basa en:LEYES DE NEWTONCentro de gravedad

Hay doses elPunto de aplicacin

1ra Ley: Ley de la Inercia3ra Ley: Ley de accin y reaccion

Concurren todas las fuerzas de gravedad de un cuerpo

EsesEquilibrio de fuerzas coplanarias y no coplanarias

se cumpleSe cumple

uc < uEu= F/NF= fuerza de rozamientoN: Normal

REFORZAMIENTO Y EJERCITACION:1). Las ruedas de una gra mvil se mueven sobre rales como se muestra en la figura. El peso de la gra es de 10 toneladas (10T), con su centro de gravedad a 3 ft a la izquierda de A. Qu peso mximo W a 12 ft a la derecha de B puede ser desplazado sin volcar? C el peso W mximo seria cuando :MB = 04(12) + 10(2) = 12(W)12W = 48 + 207512W = 5.67 T

2). Una persona de 70kg de masa representada por M sostiene una masa de 25kg. Se supone que no existe razonamiento en la polea. La plataforma donde la persona esta de pie cuelga de dos cuerdas en A y dos cuerdas en B. Cul es la tensin de cada una de las cuerdas en A?Fy = 0 AFc + W1 = W325kgBFc +(m)(g) = M.g M Fc + (25)(9.3) = 70(9.8)1m2mFc = 686 - 245Fc = 441N

Ahora hallando la tensin:MB = 0 MA = 0Fc(2) = A(3)Fc (1) = B(3)441(2) = 3A441 = 3BA = 294NB = 1473). El bloque superior de la figura consta de dos poleas y el bloque inferior de una. La cuerda est atada a la parte superior del chasis del bloque inferior, pasa alrededor de una de las poleas del bloque superior, vuelve a la polea del bloque inferior y finalmente pasa alrededor de la segunda polea del bloque superior, donde est sujeta por una fuerza P. Demostrar que en el equilibrio la fuerza P es de 33,3 lb cuando se cuelga un peso de 100lb del chasis del bloque inferior.

FY = 0PP + P + P =W 3P = WP =P = = 33.3 lb

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Estudiar y definir la esttica

Introducir el concepto de la esttica y sus diferentes aplicaciones Mediante el algebra vectorial, a travs de un sistema de ecuaciones, resolver la condicin de equilibrio. Problemas estticos mediante grficos. Estudiar la fuerza de friccin esttica. Obtencin deesfuerzos cortantes,fuerza normal, detorsinymomento flectora lo largo de una pieza, que puede ser desde unavigade unpuenteo los pilaresde unrascacielos. Confirmar que cualquier objeto en reposo, est en equilibrio, por lo tanto la suma vectorial de todas las fuerzas que actan sobre l se compensan y la fuerza neta es cero.

Glosario Vector: es un segmento orientado, o sea, un segmento que adems de longitud (que se denominamdulo), poseedireccinysentido. Los vectores se representan por flechas, y se nombran con una letra con una flecha en su parte superior, o con las letras de su punto inicio y origen(en ese orden),con una flecha en su parte superior. Partcula: se llama partcula a cualquier parte o cuerpo muy pequeo de algo Fuerza: Lafuerzaes la magnitud vectorial por la cual un cuerpo puede deformarse, modificar su velocidad o bien ponerse en movimiento y cambiar su posicin Torque: es el efecto giratorio que produce una fuerza aplicada a un cuerpo provisto de un eje. Cupla: Se denominacuplaa todo par de fuerzas paralelas de sentido contrario Fuerzas Coplanares: se denomina fuerzas coplanares a aquellas que interactan en un mismo plano Gravedad: lagravedades una fuerza fsica que la Tierra ejerce sobre todos los cuerpos hacia su centro. Masa: aquella magnitud de carcter fsico que permite indicar la cantidad de materia contenida en un cuerpo Cuerpo rigido: es aquel cuya forma no vara pese a ser sometido a la accin de fuerzas externas. Tensin: llamada tambin fuerza de traccin. Es aquella realizada por medio de las cuerdas, hilos, cables o cadenas. Estas fuerzas siempre tiran del objeto (imposible sera empujar), y se representan como una flecha apoyada sobre el cuerpo y con la misma direccin de la cuerda.

EXAMEN DE ENTRADA:1. Seis pesos de 30, 20, 40, 25, 10 y 35 lb cuelgan en un mismo plano vertical de un soporte horizontal a distancias de una pared de 2, 3, 5, 7, 10 y 12 ft respectivamente. Qu fuerza nica podra sustituir a los seis pesos?2 1 22 3 2

30 20 40 251035 F = 30 + 20 + 40 + 25 + 10 + 35 F = 160 F = -160 lbM0 = 30(2) + 20(3) + 40(5) + 25(7) + 10(10) + 35(12) = 1015Ra = M0Ra = = 6.34 ft2. Sobre la viga de la figura actan tres fuerzas. En la figura estn indicadas la resultante y dos de las fuerzas. Cul es la tercera? 10TR=50T20T4863

FR = FY-50 = -10 20 + F3F3 = -50 + 30F3 = 20T( )

3. Dadas las dos fuerzas F1 =20i 10j + 60k lb, aplicada en (0,-1,+1) y F2 = 30i+20j-40k, aplicada en (-1,-1,-1), y el par de momento -80lb.ft en el plano xy, hallar el sistema resultante fuerza-par. Las coordenadas estn en pies.F1 =20i 10j + 60k lbF2 = 30i+20j-40k 0 -1+1 -1 -1 -1M0 = -80 lbR = F = F1 + F2R = 50i + 10j + 20k

INFORMACION TEORICA:Las Ramas de la Fsica:Haremos un estudio de la fsica dividindola en lo que se conoci hasta antes de 1900; que la denominaremos Fsica Clsica y los nuevos conceptos que se postulan en la primera dcada del siglo XIX, la teora de la relatividad y la teora cuntica, estas teoras no trajeron abajo el marco de la Fsica Clsica sino que demostraron que esta tiene lmites de validez que ms alla de ellos se necesita conceptos nuevos y distintos acerca de la realidad Fsica.Por ejemplo se encontr que la mecnica clsica no poda describir el movimiento de sistemas en que las velocidades son comparables a la velocidad de la luz o de describir claramente la mecnica de tomos, molculas, y ncleos atmicos, de manera que haremos la siguiente divisin de la fsica para un mejor estudio.

MecnicaFsica clsica de antes de 1900

Calor y termodinmica. Luz ptica Electricidad y Magnetismo Teora de la relatividadFsica Moderna

Teora cuntica

2.2.-MECANICA.- Ciencia del movimiento.Estudia el movimiento ms simple y fcil de observar el movimiento mecnico.MOVIMIENTO MECANICO.- Cambio de posicin de los cuerpos materiales uno con respecto de otro, que sucede en el transcurso del tiempo, as como la variacin de la posicin relativa de las partculas de un mismo cuerpo material, o la deformacin de este ltimo.La Mecnica de divide en: ESTATICA CINEMATICA DINAMICA2.3.-ESTATICA.- Es la rama de la mecnica que estudia el equilibrio de los cuerpos.*Equilibrio.- Se denomina as al estado inercial en que se hallan los cuerpos, puede ser de reposo, si la velocidad es constante y la trayectoria rectilnea.2.3.1.-Particula.- Un cuerpo se considera como partcula cuando las dimensiones de dicho cuerpo son pequeas comparados con las dems dimensiones que intervienen en el problema (tambin se dice punto material). Se le considera como un punto geomtrico en el cual est concentrada toda la masa del cuerpo.As por ejemplo, se considera como partcula o punto material a la tierra en su movimiento alrededor del sol debido a las pequeas dimensiones de la tierra en comparacin con su distancia al sol.2.3.2.-Cuerpo Rgido.- Es el cuerpo en el que las distancias entre dos puntos cualquiera siempre permanece invariable, sea no presenta deformaciones. Es decir es un cuerpo extenso que no puede considerarse como partcula se considera rgido.Ejemplo: Una barra, un pedazo de madera (etc.)2.3.3.-Fuerza.- Lo que sabemos de fuerza es que es una magnitud vectorial; y por lo tanto las operaciones y calculo de sus elementos estn sujetos a las reglas del algebra vectorial.La idea intuitiva de fuerza la tenemos al observar los siguientes hechos:-Cuando tiramos una cuerda atada a un cuerpo, decimos que estamos haciendo fuerza.-Cuando empujamos un automvil para ponerlo en movimiento sentimos la sensacin de haber ejercido una fuerza.-Al activar o comprimir un resorte decimos que estamos empleando una fuerza.Podemos adelantarnos y decir que entendemos la fuerza como la medida de la interaccin entre dos cuerpos.

Medidas de fuerza:Sistema C.G.S: Dina (din)Sistema internacional (M.K.S): NewtonSistema tcnico: Kilogramo-fuerza (Kg-f) ; libra-fuerza (lb-f)1N = 105 din1Kg-f = 9.8 N1 lb-f = 4.45 N = 0.45 Kg-f

2.4.-COMPOSICION DE FUERZAS CONCURRENTES.- La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes es una nica fuerza F que pasa por el punto de concurrencia de las lneas de accin de las fuerzas que componen el sistema.Ejemplo: Determinar el modulo y la direccin de la resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura:

Z F1

Y F2 F3 X

Donde: F1= , F2 = 2 N , F3= Escribimos los vectores FF1 = F1 u1F2= F2 u2 F3= F3 u3u1 = , u2 = - i , u3 = Luego :F1=( ) = F2 = 2 ( - i ) = - 2 i F3 = ( = i + 2 j F = F1 + F2 + F3 = 4 j + 3 kF = = 5 N

2.5.-MOMENTO DE TORQUE O DE UNA FUERZA: Se denomina momento de torque o de una fuerza a la medida de la efectividad para producir rotacin. Como la rotacin tiene un sentido; el momento es una cantidad vectorial.En la figura se el punto O se mantiene fijo y F mantiene en el punto P, la experiencia nos dice que el cuerpo tender a rotar en sentido horario alrededor de un eje perpendicular. al

2.6TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO: El torque de la fuerza F con respecto al punto O es el vector definido T definido por:T = r x FO origen del torque por all pasa el eje de rotacin.r vector posicin del punto de aplicacin de F.Segn la regla del producto vectorial, el vector torque es perpendicular al plano determinado por r y F y apunta en la direccin del tornillo de rosca a derechas, cuando el ngulo de rotacin del anillo se mide de r a F.El modulo de T es:T = rF senSi b= rsen ; recibe el nombre de brazo de palanca, es la distancia perpendicular del punto O a la lnea de accin de la fuerza.T = F bUnidades del torque: S.I o M.K.S: Newton metro (Nm)C.G.S : dina cm (din-cm)Tcnico : Kilogramo-fuerza-metro (Kg-f-m) : libra fuerza-pie (lbf-pie)

2.7.-TORQUE DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE:

De la figura, el torque de F respecto al eje L que designamos con Tl es el vector proyeccin de Tl en direccin de L.TL= proye TTL= T . eDonde e es el vector unitario en la direccin de L.

Ejemplo:Dada : F = 4 i 8 j + 3 k lb.Que pasa por el punto (-3,8,2)pies y cual es el momento de F .

a) con respecto al origen

b) con respecto al punto (2,3,-1) pies? Cul son los componentes de esos vectores?

Solucin:

Mf = ( -3 i + 8 j + 2 k ) x ( 4 i 8 j + 3 k ) =40 i + 17 j 8 k pies-lbb) M Pf = r x F

r = (-3,8,2) (2,3,-1) = -5 i + 5 j + 3 kM Pf = ( -5 i + 5 j + 3 k ) x (4 i 8 j + 3 k ) = 39 i + 27 j + 20 k

2.8.-TORQUE DE FUERZAS CONCURRENTES

TEOREMA DE VARIGNONConsideremos varias fuerzas concurrentes que tienen como punto de aplicacin el punto A, el torque de cada fuerza con respecto a 0 es :T1= r x Fi El momento de la resultante R T = r x RDonde R = F1 + F2 +F3 +r x R = r x F1 + r x F2 + r x F3 +

Entonces:T = T1 + T2 + T3 + .Resultando que se conoce como teorema de varignon cuyo enunciado es :Con respecto al mismo punto, el torque de la fuerza resultante es igual a la suma de los torques de las fuerzas componentes.Ejemplo: Sean las fuerzas:F1= 14 i 2 j kg-fF2= -6 i kg-fF3= -4 i + j -8 k kg-fConcurrentes y aplicadas en el punto (5,-4,6) encontrar:a) El mdulo y la direccin de la resultante.b) El torque con respecto al origen de cada una de las fuerzas dadas.c) El torque de la fuerza resultante.

2.9.-MOMENTO DE UN PAR O CUPLADefinicin.- Un par se componen de dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario.

2.10.-EVALUACION DEL VECTOR MOMENTO M DE UN PAR.-En la siguiente figura se muestra un par F y F cuyo momento se puede evaluar.

Mf = r1 x F + r2 x (-F) = ( r1 + r2 ) x F = R x F Donde Mf es el momento respecto a O (0,0,0), y a que cualquier posicin de O conduce al mismo resultado, este valor es independiente de la posicin de punto O. En otras palabras, el par tiene el mismo momento respecto a cualquier punto en el espacio y por lo tanto se considera como un vector libre, se tendr entonces:M = R x FEs decir, el momento de una par es igual al momento de una de sus dos fuerzas respecto a cualquier punto situado sobre la lnea de accin de la otra fuerza.Ejemplo sumar los pares mostrados:

Donde:F1 = 20lbF2 = 60lb4 j + R1 = 3 iR1 = 3 i - 4 j R2 = 2 j M1 = ( R1 x F1 ) = - 60 j 80 i pies-lbM2 = ( R2 x F2 ) = - 120 k pies-lbM = M1 + M2 = - 60 j 80 i - 120 k pies-lb

2.11.-FUERZAS COPLANARES.- Si las fuerzas XY su resultante F se halla tambin en el mismo plano. En tanto que los torques individuales o el torque resultante (T) respecto al origen de coordenadas (O) apuntan en la direccin del eje z positivo o negativo.En este caso es siempre posible reducir el sistema de fuerzas a una sola fuerza: su resultante F a una distancia r de O de modo q se emplea:r x F = TSe muestra que X Fy Y Fx = TComo Fy , Fx y T son conocidos la ecuacin es la correspondiente a una recta, y por tanto, la resultante no tiene un nico punto de aplicacin en su lugar se tiene una lnea de aplicacin.

2.12.-COMPOSICION DE FUERZAS PARALELAS.-Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u asi:F1 = F1 u , F2 = F2 u , F3 = F3 uSu resultante es:F = u (F1 + F2 + F3)= u Esta fuerza es tambin paralela a las fuerzas dadas.El vector suma de torques respecto al origen de coordenadas es:T = T1 + T2 + T3 = r x F1 + r x F2 + r x F3 = ( r F1 + r F2 + r F3) x u =() x uPara determinar el punto de aplicacin de la fuerza resultante usamos la condicin:rc x F = Trc = distancias del origen de coordenadas al punto de aplicacin de F y se llama centro de las fuerzas paralelas.Tenemos:rc x u ( ) = () x uEsta igualdad se verificara si rc tiene la siguiente expresin:rc =O escrita en componentes rectangulares:Xc = , Yc = , Zc = El punto definido por rc se denominan el centro de fuerzas paralelas.Ejemplo: Hallar la fuerza resultante de las fuerzas en la barra de la figura

FR= 200 j 100 j + 300 j = 400 j lb-fPara determinar el punto de aplicacin usamos Xc = = = 29 pulg

2.13.-CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA.-Sabemos que, un cuerpo esta constituido de un gran numero de partculas, cada de las cuales es atrada por la fuerza de gravedad terrestre. Esta fuerza de gravedad es el peso del cuerpo: W = m.g

Las fuerzas o pasos Wi que actan en las partculas estn dirigidas hacia el centro de la tierra, debiendo converger all sin embargo por estar este punto muy distante permite considerar a las pequeas fuerzas paralelas. La resultante W = Wi de estas fuerzas paralelas es el peso del cuerpo y el centro de dichas fuerzas paralelas es el centro de gravedad o punto de aplicacin de la fuerza peso.De acuerdo con las ecuaciones las cuerdas del centro de gravedad del sistema de partculas que conforman el cuerpo se obtiene con las siguientes ecuaciones:Xc = , Yc = , Zc = El centro de masa (c.m) de un cuerpo es el punto donde se supone se concentra toda la masa.El centro de gravedad coincide con el centro de masa.Si se considera g constante.Para hallar el centro de masa tenemos:Xc = , Yc = , Zc = Si admitimos que la masa es continua en lugar de las partculas discretas que constituyen un cuerpo podemos suponer que los elementos constituyentes son pequeas porciones de material o diferenciales de masa (sm). En tal caso es:m = dmPor tanto las ecuaciones de centro de masa se obtendrn con las siguientes formulas:Xc = , Yc = , Zc = 2.14.-CENTRO DE GRAVEDAD DE ALGUNOS CUERPOS.-1.-LONGITUDES: Se considera cuerpos longitudinales, alambres y barras muy delgadas y homogneas.Usamos para el caso directo:Xc = , Yc = , Zc = Caso continuo:Xc = , Yc = , Zc = a) Para un segmento.- Su centro est en su punto medio.b) Para cuadrados rectngulos, paralelogramos, rombos.- su centro esta en la interseccin de sus diagonales.c) Para reas de circunferencias.

Xc = , Yc = , Xc = Yc = 0 , Xc = , Yc = 2.-AREAS.- Se consideran cuerpos constituidos por planchas o laminas homogeneas. Usamos para el caso directo:Xc = , Yc = , Zc = Caso continuo:Xc = , Yc = , Zc = a) Para rectngulos, paralelogramos, rombos.- Su centro de gravedad esta en el punto de interseccin de sus diagonales.

Xc = , Yc = R , Xc =

Xc = , Yc = , Xc = Tringulo:

Xc = , Yc =

El C.G se encuentra en la inteseccion de sus medias.

3.-VOLUMENES.- Para el cado discreto:

Xc = , Yc = , Zc =

Xc = , Yc = , Zc = Nota: En ciertos casos un cuerpo se considera constituido por cavidades u orificios (componentes sustrados) en cuyo caso en la determinacin del centro de masa, el peso o rea correspondiente se considera como cantidad negativa.Ejemplo:

Xc = , Yc =

2.15.-TEOREMAS DE PAPPUS-GULDIN.-1er TEOREMA .- El rea generada por una curva que gira alrededor de un eje fijo es igual a la longitud de la curva multiplicada por la distancia recorrida del centroide de la curva durante la formacin de la superficie.A = 2 Yc L2do TEOREMA.- El volumen generado por una superficie plana que gira alrededor de un eje fijo es igual a la generatriz multiplicada por la distancia recorrida del centroide de la superficie durante la formacin del volumen: V = A L

Ejemplos:- Hallar el centro de gravedad del alambre mostrado.

Solucin:El conjunto se puede dividir en 4 partes, pero lo aremos en 3.

L1 = 2 X1= -2 Y1= 1L2= 2 X2= -1 Y2= 0L3=4 X3= 0 Y3= 0Xc= = Yc = =

Ejemplo:Determinar el centro de gravedad de un disco mitad de densidad constante.Solucin: Eligiendo como origen de coordenadas el centro del crculo de radio R. Debido a la simetra, la abscisa del centro de gravedad es Xc = 0, la ordenada est dada por:Yc =

dA Elemento de rea mostrado en la figura.El punto (x,y) es el extremo derecho del elemento cuyas dimensiones son :Longitud: 2XAncho: d yPor lo tanto :dA = 2X . dyYc =Para reducir el nmero de variables en el integrado estamos la ecuacin de la circunferenciaX2 + Y2 = R2 o X = Yc = = El rea del semi disco es:A = , finalmente: Yc =

2.16.-EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA.- Una partcula de muestra equilibrio cuando la suma de todas las fuerzas que actan sobre ella es igual a cero.=0Esta condicin escrita en componentes escalares es equivalente a:=0 , =0 , =02.17.-RESOLUCION DE PROBLEMAS DE EQUILIBRIOIndicamos las siguientes etapas para la resolucin de problemas de la esttica.Primera etapa.- Se escoge el objeto de equilibrio, osea, el cuerpo o punto donde se cortan las lneas de accin de todas las fuerzas, es decir, el punto cuyo equilibrio debe considerarse en el problema dado.Segunda etapa.- Al objeto de equilibrio escogido se le aplican las fuerzas dadas.Tercera etapa.- El punto o cuerpo elegido se libera de las ligaduras y las acciones de estas se sustituyen por las reacciones. En otras palabras esquemticamente el diagrama de cuerpo libre (D.C.L)Cuarta etapa.- Se eligen los ejes coordenados y se escriben las ecuaciones de equilibrio.Quinta etapa.- Se resuelven las ecuaciones de equilibrio.Sexta etapa.- Se comprueban los resultados.Cuando se trabaja con barras debemos tener en cuenta si esta sometida a traccin o a compresin, es frecuente que al resolver los problemas no sea fcil determinar previamente los esfuerzos en las barras. En estos casos conviene suponer que las barras estn sometidas a traccin y que sus reacciones van desde los nudos hacia ellas. Y para la solucin con signo menos se tratara no de barras sometidas a traccin sino a compresin.Cuando el sistema de fuerzas en equilibrio consta de 3 fuerzas solamente, resulta muy prctico la aplicacin de la ley de los senos para determinar el modulo de los vectores fuerza en la forma siguiente:Tambin se conoce como el teorema de LAMY.

2.18.-TIPOS DE APOYO.-2.18.1.-APOYO MOVIL.- Este apoyo permite el giro alrededor del eje de articulacin y el desplazamiento lineal paralelo al plano de apoyo. Aqu permanece incognito el valor numrico de la reaccin de apoyo Ry.

2.18.2.-APOYO FIJO.-Este apoyo permite el giro alrededor del eje de articulacin, pero no los desplazamientos lineales. En este caso solo se conoce el punto de aplicacin de la reaccin de apoyo, que es el valor de dicha reaccin se desconocen. Por lo general, en vez de determinar el valor y direccin de la reaccin total (Rt), se hallan sus componentes Rx y Ry.

2.18.3.-APOYO RIGIDO.-Este apoyo no permite los desplazamientos lineales ni el giro. En este caso se desconocen no solo el valor y la direccin de la reaccin, sino tambin sus puntos de aplicacin. Por eso al empotramiento se sustituye por la fuerza de reaccin RA y por un par de fuerzas de momento MA. Para determinar la reaccin de apoyo, hay que hallar tres incgnitas: las componentes Rx y Ry de dicha reaccin segn los ejes de coordenadas y el momento de reaccin MA.

2.19.-EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO.-Si un sistema de fuerzas acta sobre un cuerpo rgido es necesario considerar el equilibrio de traslacin y el de rotacin.Por tanto son necesarias las dos condiciones siguientes:I) La suma de todas las fuerzas es igual a cero (equilibrio rotacional)II) La suma de todos los toruqes o momentos es igual a cero (equilibrio rotacional). =0Cuando las fuerzas son coplanarias las ecuaciones de equilibrio son:=0 , =0 , =0Cuando apliquemos otras relaciones es til seguir la siguiente conveccin:El momento de fuerza es positivo si el efecto de la fuerza es producir una rotacin al rededor de O contraria al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando la rotacin se produce en el mismo sentido q las agujas de un reloj.

Veamos el siguiente caso: Mf = F . a Mf = F . a

EXAMEN FINAL:La cercha Howe de la figura soporta las tres cargas indicadas. Calcular por el mtodo de los nudos las fuerzas en AB, BD, CD y EF.

Reacciones en los soportesFY = 0 AY + HY = 10+20+10 AY + HY = 40 KNHA = 0 (10)(4.5) + (20)(9) + (10)(13.5) = HY(18)HY = 20KN AY = 20KNNudo AFY = 0 20=(6/7.5)FAB FAB = 25KNFX = 0 FAC = (4.5/7.5)FAB FAC = 15KNEFFX = 0 FBD = (4.5/7.5)FAB FBD = 15KNFY = 0 10 + FBC = (6/7.5)FAB FBC = 10KNNudo CFY = 0 FBC = (6/7.5)FCD FCD = 12.5 KNFX = 0 FCE = FAC + (4.5/7.5)FCD FCE = 22.5 KNNudo EFX = 0FCE = FEFFEF = 22.5 KN2.- Hallar por el

mtodo de los nudos las fuerzas en todos los miembros de la cercha en voladizo de la figura. Las cargas estn en Kips. (Empezar a resolver por la articulacin G.)Reacciones en los soportesFY = 0 AY + BY = 7KipsFX = 0 AX = BXMB = 0 (AX)8 = 2(8) + 3(16) + 2(24)AX = 14Nudo GFY = 0 2 = (2.67/8.43)FEG FEG = 6.31Kip = 6310 lbFX = 0 FFG = (8/8.43)FEG FFG = 5.99 Kip = 5990 lbNudo FFX = 0 FFG = FEF FDF = 5.99Kip = 5990 lbFY = 0 FEF = 3Kip = 3000 lbNudo AFY = 0 AY = (2.67/8.43)FAC AY = 4.67Kip BY =2.33KipFX = AX = FAC(8/8.43) FAC = 14.75Kip = 14750 lbNudo BFY = 0 BY = (5.33/9.61)FBC FBC = 4.21Kip = 4210 lbFX = 0 BX = FBD + FBC(8/9.61) FBD = 10.5Kip = 10500lbNudo DFX = 0 FBD = FDF + (8/8.43)FDE FDE = 4.75 Kip = 4750 lbFY = 0 2+(2.67/8)FDE = FDC FDC = 3.58 Kip = 3580 lb3.- En la cercha de la figura, hallar por el mtodo de los nudos las fuerzas en los miembros AC y BD.

MB = 0 (AX)(4) = 20(5COS45)AX = 17.68FX = 0 AX = BX BX = 17.68FY = 0 BY + 20 = AYNudo AFX = 0FY = 0AX = FACsen30AY = FACcos30FAC = 17.68 x 2AY = 30.62 KNFAC = 35.36 KNDonde: BY = 10.62 KNNudo BFX = 0BX + FBCsen20 = FBDsen45 (I)FY = 0BY + FBDcos45 = FBCCOS20 (II)(II) + (I)BY + BX = FBC(cos20 sen20)FBC = = 47.35 KNReemplazando en 1BX + FBCsen20 = FBDsen45FBD = = 47.91KN

4.-Hallar las fuerzas en todos los miembros de la cercha de la figura.B8D

830 CA

Reacciones en los soportesFY = 0 AY + DY = 10MA = 0 (10)(6) = DY(12)DY = 5K AY = 5KNudo DFY = 0 DY = FCDsen30 FCD = 10KFX = 0 FBD = FCDcos30 FBD = 8.66KNudo BFY = 0 FABsen60 =FBCsen60FAB =FBCFX = 0 FABcos60 + FBCcos60 = FBDFAB = 8.66K FBC = 8.66KNudo AFX = 0 FABcos60 = FACcos30 FAC = 4.999KFY = 0 AY = FABsen60 FAcsen30Ay = 5k5.- La cercha Fink de la figura soporta las cargas indicadas. Calcular por el mtodo de los nudos las fuerzas en todos los miembros.

Reacciones en los soportesFX = 0 AX = 0.5 + 1 + 0.5 = 2FY = 0 AY + GY = 7 + 2AY + GY = 10.46KMA = 0 GY (24) = 2(18) + 3(12) + (0.5)(4) + (0.5(12)+ (1)(2) + ()(6) + 2(6)GY = 4.655 AY = 5.809Nudo AFY = 0 AY = 0.5 + FACsen30 FAC = 9.886KFX = 0 0.5 + FAB = AX + FACcos30 FAB = 10.061K

Nudo CFX = 0 FAC = FCD + 2cos60 FCD = 8.886KFY = 0 2 + 2sen60 = FBC FBC = 3.732KNudo BFY = 0 FBCsen60 = FBDsen60 FBC = FBD FBD = 3.732KFX = 0 FBCcos60 + FBD cos60 + FBE = FAB FBE = 6.329KNudo GFY = 0 GY = FFGsen30 ffg = 9.31kFX = 0 FEG = FFGcos30 FEG = 8.063KNudo FFX = 0 FEF = 2cos30 FEF = 1.732KFY = 0 FFG = FDF + 2sen30 FDF = 8.31K

Sumario:Como podemos haber visto a lo largo del tema, la esttica, es una parte de la fsica que la podemos ver a lo largo de nuestra vida pues es en este tema cosa tan simples como el equilibrio entre cuerpos y como es que interactan fuerzas a travs de l, ya sea en un plano o en el espacio adems vimos dos grande leyes descubiertas por newton, como es la ley la primera que la de la inercia y la segunda que de accin y reaccin

BIBLIOGRAFIA http://136.145.236.36/isdweb/Curso-fisica/pres%20%203011%20-5.pdf

https://sites.google.com/site/37cinematica/los-vectores-y-el-vector-desplazamiento/glosario-los-vectores-y-el-vector-desplazamiento

http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/vectores1.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Vectores_en_el_plano/Vectores_indice.htm}

CAPITULO IIICINEMATICA

1.- MOTIVACIONCundo nos movemos ms deprisa alrededor del sol, de da o de noche?En una ocasin, los peridicos parisinos publicaron un anuncio segn el cual, por 25 cntimos, se ofreca dar a conocer un procedimiento de viajar barato y sin el menor cansancio.

En el hemisferio de la Tierra en que es de noche, la gente se mueve ms deprisa alrededor del Sol que en el que es de da.

No faltaron crdulos que enviaron sus 25 cntimos. Cada uno de ellos recibi por correo una carta en la que se deca:Ciudadano, qudese usted en su casa tranquilamente y recuerde que la Tierra da vueltas. Encontrndose en el paralelo de Pars, es decir, en el 49, usted recorre cada da 25 000 km. Si gusta disfrutar vistas pintorescas, abra los visillos de su ventana y contemple el cuadro conmovedor del firmamento.El autor del anuncio fue juzgado por estafa, y cuando le leyeron la sentencia y pag la multa correspondiente, dicen que adopt una postura dramtica y repiti solemnemente la clebre frase de Galileo:- Eppur, si muove!

En cierto sentido, el acusado llevaba razn, ya que cada habitante de la esfera terrestre, no slo viaja al girar sta alrededor de su eje, sino tambin, y con mayor, velocidad, al realizar la Tierra su movimiento de traslacin alrededor del Sol. Nuestro planeta, con todos sus habitantes, recorre en el espacio 30 km por segundo, adems de girar alrededor de su eje.

A propsito de esto se puede hacer una pregunta interesante: cundo nos movemos ms deprisa alrededor del Sol, de da o de noche?

Esta pregunta puede parecer extraa, puesto que, en todo momento, mientras en un lado de la Tierra es de da, en el otro es de noche. Entonces, qu sentido puede tener dicha pregunta? Al parecer, ninguno.Sin embargo, no es as. El quid est en que lo que se pregunta no es cundo la Tierra en su conjunto se traslada ms deprisa, sino cundo nos trasladamos ms deprisa entre las estrellas nosotros, es decir, sus habitantes. As formulada no se trata de una pregunta sin sentido, porque dentro del sistema solar nosotros tenemos dos movimientos: uno de traslacin alrededor del Sol yotro, simultneo, de rotacin alrededor del eje de la Tierra. Estos dos movimientos se combinan, pero cuando nos encontramos en el hemisferio en que es de da, el resultado de esta combinacin es diferente del que se obtiene cuando estamos en el hemisferio en que es de noche. Vase la anterior y se comprender, que a medianoche, la velocidad de rotacinse sumaa la de traslacin de la Tierra, mientras que a medioda, al revs,se resta de ella. Es decir,a medianoche nos movemos, en el sistema solar,ms deprisa que a medioda.Como quiera que los puntos situados en el ecuador recorren cerca de medio kilmetro por segundo, la diferencia entre las velocidades correspondientes a la medianoche y al medioda, en la zona ecuatorial, llega a ser de todo un kilmetro por segundo.La tecnologa hoy en da nos ofrece muchas formas de registrar el movimiento efectuado por un cuerpo. As, para medir la velocidad se dispone del radar de trfico cuyo funcionamiento se basa en el efecto Doppler. El taqumetro es un indicador de la velocidad de un vehculo basado en la frecuencia de rotacin de las ruedas. Los caminantes disponen de podmetros que detectan las vibraciones caractersticas del paso y, suponiendo una distancia media caracterstica para cada paso, permiten calcular la distancia recorrida. El vdeo, unido al anlisis informtico de las imgenes, permite igualmente determinar la posicin y la velocidad de los vehculos.

1.2.- SABERES PREVIOS

Qu entiendes por estatica?

Cundo hay equilibrio en los cuerpos?

De que nos sirve la estatica en nuestra vida diaria?

Qu es una cupla?

tienes idea sobre la regla de la mano derecha?

1.3 MAPAS CONCEPTUAL VELOCIDADMEDIA INSTANTANEACINEMATICA MAGNITUDESACELERACION

Posee una serie de Parte de la fsica que estudia sin preocuparse de las SISTEMA DE REFERENCIA (SR)VECTOR POSICION CAUSAS QUE LO PRODUCENSR INERCIAL POSICION ESPACIO RECORRIDO DESPLAZAMIENTO MOVIL TRAYECTORIAde unLanzar una piedra como donde se estudian los que describe una durante su experimenta como Puede ser Posee una serietales comotantoSR no INERCIAL PARABOLICASELIPTICASCIRCULARESMRUV,MCU o MCUVParado o MRUCURVILINEARECTILINEA Planetas alrededor del solpor ej.por ej.Puede ser Puede ser Aquellos que se mueven con si estel cual posee un con respecto a un Puede ser Es el cambio de delMOVIMIENTOELEMENTOSPuede ser MEDIA INSTANTANEACOMPONENTES INTRINSECAS EXTRINSECAS A. TANGENCIALA. RADIAL

1.4.- REFORZAMIENTO Y EJERCITACION:

Problema n 1) A cuntos m/s equivale la velocidad de un mvil que se desplaza a 72 km/h?DesarrolloDatos:v = 72 km/h

Problema n 2) Un mvil viaja en lnea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:a) cul es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?b) cul es la velocidad media del viaje completo?DesarrolloDatos:v1 = 1.200 cm/st1 = 9 sv2 = 480 cm/st2 = 7 sa) El desplazamiento es:x = v.tPara cada lapso de tiempo:x1 = (1200 cm/s).9 sx1 = 10800 cmx2 = (480 cm/s).7 sx2 = 3360 cmEl desplazamiento total es:Xt = X1 + x2Xt = 10800 cm + 3360 cmXt = 14160 cm = 141,6 mb) Como el tiempo total es:tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 sCon el desplazamiento total recien calculado aplicamos:v = xt/ttv = 141,6 m/16 s v = 8,85 m/s

Problema n 3) Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido.Desarrolloa) Si son de distinto sentido:Xt = X1 - x2Xt = 10800 cm - 3360 cmXt = 7440 cm = 74,4 mb)v = xt/ttv = 74,4 m/16 s v = 4,65 m/s

Problema n 4) En el grfico, se representa un movimiento rectilneo uniforme, averige grfica y analticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.

DesarrolloDatos:v = 4 m/st = 4 sv = x/tx = v.tx = 4 m/s.4 s x = 16 m

Problema n 5) Un mvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm yx2 = 25,5 cm. Determinar:a) Velocidad del mvil.b) Su posicin en t3 = 1 s.c) Las ecuaciones de movimiento.d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s.e) Los grficos x = f(t) y v = f(t) del mvil.DesarrolloDatos:t1 = 0 sx1 = 9,5 cmt2 = 4 sx2 = 25,5 cma) Como:v = x/tv = (x2 - x1)/(t2 - t1)v = (25,5 cm - 9,5 cm)/(4 s - 0 s)v = 16 cm/4 sv = 4 cm/sb) Para t3 = 1 s:v = x/tx = v.tx = (4 cm/s).1 sx = 4 cmSumado a la posicin inicial:x3 = x1 + xx3 = 9,5 cm + 4 cmx3 = 13,5 cmc)x = 4 (cm/s).t + 9,5 cmd) Con la ecuacin anterior para t4 = 2,5 s:x4 = (4 cm/s).t4 + 9,5 cmx4 = (4 cm/s).2,5 s + 9,5 cmx4 = 19,5 cm

Problema n 6) Una partcula se mueve en la direccin del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posicin es x0 = -4 m, trazar las grficas x = f(t) y v = f(t).DesarrolloDatos:v = 2 m/sx0 = -4 m

Pregunta n 7) Cul de los dos movimientos representados tiene mayor velocidad?, por qu?

El movimiento 1 es el ms rpido (teniendo en cuenta que se comparan en la misma grfica).Porque v = x/tPara el caso 1: v1 = x1/t1Para el caso 2: v2 = x2/t2Para compara hacemos t = t1 = t2.Entonces para un mismo lapso de tiempo notamos que x1 > x2.

Pregunta n 8) Es cierto que si en un movimiento rectilneo uniforme la velocidad es el doble que en otro, la grfica x = f(t), trazada en un mismo par de ejes, tiene el doble de pendiente que en el primer caso?, por qu?Si, ya que: v = x/tSi v1 = x1/t1.Si v2 = x2/t2.Por ejemplo para v1 sea el doble que v2 significa que:v1 = 2.v2Para compara hacemos t1 = t2.Reemplazamos:v1 = x1/t1 (pendiente del movimiento 1).v2 = x2/t1 (pendiente del movimiento 2).Aplicamos la igualdad:v1 = 2.v2x1/t1 = 2.x2/t1x1 = 2.x2Nos dice que recorre el doble de espacio en el mismo lapso de tiempo.

Pregunta n 9) Qu relacin existe entre pendiente y tangente trigonomtrica?La pendiente es la razn entre el desplazamiento en el eje "x" y el perodo de tiempo en el eje "t" entre dos punto de la grfica de velocidad.Esta grfica tiene una inclinacin determinada por un ngulo (), la tangente de es la velocidad.tg = x/t = v.

1.5.- ORIENTACIONES DIDACTICASMuchas veces nuestro trabajo, estudio o quehaceres cotidianos nos obliga a viajar a distintos lugares. En estos casos debemos conocer la ruta o trayectoria que debemos seguir, en caso contrario, averiguamos la direccin, luego consideramos el tiempo que tardaramos en llegar, si estamos muy apurados tomamos un medio de transporte para viajar ms rpido. En estas actividades cotidianas se distingue que tenemos nocin de algunos conceptos relacionados con el movimiento tales como trayectoria, direccin, tiempo, rapidez y otros, como el El guepardo, el animal ms rpido en campo desplazamiento, velocidad y aceleracin. Todos estos conceptos abierto sobre la faz de la Tierra, en tramos sirven para describir adecuadamente los movimientos mecnicos cortos es capaz de alcanzar hasta 110 km/h, lo de muchos cuerpos, no solo de los medios de transporte como los que equivale a 30 m/s (aprox.).automviles, aviones y barcos, sino tambin de la Luna alrededor de la Tierra, de la Tierra alrededor del Sol, el movimiento de los cometas e inclusive en ciertos casos, el movimiento de partculas como las molculas, los iones, los electrones y otras partculas subatmicas. La descripcin de los movimientos demanda clasificarlos segn su trayectoria, velocidad o aceleracin y en este proceso se establecen leyes y relaciones matemticas (geomtricas y algebraicas) que permiten saber cmo transcurrir un determinado movimiento. Por ejemplo, al conocer las trayectorias del Sol, la Tierra y la Luna es posible predecir cada cunto tiempo ocurrir un eclipse solar o lunar. Estos conceptos, que sirven para describir el movimiento mecnico y las leyes que los rigen, forman parte de la Cinemtica.

Con la Cinemtica es posible describir matemticamente casi todos los movimientos mecnicos sin recurrir a las causas que determinan cada tipo concreto de movimiento. En este sentido, proporciona una construccin terica simplemente descriptiva, por ello tambin se le denomina Geometra del Movimiento.La Cinemtica Clsica, que es lo que vamos a discutir, se aplica en los casos donde la rapidez de los cuerpos es pequea con respecto a la de la luz, que es del orden de 300 000 km/s y en el caso de velocidades ms cercanas a la rapidez de la luz, hay que recurrir a la Cinemtica Relativista. En este texto nos ocuparemos solo de la Cinemtica Clsica. Como veremos, los movimientos mecnicos son muy variados, pueden ser simples o complejos. En este captulo comenzaremos con el estudio de algunas magnitudes que nos permitan describir el movimiento mecnico de los cuerpos, tales como la posicin, la velocidad y la aceleracin. Luego aplicaremos estos conceptos para examinar los movimientos ms simples como el movimiento rectilneo uniforme y uniformemente variado.

1.6..- OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Establecer lo que viene a ser el movimiento mecnico y su relatividad.Determinar la descripcin del movimiento de un cuerpo a travs de una funcin que describa la variacin de su posicin en el tiempo.Describir matemticamente el movimiento mecnico de los objetos sin considerar las causas que lo originan o modifican.Establecer los elementos del movimiento mecnico y su relacin en diversas aplicaciones.Conocer las magnitudes desplazamiento, velocidad y aceleracin.

Expectativas De LogroAplicar las leyes del movimientoRepresentar e interpretar grficamente los distintos movimientos.Resolver analticamente y grficamente problemas de aplicacin.Manejar correctamente las unidades de expresin de resultados y variables.

1.7.- GLOSARIO

Aceleracin instantnea. Es el valor que posee el vector aceleracin de un mvil en un determinado instante de tiempo.Aceleracin media. Es la variacin de velocidad que experimenta un mvil durante un determinado intervalo de tiempo.Desplazamiento. Magnitud vectorial que mide el cambio de posicin de un cuerpo durante su movimiento.Distancia recorrida. Magnitud escalar que corresponde a la medida de la longitud de la trayectoria.Itinerario. Es el conjunto de posiciones de un cuerpo en movimiento y los respectivos instantes de tiempo.Magnitud escalar. Magnitud fsica que queda completamente definida si se conoce su mdulo,Magnitud vectorial. Magnitud fsica que puede representarse mediante una flecha y quedar completamente definida si se conoce su mdulo, direccin y sentido.Movimiento uniformemente acelerado. Tipo de movimiento que sigue un cuerpo que se mueve en lnea recta y con aceleracin constante.Movimiento uniforme rectilneo. Tipo de movimiento que sigue un cuerpo que se mueve en lnea recta y con velocidad constante.Posicin. Corresponde a la coordenada que ocupa un cuerpo respecto a un sistema de referencia.Rapidez instantnea. Es el valor que posee la rapidez de un mvil en un determinado instante de tiempo.Rapidez media. Es una magnitud escalar que corresponde a la razn entre la distancia que recorre un mvil y el intervalo de tiempo que emplea en recorrerla.Sistema de referencia. Es cualquier sistema o cuerpo que puede ser elegido en forma arbitraria para poder medir la posicin de un objeto.Trayectoria. Es el camino o ruta que describe un cuerpo durante su movimiento.Velocidad instantnea. Es el valor que posee el vector velocidad de un mvil en un determinado instante de tiempo.Velocidad media. Es una magnitud vectorial que corresponde a la razn entre el desplazamiento de un mvil y el intervalo de tiempo que emplea en realizarlo.

1.8.- PRUEBA DE ENTRADA1.- La grfica v-t de un cierto mvil es la que figura al lado. a) Indica el tipo de movimiento en cada tramo; b) Calcula la aceleracin en los tramos A y D; c) Calcula el espacio total recorrido.

2.- Un satlite artificial tarda 90 minutos en dar una vuelta a la Tierra. Calcula la velocidad angular del satlite. Cuntas vueltas dar en 24 horas?

3.- Indica si es verdadero o falso: Cuando la velocidad de un cuerpo vara, decimos que el movimiento es acelerado. ( ) Cuando el movimiento es una lnea curva, la trayectoria siempre es mayor que el desplazamiento. ( ) Un cuerpo con aceleracin cero puede tener velocidad distinta de cero. ( ) Dos cuerpos pueden tener la misma velocidad angular pero diferente velocidad lineal. ( )

4.- Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra de 0,5 kg de masa. La piedra alcanza 25 metros de altura. Calcula: a) el tiempo que tarda en llegar a esa altura; b) la velocidad inicial con la que hay que lanzar la piedra.

5.- Es lo mismo velocidad media que velocidad instantnea?

6.- Un coche se mueve con velocidad constante de 72 km/h durante 10 segundos. Se detiene durante otros 10 segundos; finalmente vuelve a mantener una velocidad constante de 36 Km/h durante 5 segundos.a) Calcula el espacio total que recorre;b) realiza la grfica espacio-tiempo.

7.- Un cohete parte del reposo con aceleracin constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleracin. b) Qu espacio recorri en esos 30 s?

8.- Realiza la grfica velocidad-tiempo correspondiente a un cuerpo que es lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v0 y vuelve a caer al cabo de un cierto tiempo t.

9.- En qu caso la velocidad y la aceleracin tienen el mismo sentido? Y sentido contrario?

10.- Un ciclista que circula a una velocidad de 18 km/h, frena completamente su bicicleta en 3 segundos. Calcula: a) La aceleracin de frenado.b) El espacio que recorre hasta que se detiene completamente.

2. CUERPO:2.1.- INFORMACIN TERICA

Es la parte de la mecnica que se encarga de estudiar nuca y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originen.

MOVIMIENTO RECTILNEO DE PARTCULAS

El movimiento de un cuerpo es rectilneo cuando su trayectoria es una recta.Velocidad Media (Vm)Supongamos que en el tiempo t, el objeto se encuentra en la posicin A, mas tarde en el tiempo t' se encuentra en el punto B.

Definimos la velocidad media as:

X= X'-X desplazamiento de la partcula t= t'-t tiempo transcurrido

Por consiguiente la velocidad media durante un cierto intervalo de tiempo, es igual al desplazamiento dividido en la unidad de tiempo.Velocidad Instantnea Para determinar la velocidad instantnea en un punto tal como A, debemos hacer el intervalo de ese tiempo t, tan pequeo como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran cambios en el estado de movimiento durante ese pequeo intervalo.En el lenguaje matemtico este equivalente a calcular el valor lmite de la velocidad media as:

Pero esta es la definicin de la derivada de X, con respecto al tiempo; esto es:

Aceleracin Media (am)En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Si la velocidad permanece constante, se dice que el movimiento es uniforme. Supongamos que en el tiempo t, el objeto se encuentra en A, con una velocidad V y en el tiempo t' en B, con una velocidad V', la aceleracin media entre A y B est definida por:

Donde:V =V'-V cambio en la velocidadt = t'-t tiempo transcurridoAceleracin instantnea (a):Es el valor lmite de la aceleracin media cuando el intervalo t, es muy pequeo esto es:

Luego:

Tambin:

Condiciones iniciales:

De la relacin:

Con: Obtenemos:

De la relacin:

Despejamos: Y reemplazamos en:

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

o grficamente, en la representacin deven funcin det.Un movimiento rectilneo uniforme es aqul cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleracin es cero. La posicinxdel mvil en el instantetlo podemos calcular integrando

Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Para este caso, la velocidad del vector se mueve hacia la direccin fornica del lado obstante por lo tanto esto puede decirse que la velocidad se vuelve en cero por lo que la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda interaccin, o al movimiento de un objeto que se desliza sin friccin. Siendo la velocidad v constante, la posicin variar linealmente respecto del tiempo, segn la ecuacin:

donde es la posicin inicial del mvil respecto al centro de coordenadas, es decir para .Si la ecuacin anterior corresponde a una recta que pasa por el origen, en una representacin grfica de la funcin , tal como la mostrada en la figura 1.

MOVIEMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADOUn movimiento uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin podemos obtener el cambio de velocidadv-v0entre los instantest0yt, mediante integracin, o grficamente.

Dada la velocidad en funcin del tiempo, obtenemos el desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, quedando las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, las siguientes.

En ste movimiento la aceleracin es constante, por lo que la velocidad de mvil vara linealmente y la posicin cuadrticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes:

Donde es la posicin inicial del mvil, es la posicin final y su velocidad inicial, aquella que tiene para .Obsrvese que si la aceleracin fuese nula, las ecuaciones anteriores corresponderan a las de un movimiento rectilneo uniforme, es decir, con velocidad constante.Dos casos especficos de MRUA son la cada libre y el tiro vertical. La cada libre es el movimiento de un objeto que cae en direccin al centro de la Tierra con una aceleracin equivalente a la aceleracin de la gravedad (que en el caso del planeta Tierra al nivel del mar es de aproximadamente 9,8 m/s2). El tiro vertical, en cambio, corresponde al de un objeto arrojado en la direccin opuesta al centro de la tierra, ganando altura. En este caso la aceleracin de la gravedad, provoca que el objeto vaya perdiendo velocidad, en lugar de ganarla, hasta llegar al estado de reposo; seguidamente, y a partir de all, comienza un movimiento de cada libre con velocidad inicial nula.

MOVIMIENTO CURVILINEOVelocidad Vectorial:Son el punto P que se desplaza en una trayectoria curvilnea cualquiera (figura mostrada). Una vez escogido un sistema de coordenadas cartesianas, introducimos el vector que determina la posicin del punto P (en un instante dado, despus de un tiempo t, el punto se encuentra en Q; que se caracteriza por un vector:

Definimos estamos como velocidad vectorial media del punto P la razn:

Si t, tiende a cero (t0) se define la velocidad instantnea como:

Es equivalente a:

El punto Q tiende hacia el punto P, la cuerda r tiende a la tangente a la curva T en P y por tanto el vector tiene la direccin de la tangente en el punto P

Aceleracin Vectorial:La velocidad vectorial es constante cuando su mdulo y direccin son constantesSe tendr casos donde solamente el mdulo de la velocidad vectorial vara como en el movimiento rectilneo (la direccin de la velocidad es el de la recta).En otros casos puede variar solamente la direccin quedando constante el mdulo (ejemplo: movimiento circular uniforme).En el caso general la velocidad vara en direccin y en magnitud de punto en punto.

Si transferimos los vectores velocidad de puntos sucesivos hacia un origen comn, vemos que podemos calcular una aceleracin vectorial media usando una definicin anloga o la velocidad media:

Si t0 se obtiene la aceleracin instantnea

El vector , tiene en general la direccin de la velocidad, tiene la direccin del cambio instantneo en la velocidad, como la velocidad cambia en la direccin en la cual la trayectoria se curva, la aceleracin est siempre apuntando hacia la curva y en general no es tangente en perpendicular a la trayectoria.

Movimiento de una partcula en un planoComponente tangencial a la normal:Sea una partcula que se mueve a lo largo de una curva contenida en el plano de la figura. Sea P la posicin de la partcula en un instante dado uniramos a P en vector unitario tangente a la trayectoria de la partcula y apuntando hacia la direccin del movimiento, sea el vector unitario correspondiente a la posicin P de la partcula un instante despus. Trazando ambos vectores desde el mismo origen O' definiremos el vector.

Como y son de longitud unitaria sus puntos se encuentran sobre el crculo de radio 1.

Representando por AQ el ngulo entre y encontramos que la magnitud de es:

Consideremos ahora el vector y notamos que conforme Q tiende a cero, este vector se vuelva tangente al crculo unitario de la figura anterior, es decir, perpendicular a y que su magnitud se aproxima a:

Entonces el vector obtenido en el lmite es un vector unitario a lo largo de la normal a la trayectoria de la partcula en la direccin hacia la cual cambia. Representado este vector por escribimos:

Con la velocidad de la partcula es tangente a la trayectoria podemos expresarlo as:

La ecuacin ser

Pero:

Con:

Y con:

Tenemos:

Luego:

Las componentes escalares de la aceleracin son:

MOVIMIENTO CIRCULAR

Este movimiento es un caso especial en la cual la trayectoria es un crculo.

Como la velocidad es tangente al crculo, es perpendicular al radioR = Ca.Tambin tenemos:S = RQLa velocidad en mdulo es:

V = = (3.20)

A la cantidad W = (3.21)Se denomina velocidad angular y es igual a la variacin del ngulo en la unidad de tiempo, se expresa en radianes por segundo, rads-1 o simplemente s-1 luego:V = WRLo podemos expresar como una cantidad vectorial y con direccin perpendicular al plano del movimiento en el sentido avaned de un tornillo de rosca derecha girado en el mismo sentido es que se mueve la partcula y obtenemos la figura.

= W

= = V = RWperoR = rSenQV = WrSen Q

Luego

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Se caracteriza por tener una velocidad angular constante por lo que la aceleracin angular es nula. La velocidad lineal de la partcula no vara en mdulo, pero s en direccin. La aceleracin tangencial es nula; pero existe aceleracin centrpeta (la aceleracin normal), que es causante del cambio de direccin.Matemticamente, la velocidad angular se expresa como:

donde es la velocidad angular (constante), es la variacin del ngulo barrido por la partcula y es la variacin del tiempo.El ngulo recorrido en un intervalo de tiempo es:

En este movimiento tenemos W = constante, osea la velocidad angular es constante. En este caso el movimiento es peridico y la partcula pasa por cada punto del crculo a intervalos iguales de tiempo.Periodo (p), es el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolucin.Frecuencia (f), es el nmero de revoluciones por unidad de tiempo.De ello decimos que si en el tiempo t, la partcula realiza m, revolucione el perodo es:

P = Y la frecuencia ser el nmero de revoluciones en a unidad de tiempo:

f = Luego:

La frecuencia con el perodo se relaciona a si: f = Unidades:Periodo de segundos (s)Frecuencia en (segundos) -1 o s-1, unidad denominada Hertz.Tambin en lugar de Hertz se usa las revoluciones por segundo (r.p.s.) o (r.p.m.) revoluciones por minuto. Los conceptos de periodo y frecuencia son aplicables a todos los procesos peridicos que ocurre en forma cclico, esto es aquellos procesos que se repiten despus de completar un ciclo. Por ejemplo el movimiento de la tierra alrededor dl sol no es circular al uniforme, pero es peridico. Es un movimiento uniforme cada vez que la tierra completa una rbita, el riodo es el tiempo recorrido para completar un ciclo, y la frecuencia es el nmero de ciclos por segundo, correspondiendo un Hert a un ciclo por segundo.De la relacin:

W = Tenemos:

dQ =WotCon ello:Q = Q0 + W (t t0)Como condiciones iniciales usualmente aceptamos:Q0 = 0 y t0 = 0Donde:

Q = WtoW =Para una revolucin completa, t = p y Q = 2 m resultado:

W = = 2n

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

En este movimiento, la velocidad angular vara linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el mvil a una aceleracin angular constante. Las ecuaciones de movimiento son anlogas a las del rectilneo uniformemente acelerado, pero usando ngulos en vez de distancias:

siendo la aceleracin angular constante.Cuando la velocidad angular es una partcula cambia con el tiempo, la aceleracin angular est definida por el vector:

Pero como el movimiento circular es un plano, la direccin de W permanece lavariable y la relacin tambin se cumple pero las magnitudes de las cantidades invalidadas, con ello:

(2.27)

Pero en este movimiento la aceleracin es constante y tenemos:

dw = dt = dt

O = W = W0 + (t t0)Donde:W0 es el valor de W para el tiempo t0 con ayuda de W = dQ = Wo + (t-t0)Tenemos:

dQ = W0 + (t-t0) dtDe donde:

Q = Q0 + (W) (t-t0) + (t-t0)2

Las siguientes relaciones son importantes para el movimiento circular, sabemos que:

at=

Tambin: Y que:

Debiendo hacer notar que el mdulo de la aceleracin tangencial mide la rapidez con la cual cambia el valor de la velocidad instantnea en general para el movimiento curvilneo:

at =y el modulo de la aceleracin normal mide la rapidez con lo cambia de direccin el vector para el movimiento curvilneo.

an=

VELOCIDAD Y ACELERACIN EN COORDENADAS POLARES

Existen muchos casos en los que el movimiento curvilneo de cada partcula se determina mediante las coordenadas polares.r y QSi es el punto p consideramos dos vectores unitarios.

= Cos+ Sen

= - iSenQ + j CosQ

= -SenQ + CosQj =

= -CosQ + CosQ = -()

= - =Si tenemos:

(3.29)Con la simbologa:

Q = ,r =

(3.30)

La aceleracin:

(3.31)

Con ayuda de:

= -r(Q)2 + er + rQeQ + eQQr + rQeQ + rer

= -r(Q)2er + rQeQ + 2rQeQ + rer= (r-rQ2 )er +2rQ) eQ (3.32)

MOVIMIENTO DE PROYECTILESEl movimiento parablico se puede analizar como la composicin de dos movimientos rectilneos distintos: uno horizontal (segn el eje x) de velocidad constante y otro vertical (segn eje y) uniformemente acelerado, con la aceleracin gravitatoria; la composicin de ambos da como resultado una trayectoria parablica.Claramente, la componente horizontal de la velocidad permanece invariable, pero la componente vertical y el ngulo cambian en el transcurso del movimiento.En la figura 4 se observa que el vector velocidad inicial forma un ngulo inicial respecto al eje x; y, como se dijo, para el anlisis se descompone en los dos tipos de movimiento mencionados; bajo este anlisis, las componentes segn x e y de la velocidad inicial sern:

El desplazamiento horizontal est dado por la ley del movimiento uniforme, por tanto sus ecuaciones sern (si se considera ):

En tanto que el movimiento segn el eje ser rectilneo uniformemente acelerado, siendo sus ecuaciones:

Si se reemplaza y opera para eliminar el tiempo, con las ecuaciones que dan las posiciones e , se obtiene la ecuacin de la trayectoria en el plano xy:

que tiene la forma general

y representa una parbola en el plano y(x). En la figura 4 se muestra esta representacin, pero en ella se ha considerado (no as en la animacin respectiva). En esa figura tambin se observa que la altura mxima en la trayectoria parablica se producir en H, cuando la componente vertical de la velocidad sea nula (mximo de la parbola); y que el alcance horizontal ocurrir cuando el cuerpo retorne al suelo, en (donde la parbola corta al eje ).

Esto es otro tipo de movimiento en el plano, con aceleracin constante, luego si =cte tenemos:

=

Donde Vo es la velocidad para t = t0, luego:

= a(t t0)(3.15)Tambin si:

V = V0 + a (t t0)Tenemos:

= =Donde r0 posicin en el tiempo t0 y luego:

3.16.

En el grfico anotamos

texto

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