Relime Vol. 7, Nm. 2, julio, 2004pp. 171-185 Prolegmenos a las etnomatemticas en Mesoamrica Luis Ortiz-Franco1 RESUMEN El propsito de este artculo es identificar las similitudes entre los sistemas numricos de las culturas olmeca y azteca, considerando los marcos tericos de las etnomatemticas y la difusin culturalenMesoamrica.Parasudesarrollo,eltextodelinealoslmitesgeogrficosde Mesoamrica,planteaunadiscusinsobrelaactividadculturalendichareginantesdela llegada de los espaoles, describe los sistemas numricos de esas dos culturas precolombinas y sita a olmecas y aztecas en el continuo temporal y cultural de aquella zona. Por ltimo, se formulan algunas conclusiones sobre el proceso de difusin cultural en Mesoamrica. PALABRASCLAVE:aztecas,cero,cultura,etnomatemticas,filosofamatemtica, mesoamrica, olmecas, pre-colombinos, sistema numrico. Prolegomenons to the Ethomatematics in Mesoamerica ABSTRACT The intention of this article is to identify the similarities between the numerical systems of the OlmecaandAzteccultures,beingconsideredthetheoreticalframeworksofthe ethnomathematicsandtheculturaldiffusioninMesoamerica.Foritsdevelopment,thetext delineates the geographic limits of Mesoamerica, raises a discussion about the cultural activity in this region before the arrival of the Spaniards, it describes the numerical systems of those two pre-Columbian cultures and locates to Olmecas and Aztecs in the cultural continuous of that zone.Finally,someconclusionsareformulatedabouttheculturaldiffusionprocessin Mesoamerica. KEYWORDS:aztecs,zero,culture,Ethnomathematics,mathematicalphilosophy, mesoamerica, olmecs, pre-columbian, numeric system. Prolgomnes la etho- mathmatique en Msoamrique RSUM Le propos de cet article est d identifier les similitudes entre les systmes numriques de la cultureOlmqueetAztque.Envuedesondveloppementletexteprciseleslimites gographiques en Msoamrique, il expose une discussion sur l activit culturelle dans cette rgionavantlaconquteespagnole,ildcritlessystmesnumriquesdecesdeuxcultures prcolombiennes et situe aux Olmques et aux Aztques dans le continuum temporel et culturel de cette rgion. En fin, on formule certains considrations sur le procs de diffusion culturel en Msoamrique. MOTSCLS: etho-mathmatique, Aztques, Zro, culture, philosophie en Mathmatiques, Msoamrique, Olmques, prcolombiens, systme numrique. Fecha de recepcin: mayo de 2002 1 Mathematics Department. Chapman University. U.S.A. Introduo a etnomatemtica na Mesoamrica RESUMO O propsito deste artigo identificar as similaridades entre os sistemas numricos das culturas olmeca e asteca, considerando os referenciais tericos da etnomatemtica e a difuso cultural na Mesoamrica.Paraseudesenvolvimento,otextodelineaoslimitesgeogrficosda Mesoamrica, expe uma discusso sobre a atividade cultural em tal regio antes da chegada dos espanhis, descreve os sistemas numricos dessas duas culturas precolombianas e situa a olmecaeaastecanocontinuotemporaleculturaldaquelelocal.Porltimo,seformulam algumas concluses sobre o processo de difuso cultural na Mesoamrica. PALAVRASCHAVE:Etnomatemtica,astecas,zero,cultura,Filosofiamatemtica, mesoamrica, olmecas, pre-colombinos, sistema numrico Introduccin La matemtica educativa estudia temas relacionados con el aprendizaje y la enseanza de las matemticas,disciplinaquesurgicuandolossereshumanoscomenzaronacuantificarlos objetos y fenmenos naturales. Aunque el proceso de contar fue muy similar entre los diferentes grupos humanos, los smbolos que empleaban para representar cantidades variaban segn sus convenciones culturales, lo cual explica las diferencias en los smbolos numricos que crearon diferentes grupos etnos como los africanos, aztecas tambin llamados mexicas, babilonios, chinos,olmecas,incasohindes.Ellopermitelarealizacindeunanlisissobrelas dimensiones culturales en las matemticas desde una perspectiva multidisciplinaria. Lasetnomatemticassonunaramadelamatemticaeducativaqueatiendealasvariantes culturalesimplicadasenelaprendizajeylaenseanzadelasmatemticas.Susantecedentes puedenrastrearseenlosestudioshechosporalgunoshistoriadoresyantroplogosdelsiglo veinte sobre las culturas precolombinas mesoamericanas que incluyen comentarios acerca de susaspectosmatemticos,comolostrabajosdeMorley,ThompsonyValliant(paradatos bibliogrficosdeesasobrasyotrassobrelacienciaylasmatemticasdelosantiguos mexicanos,consulteOrtiz-Franco&Magaa,1973),ascomoinvestigacionesenfocadasen estudiantesdesecundariadeascendenciamexicanaenlosEstadosUnidos(chicanose inmigrantesmexicanosrecientes),quetocanaspectosculturalesdelamatemticaeducativa (Begle, 1973; Ortiz-Franco, 1977, 1990). Elenfoquesistemticosobreelestudiodelasdimensionesculturalesdelamatemtica educativacomenzcuandoUbiratanDAmbrosioplantelabaseintelectualdelas etnomatemticas durante la sesin inaugural del Quinto Congreso Internacional de Matemtica EducativaenAdelaide,Australia,en1984(eltextocompletoseencuentraenDAmbrosio, 1985a).Para fomentar las investigaciones en esta disciplina, se fund ms tarde el Grupo de Estudio Internacional de Etnomatemticas (ISGEm, por sus siglas en ingls), con sede inicial en los Estados Unidos. DAmbrosio define a las etnomatemticas como el estudio de las convenciones particulares que diferentes grupos culturales o etnos usan para matematizarsu medio ambiente (1985b, p. 2; 1985c, p. 44). Segn su etimologa, el vocablo etnomatemticas tiene las racesetno, contexto cultural; mathema,conocer, explicar, entender, y tics, arte o tcnica. Tal perspectiva permite considerarlascomoelestudiodelaepistemologa,delateoradelconocimientoydela cognicin en un contexto matemtico-cultural (DAmbrosio, 1998, p. IX; 1997, pp. XV-XXI, y 2001, pp. 308-310). Como disciplina que utiliza las metodologas de la antropologa, la historia, la etnografa y otras ciencias sociales, las etnomatemticas hacen posible la investigacin de los procesosdegeneracin,organizacin,difusinyaplicacindelos conocimientos matemticos en sistemas culturales diversos. Las etnomatemticas, asimismo, permiten investigar las tcnicas, habilidades, al igual que las prcticas de contar, medir, clasificar, ordenar, inferir y calcular empleadas por diversos grupos culturales.Mediantelaconceptualizacinetimolgicadelasetnomatemticaspodemos considerar como grupos etnos a civilizaciones antiguas la inca, maya o egipcia y aquellos de lasociedadmodernaquepracticanyutilizanlasmatemticasenunaformadiferente(los ingenieros las conceptualizan y aplican de una de una manera distinta a la de los matemticos, quienes a su vez crean matemticas de una forma diferente a la de los fsicos, mientras que los contadores pblicos y privados las manejan en una vertiente distinta a la de los profesionistas mencionados). Adems, en los pases en desarrollo hay artesanas que requieren de patrones matemticos para suproduccin,loscualespuedenserobjetodeinvestigacindentrodeunmarco etnomatemtico.Porejemplo,Oliveras(1996)investiglosobjetosmatemticosusados implcitamenteenlosprocesosdeelaboracindeunamuestradeartesanasenGranada (Espaa)ehizounainterpretacinyanlisismatemticodesusactividades.Ensuma,las etnomatemticas definen el marco terico para el multiculturalismo en la matemtica educativa. Lasetnomatemticasanalizanlosaspectosantropolgicos,histricos,geogrficosy psicofilosficos que inciden en el desarrollo del conocimiento matemtico. Tal acercamiento permiteveralasmatemticascomounaactividadhumanadinmicayvibrantedediversos grupos culturales y lograr dos objetivos: 1) establecer un contexto multicultural en la enseanza yaprendizajedelasmatemticas;2)hacerconexionesentrecultura,matemticas,historia, geografa, psicologa, antropologa y otras ciencias sociales. Losenfoquesdelasobrasqueenfatizanlosvnculosentrelasmatemticasyloscontextos sociales son muy diversos, tanto en sus temas como en los lugares donde se llevan a cabo los estudios.Algunostrabajostienenuncarctermatemtico-histrico,otroshistrico-culturalo histrico-antropolgico y otros ms social. Entre los trabajos de etnomatemticas que se centran en las relaciones entre las matemticas y las ciencias sociales dentro de las sociedades modernas estn los de Knijnik y Fasheh ambos de 1997, que sealan el nexo de las matemticas con las ciencias polticas y la sociologa. Knijnik describe su investigacin de campo en una escuela rural del sur de Brasil, ntimamente conectada con el movimiento social MST (Movimiento dos Sem-Terra). La autora resalta la dicotoma entre el conocimiento matemtico acadmico y el conocimiento matemtico popular dentrodelcontextodelaluchaporlatierra,ylasaportacionesquepuedenhacerlas etnomatemticas al cambio social. Inserto en el conflicto sociocultural Israel-Palestina, el trabajo de Fasheh hace hincapi en la importanciadeusarunconceptoampliodeculturaqueincluyaexperienciassocialesy personales durante el proceso de enseanza de las matemticas. Su ensayo trata la interaccin entre la enseanza de las matemticas y el fomento del pensamiento crtico sobre las creencias y elcomportamientoculturalquehanimpuestoautoridadesopresoras.Fashehcompartesus experiencias como maestro de matemticas en Palestina dentro de un marco critico-social y las acciones represivas de las autoridades hacia la enseanza y aprendizaje de las matemticas. Las perspectivas de Knijnik y Fasheh demuestran que el conocimiento matemtico sirve a los intereses de grupos sociales. Martin (1977) formula la teora de que el conocimiento matemtico noesneutral(ofreceejemplosdondedemuestraquetalconocimientoesformadoporlas influencias culturales) y sostiene que las matemticas son un producto de la sociedad y, a la vez, pueden reflejar y servir a los intereses de grupos con intereses especficos. Martin apoya su tesis conargumentosdelasociologadelconocimiento,someteaexamenel sistema de produccin y aplicacin del conocimiento matemtico y enfatiza la conexin entre epistemologa y etnomatemticas. La mayora de los trabajos que se enlistan a continuacin vinculan las etnomatemticas con la geografa,alincluirmapasdelasregionesocontinentesqueparticipanenladiscusindel material; adems, ofrecen conexiones entre las matemticas y la cultura, la antropologa y la historia. J oseph (1997) critica el enfoque eurocntrico de la enseaza de las matemticas en su ensayo sobrelahistoriografadelasmatemticas.Basadoenlaevidenciadequeyahaba conocimientosmatemticosenculturasdeAsia,frica,yMedioOrientesiglosantesdel desarrollo de las matemticas en Europa, J oseph precisa que esas culturas no reciben mencin alguna en los libros de historia de las matemticas. Puede decirse que el trabajo de J oseph tiene un carcter histrico-cultural, ya que se vale de la historia de las matemticas para plantear una crtica al aspecto etnocntrico de la historia de las matemticas. Antes de ese ensayo, J oseph (1991), en su obra magistral The crest of the peacock: non-european roots of mathematics, lanz su desafo a la tendencia eurocntrica en la enseanza yaprendizajedelasmatemticas.Enesaobraofrecepruebasdetalladasentornoalos conocimientos matemticos de civilizaciones en frica, Asia, Medio Oriente y Mesoamrica, que predatan la existencia de conocimientos paralelos en Europa. Una obra de carcter histrico-antropolgico respecto a los conocimientos matemticos en el continente africano, que fue publicada mucho antes de que DAmbrosio planteara el concepto de las etnomatemticas, es la de Zaslavaki (1973). All describe las creaciones en las ciencias matemticascomolossistemasdenumeracin,losatributosmsticossobrelosnmeros,la geometra en el arte y arquitectura, as como juegos matemticos en Nigeria, Bali, Camern, Kenya, Uganda, Tanzania, Liberia, Angola y otros pases. El libro de Zaslavski es considerado un clsico de las etnomatemticas. Otro trabajo que muestra claramente el nexo entre matemticas y antropologa e historia es el de Ascher(1991),dondeexploralasideasmatemticasennmeros,lgica,configuraciones espaciales y su organizacin tanto en sistemas como en estructuras entre grupos etnos (incas, aztecas, mayas) y grupos culturales (chinos, japoneses, africanos, del Pacifico del Sur, y Nueva Guinea).Ascheresunamatemticaysulaborenlasetnomatemticassurgicuandoun antroplogolepidiayudaparainterpretarunhallazgoarqueolgicoenlareginincaque contena inscripciones numricas. Dos obras etnomatemticas ms recientes (tambin de carcter histrico-antropolgico) son las de Eglash y Gerdes (1999). Eglash relaciona la geometra fractal con los diseos artesanales en frica (Chad, Camern, Mali) y los estilos arquitectnicos de las culturas indgenas de Nuevo Mxico y Mesoamrica. Hace la observacin que, mientras que los fractals son muy comunes en frica,lasimetrapredominaenlaarquitecturaprecolombina.Porsuparte,Gerdesha investigado los diseos geomtricos de las culturas africanas de Mozambique, Liberia, Senegal, Uganda,KenyaySudfricadesdeunaperspectivahistrica.Sumayorenfoqueradicaenla simetra geomtrica encontrada en diseos artesanales, pinturas y esculturas de madera y marfil. Actividad cultural en Mesoamrica Los lmites geogrficos de Mesoamrica varan entre los estudiosos. Generalmente, la frontera norte de Mesoamrica es la lnea, ms o menos horizontal, que va del oeste del ro Panuco costa del Golfo de Mxico hasta el ocano Pacifico, mientras que la frontera sur abarca la parte sur de El Salvador (Amrica Central), el Golfo de Mxico al este y el ocano Pacifico al oeste. Los arquelogos e historiadores sostienen que la actividad humana en Mesoamrica inici hace aproximadamente30milaos,yenMxicohace9mil.Gruposnmadasdecazadores recorrieron Mesoamrica durante miles de aos antes de llegar a la etapa sedentaria. Soustelle (1984, p. 4) fecha el descubrimiento de la agricultura en Mesoamrica alrededor del ao 4 mil a.C.; sin embargo, la vida social organizada, entendida como cultura, apareci casi mil aos despus (Schele y Freidel, 1990, p. 37). La evolucin sociocultural de Mesoamrica puede trazarse desde los grupos cazadores nmadas hasta las civilizaciones sucesivas (de los olmecas, zapotecas, mayas, toltecas, teotihuacanos a los aztecas). Varios aspectos culturales enlazan a las civilizaciones mesoamericanas. Uno de ellos reside en elmtodoparamedireltiempoylaanotacindefechaspormediodeunsistemade calendarizacin distinto a los que se han encontrado en otras partes del mundo. Es ampliamente aceptadoquelosolmecasfueronlosautoresdetallogrointelectualqueperfeccionaronlas culturassucesivashastallegaralosaztecas.Aunquehoydapodemosidentificarrasgos culturales comunes entre las civilizaciones mesoamericanas, todava no se sabe con precisin cmo se llev a cabo el proceso de difusin cultural. Mientras que algunos autores sugieren que la difusin cultural en Mesoamrica se realiz por medio de la guerra, la religin o el comercio, otros argumentan que tal interpretacin es muy simple(SandersyPrice,1968,pp.117-122;Stuart,1993)eimplcitamentesugierenqueel proceso de difusin cultural tuvo que haber sido mucho ms complejo, pero no se ha podido precisar.Unperiodoaproximadode2mil500aosseparaalosolmecasdelosaztecasy compartenaspectosetnomatemticos,apesardequenohubocontactodirectoentreellos durante sus respectivos apogeos culturales. Sistemas numricos Conforme a la filosofa de las etnomatemticas, se encuentran en Mesoamrica muchos sistemas numricos (algunos ms sofisticados que otros). Incluso en la regin lacustre de Texcoco, donde floreci la civilizacin azteca, hubo sistemas numricos distintos, como el de los aztecas y el de Texcoco (Harvey y Williams, 1993). El sistema numrico de Texcoco inclua un elote como smbolodelcero(op.cit.,pp242-243),peronotenavalorposicional,mientrasquela numeracin azteca careci del cero. a)OlmecaSoustelle(1984,p.60)dicequelaevidenciamstempranadeinscripcionesnumricasen Mesoamricaseremontaalao1200a.C.,yfuehalladaenunsitioarqueolgicoolmeca. Dichasinscripcionesnumricasusancrculos/puntosybarrasdemaneraidnticacomolo hicieron los mayas siglos despus, aunque el 1 200 a.C. anticipa la llegada de la civilizacin clsica maya por aproximadamente 1 300 aos. En el sistema numrico olmeca, las cantidades del uno al diecinueve se escriban como se indica en la Figura1. Aunque hay muchos ejemplos en las ruinas mayas sobre el uso del valo para representar el cero (que se asemeja a una concha de molusco), todava no se ha descubierto esa evidenciaenlosvestigiosolmecas.Sinembargo,esmuyposiblequelosolmecastambin usaran el smbolo del cero porque las inscripciones numricas de su calendario tuvieron que haberlo requerido. ------------------------------------------------ Figura 1 -------------------------------------------------- Para consignar los nmeros del uno al diecinueve en el sistema numrico olmeca se empleaban los conceptos de suma y agrupacin, como se puede apreciar en la Figura 1. Cinco unidades eran reunidas para sumar a una barra, y para escribir los nmeros del dos al cuatro, y del seis al diecinueve, se requera de la suma de crculos/puntos y barras. El sistema numrico creado por los olmecas que utiliz crculos/puntos, barras y el valo fue de valor posicional de base 20 (vigesimal) y las cantidades se anotaban de manera vertical. El primer nivel inferior era para las unidades; el segundo para las veintenas; el tercero para los 400s, 20 x 20; el cuarto para los 8000s, 20 x 20 x 20, y as sucesivamente en potencias de 20. En la Figura 2 se aprecian cinco cantidades quemuestran claramente el valor posicional de los smbolos numricos. ---------------------------------------------------- Figura 2 ----------------------------------------------------- Acerca del nexo entre filosofa y matemticas, algunas obras consignadas en la bibliografa de Ortiz-Franco y Magaa (1973) sealan que los mayas conceban al cero (valo) en la forma dialctica de fin y principio (fin de cuenta en un nivel y principio en el siguiente). Por ejemplo, el valo en el nmero veinte (Figura 2) significaba el trmino de la cuenta en el lugar de las unidades y el principio en las veintenas. Debido a la poca informacin sobre el pensamiento filosfico-matemticodelosolmecas,nosabemossitambinpensabanelcerodesdeun enfoquefilosfico.Talconceptualizacindelceroesmuydistintaaladenuestrosistema decimal. En el marco de la historia de las matemticas, el uso del cero para la escritura de nmeros en un sistemaposicionalconstituyeunhito.Cabemencionarquedentrodelcontextohistrico, asumiendo que los olmecas inventaron dichos conceptos matemticos aproximadamente en el 1 200 a.C., ellos fueron los primeros en desarrollar el concepto y smbolo del cero en la historia de la humanidad. Tal invencin anticip por seis u ocho siglos los logros filosfico-matemticos de Pitgoras, Aristteles, Platn, y Eucldes (aunque la civilizacin griega no lleg a tener un sistemanumricodevalorposicional)yencasi1700aoslainvencindelceroporlos hindes. Segn Ganguli (1932, p. 251), la aparicin del smbolo del cero en el sistema numrico decimal ocurri aproximadamente en el ao 499 de nuestra era. b) Azteca La historia de la civilizacin azteca indica que los mexicas peregrinaron durante muchos aos en busca de un lugar donde pudieran establecer su asiento poltico hasta que se asentaron en Tenochtitlan (1325), y el fin de su imperio lleg cuando los espaoles conquistaron la capital azteca en 1521. Alolargodedoscientosaos,losaztecascrearonunsistemanumricoenelquesepoda escribir la misma cantidad usando smbolos diferentes, como se puede apreciar en la Figura 3 (para ahondar en otros aspectos consulte Cajori, 1928; Vaillant, 1962, y Payne and Closs, 1993). Los smbolos numricos fueron tomados de los autores mencionados y de informes aportados porDavidVzquez,unhombrenacidoenTlalmotolo,Puebla,comunidadindgenadonde todava se habla el idioma nhuatl de los antiguos mexicanos. David aprendi el nhuatl y la cultura azteca a travs de la tradicin oral de sus mayores y su educacin comunitaria incluy conocimientos de los smbolos numricos incluidos en la Figura 3. ---------------------------------------------- Figura 3 ------------------------------------------------- Como se puede notar, dicho sistema numrico inclua smbolos de cantidad empleados antes por losolmecas,comoeldisco,querepresentabaunaunidad,labarraquesignificabacinco unidades y la concha de molusco, que simbolizaba el cero entre los olmecas, pero agrupaba veinte unidades en el sistema numrico azteca. Adems,losnmerosdelunoaldiecinueveseescribanexactamentecomolohacanlos olmecas, pero tambin se podan registrar las mismas cantidades en varias formas (Ortiz-Franco, 2002). Como el sistema numrico no tena un smbolo del cero era de valor no posicional, de ah que ofreciera alternativas para anotar una misma cantidad con varios smbolos numricos; dicha cantidad se obtena al sumar el valor de los smbolos empleados. La Figura 4 ilustra slo cuatro de las maneras en que se poda escribir 8 375 segn el sistema numrico azteca. ------------------------------------------------------------- Figura 4 --------------------------------------------------------------- Desde una perspectiva matemtica, el sistema numrico olmeca es ms sofisticado y eficiente porque incluye el smbolo del cero y tiene valor posicional, caractersticas de las que carece la numeracinazteca.Sinembargo,paralospropsitosdeesteartculoatenderemosalas similitudes de los smbolos numricos empleados por ambas culturas, temporalmente separadas por 2 mil 500 aos. Difusin cultural Enestaseccindelensayotrazaremos,arasgosgenerales,lasposiblesrutasquesiguila difusindelossmbolosnumricosdelcrculo/punto,labarraylaconchademolusco desde los olmecas a los aztecas. Soustelle (1984) dice que los olmecas usaron dichos smbolos numricos para registrar fechas cronolgicas.lyotrosautores(Caso,1965,p.932;ScheleyFreidel,1990,pp.79-80; Soustelle, 1984, pp. 25, 140 y captulo 9; Stuart y Stuart, 1983, p. 83) coinciden en que los olmecas inventaron el sistema numrico y calendario que comnmente se atribuyen a los mayas. Adems, la mayora de historiadores y arquelogos de Mesoamrica afirman que los olmecas son la cultura madre de las civilizaciones precolombinas (vase Coe, 1995, p. 62, y los autores arriba citados). Empero, otros autores, como Marcus (1993, p. 41) no aceptan dicha perspectiva y acreditan la invencin del calendario mesoamericano a los zapotecas de Oaxaca. Marcus basa su argumento enelhechodequeenlasruinasdeMonteAlbn(particularmentelasestelas12y13) hay inscripcionesdecalendarioconcrculos/punto ybarrasqueseremontanalperiodo500-300 a.C., las ms antiguas que hasta hoy se han hallado en Mesoamrica. Sin embargo, Alfonso Caso, a quien se le considera como una autoridad en la materia de Monte Albnylaculturazapoteca,sostienequelosolmecasinventaronelsistemanumricoyel calendario mesoamericano: Consecuentemente, parece que a lo que se le ha llamado calendario maya, incluyendo la Serie Inicial o Cuenta Larga y su sistema de numeracin posicional, es caracterstico de la cultura olmeca (1965, pp. 631-632, traduccin del ingls por el autor de este ensayo). Por su parte, el distinguido arquelogo Ignacio Bernal asevera: Elhonorsensacionaldelinventodelcalendariomayaprobablementelespertenecealos olmecas (Bernal, 1975, p. 27, traduccin del ingls por el autor de este ensayo). ParecequeMarcusesunavozsolitariaeneldebatesobreelorigendelcalendario mesoamericano y de las inscripciones numricas que usan crculos/puntos y barras, ya que la gran mayora de autoridades en la materia dice que los olmecas son los autores de tales logros intelectuales. Adems,Soustelle(1984),Bernal(1975,p.27),yStuart(1993)sostienenquelosolmecas inventaronlatcnicallamadacuentalargaparaanotarfechasensucalendario,que frecuentemente requiere del smbolo del cero; si bien es muy posible que los olmecas lo hayan empleado, no hay una prueba contundente. Otras culturas que llegaron despus de los olmecas y antes de los mayas tambin usaron los sistemas numrico y de calendario creados por los olmecas, como los zapotecas y la cultura de Izapan que se asent en la regin costea del Pacfico entre Chiapas y Guatemala, de ah que sea muy posible que el smbolo del cero (ver Figura 1) fuera empleado por culturas mesoamericanas desde los olmecas hasta los mayas. Hay evidencias de que los mayas lo usaron extensamente en el contexto de un sistema numrico posicional, rasgo que tambin distingue al de tipo decimal (para ms comentarios vase Ortiz-Franco, 1993). Cmollegaronlosaztecasausarlossmbolosnumricosdelpunto/crculo,labarrayla concha de molusco que ilustra la Figura 3? Aqu, de entrada hay que considerar la diferencia en el valor del smbolo de la concha de molusco, por un lado, entre los olmecas, zapotecas, la cultura de Izapan, y los mayas, por otro, entre los aztecas. En las primeras culturas vala cero y se usaba dentro de un sistema numrico posicional, mientras que para los aztecas significaba veinteysusistemanumricocarecadelcero.Resultaevidenteque,aunquelosaztecas adoptaron dicho smbolo numrico, modificaron su significado original, lo cual no sucedi con el crculo/punto y la barra, que se conservaron a travs de las culturas mesoamericanas. A pesar de que existen varias posibilidades en torno al proceso de difusin cultural mediante el cual los aztecas incorporaron los smbolos numricos del crculo/punto, la barra y el cero, es pertinentemencionardosdificultades.Enprimerlugar,carecemosdeinformacinconcreta sobre la historia del desarrollo del sistema numrico de los aztecas y, por tanto, no podemos determinar cundo empezaron a usar los smbolos numricos; en segundo, hasta hoy no se ha precisado ni siquiera en una fecha aproximada cundo ocurri el contacto cultural entre los aztecas y las culturas mesoamericanas que empleaban los smbolos numricos olmeca. Lo ms probable es que la difusin de los smbolos numricos olmecas a los aztecas se diera comounprocesoindirecto,yaquenohubouncontactodirectoentreambascivilizaciones durante su cima cultural. Sin embargo, se sabe que los aztecas tuvieron contacto y conocimiento de los olmecas porque el vocablo olmeca es de origen nhuatl, y significa pueblo o gente de la regin del hule. De acuerdo con Stuart (1993), en su poca de apogeo los olmecas extendieron sus relaciones e influenciaculturalhastaTlatilco(altiplaniciecentralmexicana),Guerrero,OaxacaeIzapan, llevando consigo su religin, costumbres, conocimientos intelectuales y smbolos numricos. Inclusive Coe (1995) dice: En todo lugar que se encuentra influencia olmeca o a cualquier lugar que ellos fueron dejaron rastros de vida civilizada (p. 81, traduccin del ingls por el autordeesteensayo).Yagrega:Existepocadudadequetodaslascivilizaciones mesoamericanas, sean los aztecas o sean los mayas, no estnbasadas en los olmecas (op. cit., p. 62). Si bien es posible que los aztecas hayan adoptado los smbolos numricos del crculo/punto, la barra y la concha de molusco directamente de los olmecas, bajo el argumento de que el dominio mexica se extendi hasta la regin olmeca, tal hecho parece muy remoto. Por un lado, se requiere de un contacto cultural extenso e intenso para que una cultura asimile los aspectos intelectuales de otra; por otro, la cultura azteca existi nicamente durante dos siglos (1325-1519) y tal vez no hubo oportunidad para que el contacto entre olmecas y aztecas tuviese una intensidad que consumara su intercambio cultural. Ahora bien, como los mexicas tuvieron contacto con las culturas zapoteca y maya despus que esas civilizaciones haban decrecido, existe la posibilidad de que por tal va hayan adoptado los smbolos numricos olmecas. Otra hiptesis seala que Tlatilco estaba, geogrficamente hablando, muy cercana a la antigua Tenochtitlan, y es muy posible que los aztecas adoptaran los smbolos numricos olmecas de una de las culturas asentadas en la altiplanicie central. Aunque los pueblos de Tlatilco (con los que los olmecas inicialmente establecieron contacto) hayan desaparecido al transcurrir de los siglos, hered a sus descendientes aspectos culturales de suma importancia que pudieron incluir los smbolos numricos cuantitativos. Tal posibilidad parece ser la ms factible en funcin de los intereses de este ensayo. Ahorabien,lapreguntatrascendentalqueemanadenuestroplanteamientoes:Culfueel papel que jugaron las matemticas en la difusin cultural de Mesoamrica? Para responder tal cuestin, las investigaciones requieren del marco terico de las etnomatemticas con nfasis en lasconexionesentrehistoria,antropologa,arqueologa,filosofadelpensamientoy matemticas. Conclusin Elmarcotericodelasetnomatemticaspermiteestudiartemasdematemticasdesdelos enfoques histrico, psicolgico, antropolgico, filosfico y epistemolgico. A travs de varias perspectivas se examin en este ensayo la evolucin de los smbolos de unidad, disco/crculo, cinco unidades, barra y el cero en Mesoamrica. Una de las conclusiones a que llegamos es que la invencin del cero y de un sistema numrico posicional, logros intelectuales de las culturas de Mesoamrica en el pensamiento matemtico-filosfico,anticiparonpormsdequinientosaosalosmatemticosyfilsofosgriegosquienessepreocuparonpornocionesgeomtricasynuncallegaronaconocerunsistema numrico posicional y por ms de 1 500 el devenir del sistema numrico decimal moderno. Esto coloca a los olmecas entre las culturas de primer rango en el pensamiento matemtico. Adems,parecequelosmayasllegaronalaconceptualizacindialcticadelcerocomoun smbolo de fin y principio, la cual difiere de la forma en que se considera al cero en el sistema decimalysitaalosmayasenunlugarespecialdentrolascorrientesdelpensamiento matemtico-filosfico. Sorprendentemente, la cultura azteca careci de tales logros matemticos y manej un sistema numrico menos avanzado que el de los olmecas. Debido al breve periodo en que se desarroll la civilizacin azteca y el largo tiempo que se necesita para consolidar la difusin cultural, lo ms probable es que haya adoptado los smbolos numricos olmecas de una cultura de Tlatilco que se asent en la altiplanicie mexicana, vecina al lago de Texcoco donde floreci la civilizacin azteca. Esta parece ser laexplicacin ms convincente, siempre y cuando los smbolos numricos olmecas hayan sido parte del repertorio de la cultura intermediaria de Tlatilco y sus descendientes. En cuanto a la respuesta sobre cul fue el papel que jugaron las matemticas en la difusin culturalenMesoamrica,estasesabrcuandonosenfoquemosasuactividadmatemtico-cultural, dentro del marco terico de las etnomatemticas. 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